Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-103-28-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(w4 + w5) + E^(w1 + 2w2 + w5)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(2) box O_3(1)
ZL62 label
13040.wIx4207
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 28
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 103
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -36

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 103
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 118
$\mathrm{c}_2^2$ = 136
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 6
$\mathrm{c}_4$ = 63
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 4 47 4 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 36 0 x0 + 36 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 12 0 0 x1 12
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 38 0 0 10 0 28
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 23t + 55t^{2} + 23t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(564)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(593)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) ^{5} \left( 1296553t^{7} + 696656t^{6} - 65032t^{5} - 37360t^{4} - 5221t^{3} - 216t^{2} + 6t + 1 \right) \left( 423637839635737548420714278656t^{24} + 2155534204294787890024896257024t^{23} + 4607096329064260849370308955008t^{22} + 5576744419874875476370676826816t^{21} + 4273343368948851486794114521208t^{20} + 2157833199546488116346294912376t^{19} + 707967134909153500035866295128t^{18} + 137156172532221661906404539206t^{17} + 12534799853630912572572961302t^{16} + 2933707812857292444670302395t^{15} + 2900616493591066614608950779t^{14} + 1310990812952938879654071065t^{13} + 329549559792513945533001770t^{12} + 51004805601033918844042358t^{11} + 4958742336009185271343100t^{10} + 304038561373498492741440t^{9} + 13494798078351031564745t^{8} + 659967523030894824546t^{7} + 28683013736213067327t^{6} + 458217055143287179t^{5} - 7230782041908240t^{4} - 379946911627640t^{3} - 4492124352652t^{2} - 14276835884t + 13513600 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) ^{4} \left( 39547361656312878644461609929667639296t^{32} + 231111578610670764874348385350553365504t^{31} + 583857783641740840240502027150955980288t^{30} + 855954184247466642984341879940334691200t^{29} + 815060616462348919587118786543383215296t^{28} + 528537450611586525156308126488739995504t^{27} + 234398607772121174098333386507472851352t^{26} + 67571635518233560065248326883022336084t^{25} + 10487192218769109883847147866794720978t^{24} + 349521971799232872864972278157197110t^{23} + 284530456796699461829294337477387419t^{22} + 383046784198791798345398026119540444t^{21} + 167654274170504199043624447672232277t^{20} + 37044691591326694134738376090496350t^{19} + 3087569077394376546809340707729447t^{18} - 602652267870138335180019273355974t^{17} - 239559859661255468730626513648595t^{16} - 39362867197402356937286360476571t^{15} - 4023480075791966660973944660448t^{14} - 302381405809808144289884193751t^{13} - 22058358546936667622863286199t^{12} - 1820845413019890509654255134t^{11} - 129461314400266426685780134t^{10} - 6203541763104170456822424t^{9} - 209864455225588144390483t^{8} - 8171543827380827275770t^{7} - 318010364704470000760t^{6} - 4615759450414944217t^{5} + 71428357702619476t^{4} + 3340136503323256t^{3} + 35523621707664t^{2} + 100424340788t - 81081600 \right)D^{7} + \left( 2t + 1 \right) ^{3} \left( 1199603303574823985548668834533251725312t^{33} + 7324401131077561979158813077017502193664t^{32} + 19500602703356603057298046927170957074944t^{31} + 30438508316223462893549147042406368349952t^{30} + 31274225672591397975972831982998902558272t^{29} + 22312485508919817983139519227331245787936t^{28} + 11252086210984296579174544002155753307216t^{27} + 3952520554737345531429132397717899567360t^{26} + 914154750823301028685097171973232513856t^{25} + 131978480330213430031303891672037899786t^{24} + 27915842986721427579451926479395421152t^{23} + 