Family 3-145-36-a

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case K3-53 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

Fl(1, 2, 5) × ℙ²P2 · 2042.5ix4400 (preferred model)

Defining data

Ambient: Fl(1, 2, 5) × ℙ²P2
Bundle: $E^{ω_{2} + ω_{5}} \oplus E^{ω_{4}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2} + ω_{5}}$ E^(w2 + w5) + E^(w4) + E^(w1 + w2 + w5)
Bundle: $O_{1} (0, 1) ⊠ O_{2} (1) \oplus ⋀^{2} Q_{1, 1}^{\lor} \otimes U_{1, 2}^{\lor} \otimes U_{1, 3}^{\lor} \oplus O_{1} (1, 1) ⊠ O_{2} (1)$ O_1(0,1) box O_2(1) + wedge^2 Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v + O_1(1,1) box O_2(1)
ZL62 label: 2042.5ix4400

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,4;3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1,3;2) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	36
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	145
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-19

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	145
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	130
$\mathrm{c}_2^2$	=	116
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	30
$\mathrm{c}_4$	=	33

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		1		23		1		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 19	0	x₀ + 19	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 24	0	0	x₁ + 3	21
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 37	0	0	1	0	36
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 31t + 81t^{2} + 31t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(360)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(438)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) ^{4} \left( 1158489t^{9} + 1766888t^{8} + 1117732t^{7} + 439115t^{6} + 121561t^{5} + 18378t^{4} + 1874t^{3} + 37t^{2} - 4t - 1 \right) \left( 340592979763649759198966717940t^{27} + 1534508401229892273389106445488t^{26} + 3521517655521738531671051786232t^{25} + 5443523071666101187283771894112t^{24} + 6060705722508092100010174895145t^{23} + 4826741114952364028803818176462t^{22} + 2606803554955253144226354154670t^{21} + 781733006573270340086367786129t^{20} - 60468176529485580293253938629t^{19} - 209243904562160216516777840077t^{18} - 128862176692188052440137535080t^{17} - 51288463767465320273096829469t^{16} - 15687267792595074237348718079t^{15} - 3988720809019115430796925274t^{14} - 869202406350351505294352663t^{13} - 160205234589205933987955556t^{12} - 24116602372738489572160698t^{11} - 2868221648891576574389609t^{10} - 261770904838031079123890t^{9} - 17970398658255249840584t^{8} - 1014102104501858950343t^{7} - 60050225707688467519t^{6} - 2781440693996897130t^{5} - 14251544470359745t^{4} + 2437258006326630t^{3} + 68943536191776t^{2} + 167137107648t - 4757124330 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) ^{3} \left( 28409271878405580903694926295170671520t^{37} + 175549464979585186234649837194240221168t^{36} + 542183665800734921828445054552848735568t^{35} + 1114714318753703051514223107363109737984t^{34} + 1688105794005363624252184647599968033128t^{33} + 1955277156810184352359809025764465325812t^{32} + 1747829900126278684323076666903063955062t^{31} + 1193092298230360079162099583977344056102t^{30} + 595219302283366432863981413760232075529t^{29} + 183298364031116449689242433114894865436t^{28} - 3617205258358553791043094947862668069t^{27} - 46689132369058918809134883027842308813t^{26} - 35350413703937684784550498941125185682t^{25} - 17615274872176391126608697358891030635t^{24} - 6862051744882689585550269092364819199t^{23} - 2224143971699968917723357304711530302t^{22} - 619543944036420747588542219643703477t^{21} - 150941993763316142906094893486594962t^{20} - 32365749246282180932268765267675519t^{19} - 6088140574806672516063996809316304t^{18} - 995057107443951780413696254450018t^{17} - 139723101610069867068243939343306t^{16} - 16731715594740152969441620986326t^{15} - 1717188098946065155427812882962t^{14} - 155842948531459748202706541747t^{13} - 13340845166689119113752929748t^{12} - 1131995928892664604943193707t^{11} - 90784871665632543339602492t^{10} - 6125236023085248526985211t^{9} - 320544009106087498483575t^{8} - 14396796659328409868240t^{7} - 758639800478347434250t^{6} - 32267324249041101220t^{5} - 145123491358288943t^{4} + 24135253994610636t^{3} + 618845515783350t^{2} + 1403696601804t - 33299870310 \right)D^{7} + \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 861747913644969287412079430953510369440t^{38} + 5499740950097558864350327590431834037792t^{37} + 17532794959717979624143847275348397625096t^{36} + 37184690253654922041922597846806198431568t^{35} + 58090183449768052355100133852727024954832t^{34} + 69450824890174790174997761043611365832016t^{33} + 64123609852999239371440719437577461081098t^{32} + 45213589492766961319959181328918626952618t^{31} + 23269056018603976305622587046424604330936t^{30} + 7349143603114544907369176698113543162717t^{29} - 210312873759226723325931932213278677020t^{28} - 2045110433723206924039073357634088573243t^{27} - 1581464956695433157041423732074898846443t^{26} - 807338045171830572809346843671057257712t^{25} - 322544326300033759627559128033887614077t^{24} - 107418591464386930108812014122218643995t^{23} - 30827411814888437755299665566989559468t^{22} - 7757885827002619070183177815536733721t^{21} - 1720798790281239303657009367179636790t^{20} - 334852910164854707080504023939897745t^{19} - 56531925452505126202216189249146638t^{18} - 8163715292739063614146896977169978t^{17} - 992921252363863470774120920813842t^{16} - 99981550799456197061390038294150t^{15} - 8146166094135768622780735567652t^{14} - 512270506736691148196878443395t^{13} - 20485570073980774773044046950t^{12} + 351167027436137995300417491t^{11} + 178008017710372213205610394t^{10} + 20724145129265501402446265t^{9} + 1473683069154714217556159t^{8} + 75883613145751708651678t^{7} + 3720079423507664560034t^{6} + 146248616658684610642t^{5} + 977883179005258233t^{4} - 72471045444397740t^{3} - 1826950327620606t^{2} - 3516417378432t + 80871113610 \right)D^{6} + \left( 2t + 1 \right) \left( 14318273026716412775462242852766018446080t^{39} + 94971490891744866640719359462409468140928t^{38} + 314274365917091820203119302569493362745600t^{37} + 691161644727414456594819862859998630243104t^{36} + 1119882003400393225523303697290825384843568t^{35} + 1391157006827173291031774058096353572770240t^{34} + 1338832701925333763731076834547485353445536t^{33} + 988795265722844240024128852813463897059528t^{32} + 538030435911141677813979265418421613384050t^{31} + 185617397504968711595074711575707336754498t^{30} + 4444957161402631417015847359126463090083t^{29} - 46531373533824359870914839871264331783558t^{28} - 39308431933983975892409298641353239429515t^{27} - 21237552510173179862219497673033511785803t^{26} - 8904977049091044314854854164987039254448t^{25} - 3102205190690415969370150658302178169245t^{24} - 930308818721944405038087727198424027957t^{23} - 244802492601582917175303563423508952206t^{22} - 56901239205735626395164088930172106231t^{21} - 11646610320235792792664320752163465938t^{20} - 2080485427076951311869861312862675087t^{19} - 320850449097400267069042558424567680t^{18} - 42304027568599571581671722303719354t^{17} - 4742495391646059373404426570277648t^{16} - 454391931090277706736886600228488t^{15} - 38308340900645557144378782954650t^{14} - 3022155125421497751149501325863t^{13} - 234717452785584931090452487672t^{12} - 17233712090820170651683914779t^{11} - 1081482478531479391359314048t^{10} - 55036501045875294087164753t^{9} - 2358866768180086471116449t^{8} - 100538808287917201662024t^{7} - 5503160868758841849982t^{6} - 247880599026702742872t^{5} - 2287631418898691065t^{4} + 83540241323257356t^{3} + 2149235239685418t^{2} + 3020880037812t - 80871113610 \right)D^{5} + \left( 141724387644072641268232755644508089989440t^{40} + 981653123722792679577190945917874664247168t^{39} + 3386480966477655598787157834287261352866784t^{38} + 7753269736413991916163333464626438210001568t^{37} + 13080861977271535527359471874591372566323524t^{36} + 16960150541699531582489612451788055577847616t^{35} + 17113990502207841695473376478272926157560024t^{34} + 13351993564199823523247027360520093567080556t^{33} + 7787178491439906407760693693370114653579405t^{32} + 3017316844873956124599969646264130103555628t^{31} + 312751268138914353432209666994484477849714t^{30} - 593998021533978424268629701510602072031669t^{29} - 584432950697177590241902639043561618750174t^{28} - 342404589971173081174628007996768250687778t^{27} - 153110329284406047215251860182139172868248t^{26} - 56477692512104423780742041960626170861006t^{25} - 17868953681482223781072066872509072096248t^{24} - 4955672784786270537333644091034765577923t^{23} - 1215744921740788927424853114035235368085t^{22} - 263556730228221922649973049125729394864t^{21} - 50107555393982308584493654127677874063t^{20} - 8269455226684888398798442190003574128t^{19} - 1172859401675829050700383806401714911t^{18} - 141871077328573541940518425097582763t^{17} - 14604627483123305288414735077225859t^{16} - 1291002454311152266068458406443600t^{15} - 100309244045868930377214035260940t^{14} - 6966857510655774502531629678342t^{13} - 408817965922571914604602578939t^{12} - 15802183353735653684480539840t^{11} + 46889257334802806579497322t^{10} + 53128705646220134393199207t^{9} + 3536247377591555259795416t^{8} + 131419407602646544737447t^{7} + 4368074072285153815362t^{6} + 153148152708138148280t^{5} + 1478349109076204642t^{4} - 34329295291235538t^{3} - 875417654583960t^{2} - 747321242304t + 28542745980 \right)D^{4} + 2 t \left( 212387716562960122836023268982695940283520t^{39} + 1435396562914757036619117052931843259531648t^{38} + 4844329010169383298487214413395634472254080t^{37} + 10873967385586629458866054844752841068250592t^{36} + 17988115956194698450757705156436758293316856t^{35} + 22803748893173465905809903001566717393480000t^{34} + 22365113592116753771864655948870653692682896t^{33} + 16781013554147021371048966899681334015343844t^{32} + 9204131028976091456920178835505478143016234t^{31} + 3102654989794726945703678919968427924775226t^{30} - 91717867939265549053604017939370982994046t^{29} - 979895746257870807092855829418019285003070t^{28} - 808944969346486874471471149787150986703783t^{27} - 440681739192433460558995950020332915264132t^{26} - 187984298864633417935286398430012157428924t^{25} - 66964887268191337876793161291159121855913t^{24} - 20618427370935776243060790033729913887388t^{23} - 5588282281611386823094221988659144452216t^{22} - 1340505498175801743723965271475335808058t^{21} - 283390369414535484883832202114397403424t^{20} - 52305802177072981062392457221747970962t^{19} - 8341399863285553167538099940507021849t^{18} - 1139425551742468173799383645931736246t^{17} - 132744652563919099491185876073753346t^{16} - 13252726568672149842289335820008051t^{15} - 1157082812049058883056544886508349t^{14} - 91195915437987343182757459677386t^{13} - 6524167670477635917751744287469t^{12} - 392568279148914025522872797958t^{11} - 16382265575501899419012946663t^{10} - 244893829676135514295945464t^{9} + 16315186235240685394417168t^{8} + 1077066922659163403062628t^{7} + 25050885684396665445760t^{6} + 43208113825624558246t^{5} - 10036894694358356412t^{4} - 184295995388257716t^{3} - 1135922193927840t^{2} + 3127198575060t - 6364704276 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 186434268409154491037114415205041133479360t^{38} + 1235078755927284853479320103817572840782208t^{37} + 4094930175638463354251258091482574556284192t^{36} + 9046417924961444678540762345954279350569408t^{35} + 14726799230624885839022728040288088350765076t^{34} + 18324052594473485198151543023174093329612656t^{33} + 17543816769253524753739121613228504652021560t^{32} + 12724296621806879029178398753838663256587932t^{31} + 6596484913466394424169885803140721745031393t^{30} + 1911493668504734684551324143875241573140640t^{29} - 370731546633593044569674498752679578117108t^{28} - 883187542799533445598515684335461291203377t^{27} - 656263163271514647177343387916171726359397t^{26} - 339598980615519540812499161059588757933862t^{25} - 139918029110026658454206815163932766970107t^{24} - 48573492818534821871152350478342563524417t^{23} - 14659399754275114567402518660544746616600t^{22} - 3905562053320985810993695561142537882736t^{21} - 920666453278125758895168153213275339498t^{20} - 190750182735451327830274978607999200180t^{19} - 34370284963135347499416760905726655129t^{18} - 5330308515929285932277111895883331930t^{17} - 706166761732757628788821147894564337t^{16} - 79806445886833560438988945494608064t^{15} - 7775961450012193800143447048788741t^{14} - 671164308508873223299977686384359t^{13} - 52763190631812191144569931488630t^{12} - 3701423324322158728622001375890t^{11} - 207853107883231518967899974322t^{10} - 7408783575458964038553502843t^{9} - 43900043515691622078241854t^{8} + 9757280584203187459968790t^{7} + 457892136741296550492210t^{6} + 7048846382607190988498t^{5} - 116565376753477151396t^{4} - 5585721085110417306t^{3} - 67667682115598556t^{2} - 299327881078968t + 665997406200 \right)D^{2} + 24 t ^{2} \left( 28825941199288862756949118547499841368960t^{38} + 188019184770643731685702049789829356524416t^{37} + 614840860796064263949080178518973621239808t^{36} + 1341569916681484970391265050054215873223168t^{35} + 2156659014525844474798322944075590300702000t^{34} + 2643803066470180292014351684613394062031264t^{33} + 2482174295343197962536423095395439235830256t^{32} + 1750090121725775675796288582173856304131184t^{31} + 863397811063453459378298138385535363320156t^{30} + 213261367454679145182553049652585150237300t^{29} - 84179342774366538046198981390566154214460t^{28} - 136562321949786636453479691020430288190882t^{27} - 94758064916770303189552775551326425470592t^{26} - 47259960382124110789585701278967583711952t^{25} - 18979677497827068307984527531833481177168t^{24} - 6465046413943018636620272646403614744334t^{23} - 1922700419102307908361679396964901505913t^{22} - 505717183459471598107986378102345694240t^{21} - 117613728236569878124650481634168737607t^{20} - 23980285411105758377497352329216694493t^{19} - 4238150156170617669498007800774294402t^{18} - 642676362534748673883426619826557135t^{17} - 83085858851126500033656737086078384t^{16} - 9171092354468861270160024292211760t^{15} - 878218815223127079670902098512692t^{14} - 75266990098974197410236826654137t^{13} - 5883528021691246122414298168495t^{12} - 400945157266185462371304767705t^{11} - 20853651381926431645903264047t^{10} - 624757246190257703488754742t^{9} + 2558144391456566125857188t^{8} + 1038326051115682320634552t^{7} + 37019080882948987412520t^{6} + 292379918120269930353t^{5} - 17640726923644839048t^{4} - 506316471830166852t^{3} - 4612237272874956t^{2} - 9523501639806t + 19028497320 \right)D + 576 t ^{3} \left( 441922006997420147390809964591543779200t^{37} + 2850339098742283118277545654891217597120t^{36} + 9228436632243018063026823304498622225760t^{35} + 19956397372595356058380808425739260575360t^{34} + 31787500020604621024607218845064261473012t^{33} + 38539783403320891639354933625541892859940t^{32} + 35653702296190899102498954431983721995164t^{31} + 24595316277477319156280008143625685416018t^{30} + 11655763070506759923970932243942370932945t^{29} + 2462813475182029962991121200784305771452t^{28} - 1535303567660933406664001535521101971644t^{27} - 2076971886569015272043523105896910989953t^{26} - 1377995273164686220933801527427049634530t^{25} - 669820880889421925120409785018509312150t^{24} - 264156247336083854657304500945897535256t^{23} - 88774445587649482849475440542284999280t^{22} - 26127559208573614141298030550629809179t^{21} - 6808696289193893848197939462651056495t^{20} - 1567588602399205853104297215975979814t^{19} - 315724508591277105378510498402736235t^{18} - 54972565005466755184557581948242658t^{17} - 8191953472530323579463588908290041t^{16} - 1039181147258200238427325465214919t^{15} - 112677055965794940436628271113550t^{14} - 10658902734509251682254016666825t^{13} - 909262582677009205296536631533t^{12} - 70548661713668710791363324001t^{11} - 4662497181927665790031205429t^{10} - 225437860879987851228037011t^{9} - 5647080288810325306694489t^{8} + 85563862985099157697840t^{7} + 11497371120217237235368t^{6} + 324772273815704852448t^{5} + 95513629263770311t^{4} - 213271054635501772t^{3} - 4697609358391464t^{2} - 35820852086028t - 10535194530 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 5) × ℙ²P2

