Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-203-47-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
Fl(1, 2, 5) × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(w1 + w5) + E^(w3 + w5) + E^(w4)
Bundle
O_1(1,0) box O_2(1) + Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v box O_2(1) + wedge^2 Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v
ZL62 label
4042.7w5w3
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,4;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1,3;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 47
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 203
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -5

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 203
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 146
$\mathrm{c}_2^2$ = 102
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 50
$\mathrm{c}_4$ = 17
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 9 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 5 0 x0 + 5 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 36 0 0 x1 - 1 37
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 47 0 0 0 0 47
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 42t + 117t^{2} + 42t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(244)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) \left( 718807t^{10} - 233170t^{9} - 1140103t^{8} - 806848t^{7} - 289122t^{6} - 64312t^{5} - 9302t^{4} - 783t^{3} - 3t^{2} + 6t + 1 \right) \left( 105985415165777548404079808608t^{30} + 548180293248515747330688078744t^{29} + 1972230562624593504913780880676t^{28} + 5248472895283630257509117313892t^{27} + 9627641433397196437320804953698t^{26} + 12189192569949837546593326063220t^{25} + 10968692893094260868609884322951t^{24} + 7226091701170516817980331691687t^{23} + 3570924537449367516213711622527t^{22} + 1355695972430823336163389762930t^{21} + 411069785937375442392664328040t^{20} + 108095571254108206389583408077t^{19} + 28063640778706621386230622077t^{18} + 7678592955679991766683370590t^{17} + 2032081145410649006665493471t^{16} + 463211801890393729108296762t^{15} + 85736453513231835043529537t^{14} + 12656268681067791028317721t^{13} + 1485236111843880578327616t^{12} + 138239407211395201070752t^{11} + 10119620618261030201181t^{10} + 569580081502751771166t^{9} + 23107180326865322682t^{8} + 524434778774083110t^{7} - 5777764167653206t^{6} - 878940964857041t^{5} - 19239858778690t^{4} + 206548115712t^{3} + 12268661240t^{2} + 117411650t + 64960 \right)D^{8} + \left( 16455540596918485442909341316995581696t^{42} + 94455141997000336814025076324288600176t^{41} + 341988838876290050641554288515277199944t^{40} + 900898718779523888446614412335335333664t^{39} + 1546367963528212641586065689209575787116t^{38} + 1365241932038414797921731270769939886096t^{37} - 429725655557503091118516769439250802196t^{36} - 3237278486972983665965287898420028495022t^{35} - 5345508634527600073989043614648587184897t^{34} - 5603164633301024891694031876093476766375t^{33} - 4323071599331176730755134563772645432387t^{32} - 2602006980258101568696170581922568626917t^{31} - 1263370702367729054751918651206281828897t^{30} - 508460867934161670191470471891693778801t^{29} - 175001189961481642907968927416143170553t^{28} - 53762831504857783768593959763469758316t^{27} - 15534411202622840602528670533748638276t^{26} - 4388522203163257661800689846478967527t^{25} - 1208744918397355004897745923508233808t^{24} - 312427403812670862793746438283525357t^{23} - 72657351847063965278210935496964559t^{22} - 14786071504124709791282607917513514t^{21} - 2598941653221301912121191057938107t^{20} - 393668415544873027677495394770245t^{19} - 51763201534485697412156539246412t^{18} - 6022341586445730834898926419021t^{17} - 640796247316995531964921796825t^{16} - 64830859126010872940653247388t^{15} - 6359515978793294574537662212t^{14} - 592655276772293554344626562t^{13} - 50017955732643391264882112t^{12} - 3638175294173849821163274t^{11} - 218666762585747800439152t^{10} - 10377196278411842296095t^{9} - 356369663725778398444t^{8} - 6422499133357270047t^{7} + 112077316796755691t^{6} + 10415268330003949t^{5} + 186202343380984t^{4} - 2110064660678t^{3} - 99427955990t^{2} - 821881550t - 389760 \right)D^{7} + \left( 249575699053263695884125009974432989056t^{42} + 1444997165331552977323077504768949564512t^{41} + 5428777395498528274727992193805644491800t^{40} + 14998723387578565774355644914798306354704t^{39} + 27900860109947348577777629512203207880820t^{38} + 31687610594189128635642762396803955111540t^{37} + 14762987731743429174710232098640082140940t^{36} - 16549029108931163410740195002653537267378t^{35} - 41783213786474685033189849067552024997271t^{34} - 47338139690123109629890151170321968196677t^{33} - 36657708993154768102634424613975486335971t^{32} - 21469492812829603437309732139300289703277t^{31} - 9980056680053171535555961878605137770557t^{30} - 3823428345583714911323509594539402918813t^{29} - 1263559271042801323591083843724380419097t^{28} - 383383644399223926653443805544223668554t^{27} - 113660129542981281814317716877714152974t^{26} - 33521826462183234477250212526224708105t^{25} - 9457093333468850330698190924843240240t^{24} - 2414962107348776376409585413328640615t^{23} - 537348647162646284816693010148117563t^{22} - 102252026939952430337605193160507354t^{21} - 16505673964404698846293400085625197t^{20} - 2246893086599016221164694023981141t^{19} - 254749133882195838271356634045628t^{18} - 23198800965577887079354269176007t^{17} - 1500771315684941856397015732813t^{16} - 27288144608082171554044919664t^{15} + 9715991038259700680939880708t^{14} + 1801127335353890577785973284t^{13} + 198209104085703557013002526t^{12} + 16097703298963344238640920t^{11} + 1007545567125797422094842t^{10} + 48423697769383424624611t^{9} + 1702284724487724209102t^{8} + 36055643463525286653t^{7} - 65852149552262209t^{6} - 31125489676917991t^{5} - 628275674690128t^{4} + 4577681820346t^{3} + 254965820330t^{2} + 2000006290t + 844480 \right)D^{6} + \left( 2073398115211729165806577005941443293696t^{42} + 12091149888653318982943625646578197584864t^{41} + 46682059010191475757000906109047454906440t^{40} + 133159480782901538634247931909013226372536t^{39} + 259695788294010433495957608926226406728756t^{38} + 330090225626881377895497919653826253314040t^{37} + 247257737885721047154530764670791864633396t^{36} + 44884508950901383823688900011720108467376t^{35} - 137332129583888924749311359462578381697277t^{34} - 202451715542494035406860979807204758815965t^{33} - 165996868291526322976907124356906440168845t^{32} - 97196755263547396744639909944140693102953t^{31} - 44091609202425566025999418069141806294565t^{30} - 16377398208766531277084122957667266235753t^{29} - 5319854992171759232637639001740824384807t^{28} - 1642592023636617722188311594410085669268t^{27} - 511649063004149298671156672010725356828t^{26} - 158042298591218588621278911069766323799t^{25} - 45298250340077673008722543598985100212t^{24} - 11400206366693822629308207386002146061t^{23} - 2450964617009093953178291924426299765t^{22} - 445873267413427072911169117917941034t^{21} - 68528876796334487604278777415942449t^{20} - 8914841060655252140431212456331217t^{19} - 986791234827229323884544128040446t^{18} - 94311374926280313584501343421055t^{17} - 8078849663691412040831267420591t^{16} - 665832383368986178729616018694t^{15} - 56703499319555381099977729198t^{14} - 4959813004756278632943923784t^{13} - 410720247199557061037252642t^{12} - 29750950782176391465104772t^{11} - 1798264889776925843681368t^{10} - 87866418014057567471715t^{9} - 3312747788037728232466t^{8} - 85302529259555249481t^{7} - 857443283363837347t^{6} + 27498506918297119t^{5} + 737683301940796t^{4} - 4570380896882t^{3} - 270163480250t^{2} - 2006931650t - 779520 \right)D^{5} + \left( 10261400857228418880774216756256494819264t^{42} + 60194808175530217660084148112660125808912t^{41} + 237170654698699062521335298002948614544536t^{40} + 691788240152776437232692208975772709189044t^{39} + 1390209154554901787271054679104993000881864t^{38} + 1877386312448655988816996411107774154954974t^{37} + 1660298907425462029523358138274279239096892t^{36} + 833559888032626543597641417442580320198217t^{35} - 7774150261735101809269158605959035654423t^{34} - 418970775043847837020067031159095626388478t^{33} - 418472985565712399907652259226961718985668t^{32} - 256598200022368835243745145646828233481485t^{31} - 116256785451337193875637254205844279224915t^{30} - 42536922733307046870772875534907656832671t^{29} - 13809196696625143598653324741265985566052t^{28} - 4419293115478204199846346556944308632988t^{27} - 1457332221981310655239411016245106481766t^{26} - 468097644059372853512636939071555291893t^{25} - 135038594710238053601711915187634264604t^{24} - 33359321664343852178757965575093499318t^{23} - 6934505397729293798103986387683056753t^{22} - 1209024839850170040842408290803969807t^{21} - 177045839864050835338960163496047835t^{20} - 21808448658538163990788785827302006t^{19} - 2256466763468838728632645471876814t^{18} - 194270242354966671916032240476865t^{17} - 13489062207651534307401573819220t^{16} - 680454452862080430505647147597t^{15} - 13361065668658522791466154874t^{14} + 1813724588550412954633368050t^{13} + 267824375924121497956723929t^{12} + 21434857312237265415422689t^{11} + 1241974900182290302108693t^{10} + 56372147495944193012386t^{9} + 2049799387325893755416t^{8} + 55551972663142158792t^{7} + 799146802401592580t^{6} - 7124291631765916t^{5} - 297849766650322t^{4} + 1845730769932t^{3} + 101840607800t^{2} + 710739580t + 259840 \right)D^{4} + 2 t \left( 15377702687820324646398779460732371094912t^{41} + 90640855159087771557412259196520621398072t^{40} + 362580348731467206223584741060601199238648t^{39} + 1074622045373470868944637248119197457518628t^{38} + 2202838609830923232469812508997261604615072t^{37} + 3082623485911607670407813898896822506616236t^{36} + 2951511438042172585329869010586368734963744t^{35} + 1870887109572438537199530512740663820277259t^{34} + 642810624823077480600047632521599751516351t^{33} - 83684528497479637704468316900075046350046t^{32} - 266524277999808460108241220298287178707300t^{31} - 192045190314840545283434146246327250461277t^{30} - 90226049424013221466074622589487275858957t^{29} - 33042313518633552405241569966125226378523t^{28} - 10861382659658794578858243418092157625104t^{27} - 3664809740292695039975306733635658932588t^{26} - 1293848309603826207774208146765339826640t^{25} - 433720902194051961818278289981138716589t^{24} - 126520336772509725147957823023249984306t^{23} - 30952555648470614201414315365199604155t^{22} - 6299036394760527222380789174862308294t^{21} - 1068587063162735669592302178598744098t^{20} - 151767446510913066245874752106339022t^{19} - 18110900275549763294162293865176357t^{18} - 1819156818840589939015797883701091t^{17} - 153639233080660215333051866553874t^{16} - 10834590539318192875115108527420t^{15} - 624649474587000238540882136895t^{14} - 27845218051946448880759806587t^{13} - 821456723006137640864633307t^{12} - 7026409896953691547300687t^{11} + 405970223398980371991147t^{10} - 13072871505294972879092t^{9} - 3354557926693418821491t^{8} - 196540244826192325769t^{7} - 6133580624278480080t^{6} - 112733419850681708t^{5} - 1158523347288862t^{4} - 4894094712130t^{3} + 1396792340t^{2} - 121741840t - 29440 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 13498571371322216489293215512005458974016t^{40} + 79866895708649604039109886120674187837632t^{39} + 323087134907576138872183976526761271160120t^{38} + 968683641714157685453100634632311061521324t^{37} + 2012548360340637571252121555371486862772960t^{36} + 2878783652421909338528030872090728468042882t^{35} + 2877539455527073507932138462517833741996924t^{34} + 2011807764943948170076430796162352709332817t^{33} + 938215159289379390010920908422122224823929t^{32} + 225915878698570012867825804506261182462619t^{31} - 42673185114418700579536683101154896630195t^{30} - 69933770059635325768728696125103696802475t^{29} - 37443989541250495772017238656310505263435t^{28} - 14046727523326694670935408191366671288611t^{27} - 4743395576105935847823853115418443148654t^{26} - 1738236854089970585423803025546873681494t^{25} - 674852274339654854045624380783331043121t^{24} - 239658805776459358465827482858604134294t^{23} - 71435921187038278087058258558470810807t^{22} - 17474131106035581978078895005182109048t^{21} - 3513664531053491430499284616857551849t^{20} - 585086772160717445466779712462838894t^{19} - 81264424607004838915685977618557054t^{18} - 9466779289184209704906621090892136t^{17} - 928272939454086045446055581237593t^{16} - 76663722455057025569200173047286t^{15} - 5299764284592793011459554022850t^{14} - 299915967384560514672122594159t^{13} - 13137173580852349640283930668t^{12} - 393428392720640004065726809t^{11} - 6454729070608139618052527t^{10} - 211399855141003670254678t^{9} - 33123726018746564211966t^{8} - 2591388229973408974548t^{7} - 110821110151410416880t^{6} - 2851088022531908242t^{5} - 44006428480424278t^{4} - 389970072518244t^{3} - 1579570217248t^{2} + 3442307520t - 1039360 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 2087111065709161237009001457038939611776t^{39} + 12384519527436191545952506934267416971384t^{38} + 50508166851145070260707282136823644247400t^{37} + 152685264029547123502606270307960316464556t^{36} + 320122545455375498688692402121876928343696t^{35} + 464257968528379854006191172484994979711772t^{34} + 475673440759675257114617094795710995882032t^{33} + 349337901161733587656356118993779202061155t^{32} + 182487703781002921038039549666000400221033t^{31} + 63930356515374327455613236038751977472329t^{30} + 11377126043212157956383820001827463795135t^{29} - 1793800611074779263891741215111983736299t^{28} - 2054110787027305317113840414775082062065t^{27} - 847522745505179598231899481451278918103t^{26} - 305335741289178798849726845134260508062t^{25} - 132930084646577662228901782484008879566t^{24} - 60877677916589605454048128699137302415t^{23} - 23664032426495850251304927403715620884t^{22} - 7331768139843338575697371108495033555t^{21} - 1814673149800896631253214686346010015t^{20} - 364115072855282183820120185984705510t^{19} - 60048195302394451702095025289451497t^{18} - 8226375827544883457741605396098363t^{17} - 943688240057611676150212293182485t^{16} - 91173287908836488578586207477510t^{15} - 7435309348437960183632184978635t^{14} - 508429317109937761184154434746t^{13} - 28396874935312127500407746063t^{12} - 1219343287841546424042296321t^{11} - 36305953615463687455131732t^{10} - 799437072501951005977213t^{9} - 48271099738527243243078t^{8} - 4868529313199174854435t^{7} - 295101791867668215845t^{6} - 10679788742080819521t^{5} - 238824216705165764t^{4} - 3213321423893286t^{3} - 24986861850870t^{2} - 108204634730t - 57928080 \right)D + 288 t ^{3} \left( 63993768988016332277980771788316151040t^{39} + 380506246448839958747352104435971914760t^{38} + 1560499448673568870849540455182434681000t^{37} + 4743775863096162351293201914074749982140t^{36} + 10005295067969062090664330786210470562096t^{35} + 14634288246266843369231548594947747008368t^{34} + 15211324808612369313433097389685729192904t^{33} + 11470376134716085711442588815996391629057t^{32} + 6318079821152886473803698700333470473833t^{31} + 2506321381532367885738136979649290780173t^{30} + 679583888771466741683896920804580325701t^{29} + 107630866280266484794500429577443529546t^{28} + 3392559434030590407362027571585417616t^{27} - 2546381055598663659360644494908028805t^{26} - 1693846655430798876636608084005697948t^{25} - 1585381643340023909881775624232304223t^{24} - 1055651862710962045801967284212831608t^{23} - 475454238740452661939152931307441694t^{22} - 156275691292006456159833477016387236t^{21} - 39576675796484008911355376042039687t^{20} - 7990152158596015452266498420411596t^{19} - 1314493252672150900045642715333733t^{18} - 178851738265025140467499940067056t^{17} - 20346492979025228857108453156762t^{16} - 1951464198238336640501658888167t^{15} - 158416184396205719101671404390t^{14} - 10802675320146863857202943685t^{13} - 600192684619107871217381481t^{12} - 25478925836742985514276960t^{11} - 763255907525118674333206t^{10} - 20885150780423346455663t^{9} - 1507021446320322144717t^{8} - 128479294564727766707t^{7} - 6761281301540838910t^{6} - 217220626408297176t^{5} - 4327075477674542t^{4} - 52530180788502t^{3} - 375646983140t^{2} - 1621176140t - 4823280 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 5) × ℙ4P4

|λ| = 11.5533 λ ≈ 11.5533; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.98858 - 6.463651i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.98858 + 6.463651i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.428539 - 4.818299i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.428539 + 4.818299i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.122535 - 2.033903i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.122535 + 2.033903i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.982664; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.073335; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.5820061; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$11.5533007$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$11.5533$11
$-0.98858 - 6.463651\mathrm{i}$11
$-0.98858 + 6.463651\mathrm{i}$11
$-2.428539 - 4.818299\mathrm{i}$11
$-2.428539 + 4.818299\mathrm{i}$11
$-3.122535 - 2.033903\mathrm{i}$11
$-3.122535 + 2.033903\mathrm{i}$11
$-3$11
$-2.982664$11
$-2.073335$11
$-2$11
$0.5820061$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda^{10} + 6 \lambda^{9} - 3 \lambda^{8} - 783 \lambda^{7} - 9302 \lambda^{6} - 64312 \lambda^{5} - 289122 \lambda^{4} - 806848 \lambda^{3} - 1140103 \lambda^{2} - 233170 \lambda + 718807\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda^{10} + 6 \lambda^{9} - 3 \lambda^{8} - 783 \lambda^{7} - 9302 \lambda^{6} - 64312 \lambda^{5} - 289122 \lambda^{4} - 806848 \lambda^{3} - 1140103 \lambda^{2} - 233170 \lambda + 718807\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 2 & 2 & 15 & 15 & 15 & 12 & 48 & 56 & 48 & 40 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 4 & 4 & 6 & 12 & 12 & 16 \\ 1 & 1 & -1 & 2 & 6 & 2 & -2 & -4 & 0 & 0 & -6 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 2 & 4 & 2 & 2 & 18 & 21 & 18 & 16 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 3 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 3 & 1 & -2 & -1 & 4 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 2 & 0 & 4 & -2 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -\frac{2}{5} & -\frac{13}{10} & -\frac{16}{5} & -\frac{19}{10} & -\frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & \frac{6}{5} & \frac{7}{5} & \frac{18}{5} & \frac{6}{5} & \frac{12}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{3}{2} & 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$