Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-130-33-f

·

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case K3-46 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ5P5
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9
Bundle
E^(w2 + w5) + E^(w4 + w5) + E^(w1 + w2 + w5)
Bundle
O_2(1) box O_3(1) + Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1) box O_3(1)
ZL62 label
13050.wLwAx40200
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;6) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;5) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 33
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 130
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -20

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 130
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 124
$\mathrm{c}_2^2$ = 120
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 28
$\mathrm{c}_4$ = 34
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 1 24 1 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 20 0 x0 + 20 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 21 0 0 x1 + 5 16
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 34 0 0 1 0 33
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 28t + 72t^{2} + 28t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(491)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(541)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{4} \left( 89t^{4} + 94t^{3} + 15t^{2} - 18t + 1 \right) \left( 3241t^{4} + 1318t^{3} + 231t^{2} + 22t + 1 \right) \left( 7344067109288845912382836224t^{27} + 49337501408280506213096390112t^{26} + 131913506710143973538867618708t^{25} + 189790396901591756467938375504t^{24} + 158176013156321467867430145248t^{23} + 67023575885390945989947152352t^{22} - 5505281096601930805160626762t^{21} - 28130964843109309255007273456t^{20} - 21369992884327423732328985507t^{19} - 10289722204107530424126545926t^{18} - 3721664399508292005783531282t^{17} - 1031130446336022914470896587t^{16} - 189903274592053096291365396t^{15} - 7086475649960663605138411t^{14} + 8370083213401921573228718t^{13} + 2886367419184110803218712t^{12} + 477895847045547868670032t^{11} + 38776707223687424260293t^{10} - 131437721206153951510t^{9} - 370989671927851607304t^{8} - 40303388501670456271t^{7} - 2011032442691773905t^{6} - 2283551179746270t^{5} + 4151406646054163t^{4} + 156262996677324t^{3} + 3146784986184t^{2} + 4370073672t - 147441060 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) ^{3} \left( 152523994579722598649826004270313472t^{37} + 1408523613793671397627744667306980032t^{36} + 5653604624173452167733412357602672784t^{35} + 13230940663751230370627548662666865976t^{34} + 20130479271588971094640923198930457904t^{33} + 20655618648172806961752615869715018688t^{32} + 13835369818857068123091836443379053960t^{31} + 4660931779423680602313235851242880852t^{30} - 1452590664974534822668188673108080704t^{29} - 3194139260063009870418625034183882364t^{28} - 2449680049520227565389642161655754012t^{27} - 1266923884608813725030533327235761996t^{26} - 495647691338067856451500358788985403t^{25} - 149204900808666186223624919839718841t^{24} - 31629807903422220301457522613324083t^{23} - 2579125392530713609945252843767375t^{22} + 1210067709742066579351938546056825t^{21} + 606106563416437257461778843360593t^{20} + 130732957238136501034038479587022t^{19} + 9690381809885395777994906592122t^{18} - 2569940348758824777247661093719t^{17} - 921422372722947965643444286593t^{16} - 134663493044610025116248640497t^{15} - 8876740493114936834737892337t^{14} + 212890961156617998742986535t^{13} + 91210106581960847672708819t^{12} + 7508984490444396511231150t^{11} + 355230859394803774096082t^{10} + 32398250102069342491711t^{9} + 4917935458294059579109t^{8} + 464789903475967770149t^{7} + 20787773959355025357t^{6} - 153398037742045089t^{5} - 47958709387097677t^{4} - 1562651284530312t^{3} - 28209328618824t^{2} - 36877323156t + 1032087420 \right)D^{7} + \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 4626561168918252159044722129532841984t^{38} + 43292171286799424870099017529568235776t^{37} + 176305781878157045903664767891204580896t^{36} + 420035408118639822902430529161018404096t^{35} + 654091912320059303332542861533276291080t^{34} + 692819478729880834941616390552094389704t^{33} + 486972476361017292717334290082995861528t^{32} + 182988927795988708889263928792840192052t^{31} - 37699579701320763675446395152293428172t^{30} - 114108413813609064420941735335292780588t^{29} - 96868376685920890276855947416105964464t^{28} - 