Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-208-48-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
E^(2w4) + E^(w2 + w4) + E^(w1 + w4)
Bundle
O_3(2) + O_2(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_3(1)
ZL62 label
12040.Aw7w2
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 48
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 208
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -2

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 208
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 148
$\mathrm{c}_2^2$ = 98
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 56
$\mathrm{c}_4$ = 14
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 6 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 2 0 x0 + 2 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 37 0 0 x1 + 1 36
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 48 0 0 0 0 48
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 43t + 120t^{2} + 43t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(395)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(468)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) \left( 2t + 1 \right) \left( 4t + 1 \right) \left( 5t + 1 \right) \left( 182272t^{8} + 56320t^{7} - 24576t^{6} - 9472t^{5} + 368t^{4} + 4t^{3} - 67t^{2} - 6t + 1 \right) \left( 504654399633957683076268032000t^{34} + 3285570410072051290176749568000t^{33} + 9221088618800313817319971225600t^{32} + 15958736307335028368710670745600t^{31} + 20057714490617077624017141104640t^{30} + 20126901120408109232424841379840t^{29} + 16836918250105584048655753543680t^{28} + 11735100743186828580224931725312t^{27} + 6612311697871530034874063781888t^{26} + 2840230090493572770084054630400t^{25} + 796503973877998343983225372672t^{24} + 27690234061821701432617467904t^{23} - 121291616806869218551879892992t^{22} - 85043595744906627632254222336t^{21} - 37316888238976569142569730048t^{20} - 12404167514310743125835218944t^{19} - 3288872316794887901971575808t^{18} - 705356572591617707563528192t^{17} - 121767660611299557629318400t^{16} - 16518276344431229007304448t^{15} - 1645596290904844887043328t^{14} - 91623915998546802984448t^{13} + 4455691894373133340992t^{12} + 1888765655240709709536t^{11} + 267627809767276900368t^{10} + 24049677767478716408t^{9} + 1375574438633328286t^{8} + 35583283840698146t^{7} - 1308188343996299t^{6} - 158662731614967t^{5} - 6094879463830t^{4} - 118075374290t^{3} - 2238239953t^{2} - 8213469t + 506844 \right)D^{8} + \left( 110381240076096881771613032074444800000t^{46} + 942075672207569889032377185576419328000t^{45} + 3616295321227701829482584603774418944000t^{44} + 8574782674621681026075853896384354713600t^{43} + 14454793323513106722308556081795694592000t^{42} + 18839423836808571155594666938629797969920t^{41} + 20032095367059036196857828903237556633600t^{40} + 17884562985372914008039232014289437982720t^{39} + 13475594830574038470113344981629310861312t^{38} + 8432682701680350368474778230346236297216t^{37} + 4211731159022044097107684352367978872832t^{36} + 1525096785367886933191051223930429767680t^{35} + 260499983915132350308117308610348843008t^{34} - 122541154955242959446551611886897463296t^{33} - 137795655531103725404823072459888525312t^{32} - 73546495680261563412236660688396746752t^{31} - 27163175845220684729970358636326682624t^{30} - 7110607334659425637660309305641926656t^{29} - 1078892848226426777780309007718154240t^{28} + 80661363149164901172666300859416576t^{27} + 118374674417893480091922413961609216t^{26} + 45772099078023665571944213501509632t^{25} + 11759549795742397550715432263581696t^{24} + 2210956583065749368413184382558208t^{23} + 295096432246205849690764751046656t^{22} + 21860252381221271110579329102848t^{21} - 1037756380966435597916544137728t^{20} - 564377044410697201188234249984t^{19} - 73610242813500318952229324288t^{18} - 715115270937829726294365440t^{17} + 1533768866709298973549067072t^{16} + 326852792330277488468313696t^{15} + 37063954560117321208963152t^{14} + 1924461138657546899135824t^{13} - 151276365984754652017348t^{12} - 47392719195247307164654t^{11} - 5926386608153413159620t^{10} - 469160951686651637017t^{9} - 23088704192043560100t^{8} - 442545907212523366t^{7} + 25921515119173912t^{6} + 2311141179656692t^{5} + 77132081131056t^{4} + 1349614977652t^{3} + 22347778132t^{2} + 67839093t - 4054752 \right)D^{7} + \left( 1390803624958820710322324204138004480000t^{46} + 11602474072226437180277636656319692800000t^{45} + 43376069169388298800079639136163594240000t^{44} + 100478834752357060939066032162596297113600t^{43} + 166600156491609467477359506684778433740800t^{42} + 215431275910549213054439624865639332577280t^{41} + 229104533918721569401823719725980912189440t^{40} + 205606737477314599172517933017262834319360t^{39} + 156001153784555313719951998159668518060032t^{38} + 98369813384551584750147725433050322960384t^{37} + 49661537747268765391118326444023378608128t^{36} + 18401333801999579803361461641718305652736t^{35} + 3472115661657168382889779201741240139776t^{34} - 1244336319307064271213801995370034626560t^{33} - 1600057881219513572676131664649407954944t^{32} - 919595782007693299253072981932711608320t^{31} - 376716458400708433867770496868327358464t^{30} - 119104868880778474074450209205674573824t^{29} - 29075097213441478952107682581587165184t^{28} - 5075576455814036035336281502925193216t^{27} - 411418251798088889035048487820197888t^{26} + 98178617993119353888579478329131008t^{25} + 52530026175923631895674052307058688t^{24} + 13429544230765616462498316416495616t^{23} + 2329211714556413816192775463972864t^{22} + 262268409751012473549577614462976t^{21} + 6504808408810541193805892123648t^{20} - 5368497912717225876164129720064t^{19} - 1619143147375867489372784794624t^{18} - 299282485036307678560380299392t^{17} - 41239587121922915513874099072t^{16} - 4307662569891136642194868416t^{15} - 311584540383441490800686048t^{14} - 8103059006642355244305400t^{13} + 1689489677667864156654496t^{12} + 332771552976352860214390t^{11} + 35388558019284042504298t^{10} + 2557342747216295435427t^{9} + 120305222277912040614t^{8} + 2487828689599706046t^{7} - 96474225105503594t^{6} - 9362553234651564t^{5} - 308230918470218t^{4} - 4953691688464t^{3} - 75143726184t^{2} - 235095387t + 11657412 \right)D^{6} + \left( 9581091638605209337776011184061808640000t^{46} + 78436630160773934534640834258816466944000t^{45} + 286556820051216638044455982243908681728000t^{44} + 649980333481061299359367094987931621785600t^{43} + 1060752000232052736016316338518771525222400t^{42} + 1358923901854292612066738706772890589593600t^{41} + 1439518708973254120529678981115815133184000t^{40} + 1289604668854839768069836999026931620904960t^{39} + 975362772592471084233731531492950343155712t^{38} + 610562217758835241482669022002299759755264t^{37} + 303761341489605840516120907062200577818624t^{36} + 108793612336850936163679553816509204660224t^{35} + 17228674040182820541973275022272283803648t^{34} - 10551680203707295742447857447468368134144t^{33} - 11589068661532905343817718111216764715008t^{32} - 6599880332556706073120812348368117301248t^{31} - 2773628414317251723643066144754243731456t^{30} - 928069226280853887906456676051091193856t^{29} - 252153878933937456067673498750781751296t^{28} - 55151692789750834875516026298509295616t^{27} - 9291213197753649908237526222942896128t^{26} - 1033742501419585082515037767627079680t^{25} - 10568663512250871704406185242984448t^{24} + 27994066354961374947361503835291648t^{23} + 8143386197389606193119358660651008t^{22} + 1532372385013508530472080674241536t^{21} + 231963985477284778360919127858688t^{20} + 32017221224939541079083505242368t^{19} + 4500722494746350656132845647872t^{18} + 661591825787339787093689718400t^{17} + 93366146216256612725492482944t^{16} + 11308899558279468412306699968t^{15} + 1063697056186556129048144992t^{14} + 65715814900047200481388272t^{13} + 637924894882812367369988t^{12} - 425323439383206172975942t^{11} - 60064060808594060577384t^{10} - 4757435906356950026429t^{9} - 233889277439534752244t^{8} - 5343870544559824810t^{7} + 138078196447915506t^{6} + 15406523414573454t^{5} + 506657135222812t^{4} + 7623306419448t^{3} + 104248005518t^{2} + 309694563t - 14191632 \right)D^{5} + \left( 39328835839113318975225723328124682240000t^{46} + 317099030638825196736160494925337591808000t^{45} + 1136064508290092714434627276690652397568000t^{44} + 2530160919797813664547408834414894278246400t^{43} + 4070547488127768893265330173800345921126400t^{42} + 5166761489764085331525145142975249787125760t^{41} + 5443167006632437501270195988162953860874240t^{40} + 4852058510910202414498749802783604054425600t^{39} + 3640221488341919310092817521318688223920128t^{38} + 2245446704745367568109713837405488724049920t^{37} + 1086374724398744819249705585073740819988480t^{36} + 363479751465452801594911025437757218488320t^{35} + 34969068459826893578913762155325802151936t^{34} - 56170327377405952122189690737597884661760t^{33} - 51643758628729395275579651795745689829376t^{32} - 28407310683557394347192417607256379490304t^{31} - 11899582326369429829726191644339716751360t^{30} - 4041043985396688831566353722777609961472t^{29} - 1135303437860511848642795632842715430912t^{28} - 264195226642822278923590339489307164672t^{27} - 50199792760968453226918482701743620096t^{26} - 7487429596150660674343188998775865344t^{25} - 783229172572169803330585388010487808t^{24} - 30358622140176491518287596767660032t^{23} + 7967090263443390800981590080488448t^{22} + 2018609228894280755527150052248064t^{21} + 206201655446681341409205507242752t^{20} - 6968633976641487688410456573952t^{19} - 6949327826380282140267875546368t^{18} - 1517651841845245181576987711488t^{17} - 217859337446563009388114362752t^{16} - 23297026420982896747601384256t^{15} - 1897218213356321817262961152t^{14} - 112857094380967015946823644t^{13} - 3817687841071118194711994t^{12} + 108474688805048276694238t^{11} + 29494817394969301508359t^{10} + 2583180726978920338580t^{9} + 132741390242231950540t^{8} + 3194393426673272424t^{7} - 70719281737400838t^{6} - 8542229598192988t^{5} - 282883912179130t^{4} - 4038474852914t^{3} - 49631337689t^{2} - 140150976t + 6082128 \right)D^{4} + 2 t \left( 49064461213825063947481992757090713600000t^{45} + 390857106860172408841153687915295932416000t^{44} + 1377993374388712181573625906550515171328000t^{43} + 3022167073032656854133833747627517358899200t^{42} + 4802692641335057639403651469410236891136000t^{41} + 6045317792052103497465816775136203390320640t^{40} + 6332162176861502976103458874753016869683200t^{39} + 5609648692822901576663909873492215610736640t^{38} + 4166393736697437466887368943024845088620544t^{37} + 2524415798484119659434476235948302096400384t^{36} + 1179835362932354940719571185810775222517760t^{35} + 359795753348931811650751711601343892291584t^{34} + 2040875057509194683240324637031833534464t^{33} - 85368817910983955544392208227999120621568t^{32} - 69143639984353692051610032599517120954368t^{31} - 36729929082994550903616151490850671558656t^{30} - 15209822376025289917659461824745081667584t^{29} - 5167281082170974956948774219676294053888t^{28} - 1466485249419082643744231557924814323712t^{27} - 348730428911200768892679673376614383616t^{26} - 68934532536435696526471275057773608960t^{25} - 11075384123931677639194250444263604224t^{24} - 1368431246316757910833307786129195008t^{23} - 108470668525736917144170901448421376t^{22} + 485383722968540780333732408862720t^{21} + 1859051692613895140539980984608768t^{20} + 346533809670634960326495071485440t^{19} + 36364397427164370826587723908864t^{18} + 1790425591329114327966034711808t^{17} - 115099183945436831119818839488t^{16} - 32067285312106227321733343328t^{15} - 3068834321778120226682792976t^{14} - 131940499741517941189093400t^{13} + 3646266682430723640673168t^{12} + 979487289031662595286896t^{11} + 78168053515222986683914t^{10} + 4315557236133942282138t^{9} + 210056721641883702639t^{8} + 8560104486752811844t^{7} + 177542092633527076t^{6} - 3678289940341049t^{5} - 310692346992833t^{4} - 5726988017006t^{3} - 46067029274t^{2} + 100612047t + 935712 \right)D^{3} + 4 t \left( 36179291122275354615342364812933857280000t^{45} + 285550219602317234751130774743810048000000t^{44} + 993915707195581136829573282806397665280000t^{43} + 2152809491530003032684754670793407437209600t^{42} + 3386640996144490317148805763978257812684800t^{41} + 4232705315077435067196331130713470696161280t^{40} + 4410058313917314162480423730435120682762240t^{39} + 3882508053186883539348398100447999725404160t^{38} + 2853921528294580606522654197074076937224192t^{37} + 1697495116821658775197732506716586932961280t^{36} + 764488746610973688653141458580557921255424t^{35} + 208255420690825708571428165008215030890496t^{34} - 24068701860040285908372458215754377986048t^{33} - 72353225137423878495835997893722806157312t^{32} - 53793904008400273644295116972218147405824t^{31} - 27761018691980547569907720515894942629888t^{30} - 11351441702425558191868720451760959782912t^{29} - 3838353897785184170810728139561467117568t^{28} - 1090154256077312392375237656608647675904t^{27} - 260761131112663028624973181732187930624t^{26} - 52170896072338285980861758355753336832t^{25} - 8563935583899831742943419701975498752t^{24} - 1100963734809765540123756850009292800t^{23} - 96104936817568843435204683018668032t^{22} - 1561189379733666749534738420771840t^{21} + 1303774686095021989832567993568768t^{20} + 290700344950522334822842223477504t^{19} + 37982518564273624010255725903360t^{18} + 3395108623997417007118668406016t^{17} + 200558402099240891738637134848t^{16} + 6908836990776190939688900288t^{15} + 299289180603489281944122944t^{14} + 70268430040786788692015856t^{13} + 11337454014553829433908220t^{12} + 1101669496908244304589174t^{11} + 73344791588188121561214t^{10} + 3661687994120808672405t^{9} + 145607103167408577085t^{8} + 4240020666872455354t^{7} + 42117197691015546t^{6} - 2700599623344739t^{5} - 119502887443513t^{4} - 1607173722662t^{3} - 9007407568t^{2} + 11610846t + 253422 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 2389753847647497490355422144411729920000t^{43} + 18731109233307902661507025630534828032000t^{42} + 64557103840350840065506129816263327744000t^{41} + 138471786286322593935720775353763679436800t^{40} + 216090915376490226845517282096505369395200t^{39} + 268531071397771266640963411936092251750400t^{38} + 278520929028591030725059031510334570496000t^{37} + 243820918715051654178722985948796241838080t^{36} + 177520405521802066916324775607798706733056t^{35} + 103767316071511010913620441401951581634560t^{34} + 45059561296414254253947484059960153735168t^{33} + 10787731306319082439054937844290309586944t^{32} - 2930623620140060995819987900843853611008t^{31} - 5274156402907032322155382045803628462080t^{30} - 3699800185607067265467891440404379205632t^{29} - 1867094769108023854204359854838660464640t^{28} - 755034867063872094179340219053790724096t^{27} - 253862176520833736090265438444809355264t^{26} - 71932746148690215321270427980889325568t^{25} - 17209069044243328089571617524437483520t^{24} - 3451334149155047328302392349815111680t^{23} - 569107910625273681279700117901574144t^{22} - 73601367314967278079752744017747968t^{21} - 6437928657625338400697507035410432t^{20} - 81871949842387959982462846291968t^{19} + 98869549277150962294279688482816t^{18} + 22760627947572823801649160710656t^{17} + 3217113146228214981974267733632t^{16} + 334235236262680670968946140672t^{15} + 26938775232560478619084653920t^{14} + 1826496203168559395910820944t^{13} + 129101979918334982310968888t^{12} + 11555398254899145537202316t^{11} + 1103102695178856504197816t^{10} + 88932989393494819262794t^{9} + 5573433165035415681021t^{8} + 267381849296335498327t^{7} + 9457160800522868821t^{6} + 195958537061156321t^{5} - 1301919551019011t^{4} - 218160953916655t^{3} - 5528225048361t^{2} - 50333426991t - 81255798 \right)D + 23040 t ^{4} \left( 1609726417776412859169356717752320000t^{42} + 12554319152176963938492294881083392000t^{41} + 42954421481423230892082888928395264000t^{40} + 91464721034684994383955212404313292800t^{39} + 141871238538100342719829062852175462400t^{38} + 175528718595057731419210853150569267200t^{37} + 181408116632584101560808828052072038400t^{36} + 158066508324873397131485834302843781120t^{35} + 114159138932395283055561389803927764992t^{34} + 65736862858516203560903578325939650560t^{33} + 27620625028624718718211230553998360576t^{32} + 5763010973364392163043217592924766208t^{31} - 2658933606257126588540904049240702976t^{30} - 3807689302176537431761645012357480448t^{29} - 2568246034331987486052578162637799424t^{28} - 1274944068324919979279800960390529024t^{27} - 511090382406094804987908650102554624t^{26} - 170974198434606825480283276720603136t^{25} - 48302067452197183957203831622238208t^{24} - 11535780486185293551430331247296512t^{23} - 2310929475120476783860899594854400t^{22} - 380447750069048632413991316023296t^{21} - 48936821049652418017535937600512t^{20} - 4168610898332318449047794314752t^{19} - 9232073553743904420971413248t^{18} + 77836237871462320419347033088t^{17} + 17649410292022546352168851968t^{16} + 2564814219536645085482644032t^{15} + 281819511969197622092689696t^{14} + 24818314013374438388908432t^{13} + 1871778141671608787591784t^{12} + 136460737514428319568596t^{11} + 10793567122088807255354t^{10} + 886248026916524764966t^{9} + 65441282917744450379t^{8} + 3944048348364098151t^{7} + 184321391168609523t^{6} + 6120941435110728t^{5} + 98348796623016t^{4} - 2309127478860t^{3} - 162951880470t^{2} - 3242264895t - 24328512 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ4P4

|λ| = 11.92107 λ ≈ 11.92107; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.620049 - 2.6396i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.620049 + 2.6396i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.978928 - 4.292198i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.978928 + 4.292198i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.601876 - 0.9713599i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.601876 + 0.9713599i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.564923; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
13
Spectral radius
$11.9210697$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$11.92107$11
$-4.620049 - 2.6396\mathrm{i}$11
$-4.620049 + 2.6396\mathrm{i}$11
$2.978928 - 4.292198\mathrm{i}$11
$2.978928 + 4.292198\mathrm{i}$11
$-5$11
$-4$11
$-2.601876 - 0.9713599\mathrm{i}$11
$-2.601876 + 0.9713599\mathrm{i}$11
$2.564923$11
$-2$11
$-1$11
$0$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda + 5\right) \left(\lambda^{8} - 6 \lambda^{7} - 67 \lambda^{6} + 4 \lambda^{5} + 368 \lambda^{4} - 9472 \lambda^{3} - 24576 \lambda^{2} + 56320 \lambda + 182272\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda + 5\right) \left(\lambda^{8} - 6 \lambda^{7} - 67 \lambda^{6} + 4 \lambda^{5} + 368 \lambda^{4} - 9472 \lambda^{3} - 24576 \lambda^{2} + 56320 \lambda + 182272\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 2 & 8 & 0 & 12 & 6 & 6 & 12 & 8 & 8 & 24 & 40 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & 2 & 4 & 0 & 0 & 4 & 6 & 6 & 6 & 16 \\ 2 & 0 & 0 & 2 & 4 & 4 & 8 & 0 & 8 & 12 & 0 & 12 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 2 & 4 & 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & -1 & 2 & 2 & 0 & 2 & 4 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 4 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & -1 & 2 & -1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -1 & 2 & 2 & -2 & 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$