Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-267-59-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
Fl(1, 2, 3, 5)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4ω1ω2ω3ω4
Bundle
E^(w1) + E^(w2) + E^(w3) + E^(w4)
Bundle
O(1,0,0) + O(0,1,0) + O(0,0,1) + Q_1^v ot U_2^v ot U_3^v ot U_4^v
ZL62 label
46.3210
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,2,3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1,1,2) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 59
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 267
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 3

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 267
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 162
$\mathrm{c}_2^2$ = 98
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 58
$\mathrm{c}_4$ = 13
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 5 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 3 0 x0 - 3 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 44 0 0 x1 - 17 61
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 59 0 0 0 0 59
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 54t + 157t^{2} + 54t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(202)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 195343t^{11} + 269670t^{10} + 319981t^{9} + 13771t^{8} - 115670t^{7} - 63188t^{6} - 22895t^{5} - 4737t^{4} - 610t^{3} - 9t^{2} + 8t + 1 \right) \left( 1446258641782927657935943491584t^{30} + 13583381230567908975586796208800t^{29} + 38256737347046116783835648581062t^{28} + 56203608537036562485978025797188t^{27} + 50527796386534888408180081835386t^{26} + 29038055532127750535826179304656t^{25} + 10507420063503890564318423447597t^{24} + 2205500304980150638493287839000t^{23} + 105370603448958870612757751688t^{22} - 242133341998206519964437587409t^{21} - 236267411903056774709031053986t^{20} - 117832034498543811439057317152t^{19} - 26124955548332747440418159469t^{18} + 2468087600202552903926223534t^{17} + 3156097082190038442777187981t^{16} + 860765541523815237011995904t^{15} + 111486658776436355381606042t^{14} + 5528253838121239672105984t^{13} - 150563666098542005056701t^{12} - 1514405591235409540215t^{11} - 164892600082096095355t^{10} - 1547122021063850002291t^{9} - 220001242819753623520t^{8} - 6063655564463118695t^{7} + 31020057636677502t^{6} + 9946625640677221t^{5} + 741369121036276t^{4} + 30047863657846t^{3} + 69036710528t^{2} - 593009026t - 14541888 \right)D^{8} + \left( 20341188134049775498861032682307518464t^{42} + 228229213671119400398796396521177997760t^{41} + 908899496943738177308253515432990976728t^{40} + 2073714845693530837616098781530321870600t^{39} + 3142953328603094785719145213527118441004t^{38} + 3333026859342738117239406524647398094116t^{37} + 2476653332038439678404857450992794871412t^{36} + 1208571712355272733355276304117396777700t^{35} + 276238897773244971403456053081722903144t^{34} - 93703392976840406927027019805819211926t^{33} - 121562927348336285955125012091077081935t^{32} - 64216083769661902157719337710307738280t^{31} - 24019735733641928207527979082099124313t^{30} - 6106924759794480004860043953875766753t^{29} + 532412212755394919484623077116696970t^{28} + 1791198300315788427231448932834170176t^{27} + 1076212440119890746467756806788098563t^{26} + 334407200892159298816730659585159155t^{25} + 33129208965514492746766425942117592t^{24} - 19190119162974009997627695822222407t^{23} - 10814376184352600209749272557092829t^{22} - 2903504431984950658675253222909435t^{21} - 474161374560824839394885034407832t^{20} - 45514475435067677111916543390745t^{19} - 2741460578906237289171574959348t^{18} - 570153026655079098343694578987t^{17} - 183288760560183479085750911459t^{16} - 28738459229956731660275798886t^{15} - 1612131466324089365280675644t^{14} + 125082233054475392459143585t^{13} + 22076843381189772011418817t^{12} + 973531183752705005993667t^{11} + 153323202299060549564645t^{10} + 39393291466417330028887t^{9} + 3378288714552377720444t^{8} + 70579218490044825144t^{7} - 1035114328440619956t^{6} - 138798841910203423t^{5} - 8307538317369060t^{4} - 271722674779116t^{3} - 546974353260t^{2} + 4151063182t + 87251328 \right)D^{7} + \left( 308508020033088261732725662348330696704t^{42} + 3447765107860345955499526506426290098816t^{41} + 13334460581466132419973731596258289302800t^{40} + 29122605104598285441980049241649084715780t^{39} + 42060561456744534141800106647902034503340t^{38} + 42786319689542461949446687089578789012156t^{37} + 31231932656796925446957581745485299822724t^{36} + 16045061986328606443399085607927142513782t^{35} + 5295647543319710744129636381869901253272t^{34} + 662658365187681160109587677920960466598t^{33} - 401911205698232426403745906697902905331t^{32} - 368415317649401354222271998686764793990t^{31} - 202232506736656370477774398718986501315t^{30} - 74354408331615104432101221469717251933t^{29} - 5063558519450021963890387688937588636t^{28} + 12827470568631053087425702205072949532t^{27} + 8079771773743271913790838147634470655t^{26} + 2195133934501921584153221399291812039t^{25} + 72700449620726659240428700886140202t^{24} - 164574141044196271959834784420324063t^{23} - 66088434873984265949025757559699159t^{22} - 13890419380067173053875157043836675t^{21} - 1789820543916775172384544238825610t^{20} - 132254570007621941549321763708159t^{19} + 1882219177373317221810098644794t^{18} + 4100670931725775284971542319309t^{17} + 1334204416022835731146571530757t^{16} + 257936326431097852756493854510t^{15} + 29778727864163028338841788454t^{14} + 1830254126011242682581471405t^{13} + 40563742097536787491336701t^{12} + 454518029586683434878701t^{11} - 356140592869998766072291t^{10} - 161418294244964789129277t^{9} - 16700478320909832938298t^{8} - 421706917680719762300t^{7} - 472837424328278516t^{6} + 363899588796855461t^{5} + 22225535840344288t^{4} + 801003367067476t^{3} + 1200420315748t^{2} - 9367960978t - 189044544 \right)D^{6} + \left( 2562989704890271712856490117970747326464t^{42} + 28547471984972488841865367302000718473088t^{41} + 107691187734015241277360898329525397458072t^{40} + 226542246440232232176269877949732990754656t^{39} + 312974816717015650359234283201924745484932t^{38} + 304182207539928305434785881234289979034196t^{37} + 213584182321663297358357089524630754297932t^{36} + 107921148824377744066059505617455424951212t^{35} + 37342734046964227342786262741030757797924t^{34} + 6819821963193599368242979703240779519100t^{33} - 1546379865483409834333502159391094145893t^{32} - 2416950110556452542926187343883858007434t^{31} - 1579605786748139767958059765212731776061t^{30} - 641217329105121197329305263706072762285t^{29} - 100778470424495309996130321256397637554t^{28} + 50824784990451015238239476320602636586t^{27} + 38004790495601177696281391738793830317t^{26} + 10483585920492419271359327903206451991t^{25} + 637965609696373357183080246152262220t^{24} - 498169673392705499949385288852913789t^{23} - 183163252380902562583916964829086991t^{22} - 29658658637858738236929773121175493t^{21} - 1899460819057752405475252723051866t^{20} + 133961185975829974595154576255251t^{19} + 21647628612175217044902684268068t^{18} - 5435724050513985173610263451265t^{17} - 2144669265637090700755224144587t^{16} - 340270578159442507693633047774t^{15} - 26296396424394304393873656638t^{14} - 166336832620667903683819499t^{13} + 116018424409549360664752387t^{12} + 2080935433528849734022197t^{11} - 157371856065557101888279t^{10} + 225221884781148575491189t^{9} + 30915879170712281274362t^{8} + 843833065181404387116t^{7} + 5284742987769980244t^{6} - 505115169012042985t^{5} - 26203138035521808t^{4} - 966709212190764t^{3} - 907303569372t^{2} + 9242435074t + 174502656 \right)D^{5} + \left( 12684425900591205838164758963475596722176t^{42} + 140892088955988810566523845462513621795008t^{41} + 520483736982432230261157734407117642568460t^{40} + 1060991630484191032199525371513508022963594t^{39} + 1409455176999578998220682553856848531688972t^{38} + 1309805789823047122483346927990026937596820t^{37} + 877062951430559478575024345762090674348160t^{36} + 423633362726030935241988576882409719221889t^{35} + 140885999642862404788852560932747209174934t^{34} + 23157562895844118840915792132137996889951t^{33} - 9381602811374098786914256464956774639215t^{32} - 12434399458540940790164115447272471600884t^{31} - 7871748208469785251290612652111226009258t^{30} - 3110776345380077158506748910090465792958t^{29} - 546433534381312329779665942727997987879t^{28} + 158278138745646344649830666934989540194t^{27} + 137638195848294370669964585527754438376t^{26} + 41942354087002587328681877287281315775t^{25} + 5505885926420259647161605124021130960t^{24} - 395863432516835263038063231043446886t^{23} - 285911516906556790225879859322697973t^{22} - 49675872019434604834330253577126543t^{21} - 4704166249105147814255909761304963t^{20} - 558556128582392658760724909789229t^{19} - 105426105756714080612063463120159t^{18} - 942939576780832988940644685697t^{17} + 5382525584354048032451614097978t^{16} + 1332259249607163614689534488805t^{15} + 154913332767540397633510454052t^{14} + 8693717946975943133031916326t^{13} + 63187481329019521218594486t^{12} - 16274923430543623226000992t^{11} - 1071601779439980543141547t^{10} - 226173049781975675532912t^{9} - 27184431540246303780936t^{8} - 844178253619471956842t^{7} - 11518311394946413298t^{6} + 221078814829936178t^{5} + 10661268133067800t^{4} + 390863536615060t^{3} + 249458805040t^{2} - 3293100412t - 58167552 \right)D^{4} + 2 t \left( 19008840311269515203685635041616376004608t^{41} + 210662588455804134567887999303194473348320t^{40} + 764914556943528162613697449795107221175496t^{39} + 1519552508188816616180215722463114289672060t^{38} + 1952534516396277985492347456072080973721048t^{37} + 1741631819983189244737207999650538573013268t^{36} + 1110599647093855848074417970552196527706416t^{35} + 506547693332810191391518926946263583613344t^{34} + 155460796527768069795351230769303569149642t^{33} + 17289410156201252781578180304211417355401t^{32} - 18903974063946279912489922374762173670086t^{31} - 19989981691156367302787119262224652498727t^{30} - 11867382410374390073990469396407623579561t^{29} - 4474574414248426799782283323041535909557t^{28} - 783298023187727165068839003670718516200t^{27} + 186285647241098237738851594052493137855t^{26} + 172838749711441144955304489729236722928t^{25} + 56564014678162087940548012756839086079t^{24} + 9989542270907248218570147465550170614t^{23} + 713693820220167938514413562599541938t^{22} - 77878115408798917398990163538768318t^{21} - 23119936687100667266111335918539052t^{20} - 2485649719871263383822922101785163t^{19} - 318892596527985155015244616088825t^{18} - 52503004032950156018645234152896t^{17} + 2390139439581676164425588286070t^{16} + 2940279671896358483042698345235t^{15} + 525222760925694945005132009166t^{14} + 40975670899383732295310488865t^{13} + 1174506343875482984549942561t^{12} - 22260767727641158055230678t^{11} - 3011759159784061511805948t^{10} - 392407985834482290124595t^{9} - 27553927105209320158690t^{8} - 590766843938292986807t^{7} + 36513786338287280994t^{6} + 1936567357863870600t^{5} + 32668665862861432t^{4} + 339020352727842t^{3} + 1503093955092t^{2} + 2820017988t + 2995520 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 16685989632961775562690698781700647993344t^{40} + 184586517285840351475376149739307505960576t^{39} + 661008039048712606999704314222286369509220t^{38} + 1286400943199731139966701932270981335899270t^{37} + 1608603236832672680382430067929328512037620t^{36} + 1385093750937288867875782912803224817376664t^{35} + 843838474301042182644396589463475560293464t^{34} + 362271785561202100379625818793285987443161t^{33} + 100100284687539583071710765795659394571654t^{32} + 3095536750769728401788143353224476353445t^{31} - 20266090151917654173926885845238983185571t^{30} - 18542898918793617308152109115504473513385t^{29} - 10390093940587358366364234760172230372940t^{28} - 3716835213748277188355699136095850335130t^{27} - 605884287695020460855710476023636590946t^{26} + 159155658295159028027477213437248392402t^{25} + 139324783959703347675337618816384346123t^{24} + 46524252772952406783983297324852786651t^{23} + 9150032802623898383063518460952337408t^{22} + 1032775536991908630068727901167252079t^{21} + 39283820759603790810896358869364695t^{20} - 5531562987522100318803010507438507t^{19} - 1010384136435406008349678320341394t^{18} - 188209781815837464470311872603390t^{17} - 38337391407758216444280228498664t^{16} - 1114202698096325193455339092675t^{15} + 1075565907176970170358944588053t^{14} + 186851799412827896298271653712t^{13} + 11121845282403707463841415065t^{12} + 159275793154619080059353368t^{11} + 962502508214517350605329t^{10} - 325435103274667885014512t^{9} - 153859348520851914721744t^{8} - 5790710814697888878622t^{7} + 236636226364790599226t^{6} + 32627885948909390712t^{5} + 972491954175382028t^{4} + 11939960282543300t^{3} + 121132701673244t^{2} + 507642728864t + 232670208 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 2579940695001979859105540978539336925184t^{39} + 28500831459806602832716947957810838492128t^{38} + 100977260311389151316305996493838981112392t^{37} + 193439530360918240645960356560962624225756t^{36} + 236816036620843620979254618551253237048992t^{35} + 198162701097094830036910398660694366385904t^{34} + 116073532704665376069444152296185903569280t^{33} + 47059039782203928020036293901242869625614t^{32} + 11539005306442425113567061829183646771646t^{31} - 854316105208937350357390489562812208639t^{30} - 3556762786511820344796126344986601150086t^{29} - 2980101497677125393134045512220423572636t^{28} - 1595128242734864519927390088095963095645t^{27} - 542514386439755518323373092505231906525t^{26} - 79520035558861656970951743081117571065t^{25} + 26107146159957911116812280859382762059t^{24} + 20595996986122249409847527009103988315t^{23} + 6804640589935911773008190654391408191t^{22} + 1383397137827807123741777527215362572t^{21} + 175596937660531364031847784791080399t^{20} + 11758897759832424785367644167153610t^{19} + 58777948895273119502715477748448t^{18} - 61176808490393452604868632426834t^{17} - 21928397790901488812554507715710t^{16} - 6605542519637823879872913810865t^{15} - 768205665617649237632287345618t^{14} + 9637381607500016332009786952t^{13} + 7340086747396786714408501441t^{12} + 288605970851536231487925764t^{11} + 4535171981577560176013655t^{10} + 2310156518973560143890239t^{9} + 82414944182222150651584t^{8} - 7338889778891217404356t^{7} + 224958850086754076862t^{6} + 65620493809254762379t^{5} + 3917536351865761180t^{4} + 88737725699906768t^{3} + 911582695623240t^{2} + 7515403869974t + 33730340688 \right)D + 2880 t ^{3} \left( 7910462052130468249557068265341812736t^{39} + 87301576583292575096872357954987907152t^{38} + 306946824103647749278873673666054243208t^{37} + 581419713511783389077721730521951497444t^{36} + 700952346591722935938319827137732205612t^{35} + 574169099460486273532098906249236932916t^{34} + 326144781159935086331668320726395436304t^{33} + 125988526172916334130168586422469423654t^{32} + 27396449297147880345915753211041691008t^{31} - 5340494031673284820188893405172269723t^{30} - 11796265799533205859926553516247351414t^{29} - 9374296076195649603476958302325825841t^{28} - 4853842735497965454781318365444495317t^{27} - 1582572444147945130620412849023603378t^{26} - 206751703562190236912533341638912686t^{25} + 85715690264386464615362213838959807t^{24} + 61547679755445055294703293615625429t^{23} + 19920117488804835929524697391143540t^{22} + 4070098113049361477073944358541681t^{21} + 536815850583980868002543909914838t^{20} + 41474609978574583672139446308393t^{19} + 1461017784648071143564867142569t^{18} - 18876833566194848612240100086t^{17} - 59288095049064780618330408062t^{16} - 23856680057423891777789544017t^{15} - 3787955784506116936855894293t^{14} - 260197602297153443103287557t^{13} - 10332143778766299384289735t^{12} - 700474593322165497639261t^{11} + 29828238508840928434661t^{10} + 10261712064294731659892t^{9} + 416981952461898015566t^{8} + 7083342929182342612t^{7} + 2181931140267411122t^{6} + 214366263407146615t^{5} + 9162494745351304t^{4} + 174893783914990t^{3} + 1703740971768t^{2} + 10608496218t + 49078872 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 3, 5)

|λ| = 9.41902 λ ≈ 9.41902; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.230116 - 3.270974i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.230116 + 3.270974i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.331983 - 3.776711i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.331983 + 3.776711i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.54684 - 3.762492i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.54684 + 3.762492i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.988606; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.482618; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.3475771 - 0.7268114i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.3475771 + 0.7268114i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$9.41901952$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$9.41902$11
$-5.230116 - 3.270974\mathrm{i}$11
$-5.230116 + 3.270974\mathrm{i}$11
$-2.331983 - 3.776711\mathrm{i}$11
$-2.331983 + 3.776711\mathrm{i}$11
$-0.54684 - 3.762492\mathrm{i}$11
$-0.54684 + 3.762492\mathrm{i}$11
$-2$11
$-1.988606$11
$1.482618$11
$-0.3475771 - 0.7268114\mathrm{i}$11
$-0.3475771 + 0.7268114\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{11} + 8 \lambda^{10} - 9 \lambda^{9} - 610 \lambda^{8} - 4737 \lambda^{7} - 22895 \lambda^{6} - 63188 \lambda^{5} - 115670 \lambda^{4} + 13771 \lambda^{3} + 319981 \lambda^{2} + 269670 \lambda + 195343\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{11} + 8 \lambda^{10} - 9 \lambda^{9} - 610 \lambda^{8} - 4737 \lambda^{7} - 22895 \lambda^{6} - 63188 \lambda^{5} - 115670 \lambda^{4} + 13771 \lambda^{3} + 319981 \lambda^{2} + 269670 \lambda + 195343\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 4 & 2 & 3 & 9 & 6 & 6 & 8 & 8 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 1 & -1 & 0 & 2 & 4 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -3 & 0 & 0 & -1 & -1 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & -\frac{3}{2} & \frac{7}{2} & \frac{1}{2} & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 1 & 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 6 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$