55243837467985072515069769565953475968t^{27} - 24160379089292485055382309057375057502t^{26} - 8386366809430388230743617515344526949t^{25} - 2244033230798759393270326841923107037t^{24} - 397128388503319207902552127534295763t^{23} - 10141105980315116357523533309203573t^{22} + 21056468878104268128768488487242093t^{21} + 7848653564931893653143881126281611t^{20} + 1493112913111933972917009244730926t^{19} + 131028743734916714757808738896972t^{18} - 8910645466352749237623330328355t^{17} - 4245606963332700982919274901471t^{16} - 523005567721498922533941642135t^{15} - 9950722052651660356675822813t^{14} + 6838112775264575903630832311t^{13} + 1306665467021247754599021913t^{12} + 130641290187374259357525812t^{11} + 6674235283445069504967618t^{10} - 85612842874114793207559t^{9} - 42197525736402744154811t^{8} - 3448798236097394569561t^{7} - 145308591151463189339t^{6} - 1090241869459845763t^{5} + 149315228108735223t^{4} + 4851201142536408t^{3} + 84119592121488t^{2} + 90420991668t - 2506498020 \right)D^{6} + \left( 2t + 1 \right) \left( 76872093268180189719512306152237989888t^{39} + 733425685911212529488603156927744042496t^{38} + 3053456656499378854413376306630687225984t^{37} + 7466404365380714167102133191915981254336t^{36} + 11999527088031892632104641135294190809248t^{35} + 13226534974025327872106334456355922789360t^{34} + 9828196325660549038469866149720578834144t^{33} + 4130906609710582280240019393939341511712t^{32} - 413310273123483798394913906234920418548t^{31} - 2273593613045827774315281092983267140136t^{30} - 2135169743196324240975373882428154368852t^{29} - 1319497299577477072037724790755816958802t^{28} - 624740351263165979609940400061293595630t^{27} - 236680564250582170739714596208244128168t^{26} - 70948132204375615343853751382952429477t^{25} - 15380488287272034831911754490411529483t^{24} - 1547037888899777077137977205754614917t^{23} + 429341198469719599582917266833663759t^{22} + 263809191067038349341287924202207847t^{21} + 71995880666139158269160577732445241t^{20} + 12230555939918868482680614714400740t^{19} + 1215072505260422030559930452293382t^{18} + 24886597550407191044798585100279t^{17} - 11973969783206283140743072520851t^{16} - 1857423226430211860085415744591t^{15} - 113763138280421604691665166379t^{14} + 35860521234642196120065081t^{13} + 229788185727436144964522255t^{12} - 46430016519077151587669776t^{11} - 8414755105454526861431178t^{10} - 277402139935501637748767t^{9} + 41425769283473718803903t^{8} + 5207870257307859879739t^{7} + 264598398001018868967t^{6} + 3498057654867918805t^{5} - 182344699886617763t^{4} - 5969242655490024t^{3} - 98273515085400t^{2} - 72510684348t + 2506498020 \right)D^{5} + \left( 760891367626709470464431993303170473984t^{40} + 7440567869140969702165500759518138519040t^{39} + 31869480023375087534133941232225348672320t^{38} + 80533445392274101293686787223314117211840t^{37} + 134532980765805763143309777695528822097248t^{36} + 155467642925609931838106396315118027142944t^{35} + 123132999985098486185257029809997195635412t^{34} + 58385188168087028530825252087076966265172t^{33} + 950517225719857572967961722310506526576t^{32} - 26604846586941770941257868500996650093068t^{31} - 28222931109667755192026971996009455053910t^{30} - 18915709291306086887257295340010024798830t^{29} - 9635762083922027388201023053458069376813t^{28} - 3934498632246406588673099657373199602527t^{27} - 1288582299924430909341074314062123359098t^{26} - 318753787390418782193217325027305558614t^{25} - 46263562669967444874238462228147388927t^{24} + 3927992266743415498652890508975101171t^{23} + 4947575800165804961707344851215766640t^{22} + 1721418632183859402011402795648645962t^{21} + 376546776499079701144606154075071115t^{20} + 55148668335155914447700224633160141t^{19} + 4774588538400951025378516657260774t^{18} + 32908447239034719088677527990120t^{17} - 57013114605580403180635306982779t^{16} - 8867345318683401520983391906381t^{15} - 665798755632379754520181557806t^{14} - 10750732541196578182109635630t^{13} + 3362321127398967062151116077t^{12} + 387842317570621999631520229t^{11} + 17105865642008871138194716t^{10} - 221754697959916370316386t^{9} - 78803285966587117538397t^{8} - 5659837524734462349401t^{7} - 230276209436292940936t^{6} - 3079732805968941766t^{5} + 91243453862668774t^{4} + 2746779214466172t^{3} + 39252997728360t^{2} + 14898629256t - 884646360 \right)D^{4} + 2 t \left( 1140269383478006147506099207924863516672t^{39} + 10906968894214045474041856405993980906240t^{38} + 45383774072064908723260808977234046762176t^{37} + 110811249177663247101481344380600506471040t^{36} + 177762766209056088367350779072581252913760t^{35} + 195327663643053838546184635433051666263472t^{34} + 143790773774160000024795365233905744549644t^{33} + 57638907089564635927615963237096887994104t^{32} - 11342719478854011053613043965114087697900t^{31} - 39526728303312221806783743093197901972198t^{30} - 36729677181378331930322232669058531917674t^{29} - 23080427803573814955019287116320044527952t^{28} - 11226085947052509466129029349228346002551t^{27} - 4391330439021710390050717747107454582165t^{26} - 1361627703547356286277386825683470304178t^{25} - 303910797207852148823351954098892524072t^{24} - 29184020883075608655163252289638964898t^{23} + 11422703880467356098362076646951111920t^{22} + 7119598013751773592850465539857249504t^{21} + 2167622770026987130648237058198414378t^{20} + 440345310438896578454716401064272683t^{19} + 60709803260881065945699399022636319t^{18} + 4842552663840976579309554059315194t^{17} - 33383379956656699016298920488424t^{16} - 70410348428060108687105392762226t^{15} - 10714226316816511775127441217398t^{14} - 892680359383178943202238641988t^{13} - 37675746578321223263696644744t^{12} + 429635901952589535471790801t^{11} + 145576253142561025894654797t^{10} + 6744505038922092194233342t^{9} + 62078346789834028682510t^{8} - 4678568602414147015448t^{7} - 134240210266880456948t^{6} + 6566877928167783930t^{5} + 477746188908423648t^{4} + 7258727153156184t^{3} + 49703307766704t^{2} - 137787500952t + 217759104 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 1000930240874175124606224829357028253696t^{38} + 9404285903975040172949955046892373181440t^{37} + 38204972566823744062990066940602088978752t^{36} + 90634908313640804830911582016696804953664t^{35} + 140462708753287676568770884343966064743520t^{34} + 147685341666736137788478620029861959681456t^{33} + 101594881439646800389156393159287122779500t^{32} + 33689880491916266720655970570967042819464t^{31} - 16109396717836476808213749482972542316332t^{30} - 33289234648508404667037283719125520681184t^{29} - 28290099060230273986881390274499617372262t^{28} - 16912333116844030443742238129556828819028t^{27} - 7915010776704354688411588325926256468959t^{26} - 2977787345658566332512882968748627360479t^{25} - 873453285451943605875479178854760841633t^{24} - 172420341605344548633973538822290195789t^{23} - 5458677288006970778154631853632065921t^{22} + 12093505199533610628160082020812575779t^{21} + 5758249926945196904217673721861843583t^{20} + 1595347679499369862660055991650642051t^{19} + 303409190095723983431085261592783301t^{18} + 39080457447099655649549000104332209t^{17} + 2737705538745933491485602938263750t^{16} - 93621520536897308826394335576022t^{15} - 53443747169026634351112307470828t^{14} - 7575583463937291405031132792762t^{13} - 625843933216771846800483551431t^{12} - 28428122029328334631205923301t^{11} - 51022077682376825551984310t^{10} + 79600708747401120407670904t^{9} + 4933500512334651503410921t^{8} + 152947037946315606802635t^{7} + 3576426741996227281368t^{6} + 128086534402380885430t^{5} + 6943810940579306016t^{4} + 194758451575691508t^{3} + 2003545045141200t^{2} + 14528227802760t - 32437033200 \right)D^{2} + 8 t ^{2} \left( 464283039500675590290070356998834208768t^{38} + 4301950921145586977691292401569918019840t^{37} + 17148768561283372937797755872413728067392t^{36} + 39754300136517575680551976928994161029248t^{35} + 59901290886295989306971879398754115620896t^{34} + 60701612831712134857822042870719371605376t^{33} + 39325161069417637954294661171005577848196t^{32} + 10567650295301243495874429682174539655368t^{31} - 9027537338521155586461653152942479429096t^{30} - 14704064972305199225548609648020977642366t^{29} - 11736036796385263665387015601342777657830t^{28} - 6752087858323373512269060062610199001522t^{27} - 3062377189562182583501620579210166436891t^{26} - 1113443075135356769815816027571528750329t^{25} - 309510210938451152975194939491249586101t^{24} - 53013033228578924491975025784777024603t^{23} + 2750304827592295255055181977626862839t^{22} + 5931238981967805445728042630784252823t^{21} + 2439122899038368865702324290058065369t^{20} + 630556720924431212316906793492527129t^{19} + 113396336690617108091480201232830370t^{18} + 13676901523700343301456765757754268t^{17} + 819611486462187163358994968054357t^{16} - 59143212954600186201749781196981t^{15} - 21596584928495430654183979798316t^{14} - 2862746127792695831904128747298t^{13} - 229400745446270714370787376092t^{12} - 10289254231981896843782033420t^{11} - 26932157845380436483590798t^{10} + 28452133356421663206489842t^{9} + 1926072714417809233176718t^{8} + 71334352451563557452308t^{7} + 2058133207348036279303t^{6} + 63014536784270942079t^{5} + 2275353991006928504t^{4} + 42819016994932020t^{3} + 310678613630748t^{2} + 1587666505260t - 2948821200 \right)D + 48 t ^{3} \left( 28471145654881551747967520797125181440t^{37} + 261179202466325951316386567803647475200t^{36} + 1026807878522724337688921456592857861760t^{35} + 2339955718980383620683009681868868874240t^{34} + 3451827624968260584523133414121422936384t^{33} + 3399542771376899848276597846140353454880t^{32} + 2096940256068494336563540883287234215856t^{31} + 452581123630172280574459890689963559884t^{30} - 605047270909967156091498451883239111424t^{29} - 863812092700458806775416603690830446540t^{28} - 660142135635112139490794167426554261468t^{27} - 369209340452947273258756399138128903112t^{26} - 163446896979434109142259858398674368446t^{25} - 57785343814505118964528735973597857448t^{24} - 15309182241439494182763648070316715616t^{23} - 2249015749905355464081572160110684388t^{22} + 349784431528707228075795281634572195t^{21} + 367293682348594592051272599694238651t^{20} + 138182061777807982252174287413841461t^{19} + 33972011045451195709148357020369673t^{18} + 5841853641193005486750469716386164t^{17} + 665004420434943015316431229998374t^{16} + 33628960105538435527018706996961t^{15} - 4054059269057757713465414011877t^{14} - 1177713915945269524412094925012t^{13} - 148078823414671445721356733060t^{12} - 11496278955706917402002941163t^{11} - 498311155748680749527032849t^{10} - 154517406850141265775445t^{9} + 1480542602115734851054985t^{8} + 101086124097301369785024t^{7} + 3907391948053042405162t^{6} + 115257984703998105834t^{5} + 3187501809580759950t^{4} + 93641944121140320t^{3} + 1401997664647836t^{2} + 8833956150240t + 15079802400 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ5P5

|λ| = 16.75055 λ ≈ 16.75055; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.32004 - 7.001746i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.32004 + 7.001746i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.67996 - 1.805593i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.67996 + 1.805593i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.429789; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 4; Jordan blocks 1, 1, 2 λ ≈ -1.09017 - 0.6005662i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.09017 + 0.6005662i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1; multiplicity 1; Jordan blocks 1 4
Sector dimension
13
Spectral radius
$16.7505513$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$16.75055$11
$-4.32004 - 7.001746\mathrm{i}$11
$-4.32004 + 7.001746\mathrm{i}$11
$-6.67996 - 1.805593\mathrm{i}$11
$-6.67996 + 1.805593\mathrm{i}$11
$3.429789$11
$-2$41, 1, 2
$-1.09017 - 0.6005662\mathrm{i}$11
$-1.09017 + 0.6005662\mathrm{i}$11
$-1$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right)^{4} \left(\lambda^{4} + 22 \lambda^{3} + 231 \lambda^{2} + 1318 \lambda + 3241\right) \left(\lambda^{4} - 18 \lambda^{3} + 15 \lambda^{2} + 94 \lambda + 89\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda^{4} + 22 \lambda^{3} + 231 \lambda^{2} + 1318 \lambda + 3241\right) \left(\lambda^{4} - 18 \lambda^{3} + 15 \lambda^{2} + 94 \lambda + 89\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 8 & 10 & 24 & 24 & 54 & 36 & 60 & 136 & 72 & 176 & 320 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 8 & 8 & 12 & 10 & 12 & 42 & 24 & 48 & 96 \\ 1 & 1 & -1 & 3 & 0 & 6 & 4 & 2 & 4 & 6 & 12 & 24 & 96 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 & 14 & 10 & 16 & 42 & 24 & 48 & 64 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 3 & 1 & -1 & 2 & 2 & 4 & 0 & 24 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 14 & 8 & 16 & 24 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & -2 & -2 & 0 & -2 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 4 & 6 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 2 & 4 & 8 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{13}{5} & \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{8}{5} & -\frac{9}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{8}{5} & \frac{48}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{5} & \frac{7}{10} & \frac{12}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{29}{10} & -\frac{6}{5} & \frac{24}{5} & -\frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{7}{4} & 1 & 2 & \frac{7}{4} & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{7}{4} & 1 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$