Family 3-218-50-a

No geometric description is recorded for this family (yet).

ℙ¹P1 × ℙ²P2 × Gr(2, 4) · 12031.qj (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × Gr(2, 4)
Bundle: $E^{ω_{3} + ω_{5}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{5}}$ E^(w3 + w5) + E^(w1 + w5)
Bundle: $Q_{2} ⊠ O_{3} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{3} (1)$ Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_3(1)
ZL62 label: 12031.qj

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;3) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	50
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	218
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-2

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	218
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	152
$\mathrm{c}_2^2$	=	96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	56
$\mathrm{c}_4$	=	14

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		0		6		0		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 2	0	x₀ + 2	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 39	0	0	x₁ - 1	40
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 50	0	0	0	0	50
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 45t + 126t^{2} + 45t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(315)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(404)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) \left( 8t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 263168t^{8} - 18432t^{7} - 40704t^{6} - 10688t^{5} + 104t^{4} - 68t^{3} - 47t^{2} - 6t + 1 \right) \left( 93127835319175082805494284288t^{28} + 523546919164349748597919055872t^{27} + 990992612847010987369678635008t^{26} + 1024603892869647192703797886976t^{25} + 668956763673325516732266774528t^{24} + 251043357031148954358734929920t^{23} - 25625870095851173489741713408t^{22} - 120556655283711871088521103360t^{21} - 99689862249406584329105235968t^{20} - 51488514899964616620457640576t^{19} - 19450100960024634322318299360t^{18} - 5773251083166115173578256560t^{17} - 1396630748078029067867659584t^{16} - 275216748806197232135660672t^{15} - 42547819582282064227121112t^{14} - 4751442715613892193574852t^{13} - 299408048252354457292926t^{12} + 8565468669395498411350t^{11} + 4768293111222276771966t^{10} + 645696139300686957288t^{9} + 52030741833332677973t^{8} + 2323695089488763903t^{7} + 6883733343677229t^{6} - 5397606366532677t^{5} - 277029536682903t^{4} - 4934487241089t^{3} - 124011303183t^{2} - 814334787t + 30618972 \right)D^{8} + \left( 42350283933598082635354920627367575552t^{40} + 289282757607877856425236560179296731136t^{39} + 747687887206048045422621613109157036032t^{38} + 1084622532581321647593699706886252658688t^{37} + 1011506007789494056249124615256591564800t^{36} + 612752308062373608481924575234292187136t^{35} + 175911798213460016776293265365421522944t^{34} - 94310683862376832225714410712907907072t^{33} - 167149098582547300587337205977138069504t^{32} - 124329147118217360527311033255028850688t^{31} - 59193842372004238747745765367113318400t^{30} - 17545220797644875252331427204662689792t^{29} - 1419905438269311585153431319441506304t^{28} + 1762761776496033688409880034829287424t^{27} + 1254632071425078225203804068723359744t^{26} + 524798913546294316149501790196111360t^{25} + 165431186550187575865922074724541440t^{24} + 41764428641018080320943215087921408t^{23} + 8528866080381930555110071449327872t^{22} + 1381636021073064382480674526719392t^{21} + 167342384039627641530937451509008t^{20} + 12503023511389374183954384360624t^{19} - 66845021155055785057113563696t^{18} - 156747579480137370201290264312t^{17} - 15905137345065798971894712180t^{16} + 1268320856447349547615701604t^{15} + 603374825571508546544623462t^{14} + 87558614961004976465023774t^{13} + 5726916511576108759175154t^{12} - 212586775980674121636206t^{11} - 95296586512988804481847t^{10} - 11846202067770297608301t^{9} - 867252709446919168064t^{8} - 34136393094091206480t^{7} + 43155468356069160t^{6} + 76131516449067372t^{5} + 3418417526219082t^{4} + 55737970869042t^{3} + 1239236160417t^{2} + 7145299251t - 244951776 \right)D^{7} + \left( 642312639659570919969549629515074895872t^{40} + 4357895694729068007058111061807245295616t^{39} + 11028572860187936190527216583939574464512t^{38} + 15679918104743930885300825268965112545280t^{37} + 14443022216513804850121135925191719780352t^{36} + 8764562241868735214013224076018446237696t^{35} + 2614993157200455385188922672183865507840t^{34} - 1242522062716581669931144868990707302400t^{33} - 2351506098445560226155251239188085342208t^{32} - 1813508063691653548185121142590828969984t^{31} - 925569038739668082679732268575541952512t^{30} - 333072473528189151279168331884911624192t^{29} - 79265558978140437865498880659809804288t^{28} - 6673454456043905431476608078286008320t^{27} + 4367203353758276369170229335293085696t^{26} + 2813099877493016156555780043235151360t^{25} + 1022056070755370484232925723541053568t^{24} + 275717165648746823667488075594185408t^{23} + 58113198084040611470419930636137152t^{22} + 9482367299503852331514732888132256t^{21} + 1113652847132722505712527698443392t^{20} + 