Family 3-100-27-b

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case K3-49 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁴P4 · 12040.Aw7x4100 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁴P4
Bundle: $E^{2 ω_{4}} \oplus E^{ω_{2} + ω_{4}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2} + ω_{4}}$ E^(2w4) + E^(w2 + w4) + E^(w1 + w2 + w4)
Bundle: $O_{3} (2) \oplus O_{2} (1) ⊠ O_{3} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1) ⊠ O_{3} (1)$ O_3(2) + O_2(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1) box O_3(1)
ZL62 label: 12040.Aw7x4100

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;4) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	27
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	100
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-20

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	100
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	112
$\mathrm{c}_2^2$	=	126
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	28
$\mathrm{c}_4$	=	34

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		1		24		1		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 20	0	x₀ + 20	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 15	0	0	x₁ + 11	4
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 28	0	0	1	0	27
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 22t + 54t^{2} + 22t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(615)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(631)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3t + 1 \right) \left( 4t + 1 \right) ^{5} \left( 156176t^{6} + 42720t^{5} + 2160t^{4} - 760t^{3} - 216t^{2} - 12t + 1 \right) \left( 9823020590136580177601299578624t^{27} + 38158724071534956345975159278784t^{26} + 70271994741417559062972370607760t^{25} + 81638111286229979427276675714832t^{24} + 67148871685683993494010770436928t^{23} + 41592566301214046448645028799932t^{22} + 20142739151777807597856862632856t^{21} + 7815191525031142475797455929180t^{20} + 2469319652025035899664392678016t^{19} + 642362003260400888238199180492t^{18} + 138532269217112303082450486536t^{17} + 24853329514181159459141691455t^{16} + 3707687854963691479252740564t^{15} + 457164268319765838206619531t^{14} + 45828453108797814594658540t^{13} + 3589406172261769612648752t^{12} + 196660284874459681783550t^{11} + 4170879798971053593577t^{10} - 496385721623322583913t^{9} - 69041490553631685923t^{8} - 4802075436201205650t^{7} - 221951379175321296t^{6} - 7174677456038302t^{5} - 161509305632424t^{4} - 2296146896248t^{3} - 13667451364t^{2} - 31148880t + 24000 \right)D^{8} + \left( 4t + 1 \right) ^{4} \left( 552283222926661396494141802676825456640t^{35} + 2526478329742866895560905303326268375040t^{34} + 5521273222246810103052868769695624292352t^{33} + 7673719641044373176875865498183258504448t^{32} + 7616857337688406236409432967717656575744t^{31} + 5747092394139050419747583570684660908544t^{30} + 3425110063366181664857633695288336296192t^{29} + 1653689526838085934590151177583250665600t^{28} + 658168982132310751338900100267916699712t^{27} + 218564021639565966372560173161007348944t^{26} + 61063708221960834397267898284735585872t^{25} + 14430280450103190648026272315521978192t^{24} + 2892398653092593157286131077366946744t^{23} + 491762845999351060502219211664460280t^{22} + 70658507979215818343485818334367736t^{21} + 8491178563686038086263131869606408t^{20} + 831977478916708274306300039318680t^{19} + 62030624364785682848596507589700t^{18} + 2660121466475280449843478632028t^{17} - 109855622312915052990762984066t^{16} - 37989452866292050366965981630t^{15} - 4764003154647741295111501104t^{14} - 414420167023153694878649028t^{13} - 26190193635286095099905170t^{12} - 936427830825043460333060t^{11} + 34097562550372114421267t^{10} + 9273881064242122854915t^{9} + 884147589110039310396t^{8} + 54332676394290537618t^{7} + 2320836717133716906t^{6} + 69767060507121834t^{5} + 1467301638130008t^{4} + 19769216565152t^{3} + 107260501712t^{2} + 219482160t - 144000 \right)D^{7} + \left( 4t + 1 \right) ^{3} \left( 27835074435503734383304746854912003014656t^{36} + 130487820658884924607902970980021535036416t^{35} + 292755480300396912839308784591653739651328t^{34} + 418562791997078870413563879495062417854656t^{33} + 