Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-108-29-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ6P6
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9
Bundle
2 copies of E^(2w4) + E^(w3 + w4) + E^(w1 + w2)
Bundle
2 copies of O_3(2) + Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
120600.CCwFw0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;7) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;6) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 29
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 108
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -18

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 108
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 120
$\mathrm{c}_2^2$ = 112
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 32
$\mathrm{c}_4$ = 20
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 1 1 0
0 0 16 0 0
0 1 1 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 18 0 x0 + 18 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 10 0 0 x1 10
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 11 0 0 x1 - x2 - 22 4 29
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 24t + 58t^{2} + 24t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(649)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(657)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 5t + 1 \right) ^{2} \left( 29t^{2} + 10t + 1 \right) ^{2} \left( 11152t^{4} - 3984t^{3} + 700t^{2} - 47t + 1 \right) \left( 147705135994093734646175011407541072t^{28} + 514894727711387890104148239517360992t^{27} + 816488457098487498786519178348004812t^{26} + 785069039049908316687055430462889292t^{25} + 510604482614761069811889750989604944t^{24} + 234946519560316326753860244766397055t^{23} + 76279149020474718490266018790432255t^{22} + 15920435484156781082477000411464293t^{21} + 1010850506117905853761646300463782t^{20} - 697882997692700932748848260870183t^{19} - 337085235194011416122945236371794t^{18} - 89547434449125355367189821245168t^{17} - 16908711515271893591532392353200t^{16} - 2414157460823720458943709271045t^{15} - 265325529990008059536312920319t^{14} - 22439302763500120495535844175t^{13} - 1440592086473741785747760562t^{12} - 67596932929998233806994851t^{11} - 2019609750513991255378491t^{10} - 7017577421053074348209t^{9} + 3050986153993943460138t^{8} + 148422509430883850090t^{7} + 227655481209044208t^{6} - 236243101252788452t^{5} - 8192685567047738t^{4} - 95263652548926t^{3} - 1097733345987t^{2} + 576372583t - 3796416 \right)D^{8} + \left( 4t + 1 \right) \left( 5t + 1 \right) \left( 29t^{2} + 10t + 1 \right) \left( 34393696287536063904804121024288830969630720t^{36} + 131540585747729873304137425918496846227398656t^{35} + 230528060614766181625947233800242584447996928t^{34} + 246595571422695014229718130708606075511045120t^{33} + 179848318903764023564950555396120694047627040t^{32} + 93941117798708767221693066159447191992946880t^{31} + 35482518641944421982850977575131751625488944t^{30} + 9251113774525017119066706286052950847894508t^{29} + 1281325756524282187891436452687106982552152t^{28} - 154651290234423002539238531443211129084055t^{27} - 152873660466293389479096371655834633964184t^{26} - 51715116936384062918311346491054784343453t^{25} - 11883382030308095249932826392021146515852t^{24} - 2102065141326999828041810101339098825414t^{23} - 307197647325238997246390686180265725556t^{22} - 40090449328443171565536434784582186065t^{21} - 5068873136865970807939390297263152568t^{20} - 639206794377755287863339255260855732t^{19} - 76661172696952331294162652374602184t^{18} - 8151285068005431405446795450098573t^{17} - 725934271398613838979429350513212t^{16} - 50800150380466102341353505172198t^{15} - 2422092629438607771874586603716t^{14} - 35283540553152300890787386962t^{13} + 5428286592066686928354170968t^{12} + 526510719454355597468132015t^{11} + 23955786880659062510822812t^{10} + 521516195375260650177383t^{9} - 10165354914338492570048t^{8} - 1389499612029799285148t^{7} - 36071968978365498184t^{6} + 1120210781986862811t^{5} + 67975322601506256t^{4} + 679456982470036t^{3} + 8871964316724t^{2} - 4429435345t + 22778496 \right)D^{7} + \left( 302549881676025575482593584610327416429518233600t^{40} + 1372251669433854608512792768795093675803746693120t^{39} + 2906756184658655105796626366193552342344995919936t^{38} + 3833640546966017349433554502541551068900560534656t^{37} + 3529987406389359239364605198383246235995121703280t^{36} + 2403935590273414367335853893733413824403692613728t^{35} + 1245657607956779023327828437311345439097741010160t^{34} + 493680151026698065541051462518776400619384744056t^{33} + 145438061024925837029835968243583914625519329612t^{32} + 28032188053646457626590050769420956759255449200t^{31} + 1010792883725668332584049443186052103004249547t^{30} - 1721515590756606692207920017686276788155341283t^{29} - 827998731846861034106484974889518559053522482t^{28} - 243048448848502039122365596551650064559768886t^{27} - 53644238231670913948052059316536999114017155t^{26} - 9452953763926623610928664594206525742921011t^{25} - 1364645095062978478422513968484647500378217t^{24} - 163873422881916451657602097182141505576181t^{23} - 16605122286950627628494628404599260705613t^{22} - 1448044429277886328006385932388689747745t^{21} - 111990438484991302860014554299100858279t^{20} - 8032153393926459621519525346572803183t^{19} - 572657402722611246790718418413518815t^{18} - 44874641018192745536755142599569679t^{17} - 4081294249836678050234293679987120t^{16} - 392158803771395338558798469910244t^{15} - 34253576118100482739043467614661t^{14} - 2469016487453543355546144461267t^{13} - 139799864883411227160301197848t^{12} - 5965575324935292809837383952t^{11} - 172964966301375750822313597t^{10} - 1728685047683895611430281t^{9} + 126886543591466019133065t^{8} + 6131633600665143940701t^{7} - 19769858902133864541t^{6} - 9635071228810602661t^{5} - 278735929411248955t^{4} - 2576092371768287t^{3} - 23145016813293t^{2} + 9893123983t - 49353408 \right)D^{6} + \left( 2513491324693135550163085164455027767260613017600t^{40} + 11223736661786150457585404038819319409103465717760t^{39} + 23366390380306568612846095627984584257077243779904t^{38} + 30247502545650635526298260903383440956682106761856t^{37} + 27297899595341434388429535891961545118194193767568t^{36} + 18184038515911760712765311398017336944189075257920t^{35} + 9185022724694907277192914058125955570502338539216t^{34} + 3523475321731910918925950994573006129163582666960t^{33} + 986713472786667098156908726370009587924575712772t^{32} + 168071669631836492831558671739016934528755001928t^{31} - 5206837902573472930699479193711948118803419161t^{30} - 15833011653992394106515779401898695500879602897t^{29} - 6683870878393411448410056685107361487533539836t^{28} - 1861743171119441629153454963911745476638676212t^{27} - 396658737068021578459648394648625691707974133t^{26} - 67678157892242292837166025102805930146159969t^{25} - 9406718587213107709907739293799606641019461t^{24} - 1069413766168874083092498772374868596809745t^{23} - 98897273640117985738876587264464709913471t^{22} - 7299292830493263098118203475257008610175t^{21} - 406468196615882691654366849202407476851t^{20} - 13291572175938935827475732997968727635t^{19} + 409441053582304489915315484932012907t^{18} + 127593106629528381059796750639579921t^{17} + 15944439665364532578363345977080814t^{16} + 1574498134343773684099123087804558t^{15} + 130168595954135062296341752624225t^{14} + 8757260912375962490354035399089t^{13} + 457233946277620640587448344332t^{12} + 17410965022611403216149691508t^{11} + 422538485442343811986743431t^{10} + 2320970258776690022417699t^{9} - 314693782525959101563001t^{8} - 13799870048270582901641t^{7} - 85855905347934735581t^{6} + 11825596798073240355t^{5} + 352615650452223743t^{4} + 2933805065321847t^{3} + 24315922719143t^{2} - 10223854279t + 45556992 \right)D^{5} + \left( 12439454750448897699649713151863077237044422758400t^{40} + 54823576980079625815484694845228633753944731637760t^{39} + 112460803578177556329666944781059149939497641245376t^{38} + 143244376717845213488731174744121977011764160092032t^{37} + 127009705126823719716822735010037526195472550265136t^{36} + 82944726858664854775447329230262364861195185379344t^{35} + 40924008838052380643643322936654213596472636712112t^{34} + 15219157565350464743253134047358772338705406295228t^{33} + 4049145071256565829921193744466785554908128582068t^{32} + 595237587731749042612937169282343114961783009716t^{31} - 72245840194245120584952838014977172912215370750t^{30} - 82235108061560315460358940276041425844269130797t^{29} - 31797206462766423081382523113150053666362751307t^{28} - 8505622898498960253539664520622654810313196823t^{27} - 1763835012920599871356749751910381880288890327t^{26} - 294580570780839811703435273544512607491111795t^{25} - 40191315958079597605304879913934029518154239t^{24} - 4490721802525909086953592196990433345519003t^{23} - 408085807805020824132736632741727456433767t^{22} - 29561883707850296113931029169315071051619t^{21} - 1625197112412450747602569027282078166023t^{20} - 58627087253335601562961090574090988971t^{19} - 516002484780580703130776769718212399t^{18} + 65426866404427672709653568261750480t^{17} - 1480059587631688209840922158170210t^{16} - 1056408609038311505252808449801800t^{15} - 129776973417376123009957920764326t^{14} - 10008708938098269755185588459241t^{13} - 573089790625860005110378224215t^{12} - 25969382204462824522516556681t^{11} - 942872971230045704915366317t^{10} - 25827913510041097145431919t^{9} - 441362203836817560666207t^{8} - 2271127929471815258637t^{7} - 4140414967656182073t^{6} - 4547486338865782195t^{5} - 151460888674900795t^{4} - 1144801728248297t^{3} - 8813017961913t^{2} + 3702210658t - 15185664 \right)D^{4} + 2 t \left( 18641727324807421997042881636374789273849546547200t^{39} + 81275252173233792728860072913876823943958647244800t^{38} + 164674022381949181120124850302619800855748912258272t^{37} + 206897558576594423646995079237463160168195746753984t^{36} + 180682909684707090145132034817044605890658476762872t^{35} + 115970015076516455649689622587475700835412883524624t^{34} + 56030024061778326928441988288329630481468036214504t^{33} + 20248211095139761138179396636228739103074740535880t^{32} + 5122783752829007596431617754727553624895838680616t^{31} + 631451004327420714251787086201550289273530512692t^{30} - 156302985536194766077616345849197069524760073104t^{29} - 125831780284477007869259550108761536049699204113t^{28} - 45680036604059410265445669626499308575985237107t^{27} - 11828276815254146690825131288153612094674307073t^{26} - 2397854515158063887520065404610155861952868681t^{25} - 393430253870195440128383163324386015461835734t^{24} - 52933964669120096671762777545149921661901216t^{23} - 5857794294467657567519426415045851212935519t^{22} - 530687468615895839314823783162524055797277t^{21} - 38784763705722798665992897673323005531918t^{20} - 2206802238645149465818413891264271670108t^{19} - 88654643569796859297495301190103007363t^{18} - 1602773902100405910528730385584014917t^{17} + 73766239015746986049229325857221951t^{16} + 5947735739617252153898104707940285t^{15} - 39735650502582223743723478573663t^{14} - 33181649401607987193348316914325t^{13} - 2960698968236707284267982862646t^{12} - 170397465621535288456493768322t^{11} - 7750240585382628641538491492t^{10} - 286887142404636911921255342t^{9} - 7872347607370578278228885t^{8} - 140931429378820293722389t^{7} - 1717948874800053694534t^{6} - 26063074727509146874t^{5} - 466638199015388223t^{4} - 3678571530102527t^{3} + 8828881121376t^{2} + 1899902680t + 7311616 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 16363737281638665328894635800599961418644877209600t^{38} + 70727276716707040099128856174410136220184401336320t^{37} + 141870959243605670043304848003751321225436566617216t^{36} + 176253679653103244913774469169118451073561515585536t^{35} + 151988652915423433738228251538990188346642006333560t^{34} + 96136162278908861903517926573231452959893768902272t^{33} + 45615461810221213084378542902827773628834926705240t^{32} + 16070506272127042884160696857387458341705200898564t^{31} + 3877483116106221255079279148598730623604520732164t^{30} + 387965846803381201657069714153926149378380915540t^{29} - 165984530155036144607658219326078827469954208508t^{28} - 111121198791046781758346282613160378273890685126t^{27} - 38510013213015365746716343490411838555026528020t^{26} - 9714428192033227741272379278941414465252953710t^{25} - 1931949300555557843210967894928397751691511970t^{24} - 312110223793580807943574262291044218918021013t^{23} - 41468461443038447564241862569481687408016943t^{22} - 4547423362519346005708969398732946813777003t^{21} - 410347121795968207293555707205713287785255t^{20} - 30132030354245265697228057108964787384486t^{19} - 1752336401698899311431932439579021043620t^{18} - 75354283112311768320049770254164099796t^{17} - 1910621508639456404038621014438213152t^{16} + 7354808038089147209559547297197731t^{15} + 1729323811837748539121443414237085t^{14} - 154465362667205196574027261669486t^{13} - 28411303556802610271274232601938t^{12} - 2146667345215037822212470589127t^{11} - 108479896618926551540935181703t^{10} - 4229392544672532952279301204t^{9} - 132238566913943147716024640t^{8} - 3058234965274210608404606t^{7} - 44860556483944488976826t^{6} - 400991283651969297905t^{5} - 4831641384151156125t^{4} - 129511150683214405t^{3} - 977963340386101t^{2} + 516925163248t + 425198592 \right)D^{2} + 96 t ^{3} \left( 632528736141361161929268455737525175557316966400t^{37} + 2715700479658021587462100838488234654022969264640t^{36} + 5404993603335684288427494389076433510932601505496t^{35} + 6655805695986476540126400238505097820095246242544t^{34} + 5682164661943472502990472881377714045413343677052t^{33} + 3552037049046768042226713590840375643226961186496t^{32} + 1660646178290500485947958888307234542607726528952t^{31} + 572670731235602901752719565145248428578048157298t^{30} + 132468941526516692396088533137371880820288122764t^{29} + 10423262542248971507216713556954409348115126809t^{28} - 7162562184426543386856771916097847881993522983t^{27} - 4290152105274473663877539191513743711805368397t^{26} - 1437155613373609122215883233677804177748345409t^{25} - 355201620832966767448187175204373234565470092t^{24} - 69546860491725375977466572295321630668716074t^{23} - 11089956357644169271793363219258899324735122t^{22} - 1457438281070609247165404332052004065135570t^{21} - 158478654572461369673244084948347618375775t^{20} - 14231707676459851331448550841079568718193t^{19} - 1045925316696579618701696925993453621725t^{18} - 61485436692249937096900487046915110577t^{17} - 2734321498424004354963034038923088925t^{16} - 78794963266625856734102772233711441t^{15} - 706085605139415917893775508476332t^{14} + 2252975220497693131930567724182t^{13} - 7887428737007798575944741082144t^{12} - 1031381195254460068750772287290t^{11} - 70015489046485477163377911869t^{10} - 3193758376463170915200288221t^{9} - 108878753042933901281677673t^{8} - 2885660234702048394909437t^{7} - 55224562846260271246810t^{6} - 636722827760497797522t^{5} - 3728729696580496970t^{4} - 10923911375777146t^{3} - 1018614580168783t^{2} - 4903120302775t + 4181840622 \right)D + 576 t ^{3} \left( 38788446368721227625973536488503514926861312000t^{37} + 165739732681580861778798456981755099891704755200t^{36} + 328013493255374389420806125376158944828566198480t^{35} + 401332458456676163521828470175649762312881919520t^{34} + 340107814499016936586768323555198466305516052384t^{33} + 210758669941128728874125035952938739760819703392t^{32} + 97441626762121841875162742230042649984902042264t^{31} + 33053107809309730057351097532714430306329612168t^{30} + 7389359688489720613860239624125869200402935988t^{29} + 449529486682785606550168254371351181801022954t^{28} - 468803005561787552120017128902035713504838246t^{27} - 262148504118421707937422484219612201728577678t^{26} - 85760643361886077304627128526694943315047568t^{25} - 20881541127709443395553241990792059553390728t^{24} - 4040603758703996822400277397238065860981104t^{23} - 637836024241114816390049033807752977081859t^{22} - 83094645113830720504115071202451873650445t^{21} - 8971405385129451053212961018726766505253t^{20} - 801753264623992441660952065231621548621t^{19} - 58832086156498446558536927285170210640t^{18} - 3470524899603167896230692470028964182t^{17} - 156355379318671270014684694065608732t^{16} - 4710671532329072063605505188785560t^{15} - 60768544149719958705053162119321t^{14} - 995587542708883036723113334415t^{13} - 469190585392897856111083259744t^{12} - 55418271847065980544189195584t^{11} - 3549394480416568780257530581t^{10} - 150376949648720883867469669t^{9} - 4584315908596692821712984t^{8} - 103096582795133372669348t^{7} - 1540751105706500634926t^{6} - 11135564968248197770t^{5} - 26604465044966269t^{4} + 305799149998155t^{3} - 9189485343663t^{2} + 160071403401t + 22668984 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ6P6

|λ| = 23.7777 λ ≈ 23.7777; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 15.71449; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.753903 - 3.969126i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.753903 + 3.969126i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5 - 2i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -5 + 2i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -5; multiplicity 2; Jordan blocks 2 λ ≈ -4; multiplicity 2; Jordan blocks 2 2 2 2 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$23.7777019$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$23.7777$11
$15.71449$11
$3.753903 - 3.969126\mathrm{i}$11
$3.753903 + 3.969126\mathrm{i}$11
$-5 - 2\mathrm{i}$21, 1
$-5 + 2\mathrm{i}$21, 1
$-5$22
$-4$22

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda + 5\right)^{2} \left(\lambda^{2} + 10 \lambda + 29\right)^{2} \left(\lambda^{4} - 47 \lambda^{3} + 700 \lambda^{2} - 3984 \lambda + 11152\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda + 5\right)^{2} \left(\lambda^{2} + 10 \lambda + 29\right) \left(\lambda^{4} - 47 \lambda^{3} + 700 \lambda^{2} - 3984 \lambda + 11152\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 8 & 48 & 12 & 12 & 132 & 348 & 160 & 192 & 992 & 1040 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 8 & 48 & 8 & 8 & 120 & 336 & 144 & 800 \\ 1 & 1 & -1 & 4 & -2 & 0 & 40 & 56 & 0 & 0 & 216 & 32 \\ 1 & 0 & 1 & 4 & 2 & 0 & 16 & 56 & 24 & 24 & 144 & 160 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 4 & 4 & 4 & 40 & 56 & 56 & 216 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 16 & 56 & 16 & 120 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 3 & 8 & -2 & 0 & 40 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 3 & 8 & 8 & 40 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$