Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-125-32-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ5P5
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9
Bundle
E^(w4 + w5) + E^(2w2 + w5) + E^(w1 + w5)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + O_2(2) box O_3(1) + O_1(1) box O_3(1)
ZL62 label
13050.wLx3A7w3
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;6) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;5) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 32
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 125
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -20

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 125
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 122
$\mathrm{c}_2^2$ = 120
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 26
$\mathrm{c}_4$ = 29
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 21 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 20 0 x0 + 20 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 16 0 0 x1 16
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 24 0 0 x1 - x2 - 8 0 32
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 27t + 69t^{2} + 27t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(543)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(580)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 473625t^{9} + 1670400t^{8} + 1921540t^{7} + 850568t^{6} + 91310t^{5} - 15029t^{4} - 4032t^{3} - 224t^{2} + 10t + 1 \right) \left( 754328651082365224259697515400000t^{29} + 2180204482929715750383622995660000t^{28} + 2792723332435196760759953192403000t^{27} + 2255182815010404206230704888419900t^{26} + 1554912590770365046861027255324880t^{25} + 1125026771361956201649443595651576t^{24} + 757611863694837460059558868275898t^{23} + 402210291590216321674614514694118t^{22} + 162272789520027945604306349208630t^{21} + 51117861136574350903792890272820t^{20} + 12646034850370969792328348078403t^{19} + 2138183346661450006984134017574t^{18} + 57650138355137909442011715286t^{17} - 99376850734482478062237987265t^{16} - 33879299673262786497035078744t^{15} - 5838302311076392423675244897t^{14} - 561806464764573410335932271t^{13} - 25350362091167549567947346t^{12} - 314233190552409270163020t^{11} - 93406550529482343267135t^{10} - 19435903511304702159708t^{9} - 1416676294271732518230t^{8} - 27853416236603622049t^{7} + 1293360415960967531t^{6} + 55052164746545887t^{5} + 551056814880190t^{4} + 7851781771646t^{3} + 55717549530t^{2} - 79171482t + 1344000 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) \left( 25723361330559736512479944972655400000000t^{40} + 182382043621275626778486673478252820000000t^{39} + 577971503065520632700542457024200357500000t^{38} + 1097785327708947123624431566413593380350000t^{37} + 1426300693726845575788793335498126993140000t^{36} + 1398826396548415807269091005788343271521000t^{35} + 1146067541956680179062560000190938162768600t^{34} + 858320318281336815154157385231771320977930t^{33} + 602345024399945477186297937469660560751158t^{32} + 378944970919921754757031174619162712460850t^{31} + 202745532974165214050766187436816443245006t^{30} + 89853574653427502907238213498475542548713t^{29} + 32793159353846502269309021311663806382105t^{28} + 9793489733327883323257697672613648815826t^{27} + 2299371118805363598143700794820402032844t^{26} + 360176211023981075742215146835632433558t^{25} + 4250197187497036716608720761917608095t^{24} - 18755438594019850526495559847022489208t^{23} - 6704567695314831519868067492653023359t^{22} - 1353077932292641195914626101583559314t^{21} - 173339552588628471982060306195991901t^{20} - 13278396011726537843769477656904679t^{19} - 501402651609744743375380023384485t^{18} - 17476560943700061308950554563318t^{17} - 2641065746196312436873232920977t^{16} + 326300077029576533775338588639t^{15} + 