428360974806232847606461785666235959910080t^{32} + 334114573055104571599579077948017381971264t^{31} + 206466935467827948394479982797792970679888t^{30} + 103729862196959421646435654352236292477504t^{29} + 43141342823061372369770415358504274235712t^{28} + 15046337665546014348604503069789217055200t^{27} + 4441822325845904740987418497914244005480t^{26} + 1117264654264927156402476330331944594904t^{25} + 240506607178122146205836470547711744372t^{24} + 44412507504560055283990175026773966972t^{23} + 7037245553947597766000525438370565740t^{22} + 954746000533100133320842914851384716t^{21} + 110386902038769705109193703581908124t^{20} + 10810513862928052695701560777514536t^{19} + 896113578140683142907856233298642t^{18} + 64804668175634007025616173324992t^{17} + 4621156425929501398421132264428t^{16} + 397048511090567038866650497496t^{15} + 40668979327829774410526831598t^{14} + 3953528470873537294360976392t^{13} + 309455183770300358544331704t^{12} + 17409415088451713058403534t^{11} + 524830023739183573819553t^{10} - 14351236323097914013111t^{9} - 2949358805513586831804t^{8} - 200007030219965126518t^{7} - 8444667509407965062t^{6} - 240875851856090238t^{5} - 4700286133068992t^{4} - 58361833064672t^{3} - 283753482456t^{2} - 534143520t + 312000 \right)D^{6} + \left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 767010940000547347451064135557575194181632t^{37} + 3702688847396174134642146892471472828682240t^{36} + 8567585799270311160682296985716410561918976t^{35} + 12654347752025352256990018308572860629576192t^{34} + 13402754998568638394423625817821711601443456t^{33} + 10840120225631990785388509938319615744038016t^{32} + 6961063421024136842350548325949345949231232t^{31} + 3642870193125239777721457567215756541477728t^{30} + 1582300256988013711457890536431993408088896t^{29} + 578030179072871908045136924997112768274560t^{28} + 179316025873542784845735835103439440878656t^{27} + 47568851811974693261960133490458264350272t^{26} + 10842471572882258836850788643056013540928t^{25} + 2129028512041627441004159579410408789128t^{24} + 360205864728905399291071338649930476480t^{23} + 52332156744545565419566733811098909056t^{22} + 6468098544234157379502340408950426096t^{21} + 665850391129477990585433460191394208t^{20} + 54277252949396638048614355935117976t^{19} + 2986299467023955162955564126141576t^{18} + 12513585870064743049877943870040t^{17} - 21837669494120424138633226452606t^{16} - 3318683930647564253178821283498t^{15} - 327463529344909985959827649328t^{14} - 25042853799452811013587583036t^{13} - 1545440843430575152338018858t^{12} - 75488053416513536409366102t^{11} - 2598028483912791818767609t^{10} - 30350755449022076673957t^{9} + 3250124973043601245262t^{8} + 270706084449194714118t^{7} + 11448714140510783190t^{6} + 312276147117297142t^{5} + 5762178872445432t^{4} + 67858183488432t^{3} + 301767184816t^{2} + 535033200t - 288000 \right)D^{5} + \left( 4t + 1 \right) \left( 12593824789041245156535214354800186252853248t^{38} + 62839244400704035594229486204216356037640192t^{37} + 150493234198509876380678642100445879768731648t^{36} + 230390508271652571097889928671629281038383104t^{35} + 253307208294202015447274943297522517449390336t^{34} + 213023137199290745837676817345425381384968128t^{33} + 142486734551818129759771757234305926254809664t^{32} + 77818141484091606480621629317501632075332032t^{31} + 35348502933158576656348594975119239036021392t^{30} + 13535338191900293282939927411467317303352160t^{29} + 4412288220507951877869877070737151033057856t^{28} + 1233397354465156354577214230765270748411488t^{27} + 297176638869711458642538435498571531048344t^{26} + 61914381740256206033566379853091488024296t^{25} + 11166924472163729437749392223967944555668t^{24} + 1741031595361155500469515603930794085632t^{23} + 233404354694092006343380962688861805440t^{22} + 26592709767619285115213589647842533768t^{21} + 2513934014762768194435819944268008784t^{20} + 186920191028883125615128815019347132t^{19} + 9317067350510049304909259955017522t^{18} + 50416080302605327313734000716867t^{17} - 48595903482294106427262938943187t^{16} - 6077751340588575221876202413685t^{15} - 455885648638280107586511280209t^{14} - 23613868949661076537584046516t^{13} - 801871890901824168624282086t^{12} - 11893902590704637274643791t^{11} + 302291413755020086054665t^{10} + 9172692642083280022765t^{9} - 1324165812896749105227t^{8} - 124285572616935510704t^{7} - 5349462471258391192t^{6} - 139026339124863356t^{5} - 2383872445884960t^{4} - 26966682494492t^{3} - 112205847092t^{2} - 188932080t + 96000 \right)D^{4} + 2 t \left( 62845412503270653629861384010201322361978880t^{38} + 325001270019925531541467573349263839448104960t^{37} + 807694092689489930930357230129686807238017024t^{36} + 1284795795267724606407791438264056202119096320t^{35} + 1469783476317994230732804464310755453807800320t^{34} + 1287969876076517231177227983380297896299011840t^{33} + 899105946831634570484347511775188124677746304t^{32} + 513350737930522443558050268045000610948015744t^{31} + 244232254944006044944618045946140740543865920t^{30} + 98145750594323834145757889507141931781833376t^{29} + 33650186643068404319786001921333588002170688t^{28} + 9917248082955654123225665972487828688883392t^{27} + 2525960542068552817362265225323517995960896t^{26} + 558013655474543639876046977183162674920976t^{25} + 107098152178638574037418295383485545101504t^{24} + 17847515801363293853184652037291216509544t^{23} + 2572458516636499474624711694791192930072t^{22} + 317752762451427743920165287410336214664t^{21} + 32995005445541061536147866361620917952t^{20} + 2761382856482449971193689323611047032t^{19} + 165865174134648592851490268784388984t^{18} + 3605339325648797454461050376360036t^{17} - 677266105172013604947892217431448t^{16} - 117006213894430346970099926050828t^{15} - 11360340601506271974961939708976t^{14} - 812194651660784857750144644868t^{13} - 45571818757409911857826353044t^{12} - 2052901974344331420541043278t^{11} - 75105147451642261874889755t^{10} - 2261414412320683693564261t^{9} - 57657632091249128427971t^{8} - 1306481115169634021797t^{7} - 26734625478462683620t^{6} - 444155915793998088t^{5} - 4956808195288944t^{4} - 32575309152016t^{3} - 10469149824t^{2} + 77657232t - 37440 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 46341127944856418233402848816821117569204224t^{37} + 237249900150805079400908626016127103353618432t^{36} + 583549023556882180158583747537543453633216512t^{35} + 918451990018639397306642759800344985577742336t^{34} + 1039310013812826219642943297101544218376708096t^{33} + 900605459023435787667541137355908727053227392t^{32} + 621485655905023999413762788772478688645407808t^{31} + 350642084899344489680437586679840215407865824t^{30} + 164779560779380704766395725461958679023787136t^{29} + 65377049257358388333536847117970804104064656t^{28} + 22119712811113597042306864715290850424431000t^{27} + 6429617701503484846043587156664407668924432t^{26} + 1614196795100015536040635374212058613004752t^{25} + 351230502801488117989378547272452182869160t^{24} + 66332489281286762233425041829568687097556t^{23} + 10861642499621086019138931379170885832424t^{22} + 1534656088761661678051728488437156279278t^{21} + 185026793439820206445881841778231383422t^{20} + 18591794806887452501229429028189878078t^{19} + 1474549372026208870984030595455976342t^{18} + 77865719115316661090342935442094222t^{17} + 93224459020601188180873157305078t^{16} - 564175718845407980772617528223660t^{15} - 79399505791293149884962442024610t^{14} - 7175660890910535066752231366171t^{13} - 491020360416431677125531292955t^{12} - 26625597984667817942843400866t^{11} - 1162291854765811982180398398t^{10} - 41036560731325467849408662t^{9} - 1171907630263613738800842t^{8} - 27148346307958602235894t^{7} - 520570656808284581734t^{6} - 8585354378781728972t^{5} - 121458667419467772t^{4} - 1385678387798612t^{3} - 11852073718412t^{2} - 18635420400t - 1920000 \right)D^{2} + 32 t ^{3} \left( 4591461802123092185893697290734056116322304t^{36} + 23331065085466953446604046227539667994386432t^{35} + 56943388577364463236342902815761259606327296t^{34} + 88910382848196789559512323859681239940472320t^{33} + 99783355577340477458174356649071710566443008t^{32} + 85731733403969596720742082624206099790595840t^{31} + 58640294824971337640332413118142074413334464t^{30} + 32782015267011353042093105437821944699585376t^{29} + 15258552843242455955217093002311137139165728t^{28} + 5993606194765360920180100709143233417228144t^{27} + 2006742944843032234734429163966882897042296t^{26} + 576929305145367461140272269078866968616976t^{25} + 143174505048626926594278748693437512619024t^{24} + 30772931051272616211295991812073175312792t^{23} + 5735449802881368454964181015044327279844t^{22} + 925554781889328672826054970317926389664t^{21} + 128584533073349194797396846771688523310t^{20} + 15179513056382798203686930813435610262t^{19} + 1480469574428847706697997481863830922t^{18} + 111432238952604156480303065050047642t^{17} + 5065265511777184829587272491066060t^{16} - 131670866323414928431009384476996t^{15} - 57754885579794624686762636014692t^{14} - 7239367802741896011362490054674t^{13} - 621349522517798080359374478993t^{12} - 41030925424828726896161273871t^{11} - 2158658993867788918734812845t^{10} - 91489709066142670795745769t^{9} - 3122516036326131555009501t^{8} - 84969884749042812954017t^{7} - 1808333792829091875402t^{6} - 29390284881667651542t^{5} - 358762324341840320t^{4} - 3361943898100716t^{3} - 31136616379404t^{2} - 318266282660t - 505014000 \right)D + 192 t ^{3} \left( 247422883871144305629375527599217804574720t^{36} + 1250516297474549262520962496240001802485760t^{35} + 3035119639274601644821938919586561113620480t^{34} + 4711649553786521064046253848606772226302976t^{33} + 5256192445566756186872480592962019763495680t^{32} + 4487898859731883580478148710105539525498912t^{31} + 3049789029839030480448809965818482836327968t^{30} + 1693368901227979603871302716641276481685344t^{29} + 782575947252550386639141306633587509642168t^{28} + 305096753682926048230688967589306857701280t^{27} + 101344347894677694824291443005084378232104t^{26} + 28892916833959289989535548670224840766480t^{25} + 7106740554498868064277338842693236204636t^{24} + 1512993599881013989044989163624312006276t^{23} + 279084240104209588363956248705731549802t^{22} + 44516749379941553181454395573329199894t^{21} + 6100224857578260953157679593779579220t^{20} + 707509922481101623843053698453422924t^{19} + 67219485371829391046105793551829030t^{18} + 4813578120910190655861055514173716t^{17} + 183297237903771472905356052517415t^{16} - 11711947672116690179503083627309t^{15} - 3153705991372666929599264379912t^{14} - 367085876610657067318826669336t^{13} - 30358702528734108098735033574t^{12} - 1952059508052603060338996238t^{11} - 100390113112319718440329672t^{10} - 4162997816788110772181520t^{9} - 138718985192123947410498t^{8} - 3657039892471177241966t^{7} - 73937840528869536804t^{6} - 1089349836282856152t^{5} - 10741128800139828t^{4} - 61059982271796t^{3} - 318881163060t^{2} - 3521647980t - 4374000 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁴P4

Show multiplicities

Sector dimension: 13
Spectral radius: $22.6456058$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$22.64561$	1	1
$5.997853$	1	1
$-5.907556 - 0.3513234\mathrm{i}$	1	1
$-5.907556 + 0.3513234\mathrm{i}$	1	1
$-2.414173 - 5.196429\mathrm{i}$	1	1
$-2.414173 + 5.196429\mathrm{i}$	1	1
$-4$	5	1, 2, 2
$-3$	1	1
$0$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right)^{5} \left(\lambda^{6} - 12 \lambda^{5} - 216 \lambda^{4} - 760 \lambda^{3} + 2160 \lambda^{2} + 42720 \lambda + 156176\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda^{6} - 12 \lambda^{5} - 216 \lambda^{4} - 760 \lambda^{3} + 2160 \lambda^{2} + 42720 \lambda + 156176\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 6 & 14 & 20 & 36 & 48 & 120 & 48 & 108 & 352 & 128 & 576 & 1440 \\ 1 & -1 & 1 & 2 & 12 & 16 & 16 & 8 & 12 & 96 & 36 & 108 & 352 \\ 1 & 1 & -1 & 4 & 4 & 8 & 16 & 4 & 16 & 36 & 12 & 72 & 192 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 4 & 6 & 22 & 10 & 20 & 60 & 24 & 108 & 256 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 4 & 2 & 0 & 2 & 12 & 4 & 8 & 48 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 1 & 2 & 20 & 8 & 20 & 72 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 4 & 4 & 0 & 12 & 24 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 4 & -1 & 2 & 8 & 4 & 12 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & -2 & 4 & 2 & 10 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 3 & 22 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{9}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{7}{2} & 2 & -10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta