Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-225-51-d

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × Fl(2, 3, 6)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
2 copies of E^(w7) + E^(w4 + w5) + E^(w1 + w3)
Bundle
2 copies of wedge^2 Q_2,1^v ot U_2,2^v ot wedge^2 U_2,3^v + O_2(1,1) + O_1(1) box U_2,3^v
ZL62 label
2055.66wFw1
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;3,4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;2,3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 51
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 225
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -5

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 225
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 150
$\mathrm{c}_2^2$ = 106
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 46
$\mathrm{c}_4$ = 19
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 11 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 5 0 x0 + 5 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 38 0 0 x1 - 11 49
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 51 0 0 0 0 51
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 46t + 131t^{2} + 46t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(282)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(361)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) \left( 24425t^{11} - 407640t^{10} - 197828t^{9} + 88420t^{8} - 89292t^{7} + 12484t^{6} - 8273t^{5} - 2426t^{4} - 573t^{3} - 75t^{2} + 5t + 1 \right) \left( 1332879395055743214108173340000t^{36} - 1290458619014727232674821137500t^{35} + 11167033126828634569091083061000t^{34} - 11960590366331410435760754581550t^{33} + 10602459876953405237267804830720t^{32} + 32657455530384935074105972282010t^{31} - 40465267221183283900564581492710t^{30} - 68505998782425223929950449220495t^{29} - 20881034035840929678885804523081t^{28} - 4495990379535730400284194723642t^{27} - 4121005516398489726824849796173t^{26} - 2392377546983131173806027522658t^{25} + 77734574190542606233072010907t^{24} + 475077888646979257567824747793t^{23} - 329171951848468713541909389535t^{22} - 390233722623801529960147225183t^{21} - 160792513651392749199447707979t^{20} - 20789129316620084046734966282t^{19} + 2311740906018869598069578968t^{18} + 527784592862844186071186072t^{17} - 365835947171219639530920115t^{16} - 40617628511173524246841794t^{15} + 11936261048255584525919956t^{14} - 1553073297861946290641367t^{13} + 78293634769367210758308t^{12} + 2525080314093119096374t^{11} + 211944468339903011471t^{10} - 214537303472730281630t^{9} + 9779235848111661764t^{8} - 1673572629271984277t^{7} + 139071173582774689t^{6} - 1946074545452231t^{5} + 78904710471780t^{4} - 4459977733130t^{3} + 6501753390t^{2} + 827158850t - 1584000 \right)D^{8} + \left( 976667376727095840137764014885000000t^{48} - 13235808061883355351467685210500962500t^{47} + 6564945795891485008464975150838002500t^{46} - 107808909884797326751414037347618318750t^{45} - 838464423903778819052079905489168250t^{44} + 49133483368640643177527701610174175750t^{43} - 520122687314231968939584572277663138470t^{42} - 71466855766413763635163760560165879275t^{41} + 1324112527838448255836110153902941228685t^{40} + 1366153760836568969970376141467347225560t^{39} + 511110300035358392212247669131557824988t^{38} + 190301058524671992147114814435165390032t^{37} + 152199135728592734309317987909499651066t^{36} + 62741589782796162410070581950776653948t^{35} - 4189809829695266610006289539728549370t^{34} - 5182596763011105223042609816180866228t^{33} + 11080806238244105984459015935666542181t^{32} + 10514130338573642640628486666233703692t^{31} + 4138551826774058558616388271094504948t^{30} + 1183350165785712199025697153892907236t^{29} + 419850991019794211930141077137687203t^{28} + 182317808085627214913611725102800496t^{27} + 40219989258074894126751992787791063t^{26} - 277435659251634334310148708029208t^{25} - 3324196490505699225673836888685409t^{24} - 839819838949132150215030924997287t^{23} - 185452207491819975281225036286222t^{22} + 26556736995342216218830019652087t^{21} + 19841989088474472323587481503144t^{20} - 1434223313534580268651055301968t^{19} - 403012219770595382279400325642t^{18} + 25884759447283041114801241726t^{17} + 16087848082161989155966532007t^{16} - 1035972115713213458488015636t^{15} - 52357146124884798104193290t^{14} + 28114153313202926893958608t^{13} - 1069712723974574939017783t^{12} - 98015480739092505090336t^{11} + 10396016894186473661703t^{10} + 2149260916310195494263t^{9} - 60104144110576998936t^{8} + 16676272250978272227t^{7} - 1596023640965881588t^{6} + 20365806604176371t^{5} - 716398477265460t^{4} + 39784590143990t^{3} - 56311700220t^{2} - 5790111950t + 9504000 \right)D^{7} + \left( 12306008946761407585735826587551000000t^{48} - 135356573046749058478580728712120437500t^{47} + 137109807933578001113935995046431722500t^{46} - 1220592194549573283168952451937979366250t^{45} + 401814761813142986197104046313028907750t^{44} + 291760292209771719600823113232445948050t^{43} - 5814121041478550716297907044566553180290t^{42} + 656104906940009189931718358722484239915t^{41} + 15146940879885326515052422033422434743855t^{40} + 13994112514232999771110084647580728779870t^{39} + 5121846542643759995362128504020477530894t^{38} + 1854839411299635122402688471083302744478t^{37} + 1323103737983310747683832066854912533884t^{36} + 551292000659518243502473052215696529856t^{35} - 84041818038812453378810330222776980642t^{34} - 36744824234548829653648700148244496678t^{33} + 169927107075064591212547278200993715801t^{32} + 154015176017689700842669330894071419844t^{31} + 61633565018438142776462608087286577434t^{30} + 12733141419344730652097503032012474968t^{29} + 2245946259656003010662570025167062175t^{28} + 866898276919286055524967637653229194t^{27} + 157482904111317532181210641228626065t^{26} - 51351425570945064088508546601702576t^{25} - 17098008437409928754601190846528049t^{24} + 4659957434002169604555547293073875t^{23} + 706350140972719354919421298698594t^{22} - 307411367060672666215354613861265t^{21} - 41224582742620035489468216842912t^{20} - 14660939753346155186855067968738t^{19} + 2044440429707363362801407590516t^{18} + 65809660564217514044217893626t^{17} - 101970651159559988670987970095t^{16} - 2832758948958885337225187118t^{15} + 1422475476642952775879133342t^{14} - 177208233756518328196893602t^{13} + 11245314096065500444341563t^{12} + 192114098812448307878372t^{11} - 26526156693475711280701t^{10} - 17247836001952592133289t^{9} + 648030678229876731200t^{8} - 91010773934167706395t^{7} + 7162433537051082692t^{6} - 81881263458718081t^{5} + 2419235634634620t^{4} - 125131324047310t^{3} + 128539766700t^{2} + 13877331650t - 20592000 \right)D^{6} + \left( 84774728299911918923957916492018000000t^{48} - 756685791440336392565228157194761387500t^{47} + 1134309797984409055836400170664514562500t^{46} - 7416161056143018075171965214607510341250t^{45} + 4329551092224962169391408605741588204750t^{44} + 698916816666925536310856788881477873150t^{43} - 34318409866688471860650153678054570572330t^{42} + 11434976015734334146503149250394773059175t^{41} + 91374929629695751221487452405099740461605t^{40} + 74821451033565516771186941992397756593090t^{39} + 26395769096544852295606742534555042973510t^{38} + 11099286587593459636567630930845114895590t^{37} + 7880340869333475876647035708228595287772t^{36} + 2763665296199229531609258008235105151634t^{35} - 906893900855362022238755227310358913242t^{34} - 160505095692200892417088680579552441444t^{33} + 1264254202999780606679119751898269457097t^{32} + 1124945066453666992466750299399415604084t^{31} + 454030422042296378130738486462967874568t^{30} + 76517303379098812395269948114689324942t^{29} + 648973281403817456095470736482285641t^{28} + 1056105777843684166101962706841876464t^{27} + 1278935949874543135578464359882767503t^{26} + 69498152672814982764999285244622874t^{25} - 30238258614161546625614561873155955t^{24} + 27278553229946967549007245215061507t^{23} + 5738425237331931189408340154066100t^{22} - 429624477153000410443559132264247t^{21} + 254905712436763983252441684259072t^{20} + 17781575797862727800157493168744t^{19} + 2291140077452574871686862486724t^{18} - 407918665565912538995620139852t^{17} + 213888315068431339840851859881t^{16} + 22892059280434865618481584126t^{15} - 3515454987314841855895131992t^{14} + 490277122409431098181305544t^{13} - 30568663920536263844494255t^{12} - 1750336711673399295433866t^{11} - 69573668017514211765039t^{10} + 34168479824507629709625t^{9} - 1286326271791382782668t^{8} + 182305435179064014165t^{7} - 12161715681089092750t^{6} + 113693449620216917t^{5} - 2633615857527900t^{4} + 157892202522050t^{3} - 157725232320t^{2} - 13654489250t + 19008000 \right)D^{5} + \left( 347986586327864247841085318503525500000t^{48} - 2528445948645791727424541501335613025000t^{47} + 4988685350100825857073534936522401920000t^{46} - 26458878734760093961170027170777578850000t^{45} + 20393934858232240136361341870558505820000t^{44} + 761092853844262840865297248589946430900t^{43} - 119122950217195249100597753545840918336890t^{42} + 58784768368615258924015766114949395308990t^{41} + 316691763125537694224111477637118044577765t^{40} + 229386436921709804265384151279576208459735t^{39} + 79499067263964129297560256693308135495587t^{38} + 41572706424286801653256900972243314145697t^{37} + 29850666988883927506526111885288161846071t^{36} + 7272412540755873535889487285858248644773t^{35} - 5560159863446288540743578598569513222540t^{34} - 89502949768014763567887218734710187748t^{33} + 5770300498875137133093197622355594303287t^{32} + 4828317600803826983912337969700542262638t^{31} + 1876058803101136428198315966994339709228t^{30} + 271283317735169681065953775483506643265t^{29} - 29492950959955285650317520914838968368t^{28} - 3850348144294670164029123422643433866t^{27} + 6310558865019344033520251177867754239t^{26} + 1056204711765228516106399490147726061t^{25} - 103079176392349991117701278324176882t^{24} + 28821645440399374739414939884163664t^{23} + 3135664444984556956612753215124833t^{22} - 4581965409917866496460189659987094t^{21} + 84939989083575870695252574717118t^{20} + 30843661720520864277553059991552t^{19} + 303459269550910701259665945233t^{18} - 818842783597255489798891717673t^{17} - 141138112379427870432668985954t^{16} - 34785094873831620580510732215t^{15} + 7861111273319052603661438359t^{14} - 789114851293808198932122434t^{13} + 42608056089031001202906095t^{12} + 985060184908816208790317t^{11} - 130302948671666795383960t^{10} - 19975651164809261360110t^{9} + 766879517071935658100t^{8} - 102228909516382358818t^{7} + 7265514425959274765t^{6} - 50324717999073238t^{5} + 558387745972560t^{4} - 70784342940880t^{3} + 60416582970t^{2} + 4749157100t - 6336000 \right)D^{4} + 2 t \left( 434128648955194100941236104616382500000t^{47} - 2587117999198444824819295454455751175000t^{46} + 6334706416794972272965655428081466867500t^{45} - 28472707741507427717324520016083682625000t^{44} + 25707425639747127167156660207145358704750t^{43} + 1035213393586574551305301194380476122750t^{42} - 126036637246084126503714223438076427592840t^{41} + 72359370731251866004866950137869125319750t^{40} + 324924517243335780840896309377006887686595t^{39} + 208099305205328075246689443519536568174095t^{38} + 73657240624661510684151733052789727184491t^{37} + 48037198117156077956463201686974627796709t^{36} + 33324017597711385957958296825127144980589t^{35} + 4008124984801496614375239218575906558537t^{34} - 8614288565516232468377593354687039463190t^{33} + 941187129301278671704785494808469472292t^{32} + 7840857084137084332824731098198618275965t^{31} + 6138589586488225411855503996093211065360t^{30} + 2276927260619074713706542630002230206270t^{29} + 292234773302562560096698555604058215171t^{28} - 52533145931371776808688559692406102062t^{27} - 5563774045230847815911145971128731084t^{26} + 8866919888023351584813291356436072817t^{25} + 1425598669109739673701904857327181515t^{24} - 217996265786267934019829471822136802t^{23} - 2427365746248161801728188480029922t^{22} + 5831285441471773700328588758016561t^{21} - 1123829516761550031750479382592644t^{20} + 504357059054393849778884890361132t^{19} + 35450418369311348872001100164684t^{18} - 11978127181769491574878328551109t^{17} + 29005587244153364185227342575t^{16} + 207626909178781880553919568172t^{15} + 2083823261408457140579747683t^{14} + 2188870732082340048081145877t^{13} - 308238580867777318369334608t^{12} + 1998339300591910538096203t^{11} - 2200586518680961174744119t^{10} - 30610243568582171154696t^{9} + 2565642744471208917360t^{8} + 7598062899894969882t^{7} + 11406900726800779044t^{6} - 108779281079849711t^{5} - 2861138111662784t^{4} - 24217240329000t^{3} + 668078164420t^{2} + 218498190t + 228800 \right)D^{3} + 24 t ^{2} \left( 53353168418652963311525741990912250000t^{46} - 264124860267036151311857271936207937500t^{45} + 774129907506468220101741254385712616250t^{44} - 3020572954028645090098210726079944491250t^{43} + 2996876989254247993502342767764690462125t^{42} + 315363272676926504695896713347528542675t^{41} - 13314859477022536622098260344318731023115t^{40} + 7648913787569699263501064732092123124815t^{39} + 32367948572729230930105001166912299256930t^{38} + 18312830482159316113046848782133808382870t^{37} + 6863398528344239103814293126582823429919t^{36} + 5490014264187056049010117789506629803743t^{35} + 3558365437642562835356748504776968843615t^{34} - 44138205930974936916957675709253189582t^{33} - 1168433757944981939775448790857037136251t^{32} + 235461211983659403164259330900630027746t^{31} + 999722505737182127581523396408967884594t^{30} + 745279128065585061386836758989885806617t^{29} + 265693490979326750049574452299098205037t^{28} + 30471158180644853604776746372534463300t^{27} - 7185040618917987073710035614660463986t^{26} - 356072633279994175160470649288791079t^{25} + 1159904740715684101722032973210961229t^{24} + 156244485780519306372257560625558115t^{23} - 31882778468221367942335515170069406t^{22} + 1014471409914149275718643320879354t^{21} + 1235533656448307955797772987223577t^{20} + 133389778638905471938368225271358t^{19} + 43678069727194364723360036707003t^{18} - 976330212963429308917932758819t^{17} - 1161349337262338307916441181797t^{16} + 185005218635675169702710551262t^{15} + 15994364148383789656229280615t^{14} + 725588737470131774429561119t^{13} + 99045736911221219278326438t^{12} - 39025176269614270515632325t^{11} - 139712374795928375935685t^{10} - 220174332398157688127321t^{9} + 3554997494993592709512t^{8} + 27167225382383224780t^{7} + 13487837714145475269t^{6} + 632769393456839070t^{5} - 17769572845275455t^{4} - 48887373872280t^{3} - 167229294450t^{2} + 36811151300t + 6336000 \right)D^{2} + 144 t ^{3} \left( 7048282902047208312994196974086750000t^{45} - 29524793923631851299994625139651075000t^{44} + 100779004367645444463652772848080437500t^{43} - 347602718089609069224350272042749722500t^{42} + 364800976542662900868235014916766254750t^{41} + 74865951803631881583107777074394340650t^{40} - 1542558443061271868711145023703959753580t^{39} + 787848701518562219865353361117690243900t^{38} + 3455442909366705978588141898767581358330t^{37} + 1721487296653231313720533034296347202190t^{36} + 701323883461141265840670880908310090975t^{35} + 677314802445637905626725574620027105545t^{34} + 405880057615104902498283021384357208853t^{33} - 60343124467685226077646381573337872861t^{32} - 160208346668840088584406454625922408629t^{31} + 42258027179479406738816886365659303471t^{30} + 131549250467279080690177457206212731906t^{29} + 95240244528109689834498102394323009708t^{28} + 33059346774308197846867453896031132989t^{27} + 3415446025139813766026400418413850142t^{26} - 987573232427501424553379489805336295t^{25} + 6479266151155635189336774257421156t^{24} + 159173184972358808327772295040309654t^{23} + 18083384831231342118972518167630280t^{22} - 4126647484302799564647270594790762t^{21} + 629078466056439186046337411105534t^{20} + 224725562821267529396028577458019t^{19} + 33844691049605777030946509169411t^{18} + 3064102414310032563889988747853t^{17} - 472571495347143923840126674069t^{16} - 65953824043536427326864582217t^{15} + 37015832888784911796888180903t^{14} + 813823103417866144220840694t^{13} + 144637226523646276851694118t^{12} - 4026915362607612460433011t^{11} - 4889111233460384454068726t^{10} - 53587203477719256607121t^{9} - 20825375383706166125708t^{8} + 703408322544883637120t^{7} - 9046030237784696510t^{6} + 2258629232370517156t^{5} + 27626273848482590t^{4} - 1804541983314900t^{3} + 2875699359060t^{2} + 86480157500t + 1954543500 \right)D + 1728 t ^{3} \left( 189907545474713080026787447338750000t^{45} - 690038458316864494223589970345500000t^{44} + 2672217017395431158304082390906125000t^{43} - 8302673043784789044213586646640075000t^{42} + 9002248831920824774288237891546302500t^{41} + 2879021457462343973129362321789323500t^{40} - 37342595529831220457459976953046709450t^{39} + 15349585252589073469321625666987317950t^{38} + 76049278067853755689405235693045897350t^{37} + 33178266198551315132747578691088181030t^{36} + 14945929385894132622972707697059344145t^{35} + 17177469610663135393298502789951607563t^{34} + 9573231080495953910988213580834766267t^{33} - 2665566733790145115750209495773255603t^{32} - 4354166539608619369943784921475996802t^{31} + 1314211951074906453338729355831777060t^{30} + 3450728767703768152204788918385172123t^{29} + 2461808761945696977205504475391690397t^{28} + 841601598122934302803941885094968691t^{27} + 79311883938359849391797977246811634t^{26} - 27151203768482154482668377514891030t^{25} + 1385040469523086611191952417662469t^{24} + 4393695292062134936495203449627495t^{23} + 444297537939876999155827547814080t^{22} - 98303858702513118797575386068996t^{21} + 31244523658324447349399897164229t^{20} + 7131357716816367228477321246984t^{19} + 1032280419400297538265673845949t^{18} + 25070392927074943720402779301t^{17} - 15039932922849451925761270880t^{16} + 381483507073962626948646155t^{15} + 1132015626269544995145520646t^{14} - 2221733616841740230808251t^{13} + 4392379171964198181410572t^{12} - 408667781624696447562410t^{11} - 121361925753233676992402t^{10} - 2021025601689086411354t^{9} - 374195338018945173570t^{8} + 18155237538892672902t^{7} - 252992852752404632t^{6} + 57649591348567182t^{5} + 13198123201440t^{4} - 33110691645910t^{3} + 110289557760t^{2} + 2698644300t + 19602000 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × Fl(2, 3, 6)

|λ| = 10.38226 λ ≈ 10.38226; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -7.588852 - 1.150045i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -7.588852 + 1.150045i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.564223 - 4.548353i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.564223 + 4.548353i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.2953911 - 2.39902i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.2953911 + 2.39902i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.661872 - 1.438265i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.661872 + 1.438265i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.048945; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.05830858; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
13
Spectral radius
$10.3822581$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$10.38226$11
$-7.588852 - 1.150045\mathrm{i}$11
$-7.588852 + 1.150045\mathrm{i}$11
$-1.564223 - 4.548353\mathrm{i}$11
$-1.564223 + 4.548353\mathrm{i}$11
$0.2953911 - 2.39902\mathrm{i}$11
$0.2953911 + 2.39902\mathrm{i}$11
$1.661872 - 1.438265\mathrm{i}$11
$1.661872 + 1.438265\mathrm{i}$11
$-1.048945$11
$-1$11
$0.05830858$11
$0$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 1\right) \left(\lambda^{11} + 5 \lambda^{10} - 75 \lambda^{9} - 573 \lambda^{8} - 2426 \lambda^{7} - 8273 \lambda^{6} + 12484 \lambda^{5} - 89292 \lambda^{4} + 88420 \lambda^{3} - 197828 \lambda^{2} - 407640 \lambda + 24425\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 1\right) \left(\lambda^{11} + 5 \lambda^{10} - 75 \lambda^{9} - 573 \lambda^{8} - 2426 \lambda^{7} - 8273 \lambda^{6} + 12484 \lambda^{5} - 89292 \lambda^{4} + 88420 \lambda^{3} - 197828 \lambda^{2} - 407640 \lambda + 24425\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 6 & 4 & 6 & 6 & 0 & 6 & 6 & 16 & 32 & 24 & 10 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 4 & 4 & 0 & 4 & 4 & 0 & 0 & 6 & 8 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 6 & 2 & 6 & 15 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 6 & 2 & 0 & 0 & 2 & -6 & -9 & 0 & 16 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 10 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1 & 0 & -4 & -6 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 4 & 6 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & -3 & -\frac{13}{4} & -1 & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 3 & \frac{5}{2} & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{3}{2} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$