Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-160-39-c

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × Gr(2, 6)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6 (marked)node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9
Bundle
E^(2w6) + E^(w4 + w5) + E^(w1 + w2)
Bundle
O_3(2) + Q_2 box U_3^v + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
13051.EwLw0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;6) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;5) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 39
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 160
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -15

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 160
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 136
$\mathrm{c}_2^2$ = 108
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 36
$\mathrm{c}_4$ = 24
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 16 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 15 0 x0 + 15 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 25 0 0 x1 25
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 33 0 0 x1 - x2 - 6 0 39
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 34t + 90t^{2} + 34t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(359)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(437)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 3t + 1 \right) ^{3} \left( 332t^{3} + 96t^{2} + 6t - 1 \right) \left( 252t^{4} - 540t^{3} + 46t^{2} - 3t + 1 \right) \left( 762800991630681551543292210048t^{28} + 2889723250035271467147962366208t^{27} + 4897178240117829187116596555952t^{26} + 4784340042233683509521247935616t^{25} + 2710823250258031384242687555648t^{24} + 465581024909648512149174045624t^{23} - 697055753193221537970804857772t^{22} - 815362527289733735598873688536t^{21} - 509460933072016438368626298384t^{20} - 224627168095680959177904881676t^{19} - 75615735552217183042738557876t^{18} - 20220287879729300219452003518t^{17} - 4412836209281269433728006875t^{16} - 799960686849076983883495614t^{15} - 120830618687632638318037671t^{14} - 14939197838730409827936774t^{13} - 1449606832810054511083899t^{12} - 102253819164342036124635t^{11} - 4344223162618039918364t^{10} - 1843168168423149871t^{9} + 15504651860334094873t^{8} + 1343120075629253480t^{7} + 69796661374107828t^{6} + 2549699494166366t^{5} + 63920420394010t^{4} + 955580934816t^{3} + 8377961044t^{2} + 42671760t - 102400 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 13784900147378497726916687883674468352t^{37} + 39525504498132072295035018926963294208t^{36} + 25303352293099125975879575345769569280t^{35} - 55814929170619568180715363954361231872t^{34} - 141195026643122585599622244147761551872t^{33} - 154222045226733823352643520904765748480t^{32} - 94966942108740861631895942757892244352t^{31} - 21477557143503135544401606174738483456t^{30} + 20903731557026461557141462635931064128t^{29} + 28420774682118868403294409752453887392t^{28} + 19435365377655021310380860380727433600t^{27} + 9401937794084109346354385853652842768t^{26} + 3512395810181159861216813237638329048t^{25} + 1054988355716035924468503189929274216t^{24} + 261105260302748025884551526817953544t^{23} + 54096395341882250430718132680150888t^{22} + 9438233032724732800858057155605340t^{21} + 1374415357706809973105405225702748t^{20} + 161782841017197849338751549719574t^{19} + 14233969438219312570973785932420t^{18} + 715636890137984930518455391542t^{17} - 26217239874198855278493070384t^{16} - 11189820482763124285199152490t^{15} - 1648546058938244268756526542t^{14} - 186116851907051313306560229t^{13} - 17347272174027124849837190t^{12} - 1223256055567351379979094t^{11} - 52522915302117691140306t^{10} - 85164246384804218763t^{9} + 173365412414638788378t^{8} + 14539793504341011998t^{7} + 718823099441926876t^{6} + 24925745415632598t^{5} + 592930942624860t^{4} + 8206966441864t^{3} + 64988288192t^{2} + 303003120t - 614400 \right)D^{7} + \left( 3t + 1 \right) \left( 1254425913411443293149418597414376620032t^{39} + 4747646597617839395818700514863666823168t^{38} + 6581136295368061984522027253462809462272t^{37} + 1369138534868503849652733514120146031104t^{36} - 8774908930588104728806669424100281657664t^{35} - 15378611853655619193189569467085544835008t^{34} - 13624989327378319612137390447646666851648t^{33} - 6559211826620093537792483045696263412640t^{32} - 66417568848608490683490244502583529776t^{31} + 2859161074109553261938235890446488648816t^{30} + 2853803824517121031150291708282106235936t^{29} + 1774680365613139612922870444527980930864t^{28} + 825780041376291110136730351943300943384t^{27} + 306084308066912722842837973163781137880t^{26} + 93347166734067435863015323882376856396t^{25} + 23911057287830891436392291405569100568t^{24} + 5213811619515819204607993552566922584t^{23} + 973777203208539670997686548430910892t^{22} + 155454039183196673798226833679033432t^{21} + 20997140929927173618417161758112034t^{20} + 2363645680607575023576629976697770t^{19} + 219453329684555099687316032229120t^{18} + 17218975435516883378839798149224t^{17} + 1310348564625424553420234498550t^{16} + 124682650621099341334563918980t^{15} + 14770782995963367836488910401t^{14} + 1666748892056735901176404825t^{13} + 150698133386185084448336324t^{12} + 9901574958692771673293696t^{11} + 404775722625911345343925t^{10} + 3470326052824396186837t^{9} - 805058244751334063752t^{8} - 65885298388443238926t^{7} - 2976854547088931242t^{6} - 92194780175698082t^{5} - 1956491231504036t^{4} - 24409979082928t^{3} - 174356059216t^{2} - 736576400t + 1331200 \right)D^{6} + \left( 31264153534254432844647048120173694222336t^{40} + 130951168470295727553323082749374064787456t^{39} + 223848637999520427319811375239767776014848t^{38} + 162069988290383767203520427492813082023424t^{37} - 59018287771149215260707419012792458956864t^{36} - 262232153511803455008979586628704062514880t^{35} - 295807251234619027397895592438900145202624t^{34} - 179409032652616991850756828661142328205344t^{33} - 35563990301016795157704184822749023757168t^{32} + 47225661103339571909107890373322271865392t^{31} + 61914322399420940454357512786746186010400t^{30} + 43515967834969919372077285187730041857008t^{29} + 22189456851527119632517869605418721368888t^{28} + 8922899082628703981519797101410655146520t^{27} + 2942314901437484919956583422584577602332t^{26} + 814540428825884181141629466773546433072t^{25} + 192227293530412301940550795510277530392t^{24} + 38991814428654369684616034955843851028t^{23} + 6800477914217417016505205649007104108t^{22} + 1011038410162595670092617330488612870t^{21} + 125721660684812273923593363682519614t^{20} + 12629980521012221329145608253440548t^{19} + 950650896744424977733970824594590t^{18} + 40469897811842642578007863858408t^{17} - 1687809640703582897588953803950t^{16} - 580286039912020569271272828045t^{15} - 75267561790472747513310652558t^{14} - 7091348997235255487874542973t^{13} - 522913287948190917004251068t^{12} - 29102885179101954063984419t^{11} - 1064135678824669285754688t^{10} - 11572282022685857608167t^{9} + 1371761569794510840028t^{8} + 107170848159990096796t^{7} + 4394176505055403152t^{6} + 122792788396914338t^{5} + 2397686683342608t^{4} + 27936912798760t^{3} + 186998825416t^{2} + 739812240t - 1228800 \right)D^{5} + \left( 154728611704249947735776363150304070017024t^{40} + 657120763282339491176073885101225594118144t^{39} + 1182252122895317061828255432343350951485952t^{38} + 1051329128728893095875308470703799184678400t^{37} + 183592989291944100623088177342005091589440t^{36} - 712119443989288514183710179310356674747904t^{35} - 985164205878189505221531102378684607327488t^{34} - 656221604337251873889087710874143683451808t^{33} - 172130616379794607319585637283313123650224t^{32} + 124109599729470573761222183903680581924864t^{31} + 188047412610345886935364828939764170644320t^{30} + 135145523118193227166696707859457814588528t^{29} + 68891911998387473280781145855869816348440t^{28} + 27466017278124727190502639824774984091000t^{27} + 8949577983422722365544144359591278365920t^{26} + 2445734646507238584169109758314320016900t^{25} + 569620301982220062191028681849115065384t^{24} + 113936901279268959211070459022849805152t^{23} + 19551074523689165937254781824094823956t^{22} + 2849536091186870446420479138241962588t^{21} + 346256723401962754759579218907494501t^{20} + 34082214659016707438136459166521684t^{19} + 2588725783971386172132771681678339t^{18} + 135799260486807907986148595203898t^{17} + 2921834237667786630364989951294t^{16} - 238507352404380861022981776144t^{15} - 26880304246815327030233558617t^{14} - 823263675918210089474597112t^{13} + 64127735019706270950804702t^{12} + 8882819125991199015355344t^{11} + 462813603519351743422558t^{10} + 7400037488054857764862t^{9} - 586996695106430004931t^{8} - 49371606974105516448t^{7} - 1940413633562766180t^{6} - 50399119618274860t^{5} - 939958858132122t^{4} - 10675007604336t^{3} - 69420103212t^{2} - 262916960t + 409600 \right)D^{4} + 2 t \left( 231875805379053710264465606891288232148992t^{39} + 995786265087417449251186890778852554350592t^{38} + 1853661342841797830274038545125328763059968t^{37} + 1832437999823466664243335519040392749848320t^{36} + 739039761394113637412132030863871691670560t^{35} - 528412805630276816289920532313107397241376t^{34} - 1070881722108084521817357328418154772390560t^{33} - 824491141790367981514046804735082352526448t^{32} - 304379093803242551684476741983638327756232t^{31} + 52583233719476085669406489590491180471496t^{30} + 157418791065243987078270872606727364532640t^{29} + 123576840808045938701022573289890946032264t^{28} + 64666811911616895392273290621955184187236t^{27} + 25943497888740960598719099590132629799184t^{26} + 8435412982999365878432808495964031411790t^{25} + 2291388276343564127046488784381652836672t^{24} + 529211447286161612173948415580470140176t^{23} + 104663465863611291725117498033260391652t^{22} + 17668593205754853694429086628528464258t^{21} + 2511937404042970913691263291033221176t^{20} + 293471914406071295160403244520956307t^{19} + 26998163021684949213493001227140552t^{18} + 1776720080774692730950403393781033t^{17} + 54898718992931471632034360331698t^{16} - 4423504439635392762573571163149t^{15} - 886686007455251609853267668588t^{14} - 84324025356676977387720036805t^{13} - 5730139461167360189645289778t^{12} - 303977322702842694392153619t^{11} - 12993610923827573223867942t^{10} - 451841890488566456422770t^{9} - 12791661884693583763350t^{8} - 289428261865909264111t^{7} - 4830916591121913448t^{6} - 51359411396712764t^{5} - 387271004652880t^{4} - 3345827093158t^{3} - 27933021888t^{2} + 34410972t - 69120 \right)D^{3} + 12 t ^{2} \left( 67846981042039069395596118315465120817152t^{38} + 293932413067470040436864587297761593106432t^{37} + 559844473085216549831715208469251918460928t^{36} + 587741428736748352109282697865774307242368t^{35} + 304698536514096745574291882391635926485024t^{34} - 57490724165949111845935211215954705086816t^{33} - 246353538003492309536207363901318945629856t^{32} - 221909315213463154729278925279134932931024t^{31} - 105894371591645590489543825611403869920136t^{30} - 14110569797923060237280243577587290476264t^{29} + 21066842012880248612405527701988384411248t^{28} + 21067069229724367065618673914119320239192t^{27} + 11802866282772263922161081228767395667452t^{26} + 4860829261672734482203514176653515507880t^{25} + 1596296829786803264616328715422258906002t^{24} + 434639911066093783089353293878291403716t^{23} + 100157733241203749554877619308105390616t^{22} + 19675082621787432844170469141356016428t^{21} + 3278669632622266796415341857631019864t^{20} + 455919846495761074609995674114343648t^{19} + 51351617222207157668535642426564034t^{18} + 4429315093493512625222946660483872t^{17} + 251223664477790895127941541301968t^{16} + 2116515247702438734207007563716t^{15} - 1468365087338380578694544881564t^{14} - 205766190238765652627040290692t^{13} - 17771821452595264738130900361t^{12} - 1154587859213973243952887534t^{11} - 59719969676512932787827821t^{10} - 2500747425120737819296966t^{9} - 84519584937531294429706t^{8} - 2274452167861100083178t^{7} - 47065587689090721646t^{6} - 696482462078267656t^{5} - 6988109182580704t^{4} - 63357942799536t^{3} - 682715629248t^{2} - 4211387840t - 819200 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 15735463518232555155275399219214405623808t^{37} + 68625294915792611693403871761024823431168t^{36} + 132730779539225385910698501386203675392384t^{35} + 144418859259100572671719210782069510969792t^{34} + 83957473960824800448428578075564543775808t^{33} + 523122006090800668342998371953677603840t^{32} - 48397241177237744556957738387492796284480t^{31} - 49940453502708328351621855100256017195376t^{30} - 28071232957054242515773425295117904139216t^{29} - 8191064940091482858662208824419414334688t^{28} + 984228953141595198801202094245233597264t^{27} + 2617931597499713936689931321744597524728t^{26} + 1696922334185323580168459575700809114776t^{25} + 737257589625674474322687121505368939452t^{24} + 248041426307522039633668561380107420508t^{23} + 68316908242557526881453737225155863288t^{22} + 15811194657916626952598580685978533240t^{21} + 3100683404940457782258781668736539372t^{20} + 512124105026082651361190589833020788t^{19} + 69886012027711920669725989640746254t^{18} + 7605169799830556658332241235028133t^{17} + 613516042266226879902792943540440t^{16} + 28722537294939757011668210193387t^{15} - 730680984307238057048869018006t^{14} - 311577253076580445247163968419t^{13} - 37056413880322892781044559170t^{12} - 3000494942450177827646428288t^{11} - 187870703172200045605690198t^{10} - 9474180590139233148975660t^{9} - 387800161425249777584964t^{8} - 12747019877457909826551t^{7} - 328304527333860440196t^{6} - 6280859999283891256t^{5} - 81069015437292436t^{4} - 667548722249882t^{3} - 4931512693912t^{2} - 58606483684t - 294039840 \right)D + 288 t ^{3} \left( 964943010316494840884168151857212784640t^{37} + 4228140943472425333542460257805475389440t^{36} + 8259503888395150178922615282231223307520t^{35} + 9180665038327383171026476760634721407360t^{34} + 5662167141123029335477689594292363156800t^{33} + 545477306841494707887309419951670010944t^{32} - 2669515358437548292747514509244723992416t^{31} - 3043966966511973906541434091491071385504t^{30} - 1885564432279918156209005294549650839888t^{29} - 706266424458848143362963905349680142720t^{28} - 94529292763372590934115150719501287000t^{27} + 72892637233739922343598871677244657432t^{26} + 64659005105310044816186857417716367584t^{25} + 30683606365787327214462851870645765064t^{24} + 10725798653447590541456821153043795880t^{23} + 3012076399209811469738522091022673160t^{22} + 703946563364150512367751812684871270t^{21} + 138399790482417129347596194648130356t^{20} + 22741256101956677498772686537649750t^{19} + 3056425562620996328281794525746472t^{18} + 322359406996082519460535584200994t^{17} + 24288245926324840294431301266396t^{16} + 874312289757433158857053254717t^{15} - 73183916045074508828574457058t^{14} - 17011253264674935438086488385t^{13} - 1836782070122310314411573074t^{12} - 142025985396130465370391464t^{11} - 8632885456339548861515162t^{10} - 425614642427848949055204t^{9} - 17060039993631206134560t^{8} - 547947957789887376012t^{7} - 13682862279965086176t^{6} - 249367747093130972t^{5} - 2973062481437312t^{4} - 22106327355496t^{3} - 135233920160t^{2} - 1566540800t - 5184000 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × Gr(2, 6)

|λ| = 14.32173 λ ≈ 14.32173; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.194541 - 8.382042i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.194541 + 8.382042i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 6.902808; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.160865 - 2.422553i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.160865 + 2.422553i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 3; Jordan blocks 1, 2 λ ≈ -2; multiplicity 2; Jordan blocks 2 λ ≈ 0.4862745; multiplicity 1; Jordan blocks 1 3 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$14.3217295$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$14.32173$11
$-2.194541 - 8.382042\mathrm{i}$11
$-2.194541 + 8.382042\mathrm{i}$11
$6.902808$11
$-4.160865 - 2.422553\mathrm{i}$11
$-4.160865 + 2.422553\mathrm{i}$11
$-3$31, 2
$-2$22
$0.4862745$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right)^{3} \left(\lambda^{3} - 6 \lambda^{2} - 96 \lambda - 332\right) \left(\lambda^{4} - 3 \lambda^{3} + 46 \lambda^{2} - 540 \lambda + 252\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda^{3} - 6 \lambda^{2} - 96 \lambda - 332\right) \left(\lambda^{4} - 3 \lambda^{3} + 46 \lambda^{2} - 540 \lambda + 252\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 4 & 8 & 6 & 6 & 54 & 30 & 64 & 32 & 96 & 80 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 4 & 8 & 4 & 4 & 48 & 24 & 24 & 64 \\ 1 & 1 & 0 & 4 & 0 & 0 & -4 & -4 & -12 & -6 & -6 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 8 & 18 & 12 & 30 & 32 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 4 & 0 & 0 & -4 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 12 & 8 & 4 & 24 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 3 & 5 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$