154676071392306933255656657914t^{14} + 19660446424122905653264543865t^{13} + 1212582372876409677936905945t^{12} + 44706162385590664860322015t^{11} + 3150077970392122946644839t^{10} + 355664427545514562574183t^{9} + 20079361583641748187077t^{8} + 244255352396184556285t^{7} - 19073947525516438927t^{6} - 635064719183757091t^{5} - 5771407556016326t^{4} - 71568640689594t^{3} - 446903329794t^{2} + 567640374t - 8064000 \right)D^{7} + \left( 780275293693645340878558330837213800000000t^{41} + 5376402573323895491463954666664908300000000t^{40} + 16731161428233569349305978894912032818000000t^{39} + 31535925441845921887127848042347768883500000t^{38} + 41121473959659045746300214752386553271900000t^{37} + 40959584601561613295762269918335182144925000t^{36} + 34419820707351435396140312271224128962024000t^{35} + 26535292293588031825661836035165246365884860t^{34} + 19156005144627386094567200212418827442862750t^{33} + 12426713502088714462370480700179240440525318t^{32} + 6907463337937397341050477799289334883255822t^{31} + 3212835780117555437885696342163909084455008t^{30} + 1243651028125688680208136840146132530416847t^{29} + 398409425010873721909725756577712070302185t^{28} + 102239495335517634269637746574205328301488t^{27} + 18581273863292269588398608837761272323698t^{26} + 1072531717711297064489480027058881477262t^{25} - 745081480009568308555620260267551256147t^{24} - 344826385039271336230826363746324461706t^{23} - 85895542888016301587281476259108785273t^{22} - 14422724055764323084640035355072546464t^{21} - 1684754452799790350277358210915269599t^{20} - 137379776156860506025311498078365347t^{19} - 9184371496034153628179852728287155t^{18} - 963732963352031505544025090857652t^{17} - 154003190800229104559413740513461t^{16} - 20032428295572922237007501015037t^{15} - 1805433412511777135676919028236t^{14} - 104474031972153862702273247213t^{13} - 3228655018924100262659739209t^{12} - 73302362596279586619707735t^{11} - 13958165055361785093713571t^{10} - 1758543798142271271321039t^{9} - 99616738179858562595123t^{8} - 1759104378888967937683t^{7} + 56183760636297239303t^{6} + 2197026869445557329t^{5} + 17583860948921350t^{4} + 192577668722078t^{3} + 1132626471954t^{2} - 1433585658t + 17472000 \right)D^{6} + \left( 6482287055301053601144946133109160800000000t^{41} + 40862656097859952009567241707092678720000000t^{40} + 116502653088395238499599547995203619999000000t^{39} + 201791122221772821042243844803446842888200000t^{38} + 243877689862624006817812855455701271100470000t^{37} + 229771417311034462067000847476620395328488000t^{36} + 188628586048873737717232118974229399596605000t^{35} + 145477457032816690096309086137831820790535660t^{34} + 104509340703867173112610236654003706601545594t^{33} + 66073021397765021603390408740385993997427198t^{32} + 35238501597342126638236699089123469894602074t^{31} + 15636987443450365315305960220720740857306872t^{30} + 5769578694252520216800724750969300464336793t^{29} + 1750420887591049051212230790539234400077263t^{28} + 411900840709410147908367102721159612837506t^{27} + 59361948256440829169936968890152331940930t^{26} - 3650726706831449403939970155560704335158t^{25} - 5467914440293967404601729447937669821861t^{24} - 1908709870409034618124178539809775030252t^{23} - 419888703864868632111902232195612639861t^{22} - 64510219586868018922609285646743723274t^{21} - 7001619772630798898020748537402717825t^{20} - 535539554818399265452620066354371171t^{19} - 32035770208711706936522460593700069t^{18} - 2279101186067729863261669049777726t^{17} - 193388916896251859807754612662429t^{16} - 6404567934544133461474547763125t^{15} + 1084547313400097434428674975684t^{14} + 144022041419593391180810972217t^{13} + 3803565164072768374023755041t^{12} - 379727068106925779065856069t^{11} - 18905991668307884647005761t^{10} + 1454597800903705993986135t^{9} + 160077282855071548670245t^{8} + 4176519186286544508995t^{7} - 49857372878803498713t^{6} - 2979008674547804321t^{5} - 22795919924708318t^{4} - 209104325362998t^{3} - 1109931072798t^{2} + 1446949050t - 16128000 \right)D^{5} + \left( 32081318806096418053814571371730059700000000t^{41} + 186644010313166666898338923574677571190000000t^{40} + 492178479445703061846498793263589288291500000t^{39} + 791501262033542416629366229236936414146250000t^{38} + 897067198789350356268450010643769423594705000t^{37} + 810406266683928745154205884947641585192478500t^{36} + 657534823644872069048303646934420874900535900t^{35} + 508153708290696432557504367760486388336954820t^{34} + 361084016942041491538775016343691460459148944t^{33} + 221545854187389794545626055511969509598522410t^{32} + 113492024652815432518839624503693348894997022t^{31} + 48285990413138829909469540528819330772652370t^{30} + 17080771523710267537272900586670309878611466t^{29} + 4919114964346308138005462837761401041002204t^{28} + 1049639797751049368079989484664756458581396t^{27} + 103997451136666030057154652414327638884405t^{26} - 32321229444098141062647765107567036803341t^{25} - 20464418471489992176382795259680586812949t^{24} - 6051412153187272382168404353998086384645t^{23} - 1189580109933868128026281977671649886644t^{22} - 163376205692058766433986996707495902755t^{21} - 15402318421037013733985820465594098006t^{20} - 956581636798948087605113077630018012t^{19} - 47798708479744607322003119563976423t^{18} - 5592034421517578349480568060955777t^{17} - 953006944229304177403939846462910t^{16} - 109588476968921388063308608093809t^{15} - 7943402243222894563978184156026t^{14} - 317750165669909499826653777890t^{13} + 1205916401302605450433159714t^{12} + 1132996596746757315004559758t^{11} + 76368047521265513455997448t^{10} + 1919253257601671216110620t^{9} - 38358426702007543675166t^{8} - 2526931818586485468847t^{7} + 2505976303930474733t^{6} + 1294127523297260152t^{5} + 10798578664570174t^{4} + 82540846709954t^{3} + 363651257418t^{2} - 504133212t + 5376000 \right)D^{4} + 2 t \left( 48076962326816147541825017153892942600000000t^{40} + 260675990412171810980105687858030837880000000t^{39} + 642132255640748514345400011975873184545000000t^{38} + 968618402108722101826288054047713538884400000t^{37} + 1040859031467481909864198616625539406708810000t^{36} + 912043828584374788712908211572058209322805000t^{35} + 736881854133734085170220716736157536907309200t^{34} + 570006470416462845896268090348591862954320820t^{33} + 398998713590431313422861177962913076800196840t^{32} + 237480112504166825482115266032662955433678292t^{31} + 117307929106399363066688363662054227490034860t^{30} + 48151654454957249152475700486086485782135860t^{29} + 16425370614807974447716976742748158017994830t^{28} + 4497658512792621313011527898964338817487594t^{27} + 857380616026616275471257402248328341599938t^{26} + 37324895026950449682871323333875737767875t^{25} - 48648882545393490307424139480641026036507t^{24} - 22711542990358894132412871029142926210905t^{23} - 5969627419703178566211784899974302181399t^{22} - 1068588599953613951801820553904819806380t^{21} - 133225617357911536769504972518435385701t^{20} - 11219754041816789822014454571230852110t^{19} - 625272883134643158299900505326720014t^{18} - 37781591330240527202254041321758961t^{17} - 5892930949476635574732247600893253t^{16} - 861188079149980378525240975917100t^{15} - 74818192630158345879705022976803t^{14} - 3208641045269204010905378753948t^{13} + 21107563048919152982749578930t^{12} + 10293073265363864284384268852t^{11} + 589265001348296759754493172t^{10} + 18108592926967130803116530t^{9} + 279696098457891068166768t^{8} - 801343476427389922402t^{7} + 25696622454432121879t^{6} + 3992674362763894935t^{5} + 43585116414220904t^{4} + 124163617066556t^{3} - 1198241285238t^{2} - 794004414t - 865536 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 21101016207021099415279034860763517150000000t^{39} + 107772205875056250028303309016359758525000000t^{38} + 250576456778768479669629513393704019005250000t^{37} + 358152288836457067865777231976632913707625000t^{36} + 368604649580322385646179206925911705646087500t^{35} + 316175076973102306175998936276672945500617750t^{34} + 255449039662214679759665525412618297305156950t^{33} + 197407371922214228199523723456721538207080580t^{32} + 135889954415578062320451845325743414792001922t^{31} + 78623285394818964402919318751777467865518431t^{30} + 37641603416988501724846243603019292189798621t^{29} + 14998817006884676935164546874629929181829305t^{28} + 4958490607910514954325729515884349950279671t^{27} + 1292401187754261836665363090037678378105931t^{26} + 216205315702609651280623534833662980888300t^{25} - 5669576840318390171509147325738094477717t^{24} - 19077320104071424449500740739376641307381t^{23} - 7494116759693999948777963280286988286198t^{22} - 1796803917018581792790736240581017678869t^{21} - 296437142097800401033014497902702954569t^{20} - 33809769076957488036155356200471753826t^{19} - 2560043156802071911753602865781964346t^{18} - 131925264018461047931309206760270709t^{17} - 10393425468897040585543295710176600t^{16} - 1842303396639881302894368511741061t^{15} - 240666082007314358329814615207667t^{14} - 17817615010241726636101592457550t^{13} - 530120722566055673403540609294t^{12} + 24045191258044764235980129591t^{11} + 3006445517291451434387617921t^{10} + 129105432770509180304884293t^{9} + 2778091712263950396949455t^{8} + 16771189054974214938582t^{7} - 342054349908963198914t^{6} + 17564710924924842972t^{5} + 853827042646272882t^{4} + 6406980563833024t^{3} + 7764244072392t^{2} - 158711751252t - 37632000 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 3262579662092659914332873020698459900000000t^{38} + 15878659544624468023131202926265316160000000t^{37} + 35226020226309629362762537309804821184500000t^{36} + 48195603198034228864662619334847861911850000t^{35} + 47949595080105376157208432232181327399835000t^{34} + 40545208173001044100482475529129759458935500t^{33} + 32819977265642857953554576884393911112074700t^{32} + 25299820649141461607391936174213643545154680t^{31} + 17133998710745549090886013544552567710630384t^{30} + 9672185184183126558626005582072149683575632t^{29} + 4512866112975646943485379814355934433018636t^{28} + 1755577145429875345548608645424096194799262t^{27} + 565000065528132771382787940710908920834096t^{26} + 140442845870560612845395702489362699900017t^{25} + 20238930047140673607607376030966502896655t^{24} - 2324409042669893142521712592744754121189t^{23} - 2578054126196106152491305957079876470903t^{22} - 903243354971940504486788800123474966180t^{21} - 201307244045665181217479658937722431371t^{20} - 30994853085478110251062286038840161942t^{19} - 3273100063602777210467424845014851124t^{18} - 226972137890222865982209761578451905t^{17} - 11538172950501675720124970526933957t^{16} - 1185835582711111715068966612786544t^{15} - 209555409384817503954786142168159t^{14} - 24310847339792362454517547447020t^{13} - 1534117742225919220544595270396t^{12} - 26552056175839684973520676268t^{11} + 3321867102279088425436387278t^{10} + 271162193037711097588642272t^{9} + 8632694410288623012052498t^{8} + 88785879159241251355560t^{7} - 2109642937402678284591t^{6} - 18149651606847409059t^{5} + 2615987682905062752t^{4} + 65201433205255602t^{3} + 327124578437202t^{2} - 582983386278t - 8503078500 \right)D + 576 t ^{3} \left( 100035294063287864215199786004771000000000t^{38} + 469740788116048010580052474724007150000000t^{37} + 1005880871241559498366210426215350355000000t^{36} + 1331301276845999618948245733821600306500000t^{35} + 1291553449003647990722554007542803350370000t^{34} + 1082105672124501615042519291425329863061000t^{33} + 877979177613637584755309205354761343263000t^{32} + 674748796658175763240166495878791802776360t^{31} + 450592839445509851868966966853423923790040t^{30} + 249364390832401306148107571458967046504600t^{29} + 114038506233078311324701743590660438304600t^{28} + 43546264092576510116239051776331099273580t^{27} + 13708483422917366282708277767467876335744t^{26} + 3264443780270870976331929484302474346794t^{25} + 400100751401083753322033044893363097134t^{24} - 89941603480292141225315186790502013436t^{23} - 70154058529622248248171623122417918032t^{22} - 22702004434924192430661077811471626186t^{21} - 4778993590231856738245964643972230660t^{20} - 695317246942558287828053358123645846t^{19} - 68863350741153419180341618776951248t^{18} - 4459832941845773155651597740468707t^{17} - 235677026077852892858844271109481t^{16} - 29498780715143606352931271885071t^{15} - 4949313499235734696820620338653t^{14} - 514793584621823206051827358005t^{13} - 27629895295838717961187986042t^{12} - 120508297676245398437328739t^{11} + 79469652880464838037103357t^{10} + 4717534152173056670832909t^{9} + 93014150762467932430952t^{8} - 1301647584342888207096t^{7} - 92833466870705812485t^{6} + 97390722043609785t^{5} + 69738558545992995t^{4} + 1133420331589281t^{3} + 3679884601524t^{2} - 22866370380t - 102060000 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ5P5

|λ| = 17.41245 λ ≈ 17.41245; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -9.042986 - 2.097633i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -9.042986 + 2.097633i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.271544 - 3.950117i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.271544 + 3.950117i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 6.271023; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -1.24494 - 0.2703725i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.24494 + 0.2703725i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.5645269; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$17.4124455$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$17.41245$11
$-9.042986 - 2.097633\mathrm{i}$11
$-9.042986 + 2.097633\mathrm{i}$11
$-6.271544 - 3.950117\mathrm{i}$11
$-6.271544 + 3.950117\mathrm{i}$11
$6.271023$11
$-2$21, 1
$-1.24494 - 0.2703725\mathrm{i}$11
$-1.24494 + 0.2703725\mathrm{i}$11
$-1$11
$-0.5645269$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda^{9} + 10 \lambda^{8} - 224 \lambda^{7} - 4032 \lambda^{6} - 15029 \lambda^{5} + 91310 \lambda^{4} + 850568 \lambda^{3} + 1921540 \lambda^{2} + 1670400 \lambda + 473625\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{9} + 10 \lambda^{8} - 224 \lambda^{7} - 4032 \lambda^{6} - 15029 \lambda^{5} + 91310 \lambda^{4} + 850568 \lambda^{3} + 1921540 \lambda^{2} + 1670400 \lambda + 473625\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 12 & 14 & 18 & 18 & 54 & 30 & 96 & 48 & 192 & 240 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 12 & 12 & 12 & 8 & 36 & 18 & 45 & 96 \\ 1 & 0 & -2 & 3 & 2 & 6 & 14 & 16 & 18 & 18 & 45 & 72 \\ 1 & 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 18 & 6 & 27 & 15 & 36 & 24 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & -3 & 2 & -1 & -3 & 12 & 16 & 6 & 18 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & -1 & 2 & 3 & 18 & 6 & 24 & 18 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 12 & 18 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & -2 & 6 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & -\frac{3}{2} & -2 & 1 & -\frac{3}{2} & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & 3 & -2 & \frac{9}{2} & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{4}{3} & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{4}{3} & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$