Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-136-34-e

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × Gr(2, 4)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6 (marked)node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
E^(w3 + w6) + E^(w1 + w2)
Bundle
Q_2^v(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
13031.wDw0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 34
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 136
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -8

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 136
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 124
$\mathrm{c}_2^2$ = 108
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 44
$\mathrm{c}_4$ = 8
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 2 2 0
0 0 8 0 0
0 2 2 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 8 0 x0 + 8 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 35 0 0 x1 + 21 14
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 34 0 0 0 0 34
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 29t + 76t^{2} + 29t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(524)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t + 1 \right) ^{4} \left( 368t^{3} + 128t^{2} + 8t - 1 \right) \left( 432t^{3} - 1 \right) \left( 3229939959889539453656110202880t^{26} + 13470545221084907701298344230912t^{25} + 25916076289431773195651075801088t^{24} + 30673174024590733726929836015616t^{23} + 25113148830165158553607589265408t^{22} + 15165943892747746979154760691712t^{21} + 7039691261756271821794198892544t^{20} + 2587206024508109662800211719168t^{19} + 770354724667279515986698541568t^{18} + 189149861804353564883538125184t^{17} + 38718271095800290790966809344t^{16} + 6612748550510285905296849104t^{15} + 929947823615411715830766496t^{14} + 104245483853793024151884696t^{13} + 8713043480373986634932572t^{12} + 452647157194026647264140t^{11} + 599941150462968105429t^{10} - 2476610268022601177245t^{9} - 271544209641405487203t^{8} - 18183945653197058416t^{7} - 904053541773753584t^{6} - 34752948736148655t^{5} - 962334851622523t^{4} - 16604406115022t^{3} - 159840489873t^{2} - 787899786t + 1428000 \right)D^{8} + \left( 4t + 1 \right) ^{3} \left( 49294361766086344721705642458852884480t^{33} + 229062670168560768470212807771847393280t^{32} + 495979533150411843539702726930668191744t^{31} + 667529507835351715012707498829333659648t^{30} + 628178511037577071272516444132313399296t^{29} + 440817069827735731670065797165622493184t^{28} + 240325108832596442999213982846148411392t^{27} + 104779700954789596597927340627919372288t^{26} + 37346817941004611367766773068378406912t^{25} + 11072081164468156790366743563186339840t^{24} + 2765390704381048912975926304103596032t^{23} + 586004247281597596979698605277347840t^{22} + 105264397800169917445009217574641664t^{21} + 15844998984603474565714786498240512t^{20} + 1946395052298910691412876966507520t^{19} + 184751576454441366405837539024896t^{18} + 11692785316483415249018836682624t^{17} + 137753834712058577031408778048t^{16} - 80579558835307624705981825296t^{15} - 13399667495065509588753196256t^{14} - 1409262005424879259906774952t^{13} - 109413071628172772015163688t^{12} - 5347542320535482748545420t^{11} + 19309630043007950762436t^{10} + 31785172724377867536683t^{9} + 3257591192372725966282t^{8} + 202590526843684002896t^{7} + 9266698570550444300t^{6} + 331680573734689517t^{5} + 8685116594587158t^{4} + 140160444280254t^{3} + 1229439307824t^{2} + 5595266502t - 8568000 \right)D^{7} + \left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 1973828402383707386564963433456567582720t^{34} + 9477924053601842787071697817391515828224t^{33} + 21247490681859548037541791117732086808576t^{32} + 29675648245598760192864438667199058542592t^{31} + 29059034900571876742187997968270075363328t^{30} + 21286694745568655957972096239996042739712t^{29} + 12158916764123730707142564345643663884288t^{28} + 5577170997795241297761296291245505642496t^{27} + 2100839819274042476007755174664465285120t^{26} + 661392011712897834216771940502586163200t^{25} + 176326959473174063354718211342243430400t^{24} + 40126967223961675241771669124479213568t^{23} + 7807478975294210669607767862854510592t^{22} + 1291457564546234598767327676639375360t^{21} + 179220231468673738990257258547959296t^{20} + 20432135004703447059481124913179008t^{19} + 1858575794590525802725990038654272t^{18} + 130353803473565454674815504703968t^{17} + 7089520603476687251015956200512t^{16} + 408721004725206230122682279184t^{15} + 44574562833957567312939812120t^{14} + 5717782557985640804488829872t^{13} + 527869829225185822699878536t^{12} + 28480430702899539088834342t^{11} + 131559963323105119468406t^{10} - 129120115846459048684619t^{9} - 13195357047312898284784t^{8} - 787599585144470169224t^{7} - 34010951008484646482t^{6} - 1135340978701576805t^{5} - 27616200974186284t^{4} - 412255253944568t^{3} - 3292779163368t^{2} - 13558407162t + 18564000 \right)D^{6} + \left( 4t + 1 \right) \left( 42960036279144249424966467402890288824320t^{35} + 213902944538447479697414954872479789613056t^{34} + 498311994597731252874105452262358064824320t^{33} + 724905359038149604970071429742552237998080t^{32} + 741156311500522948236152771634027112169472t^{31} + 568332398951796718744056071343192988975104t^{30} + 340731570886710878579358182538067861045248t^{29} + 164483773920405547731029065871774756634624t^{28} + 65379745837568961660865341608170551115776t^{27} + 21775920232193113950429569165654068690944t^{26} + 6158283820560846617006571988585407823872t^{25} + 1491124519820313359325466792671589392384t^{24} + 309843644310973550921346228469323055104t^{23} + 54976802370667866794869779560094059520t^{22} + 8214756103141781472076583302885883392t^{21} + 1006288872619599043037076088186467072t^{20} + 95654544577614316970026170382500416t^{19} + 6023965118533094620275266665609920t^{18} + 39557575309769941170038026813600t^{17} - 50851441901602587269170542040720t^{16} - 8400455334625539854338850338224t^{15} - 892222441915358441619372584080t^{14} - 73148542732739714026001751072t^{13} - 4743450406202890970177997668t^{12} - 228692837966073580756504992t^{11} - 6369779640460975264812412t^{10} + 82011918032980562567721t^{9} + 20151304577945673708778t^{8} + 1224031200343198102316t^{7} + 49003874657473508166t^{6} + 1505730037957615727t^{5} + 34283432138001810t^{4} + 482277807591426t^{3} + 3572954712330t^{2} + 13514239962t - 17136000 \right)D^{5} + \left( 555087376393976299129553337848322714501120t^{36} + 2872557477088589543177658911138182770720768t^{35} + 6971818686277333513783184775064416537280512t^{34} + 10591368592291063788559654588747305984196608t^{33} + 11335640085876955785337499939065349850267648t^{32} + 9120987033523283097440598183448021021753344t^{31} + 5751333852680972416940015811061911464706048t^{30} + 2926545457100191007736933234930869104214016t^{29} + 1228665350120572957478944787080408942313472t^{28} + 433055427471464862815438903447553914683392t^{27} + 129851145695339643355178156210048901193728t^{26} + 33417959140533179582911122284886519674880t^{25} + 7407548476374648847897886706321471037440t^{24} + 1410298119662674712718144883882637640960t^{23} + 228280180344477676315422624968355478016t^{22} + 30803505493751299722482357027991112448t^{21} + 3341915174628634479354017160335142336t^{20} + 269054793413327419083333689155092864t^{19} + 11952904300918696193219847227407920t^{18} - 540374244323486432991854505672832t^{17} - 175952298110105890079057371054160t^{16} - 20873806175809758943283072693032t^{15} - 1706701554732647599560073202064t^{14} - 107483107547567656940516215008t^{13} - 5490119491255016523020129316t^{12} - 242669499510069023334830118t^{11} - 10430054414814964794909051t^{10} - 478798203668853778469292t^{9} - 21680596555660846673557t^{8} - 832091276106109847012t^{7} - 25679847864514519534t^{6} - 666270591386573640t^{5} - 14036391308706065t^{4} - 191876668602338t^{3} - 1361721520455t^{2} - 4749129516t + 5712000 \right)D^{4} + 2 t \left( 544850580600552368209012466097700932157440t^{35} + 2798182664332463999626643227236531122995200t^{34} + 6731187065326746920916799271728093228695552t^{33} + 10124215308906480175125661297486016853049344t^{32} + 10717903776586193454387513855928189681926144t^{31} + 8523714648706736612050910931384170357194752t^{30} + 5309489511622879815773427184503881841770496t^{29} + 2668350409635278430834675124329748201734144t^{28} + 1106540169117030145106453354154552931516416t^{27} + 385343919152523949740764594952755063881728t^{26} + 114178629238121704977714042578226409684992t^{25} + 29020197228951125394203181442535872382976t^{24} + 6339703618041695099884855614469476759552t^{23} + 1184134309408612791408098465224593348096t^{22} + 186455252038829666640058572906604211456t^{21} + 24091952472333435342811185196860017408t^{20} + 2418484664840209986941944262743279552t^{19} + 161679034080865066115453817106973920t^{18} + 1530314367857900749828194500767808t^{17} - 1384371508119508587484486533763056t^{16} - 235038800581073177973039801285320t^{15} - 24871513737967632190816532427980t^{14} - 2006976608949764223471034080296t^{13} - 131516997876704282848367213128t^{12} - 7163622205568013595646710918t^{11} - 324326738478063219824877728t^{10} - 12017298923745128995813532t^{9} - 356577181346598821556928t^{8} - 8284190800821825580794t^{7} - 147057619250892704888t^{6} - 1975124749769196281t^{5} - 21720362225214488t^{4} - 196416978423504t^{3} - 1001392792572t^{2} + 699835227t - 1323000 \right)D^{3} + 24 t ^{2} \left( 52942144536776734231111860000807997931520t^{34} + 270416047773351919577631138765639121895424t^{33} + 646320706252738947245417292948123112439808t^{32} + 965034683384606893666728073986096252321792t^{31} + 1013418821165710257566426151533291987533824t^{30} + 798983058012865565468125700112438651715584t^{29} + 493181862585443577358283475690011999207424t^{28} + 245564683737178981759721988091563241119744t^{27} + 100899016771877655859187340445884493357056t^{26} + 34820747039754199917260790824749376980992t^{25} + 10223827145879242799308511607372177116160t^{24} + 2572689795689694895560043651975534535424t^{23} + 555088610756916435018926665355655876608t^{22} + 101900478985287931791123237411905739488t^{21} + 15630102927684939825732827206673743616t^{20} + 1934056397350710150197888750961743136t^{19} + 178468360568227169781405268018517432t^{18} + 9205299255277274114377662125039424t^{17} - 450623571995383698302042011021846t^{16} - 176271600042106838586470689410420t^{15} - 24728819742332324969674692367994t^{14} - 2429697865676081459453454751846t^{13} - 188206317733136776762101271755t^{12} - 12014827711232113226495348546t^{11} - 640975713933131760624348771t^{10} - 28343391872039296522849762t^{9} - 1014857101730601879604755t^{8} - 28556245691443252838068t^{7} - 612149047365958538769t^{6} - 9741890182241070560t^{5} - 117824744823083151t^{4} - 1283933333480522t^{3} - 12837585018376t^{2} - 66992494440t - 11424000 \right)D^{2} + 144 t ^{3} \left( 5594910060450800125913590419079802388480t^{33} + 28466994718377587685847101839563642896384t^{32} + 67724251745804247067838770639854807023616t^{31} + 100586082083519554393903897426059856969728t^{30} + 105009660551978241443447537027308721799168t^{29} + 82265063530355355445786514999325823008768t^{28} + 50440771148403266044493115054566036275200t^{27} + 24944892563028112472378533432916416241664t^{26} + 10180444128358972695970445166763912716288t^{25} + 3489965598830084747824426232101132142592t^{24} + 1017674372847538297553770881288273632256t^{23} + 254060617312159068415395548384078697216t^{22} + 54241427904360779761053057221163450112t^{21} + 9802337501495874882467522236296110176t^{20} + 1466063271203515190062143197127129024t^{19} + 173460851596132923131562310203061344t^{18} + 