65319048604600192790638102879072t^{19} - 7865809916785751590184074380648t^{18} - 3204238305504965414072920729520t^{17} - 615473579374747258403074852060t^{16} - 88078414552643743216777161248t^{15} - 9938429653110173764736795358t^{14} - 823205671003801640574806898t^{13} - 34774351900621566778918410t^{12} + 2383637779814264670929096t^{11} + 634266003037749921202277t^{10} + 68238115230897866313121t^{9} + 4593853942317436988468t^{8} + 173966505621588879152t^{7} + 298035221931872604t^{6} - 314341881537586272t^{5} - 14044462169146458t^{4} - 210700647977328t^{3} - 4186485075699t^{2} - 22524828615t + 704236356 \right)D^{6} + \left( 5336135775633358412054719999048314519552t^{40} + 35998173852193577819967070495934037098496t^{39} + 89377879361812300610710823926311723991040t^{38} + 124598234142809719393773627826796140429312t^{37} + 112883555287676083250469092114991864086528t^{36} + 67450747248917578862671348280961330577408t^{35} + 19101716331806284992815072238958714814464t^{34} - 11108396607280282916867797130188054069248t^{33} - 19629764445263964172512112172573889396736t^{32} - 15162571109772230779675847776955031093248t^{31} - 7974156066058607292122748069336349147136t^{30} - 3115567972658998533974768277925229854720t^{29} - 922967704143116278307333310320892043264t^{28} - 199365456571734695708001180883508043776t^{27} - 24155456794100221743233262119205615616t^{26} + 2867595264605932256561259866949922304t^{25} + 2707720360332228708558016724089478016t^{24} + 919018391716930467701243265804149248t^{23} + 212033360907521649040817897893876608t^{22} + 36087525809375964172002772309900416t^{21} + 4508255037000284518834802871582304t^{20} + 386167369301984716418725393079392t^{19} + 18767720313286880595868155765784t^{18} + 750439612041982336433030087784t^{17} + 370163765753697336365376875948t^{16} + 119948193407580913495403695428t^{15} + 21860176844357821757176049654t^{14} + 2547937696487557487898706066t^{13} + 179041927181100714835369674t^{12} + 3237312303822964341964978t^{11} - 878777989065323097159049t^{10} - 122974249182137593100079t^{9} - 8791752357667413518792t^{8} - 340449047123212387224t^{7} - 1373182362134033196t^{6} + 527820134967534252t^{5} + 23640768794130426t^{4} + 334557449745930t^{3} + 5845130828847t^{2} + 28496809665t - 857331216 \right)D^{5} + \left( 26408931222926204363363405921215963987968t^{40} + 177313691347538147239102638870461241360384t^{39} + 432887923674071245346709946840654775582720t^{38} + 592479513790477892137660893291151708127232t^{37} + 527158879962726047552431144588242495471616t^{36} + 307516676233801858356915677835861782691840t^{35} + 78390965117436805486696028256255785041920t^{34} - 62815673265779653721463768984202324738048t^{33} - 100200767625547953725351794251417679560704t^{32} - 76278995162362982690294064792385361018880t^{31} - 40435976330450481484247621186300503588864t^{30} - 16341741632797455268774778779158108307456t^{29} - 5231665158846559437471922724021057363968t^{28} - 1338992573380274937608772614762301298688t^{27} - 264416509629828152115039676752137255424t^{26} - 34104661191629394336549025280130028288t^{25} - 46136720637848732111905651980509696t^{24} + 1390748616110116684659721287783851840t^{23} + 429076095896325835386535463650267200t^{22} + 78441477554672904461767963390316000t^{21} + 9169605890402982245317432441642704t^{20} + 450707436221593571085242519066192t^{19} - 78111995392259985429152358530760t^{18} - 25059739852460351605107160642416t^{17} - 4093574867153183714616609583652t^{16} - 491070374432629735403418984546t^{15} - 46662653735449315401725530898t^{14} - 3508871778512847055978816716t^{13} - 190386461633647564447257126t^{12} - 4321497677759413984291891t^{11} + 466670651683737764260787t^{10} + 71238721512736646889358t^{9} + 5187621459761384273720t^{8} + 203107829225956711784t^{7} + 924582303060900396t^{6} - 299925065478454392t^{5} - 13508445630401574t^{4} - 182031620907483t^{3} - 2797478444205t^{2} - 12568684482t + 367427664 \right)D^{4} + 4 t \left( 19788170167973704111369586663137499676672t^{39} + 132345783452286977854612182202167953719296t^{38} + 318472831301748205178958904208258175598592t^{37} + 428759412257512052485248423682655993724928t^{36} + 374774043387867621261761569539096659886080t^{35} + 212723179381737864632344375341444717608960t^{34} + 46970554210949749836442009836247420239872t^{33} - 53348720848395385375971897689757849747456t^{32} - 77658924087023143606421695780284967813120t^{31} - 57985999689820381966031559491312039624704t^{30} - 30662600272500823946306776363781197299712t^{29} - 12542961361636229597805786200646486810624t^{28} - 4141779156586574693194035286941041739776t^{27} - 1124198965938728884536460983179894246400t^{26} - 248399665704655834156098173273399070464t^{25} - 42380852430276201083751538717493389312t^{24} - 4715636296682332989416818497911947040t^{23} - 45200480360200232686375125140604352t^{22} + 115067325200642385068784372161403424t^{21} + 28313586562199295529727157168622408t^{20} + 3814664277849756882874996659320996t^{19} + 260677461420878078747018755141772t^{18} - 12391887583484229178394375881754t^{17} - 6145107930667400801111307537604t^{16} - 907809976266480208685412978398t^{15} - 78219822360950628795825812386t^{14} - 3259279455853248978932656707t^{13} + 116153371395459942353311804t^{12} + 28295836969350344823330021t^{11} + 2151874846942650764702275t^{10} + 101689220223054649050482t^{9} + 4030594306124523921093t^{8} + 167251031015697988666t^{7} + 4951398375674483754t^{6} - 11972016905027181t^{5} - 6331150924244508t^{4} - 126671770411497t^{3} - 1219788039699t^{2} + 1941588972t + 28161027 \right)D^{3} + 4 t \left( 34740173190085693841796282251299774267392t^{39} + 231627843557462619577318762055210081714176t^{38} + 550761534661692505807838634480906274865152t^{37} + 731089567685590645574993599702438426705920t^{36} + 628792722052617842155704531514240450691072t^{35} + 347333608948676772302985284425612064194560t^{34} + 64492006053415039645476976530082444607488t^{33} - 103515826318336654979535652737321761767424t^{32} - 140318997715934080789617689122215760363520t^{31} - 102824771935442066966503887872852475576320t^{30} - 54018676453969982583611804948078414938112t^{29} - 22152199838800044037843283236218180411392t^{28} - 7405162335254000154328251884894380822528t^{27} - 2058377545482391909134907062340852782592t^{26} - 473795530144113663277287051102652363136t^{25} - 87469999779075145663484939603795682240t^{24} - 11978866091126506892317057888346875680t^{23} - 940160493613884869517413836292523840t^{22} + 41660033291612751751150389999160592t^{21} + 27150935824721845601724320042851600t^{20} + 4661487525801773903088560435534464t^{19} + 443578718718447613197786159978488t^{18} + 12614867700396388386918375978860t^{17} - 3323727573540904348713462518312t^{16} - 598782677920546501389479819276t^{15} - 43540966286145479240622939214t^{14} + 304682301622629566564279436t^{13} + 409934855977114436864992656t^{12} + 46629674514689984669494656t^{11} + 3042059755712852949421779t^{10} + 139167615576886803602133t^{9} + 5323649692842503837166t^{8} + 177395819612118592716t^{7} + 3270652839400312794t^{6} - 65522638579990944t^{5} - 5005396442891484t^{4} - 73019815650216t^{3} - 475120294335t^{2} + 295350651t + 15309486 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 2685713839455678407125424549785560416256t^{37} + 17864335142910142489963039003800961548288t^{36} + 42079336796117308705857966042224001024000t^{35} + 55221314897346847381212790000405463433216t^{34} + 46850930874202723902834022284797677666304t^{33} + 25256274928172738491794127307600823320576t^{32} + 3871153541821428626692015402807970758656t^{31} - 8618279084187126266068812320154798391296t^{30} - 11089315433719574459959959951757759283200t^{29} - 7998468307096236686581148283072291045376t^{28} - 4171658074509974897713040600047327715328t^{27} - 1708358162481543582626940789311813398528t^{26} - 573545015105442816939282772512164458496t^{25} - 161026792376047070432155838518423952128t^{24} - 37697415619015835204666943921518484160t^{23} - 7172191660691715191599201931508957024t^{22} - 1048531857145372883548383530455598640t^{21} - 101834612041472450478348379483260832t^{20} - 2166806044953084803972566954356136t^{19} + 1383354165715072152901859232095328t^{18} + 309309903792416062120825765494068t^{17} + 37956264824693367361100636059032t^{16} + 2840788880341313766594175312116t^{15} + 87453986812475105852979837080t^{14} - 3613339782013515896889420806t^{13} + 379508083173928679683623274t^{12} + 236399368136548561604737610t^{11} + 36380801392916894045590232t^{10} + 3264702027705310140284866t^{9} + 200316408268114471321629t^{8} + 9321076910065886010147t^{7} + 356489768588678633532t^{6} + 9725085506180510478t^{5} + 52775369454365595t^{4} - 7355698838215677t^{3} - 238266264029256t^{2} - 2398352097042t - 4037731254 \right)D + 1152 t ^{4} \left( 41173887157664802562150617276607365120t^{36} + 273409389229898053302092209780959477760t^{35} + 639618931393945902368831422605977190400t^{34} + 832286671116433844191176936384280657920t^{33} + 698813773579851243074509602050581463040t^{32} + 369465623241210788555978419217485004800t^{31} + 46872761817249658433800908875278974976t^{30} - 139018460464771045481737862985262235648t^{29} - 172643741688159701853221074438992658432t^{28} - 123057071914010045550032915452446490624t^{27} - 63789389674273092519149885189967368192t^{26} - 26060928600417638947280833335649269760t^{25} - 8758827006250366923048178051398760448t^{24} - 2469276349728920810230376266478900608t^{23} - 582277702093749637541607555477827936t^{22} - 112182219979619695085470124206406832t^{21} - 16823839617468791229247855245612008t^{20} - 1749370377258499206219127729811816t^{19} - 68231440680093270078313758859264t^{18} + 16838976178949369134639110093148t^{17} + 4542700560360718699010258040686t^{16} + 640034744357915104796777812600t^{15} + 61952017648767055859594083924t^{14} + 4453076090117741298422444864t^{13} + 314102129139423515229251819t^{12} + 36889033363286505728571358t^{11} + 5250403855830670206455451t^{10} + 578448865837504439093028t^{9} + 45859420421328512003940t^{8} + 2702995233483491444127t^{7} + 126591189042166522041t^{6} + 4814489620729449096t^{5} + 115176417951637575t^{4} - 453010918705497t^{3} - 120745736302860t^{2} - 2851859550276t - 23760322272 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × Gr(2, 4)

Show multiplicities

Sector dimension: 13
Spectral radius: $11.4102759$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$11.41028$	1	1
$3.302948 - 4.760042\mathrm{i}$	1	1
$3.302948 + 4.760042\mathrm{i}$	1	1
$-4.064069 - 3.171661\mathrm{i}$	1	1
$-4.064069 + 3.171661\mathrm{i}$	1	1
$-2.902319 - 2.250783\mathrm{i}$	1	1
$-2.902319 + 2.250783\mathrm{i}$	1	1
$-3$	1	1
$-2 - 2\mathrm{i}$	1	1
$-2 + 2\mathrm{i}$	1	1
$-2$	2	1, 1
$1.916603$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda^{2} + 4 \lambda + 8\right) \left(\lambda^{8} - 6 \lambda^{7} - 47 \lambda^{6} - 68 \lambda^{5} + 104 \lambda^{4} - 10688 \lambda^{3} - 40704 \lambda^{2} - 18432 \lambda + 263168\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda^{2} + 4 \lambda + 8\right) \left(\lambda^{8} - 6 \lambda^{7} - 47 \lambda^{6} - 68 \lambda^{5} + 104 \lambda^{4} - 10688 \lambda^{3} - 40704 \lambda^{2} - 18432 \lambda + 263168\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 0 & 8 & 0 & 12 & 6 & 6 & 9 & 8 & 8 & 12 & 20 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & 0 & 4 & 0 & 0 & 2 & 6 & 6 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 0 & 2 & 4 & 4 & 8 & -2 & 4 & 12 & 0 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & -1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 4 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 4 & 4 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & -1 & \frac{1}{2} & -1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2 & 3 & 2 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta