Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-208-48-e

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ3P3
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6ω1ω2ω3ω4ω5ω6
Bundle
E^(w2 + 2w4) + E^(w1 + w2)
Bundle
O_2(1) box O_3(2) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
12030.x361g
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;2) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 48
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 208
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -8

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 208
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 148
$\mathrm{c}_2^2$ = 104
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 44
$\mathrm{c}_4$ = 20
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 8 0 x0 + 8 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 37 0 0 x1 - 5 42
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 48 0 0 0 0 48
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 43t + 120t^{2} + 43t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(316)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(405)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) \left( 2t + 1 \right) \left( 144t^{5} + 192t^{4} + 8t^{3} + 28t^{2} - 14t + 1 \right) \left( 2000t^{5} + 2400t^{4} + 760t^{3} + 148t^{2} + 18t + 1 \right) \left( 2157213043944300268800000000t^{30} + 4857741675675241861294080000t^{29} + 997292618444330549530214400t^{28} - 12133487990104087463979786240t^{27} - 22364328130573345376416106496t^{26} - 21948196161067681336436722688t^{25} - 15071731793376592138271802368t^{24} - 7506505691941137581500910592t^{23} - 2276347032927007267670405376t^{22} - 19690129984992346840467968t^{21} + 360715914158066907958948288t^{20} + 182038134443892481448022592t^{19} + 45319913272292482950968864t^{18} + 5724919816377526955420208t^{17} + 150449050384061561187080t^{16} - 42244342381985053527636t^{15} + 3241358868239577902504t^{14} + 1754316635626004834172t^{13} - 81354730654432518592t^{12} - 39273339833574216744t^{11} + 887395194556659035t^{10} + 1250640491966256768t^{9} + 147830924706175564t^{8} + 11421969719693599t^{7} + 249224899058368t^{6} - 785277007534t^{5} - 75132431480t^{4} - 5712709855t^{3} + 101110861t^{2} + 2121930t - 5824 \right)D^{8} + \left( 44731969679229010373836800000000000t^{42} + 253877310902732706082184232960000000t^{41} + 560613996129421231763263075123200000t^{40} + 360204184626178072251188065075200000t^{39} - 1038502028947819374935829004419072000t^{38} - 3322533998646184779787223655265075200t^{37} - 5155907928776948717015497355054284800t^{36} - 5494730715644789798808134904891834368t^{35} - 4428016754637760220771984268001804288t^{34} - 2777537297988965034720550037958819840t^{33} - 1330048191504834472718351368559984640t^{32} - 439443423907825863959881302876717056t^{31} - 56326333030801254015719747557670912t^{30} + 38544621239225943238085537836531712t^{29} + 32025687764614246618587847388241920t^{28} + 13255893374209522314556121683718144t^{27} + 3598368958221235748724431740815360t^{26} + 643551033243430468049794243131392t^{25} + 67692535109215665336144361786368t^{24} + 3809075985625306174151339359232t^{23} + 941766677324667197608518423552t^{22} + 375439859754508633279828909312t^{21} + 48099692806611621911798405568t^{20} - 6344100220854669779127583552t^{19} - 2557518033541741669891710144t^{18} - 151094404308216060792053640t^{17} + 42277505801759544054191572t^{16} + 6729281266050970546294060t^{15} - 269840524550567373835604t^{14} - 137998683822427782574604t^{13} - 11729584896954042259360t^{12} - 643110087075850840002t^{11} - 151694632000178204884t^{10} - 27769460415670655854t^{9} - 2614672479577663183t^{8} - 157788256975818343t^{7} - 2912574278579858t^{6} + 10547870953240t^{5} + 823069373211t^{4} + 49412324101t^{3} - 821573870t^{2} - 14853510t + 34944 \right)D^{7} + \left( 678434873468306657336524800000000000t^{42} + 3500484899693799754480482385920000000t^{41} + 6762585578133855259183848003993600000t^{40} + 1982927191845113237669730440970240000t^{39} - 17984083555359514355868753733877760000t^{38} - 45858754670830288981384652612016537600t^{37} - 64319339618592588613623770454750658560t^{36} - 63566970552249246241754964894451499008t^{35} - 47822466504240668287514694246885490688t^{34} - 27750637405547127339101373495053647872t^{33} - 11819619427012814494890818847477465088t^{32} - 2971061362696184537254711910432931840t^{31} + 244532741523565662110210958295859200t^{30} + 681630620404118326581208444948529152t^{29} + 380699863716759454172072120603348992t^{28} + 132031383857386751786696074605023232t^{27} + 31709903342441959163265160266490880t^{26} + 5271513360261943183523662282431488t^{25} + 571619740365460803761636749244416t^{24} + 37553223358232549403571304225280t^{23} + 3219511303776019867836830847232t^{22} + 969237815823348006195415170304t^{21} + 229112913122388872763203079168t^{20} + 48059819585087301288526964416t^{19} + 13209554438411926102292582048t^{18} + 3217847096567018242916107056t^{17} + 498423052040467831043833644t^{16} + 45747289338626909873670356t^{15} + 2399203943770628249792108t^{14} - 84863141797529664971968t^{13} - 61567086261786671249726t^{12} - 6674619580563619394524t^{11} + 189699551026803476808t^{10} + 113717987585954637514t^{9} + 10772079451045831437t^{8} + 680003852057821577t^{7} + 12276297609206770t^{6} - 60857864196732t^{5} - 2985430506431t^{4} - 172212523389t^{3} + 2068823898t^{2} + 35811962t - 75712 \right)D^{6} + \left( 5636228179582855307103436800000000000t^{42} + 26643275261780268571383905648640000000t^{41} + 45102429417998219734416199503052800000t^{40} - 3097470792517894758155268007526400000t^{39} - 155890578638821206336269070996209664000t^{38} - 342359859675183920100002987923282329600t^{37} - 443105271759917604220804364876670566400t^{36} - 411370070236308783240049730915172220928t^{35} - 291452352380337083919804988855665885184t^{34} - 156726698926555475624917249111253286912t^{33} - 58177990718301813939921167848775434240t^{32} - 8764127160260091399092615861585772544t^{31} + 5697354240364675077515141921518780416t^{30} + 5305848714876399619928032933007876096t^{29} + 2396852222102791221470494573716574208t^{28} + 719515182822474226080837111108002816t^{27} + 150761513068959367839792324497698816t^{26} + 21591123390450730398803465112967168t^{25} + 1948526227041635277540876687501312t^{24} + 92881324506842704788518717747072t^{23} - 1752033794155549492326665818560t^{22} - 4200570229998035019245984910912t^{21} - 2019411249245826541850655399168t^{20} - 463373991985161962707288206336t^{19} - 38726211266323987286842701216t^{18} + 6082357786914574529984612192t^{17} + 2239431321230096695047990324t^{16} + 312080569247839675168877052t^{15} + 22502223133112805393065500t^{14} + 791378944793688612751032t^{13} + 79436915850139163698108t^{12} + 14171997000432154776660t^{11} + 446550987932407782754t^{10} - 164715640644877949374t^{9} - 17018498975550436405t^{8} - 1168804433625373445t^{7} - 19998333314817622t^{6} + 144236874766340t^{5} + 4678127078697t^{4} + 234357836209t^{3} - 2175694652t^{2} - 35384682t + 69888 \right)D^{5} + \left( 27894110759139223718951731200000000000t^{42} + 121867218706174177000846140702720000000t^{41} + 181260492084903594372937681246617600000t^{40} - 81186994207150855726337133818019840000t^{39} - 772811468843753747151415581189046272000t^{38} - 1522480494816485413533798225946391347200t^{37} - 1846237053188265428288374062973051207680t^{36} - 1626735026638029764169366505584807116800t^{35} - 1092799455696064882807485776405225897984t^{34} - 544875076063167690806481036406606774272t^{33} - 171550670769749008071300149966306328576t^{32} - 3031619871148096149291995715540090880t^{31} + 33623022321888083693008201897860288512t^{30} + 22637636071299831483862392242736480256t^{29} + 8863632553763581787914921696833688576t^{28} + 2355532136441392342847317921391794176t^{27} + 430533802684277773340984033068802560t^{26} + 50833509140386634845574042386605312t^{25} + 3062417617109272869303903750432640t^{24} - 50093694740468379887347587487296t^{23} - 47466967892605492812653413827008t^{22} - 19834201265003458771685232489472t^{21} - 5272225069842767961760218240384t^{20} - 479802149534049200030808138432t^{19} + 112761585328904236063453183952t^{18} + 44677633809252051206380910272t^{17} + 7669010668903885067200241752t^{16} + 819617615945840172162491088t^{15} + 58320764468636518967567408t^{14} + 2316635839454474132640120t^{13} - 119698762391424769102768t^{12} - 18027916689510462072337t^{11} - 501734408153606163719t^{10} + 110309725098602096308t^{9} + 10931535996046678158t^{8} + 757262814814229964t^{7} + 11668097163937620t^{6} - 136472726802460t^{5} - 3205958671970t^{4} - 113691210483t^{3} + 788584179t^{2} + 12341708t - 23296 \right)D^{4} + 2 t \left( 41802025665239510194350489600000000000t^{41} + 170432523139053058896659819397120000000t^{40} + 223783453160550455810171532764774400000t^{39} - 188971226096355450569196660311654400000t^{38} - 1138603462077527285098010113827569664000t^{37} - 2065174238847632000414087004054464102400t^{36} - 2375172771339897069790877064326686310400t^{35} - 2003368940257246938571038849714949390336t^{34} - 1283275411776617163714594121596498673664t^{33} - 593302708601500222688185966424494374912t^{32} - 152202003932670382011493544735939534848t^{31} + 26346916849023353626360597127263715328t^{30} + 50699834526509367167054060681713586176t^{29} + 28574719305834798249309059769437261824t^{28} + 10050651036580866057757452842472131584t^{27} + 2415231901421915833645532165764810240t^{26} + 392974565559405523135529459613981184t^{25} + 39441849266467969725031385330519808t^{24} + 1681859327210787021588176591796096t^{23} - 143524565730568441550843815735040t^{22} - 97716551176172419716026619345120t^{21} - 43882100353598623232667933571040t^{20} - 10875041333175881280707656683072t^{19} - 1213492133256733145214676463968t^{18} + 65331220052719214895105292128t^{17} + 47830216796948909948956726484t^{16} + 9221069605468394790683390164t^{15} + 1089095527892173252424245588t^{14} + 86952753122396937459086756t^{13} + 4334260364220755758266586t^{12} + 103374163145479732804458t^{11} + 2595668303649654442287t^{10} + 76549495497273627441t^{9} + 1274681050599374182t^{8} + 322282743295734646t^{7} + 4672250545636842t^{6} - 389236029509568t^{5} - 6351070841130t^{4} + 13460842206t^{3} + 2096063909t^{2} + 480581t + 1680 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 18346941619407109796524646400000000000t^{40} + 70547472379793687450990175682560000000t^{39} + 82429084734682347929358127418572800000t^{38} - 103068751804227172088200718099988480000t^{37} - 487889898637669676893700806598922240000t^{36} - 830338876573831868803136349152681164800t^{35} - 915152652802092614288738113207575674880t^{34} - 744508875940892491736294619802784661504t^{33} - 457177561762487098914831812664191881216t^{32} - 196184953621543642498715896782974068736t^{31} - 38613419873587518819150426041679333376t^{30} + 18411481319274429038506610606393978880t^{29} + 21173905108560107999298215120251473408t^{28} + 10610509237161914193006523106278428672t^{27} + 3433169460282069274003535025872048512t^{26} + 760260351623029507842209336954879744t^{25} + 112638641109344236724286547637884992t^{24} + 9967926048589884746233592263122528t^{23} + 284779435848149576783523412010832t^{22} - 101843449727876904314178047621656t^{21} - 63967214534376916870863070428504t^{20} - 23882067539331638428624882560440t^{19} - 4937048811062403868135302323256t^{18} - 445330375898447509381296646216t^{17} + 39890558055691569850472414192t^{16} + 19775314032549456508811866730t^{15} + 3454087473476774293737050322t^{14} + 379661668710259680679637240t^{13} + 28476213329406545800618160t^{12} + 1324178467061497099373892t^{11} + 32529773878642224821114t^{10} + 552901096378590732864t^{9} - 5962769493175282902t^{8} - 197175452888617438t^{7} + 22421528047014058t^{6} - 1366199910646043t^{5} - 87847373529681t^{4} - 153003911994t^{3} + 12360001560t^{2} + 351120324t + 69888 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 2836752410491106407874150400000000000t^{39} + 10404799238786600427974563921920000000t^{38} + 10957049767144701548734922647142400000t^{37} - 18035272947887409190209390825062400000t^{36} - 73638253125003562896037289636892672000t^{35} - 119412990913668495207346232194874572800t^{34} - 127293969595232095052941086844819046400t^{33} - 100588209429147132661124950524521938944t^{32} - 59562307094566021047316752670378512384t^{31} - 23812243190116834972219479986328668160t^{30} - 3279826232802186122429731228164397056t^{29} + 3369587696205590590601572793975615488t^{28} + 3070065087009715049329820500147351040t^{27} + 1415659520357015432279500228863256576t^{26} + 429285372708385503298313046257636736t^{25} + 89159470941634962330961342855259136t^{24} + 12322165400760000102795366047215680t^{23} + 1005848883975524633323717105351008t^{22} + 15009549330274720852986364614480t^{21} - 22384875537378130995922820415032t^{20} - 12699916058609696971575290185480t^{19} - 4088851516257264090284689577096t^{18} - 733277813215041253223534298456t^{17} - 52307996715502343985004565768t^{16} + 7856665533511065836861401096t^{15} + 2913938949155540974383745904t^{14} + 463103186416657395790511336t^{13} + 47309628936770919823645794t^{12} + 3306252341886832925930114t^{11} + 142446382538734585592841t^{10} + 3391485455903932638879t^{9} + 20222835434653866074t^{8} - 2137549913793569320t^{7} - 29819345801139814t^{6} + 192189760531534t^{5} - 248552684168744t^{4} - 6889680734202t^{3} + 46489363371t^{2} + 1535217105t + 18808452 \right)D + 576 t ^{3} \left( 86978829931834186838016000000000000t^{39} + 308050815923228442556632268800000000t^{38} + 298077865967451104420900438016000000t^{37} - 594857999864675458874129172480000000t^{36} - 2213259701434002237513945693229056000t^{35} - 3466504124328286446676916826206208000t^{34} - 3605496697697381890481000414246830080t^{33} - 2786910913465067674916648766216339456t^{32} - 1602781133236278062186884572915109888t^{31} - 602206071772112114163361786401032192t^{30} - 50349676034160838711487824132397056t^{29} + 111053756998466480211178351797923840t^{28} + 88804309624356391896682415837509120t^{27} + 38613955848695333312274342712656896t^{26} + 11153397370106974492980113064402304t^{25} + 2207833066443510228687601755011072t^{24} + 290747264538852029994576732177216t^{23} + 22686692314089175817709756301920t^{22} - 21406478810042936980017139824t^{21} - 865739427580812905225052772088t^{20} - 449160205994814441450145666664t^{19} - 130485537775322454081292919640t^{18} - 21039136865363815161295662192t^{17} - 1172659300728142510834887212t^{16} + 277000844608795168686797116t^{15} + 85292919908967355041508104t^{14} + 12575682134320689543068728t^{13} + 1208051747504052786962186t^{12} + 79137492632157022910358t^{11} + 3182465312458432903521t^{10} + 71847507204775908113t^{9} - 437439457032321761t^{8} - 70401904327892477t^{7} - 1050007888712409t^{6} - 7891571005689t^{5} - 5847347028888t^{4} - 108282356400t^{3} + 1429258236t^{2} + 32693724t + 196560 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ3P3

|λ| = 11.32401 λ ≈ 11.32401; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.787267 - 2.357106i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.787267 + 2.357106i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.615682 - 5.462088i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.615682 + 5.462088i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 4.32922; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.4758203 - 1.990037i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.4758203 + 1.990037i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.194103; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.7015938; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$11.3240144$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$11.32401$11
$-6.787267 - 2.357106\mathrm{i}$11
$-6.787267 + 2.357106\mathrm{i}$11
$-1.615682 - 5.462088\mathrm{i}$11
$-1.615682 + 5.462088\mathrm{i}$11
$4.32922$11
$-0.4758203 - 1.990037\mathrm{i}$11
$-0.4758203 + 1.990037\mathrm{i}$11
$-2$11
$-1.194103$11
$-1$11
$-0.7015938$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{5} + 18 \lambda^{4} + 148 \lambda^{3} + 760 \lambda^{2} + 2400 \lambda + 2000\right) \left(\lambda^{5} - 14 \lambda^{4} + 28 \lambda^{3} + 8 \lambda^{2} + 192 \lambda + 144\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{5} + 18 \lambda^{4} + 148 \lambda^{3} + 760 \lambda^{2} + 2400 \lambda + 2000\right) \left(\lambda^{5} - 14 \lambda^{4} + 28 \lambda^{3} + 8 \lambda^{2} + 192 \lambda + 144\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 2 & 4 & 0 & 0 & 12 & 12 & 16 & 16 & 24 & 20 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 12 & 12 & 12 & 8 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 6 & 0 & 0 & 6 & 8 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 4 & 2 & 2 & 4 & 0 & 0 & 12 & 16 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 6 & 6 & 6 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 4 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & -\frac{1}{2} & -1 & 0 & -\frac{1}{2} & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$