14489755005926393568125248821653496t^{17} + 461880078261796941795765919281152t^{16} - 95503163037731711831016202712942t^{15} - 22053555932382024898449441379888t^{14} - 2779837983750400401980263471034t^{13} - 259582885005071733869638165680t^{12} - 19501396900449959871031480528t^{11} - 1219431030955098395812620702t^{10} - 63952611479975146893110883t^{9} - 2774143267032766574872886t^{8} - 96711111709329729740687t^{7} - 2612855161459824653760t^{6} - 52471362568533744319t^{5} - 749872340577759830t^{4} - 7688260733791979t^{3} - 68810261189682t^{2} - 643549278116t - 2992590648 \right)D + 3456 t ^{3} \left( 61617952207607930902132053073566105600t^{33} + 312646148965992185745635624533811527680t^{32} + 741314327587317017526704797578109648896t^{31} + 1096791648665557509549039160373200551936t^{30} + 1140120775640868357100333480180832010240t^{29} + 889027605484310382095351952900308828160t^{28} + 542445069301489896415000239319426547712t^{27} + 266927478857904892277006505648786051072t^{26} + 108401985642493461407171855619672170496t^{25} + 36980146081349847892314235968320117760t^{24} + 10727787499338817950092807727084329472t^{23} + 2661383048810322813288764085616463232t^{22} + 563150562382527012031405340209233216t^{21} + 100345796627844849148210199255714160t^{20} + 14651469858054489440756029707252960t^{19} + 1655325464867192640226214369560720t^{18} + 122602965264111867962217629892028t^{17} + 638086290812923456237958308628t^{16} - 1485116039753007201687576073295t^{15} - 276015429371242976139641823420t^{14} - 32501412259743453121544671258t^{13} - 2927582423202389052092414344t^{12} - 214985158988259285299838756t^{11} - 13229171940320756866707434t^{10} - 684318263301623118745531t^{9} - 29234311115132225738618t^{8} - 999389449182238332050t^{7} - 26301575929751796780t^{6} - 509152352881724139t^{5} - 6892985569047222t^{4} - 65276859913215t^{3} - 491082457446t^{2} - 3734109960t - 12209400 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × Gr(2, 4)

|λ| = 16.87654 λ ≈ 16.87654; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.779763 - 6.546742i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.779763 + 6.546742i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 7.559526; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.438272 - 1.451602i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.438272 + 1.451602i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4; multiplicity 4; Jordan blocks 2, 2 λ ≈ 0; multiplicity 2; Jordan blocks 2 4 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$16.876545$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$16.87654$11
$-3.779763 - 6.546742\mathrm{i}$11
$-3.779763 + 6.546742\mathrm{i}$11
$7.559526$11
$-4.438272 - 1.451602\mathrm{i}$11
$-4.438272 + 1.451602\mathrm{i}$11
$-4$42, 2
$0$22

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{2} \left(\lambda + 4\right)^{4} \left(\lambda^{3} - 432\right) \left(\lambda^{3} - 8 \lambda^{2} - 128 \lambda - 368\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{2} \left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda^{3} - 432\right) \left(\lambda^{3} - 8 \lambda^{2} - 128 \lambda - 368\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 10 & 12 & 12 & 12 & 72 & 36 & 80 & 32 & 128 & 120 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 8 & 12 & 8 & 8 & 60 & 24 & 36 & 80 \\ 1 & 1 & -1 & 4 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 12 & 16 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 18 & 10 & 24 & 12 & 36 & 32 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 4 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 16 & 8 & 8 & 24 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 1 & 1 & 4 & 2 & 10 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 2 & -2 & -4 & -2 & -6 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 3 & 3 & -2 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$