19472248250876849726878777795494841337t^{22} + 9862939890159993521923484239179189030t^{21} + 3026456467870961617375241800155134777t^{20} + 580868742108587194916373303887584748t^{19} + 63504295309121080939127791885088905t^{18} + 1351834002841632290641567885519668t^{17} - 730984140219745457487259013160311t^{16} - 124465848629503419377116494460609t^{15} - 10286922354269065064301002567916t^{14} - 477766713786993505252291348573t^{13} - 4175825777058543558947702461t^{12} + 2197071958387119612685884214t^{11} + 298171552544855573023905848t^{10} + 20335066309775413158427120t^{9} + 891511415205237418386765t^{8} + 38259599564583601750332t^{7} + 1454014096307950957794t^{6} + 22328747616501716067t^{5} - 146822221111040612t^{4} - 9336677115527328t^{3} - 92869324109416t^{2} - 243670864588t + 175676800 \right)D^{6} + \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 19931870274781690836808651404552490205184t^{34} + 127682670971062843590373518183363617873920t^{33} + 359669092448235470016803153860540195614720t^{32} + 599125916635104703846412276573585098769920t^{31} + 663578011315352738931665589880002400201216t^{30} + 517095401686210718622433463834353430902848t^{29} + 290380034761785934072592940065992876415136t^{28} + 117322928657911303918555016681510935263200t^{27} + 33163641048643849934927537529777724238464t^{26} + 6355351071734941418553883950183823040980t^{25} + 1127685116666479124508573542438925466098t^{24} + 512762527158107207158103309522674875222t^{23} + 287477451882251896267589091237854383001t^{22} + 109354346638962345410554553189832621790t^{21} + 27974367859620795937676052474367558731t^{20} + 4903965381430176707592806887071659790t^{19} + 576108342250853344855779238600205885t^{18} + 40957186855295753811013497202032496t^{17} + 1072387654991466569896293557800507t^{16} - 80397929708358773041895876653947t^{15} - 10353433187765980757854145639542t^{14} - 1143514367307664630462122050423t^{13} - 163773148770353998538378340317t^{12} - 16885585122967640762892213320t^{11} - 1096150743506446349644342670t^{10} - 44764581214408836928749814t^{9} - 1238947911854268142320455t^{8} - 45709437015108418848998t^{7} - 2025531481773168467962t^{6} - 34093184307048998135t^{5} + 128502625897486916t^{4} + 10912801036363752t^{3} + 99005042095592t^{2} + 242771560748t - 162163200 \right)D^{5} + \left( 2t + 1 \right) \left( 197288604849459513931004151402468629901312t^{35} + 1329829063092982712942187120773954823888896t^{34} + 3973726545660554103775521592131218250203136t^{33} + 7075324203839422976092676352758059650125824t^{32} + 8445942229449645240538526017160748447880320t^{31} + 7165771496305285848963437295152516406398720t^{30} + 4442554164582989228395125364074479164378048t^{29} + 2023844691220986948295697433594245555208576t^{28} + 667238821744191677239462170396807259067000t^{27} + 155073202766343361743487361196459749666784t^{26} + 28180272832552121918316429825618082484272t^{25} + 8534328452133604636574590622443115096260t^{24} + 4743601421936978406853545523039006035894t^{23} + 2135801459007889361327442274483957963648t^{22} + 669018152444947127913595788550783891795t^{21} + 148759955265032430572854595646269530928t^{20} + 23816688973398513457494104968325089404t^{19} + 2734241897531118689261838089080369880t^{18} + 221291176404498835508651146097825373t^{17} + 12488814293301464021542648226029320t^{16} + 512059484404455790079507585266801t^{15} + 13461271404607642625065322844463t^{14} - 816020280918667116029021089903t^{13} - 145193800070583693364225591108t^{12} - 5202100935520184282385046703t^{11} + 359697232115560139821398450t^{10} + 39468698189302789905971077t^{9} + 1611299234953475886555153t^{8} + 50219904879994205590380t^{7} + 1496778599428194919177t^{6} + 22330456420490269150t^{5} - 9379404214819032t^{4} - 4392723110742416t^{3} - 37058350158388t^{2} - 85303173864t + 54054400 \right)D^{4} + 2 t \left( 591312151485190161491989991668390542753792t^{35} + 4201732880182283962229901069204866579259392t^{34} + 13339175347891216024264964836810970133032960t^{33} + 25408823620358807083158023111615104020183040t^{32} + 32683401763169064025396644176521674628582912t^{31} + 30135424577031665604885060130385902428782848t^{30} + 20531977300036011587105818935377525770608512t^{29} + 10445560699336765029516027552638817934689472t^{28} + 3940306429146346532355781246245237836311392t^{27} + 1080061771353606445420135496209397645927696t^{26} + 220191266072773826548162721663528390226664t^{25} + 50350607852818329989817242925131291375660t^{24} + 23438273675284218793572519899359269333052t^{23} + 11860555389987853353501004832182348264056t^{22} + 4414260057094756381828896163538178897120t^{21} + 1183529428218106258655727573143235191501t^{20} + 233121329814034793096110410024269031490t^{19} + 34063050478312062377291777047455145356t^{18} + 3696699470960256781993947579499536824t^{17} + 299571969180058053194048091732659755t^{16} + 18819397093785305583219391725962694t^{15} + 999519499931146692711547879842513t^{14} + 44063786091118552465445042650655t^{13} + 775265988907410198765636124881t^{12} - 77234286724769873141999411790t^{11} - 6060638378216045365358406913t^{10} - 123590391589244525575164040t^{9} + 3473483469170384053778165t^{8} + 260410275870867126116537t^{7} + 6142854986977588204550t^{6} + 44238818349547735123t^{5} - 467822167116867564t^{4} - 9081377067923644t^{3} - 24232305334168t^{2} + 17595400412t - 13054400 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 259527363793905693166576845074003345788928t^{34} + 1816344980961303846428908563827744597035008t^{33} + 5660297891128863124540371038119912699887616t^{32} + 10557831190861020488194391988429026824253440t^{31} + 13268696938820372154960598322305619623165824t^{30} + 11922932391739664621208644542197108291676864t^{29} + 7889047178012907608352327631290487041581504t^{28} + 3876607127675216861897801247738713044753376t^{27} + 1399716076580371944541887451318407593733816t^{26} + 362165497670955636775527171934623798785548t^{25} + 69867098854120558589380592146496588269792t^{24} + 17472560591288970225997670706409741455724t^{23} + 9231018539638422812287605125786841773166t^{22} + 4653115092275551040708697119882309308184t^{21} + 1673541476071417606228006382689917957534t^{20} + 432837241068102334178892094898294509052t^{19} + 82458003401922662675390942057427736688t^{18} + 11708079250761379324737501809182427693t^{17} + 1246327106724071488679504430425705458t^{16} + 101059510356976791947752006381725462t^{15} + 6584265878312847482933693039144684t^{14} + 375902726817411320162287302634581t^{13} + 18246894671878184864227137921392t^{12} + 509853131801648135756097164289t^{11} - 8665686238584200609572547659t^{10} - 1271403197861139820760482734t^{9} - 35224933595490454048058972t^{8} + 182384963765332796835617t^{7} + 34874959864312140036998t^{6} + 597300259888002156728t^{5} - 3179423291566692133t^{4} - 163322983921264600t^{3} - 1430844367679968t^{2} - 4933219410264t - 378380800 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 40127389627272134197913713541969431339008t^{33} + 277551974082315647797473332101101997314048t^{32} + 852421971465989099213925430979014618970112t^{31} + 1563682050576139889462707498086893921315840t^{30} + 1928849867089307190140099830358980554374912t^{29} + 1697217540937665068303969662867372253720448t^{28} + 1096091354994171976561695579028970460411328t^{27} + 522987203502668436919244677125813899561760t^{26} + 181733024784697584839726570879373216845088t^{25} + 44615138305705124245619906199769092744176t^{24} + 8205110174613524816503864755390727976812t^{23} + 2272443941405340503485853283015064786050t^{22} + 1317440928185986310433517621992492179214t^{21} + 656315696293576364139672044684956338401t^{20} + 228893579734208111971345891261064400400t^{19} + 57334585551814453648095270823856781580t^{18} + 10589647773082380244774282805677166946t^{17} + 1460945704029846041682848248380476337t^{16} + 151915618295418431907050409480138406t^{15} + 12191345010461474949530205466444849t^{14} + 805251493898311583428916092276955t^{13} + 47545990092611127366882885240691t^{12} + 2383668855204998273992038094826t^{11} + 72862411145397858925692143531t^{10} - 304862394461405157788301230t^{9} - 120879107595905185123718865t^{8} - 4090226726124763780802157t^{7} - 29283911349852794970198t^{6} + 1541486572435736445265t^{5} + 9682564941954264514t^{4} - 871213721938113720t^{3} - 15286014013533528t^{2} - 67725368533308t - 214087043352 \right)D + 576 t ^{3} \left( 1230362362640845113383250086700771000320t^{33} + 8438441209350209475203627795714901073920t^{32} + 25642952589564773263404843796695307847680t^{31} + 46466337341779726700579046582337100313600t^{30} + 56527794072057179132533434573965614630400t^{29} + 48958653891295503409663174096282364925184t^{28} + 31035896648616096402238712723155890170176t^{27} + 14470674820487860713389168086391109317664t^{26} + 4875026399156642268407763897582485988192t^{25} + 1145057051405195193371999725963847923408t^{24} + 202637664054190973356600031578655505096t^{23} + 61882684198287161925780812082795147564t^{22} + 38190974120451310114954612893919414484t^{21} + 18777152697870866127242970505387067290t^{20} + 6387757633328399769943885380126579616t^{19} + 1559181846149040389703000470900959952t^{18} + 280677241305820795621933178588201852t^{17} + 37774055222784653077233057106354519t^{16} + 3844896159046753258710520523550046t^{15} + 305000603470043699544148654894625t^{14} + 20271396816811738076679951682224t^{13} + 1217672360814801513770130122284t^{12} + 61404086814580425897100041598t^{11} + 1881391398238846465527025595t^{10} - 3705969335964148726326921t^{9} - 2771682654759749053619909t^{8} - 100230131136273826911277t^{7} - 1214012859116876242258t^{6} + 9312844418507045821t^{5} - 288782914067364028t^{4} - 21374983080771642t^{3} - 285230200041904t^{2} - 763924180444t - 1796970960 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4

|λ| = 20.78673 λ ≈ 20.78673; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -7.129308 - 7.917151i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -7.129308 + 7.917151i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -7.212322 - 5.536504i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -7.212322 + 5.536504i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.6953; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 5; Jordan blocks 1, 1, 3 λ ≈ -1.798773; multiplicity 1; Jordan blocks 1 5
Sector dimension
12
Spectral radius
$20.7867325$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$20.78673$11
$-7.129308 - 7.917151\mathrm{i}$11
$-7.129308 + 7.917151\mathrm{i}$11
$-7.212322 - 5.536504\mathrm{i}$11
$-7.212322 + 5.536504\mathrm{i}$11
$3.6953$11
$-2$51, 1, 3
$-1.798773$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{5} \left(\lambda^{7} + 6 \lambda^{6} - 216 \lambda^{5} - 5221 \lambda^{4} - 37360 \lambda^{3} - 65032 \lambda^{2} + 696656 \lambda + 1296553\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{3} \left(\lambda^{7} + 6 \lambda^{6} - 216 \lambda^{5} - 5221 \lambda^{4} - 37360 \lambda^{3} - 65032 \lambda^{2} + 696656 \lambda + 1296553\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 12 & 14 & 54 & 54 & 90 & 66 & 264 & 152 & 256 & 780 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 12 & 12 & 22 & 18 & 81 & 51 & 63 & 168 \\ 1 & 2 & -2 & 3 & -6 & 6 & 14 & 8 & 54 & 72 & 63 & 168 \\ 1 & 1 & 2 & -1 & 8 & 0 & 18 & 14 & 81 & 27 & 63 & 96 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -3 & 3 & 1 & -3 & 12 & 12 & 10 & 36 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 0 & 3 & 18 & 10 & 18 & 36 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 3 & -1 & 2 & 0 & 8 & 12 & 54 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 6 & -6 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & -\frac{5}{18} & -2 & \frac{13}{9} & -\frac{5}{6} & \frac{31}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 3 & -2 & \frac{5}{2} & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{4}{3} & 3 & \frac{5}{3} & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$