Show multiplicities

Sector dimension: 13
Spectral radius: $15.0782377$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$15.07824$	1	1
$-3.251732 - 7.862586\mathrm{i}$	1	1
$-3.251732 + 7.862586\mathrm{i}$	1	1
$-3.829286 - 5.258253\mathrm{i}$	1	1
$-3.829286 + 5.258253\mathrm{i}$	1	1
$-0.7547686 - 2.798373\mathrm{i}$	1	1
$-0.7547686 + 2.798373\mathrm{i}$	1	1
$-2$	4	1, 1, 2
$-1.703332 - 0.2906057\mathrm{i}$	1	1
$-1.703332 + 0.2906057\mathrm{i}$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{4} \left(\lambda^{9} + 4 \lambda^{8} - 37 \lambda^{7} - 1874 \lambda^{6} - 18378 \lambda^{5} - 121561 \lambda^{4} - 439115 \lambda^{3} - 1117732 \lambda^{2} - 1766888 \lambda - 1158489\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda^{9} + 4 \lambda^{8} - 37 \lambda^{7} - 1874 \lambda^{6} - 18378 \lambda^{5} - 121561 \lambda^{4} - 439115 \lambda^{3} - 1117732 \lambda^{2} - 1766888 \lambda - 1158489\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 6 & 4 & 2 & 30 & 36 & 30 & 30 & 12 & 64 & 128 & 48 & 120 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 4 & 6 & 8 & 2 & 18 & 39 & 12 & 32 \\ 1 & 2 & -1 & 2 & 6 & 2 & -4 & -6 & 0 & 6 & 15 & 9 & 32 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 4 & 10 & 4 & 8 & 0 & 18 & 39 & 15 & 32 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 4 & 2 & 12 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 3 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & -2 & -2 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 1 & 4 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 4 & 10 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{7}{2} & -\frac{5}{4} & -\frac{17}{4} & 1 & -\frac{11}{2} & -\frac{31}{4} & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & 0 & 3 & \frac{7}{2} & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 1 & 2 & 5 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 & \frac{3}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta