Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-272-60-f

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(w3 + w5) + E^(w1 + w5)
Bundle
Q_2^v(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_3(1)
ZL62 label
13040.wEw3
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 60
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 272
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 4

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 272
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 164
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 4 0 x0 - 4 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 45 0 0 x1 - 17 62
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 60 0 0 0 0 60
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 55t + 160t^{2} + 55t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(188)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t + 1 \right) \left( 592t^{5} + 192t^{4} - 80t^{3} - 44t^{2} - 4t + 1 \right) \left( 688t^{5} - 640t^{4} - 224t^{3} - 44t^{2} - 8t - 1 \right) \left( 12358206456710875625012527104t^{30} + 16616384764419086627933650944t^{29} - 5615981761167356813986447360t^{28} - 5169266721662536798719508480t^{27} + 42032424949163322064342827008t^{26} + 87430237753880629057538539520t^{25} + 87212130573848114371492384768t^{24} + 54243589671974057206182547456t^{23} + 22912472530278194424816066560t^{22} + 6855848991836187542616513536t^{21} + 1460840489591213682224677632t^{20} + 189860144924390430559281152t^{19} - 11021541223252711846573440t^{18} - 17199599880954192982069312t^{17} - 6437494026617220948939296t^{16} - 1520249935902847386140080t^{15} - 243391966557729631582624t^{14} - 24987260426631317250320t^{13} - 1112800929375028241848t^{12} + 123678134567773116052t^{11} + 32323829318510513385t^{10} + 3581952793392669721t^{9} + 223223018509468176t^{8} + 6366135354855574t^{7} - 76148037873994t^{6} - 8159958202711t^{5} - 315355426276t^{4} - 4518356779t^{3} + 33536294t^{2} + 42041t - 4760 \right)D^{8} + \left( 604013766839101535827812268722094080t^{41} + 667226815712474083156372843382439936t^{40} - 864855592582038734897348212259028992t^{39} - 737911389975361595230206741222260736t^{38} + 2473140267872980955244427466841784320t^{37} + 4512583947214959928823455186161762304t^{36} + 2303429720744722451384690866844073984t^{35} - 1586658731997700570522669769209937920t^{34} - 3391842395335320198991582331566817280t^{33} - 2713321802614203721409104005564989440t^{32} - 1328928147270377752927771516478423040t^{31} - 428588071526303946872606305357529088t^{30} - 84086310077860485764065870518288384t^{29} - 3158096911369209305642087450640384t^{28} + 4796002418643520019497577900294144t^{27} + 2299381134185805300269557984755712t^{26} + 656741932992814744960908611751936t^{25} + 114016811913629224342324510998528t^{24} - 29502774579442318734341685248t^{23} - 7719177674905416819862669125632t^{22} - 2922865248397458449779873474560t^{21} - 658978293011066376922807810048t^{20} - 103861699970182061750658876928t^{19} - 12466025570209794301128958976t^{18} - 1412721393361417934356228544t^{17} - 207929882866454898117081280t^{16} - 34457759442464281857963568t^{15} - 4422172991688468302710368t^{14} - 321357187957799424053920t^{13} + 6146819839310240187376t^{12} + 5213130285624762040916t^{11} + 775801384590737982392t^{10} + 67068092274972284263t^{9} + 3431649119060376592t^{8} + 77417950077677438t^{7} - 1268834340209520t^{6} - 99895966993533t^{5} - 3259969527408t^{4} - 40154512467t^{3} + 268169720t^{2} + 294287t - 28560 \right)D^{7} + \left( 7610573462172679351430434585898385408t^{41} + 9130709194906964734589917934924070912t^{40} - 8783976182131496089523915428326277120t^{39} - 6646994929791116289135833390742765568t^{38} + 34559504854001022157164876255874514944t^{37} + 65538597184683437020350026835944275968t^{36} + 46291392966242397488774361118773608448t^{35} + 1764484591174352412797094166092840960t^{34} - 24390246607184922015211646329936150528t^{33} - 23629065736719217533345403039918718976t^{32} - 12832611748668970006866338558520328192t^{31} - 4756755443131636393173418374811090944t^{30} - 1270332230409946211804105676492046336t^{29} - 231709238647474889025796063892848640t^{28} - 12787324677430537548770112960823296t^{27} + 11210683215623164492053160151085056t^{26} + 5660427195853668003127073344860160t^{25} + 1469167163555730828018788993742848t^{24} + 189961206472423160280204320181248t^{23} - 13242026099812773716030473335808t^{22} - 12360001770478151087461853971968t^{21} - 2989090694131553135642869942528t^{20} - 389580826111428173361391281664t^{19} - 9623879322369022680557804864t^{18} + 9189156397455860072693107904t^{17} + 2743194123934571564262113120t^{16} + 478298735850462497398846288t^{15} + 57088223789875238380035320t^{14} + 4424952833148918066949456t^{13} + 135862374694330308156000t^{12} - 17512805808028696408198t^{11} - 3343802263841644138386t^{10} - 298524433377311112329t^{9} - 15422482412592281318t^{8} - 368357896582622456t^{7} + 4001095104402276t^{6} + 338415433946513t^{5} + 10678477133610t^{4} + 134429764063t^{3} - 647332858t^{2} - 554047t + 61880 \right)D^{6} + \left( 52428394961634013309854104925077766144t^{41} + 66932157925538143294423268198272991232t^{40} - 50848829541327188385732775566966259712t^{39} - 34472937055030448953314500269762936832t^{38} + 260347219437828619908467630211122331648t^{37} + 514989625917906790941436801809563779072t^{36} + 435448084952097755056168737431958323200t^{35} + 149672944002938203940393546022121897984t^{34} - 55265928860901606423248473102449377280t^{33} - 95982760362571499564819551592193589248t^{32} - 59581522769568165546794109021442801664t^{31} - 23864415438898556063244142583272374272t^{30} - 6911387579613346934621356436649771008t^{29} - 1414068332396747116426330585561513984t^{28} - 114398685074611805344522614934315008t^{27} + 64230566187375879812715884783263744t^{26} + 39069472631189581177770151297230848t^{25} + 12337034583963097463732147421305856t^{24} + 2586336391492504667358726120484864t^{23} + 355159032091000209955604989757440t^{22} + 23877524045406808992408433687552t^{21} - 1957160104196990215444923795968t^{20} - 824276429732989130038000451264t^{19} - 143662374567628065554517211776t^{18} - 22130030910355848874006909088t^{17} - 3923951485363790585786275440t^{16} - 698434214202854475176469904t^{15} - 98640143505076533389361024t^{14} - 9557899113141892668904088t^{13} - 505265068460430538936852t^{12} + 9827519484810870392072t^{11} + 4876571265851100036304t^{10} + 498108800605279723177t^{9} + 26811677995636357858t^{8} + 660235761919285194t^{7} - 6469193887473972t^{6} - 512069306522391t^{5} - 14634668739426t^{4} - 183360748833t^{3} + 588746222t^{2} + 238697t - 57120 \right)D^{5} + \left( 215210105124771877215449511345682120704t^{41} + 287909040667406725587114016871037272064t^{40} - 182605410929202892602276636994406711296t^{39} - 112036188353305570138521377819503624192t^{38} + 1155998563440898573612350088031175180288t^{37} + 2372262209097270228997832382678759112704t^{36} + 2235500416771792171975012048676276142080t^{35} + 1117271761161676104342145170964578041856t^{34} + 171792262847128934219032939928618663936t^{33} - 160518629246980671756353914055050264576t^{32} - 141500057241700200380512934508384485376t^{31} - 63441905028822976937533125235659522048t^{30} - 19719777823995784335353910490049986560t^{29} - 4308406009734117299875085729102999552t^{28} - 367716841871176643953858325356642304t^{27} + 222682506844633128811905345672935424t^{26} + 140186322982167866116976559195530240t^{25} + 45575553359002642275381946363670016t^{24} + 9858892317458328235500893591485184t^{23} + 1428217407844865859129520449184000t^{22} + 114402676028803987804934023934720t^{21} - 3308112819659427436573741228800t^{20} - 2518599097003765927329564474112t^{19} - 365871772810243622531404553520t^{18} - 14435909569812083535516701664t^{17} + 4770722382565494427457448480t^{16} + 1195503288169217028761078264t^{15} + 150996973408972235577999264t^{14} + 11963802474321364982148528t^{13} + 531867475883608484495600t^{12} - 4191886978879363078282t^{11} - 3210142693335394628197t^{10} - 319437530499075621698t^{9} - 16741212851743941134t^{8} - 408641728187180218t^{7} + 4049963058071298t^{6} + 285689931316616t^{5} + 7274292043374t^{4} + 89585273362t^{3} - 164807128t^{2} + 27404t + 19040 \right)D^{4} + 2 t \left( 268484119359980632675462553446970818560t^{40} + 371980119096127783344059014832216604672t^{39} - 206537624684523359163304007836037545984t^{38} - 115775153516278437579024885068455739392t^{37} + 1542960210107702089857070860124470378496t^{36} + 3258906003321999136801685224203050549248t^{35} + 3286682073216328157274139191257066110976t^{34} + 1930438542534828787633610334939541143552t^{33} + 625098665868901357195873946489647333376t^{32} + 33999246162747054753281471042976415744t^{31} - 74705029841136336558737220465740283904t^{30} - 45253099594523337879951000487803174912t^{29} - 16214450947546055050188085366668853248t^{28} - 4043249943207247075799193421820674048t^{27} - 442309526760730325974130029826383872t^{26} + 208716518879842286936149236479223808t^{25} + 149781750971487402957857049025750016t^{24} + 51971781136901061082489873168264704t^{23} + 11945572999848199077803621000345600t^{22} + 1892545849713352400809552498152960t^{21} + 189376912558273737350106992899200t^{20} + 4833348264352931978214194246784t^{19} - 2233310521206188323747055638368t^{18} - 481545917849623149665768083424t^{17} - 52356673595895145210360535312t^{16} - 3041602671751007137122123976t^{15} - 35929314801431513240340092t^{14} + 5107508861187823614861776t^{13} - 224257602905251617890436t^{12} - 85807785481454264634858t^{11} - 7234308095570161737188t^{10} - 362308652599056639816t^{9} - 13316843507774892754t^{8} - 249004678657341325t^{7} + 2577184628577272t^{6} + 47161020492750t^{5} - 2510643057510t^{4} - 68759830551t^{3} - 581216664t^{2} - 891587t - 1190 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 197975578977629513393162601278145036288t^{39} + 281478382660354750017368319280810033152t^{38} - 142175438603038198576108919123355893760t^{37} - 73442293869057458860980423207136002048t^{36} + 1203629740432401505047034351411946586112t^{35} + 2596780666753456047434138426294032203776t^{34} + 2735175924622898461129674314872474959872t^{33} + 1748502434087924918940220615822837153792t^{32} + 701848070593175393540272850234084425728t^{31} + 158389880440658980799875680655554510848t^{30} + 1343143209366248352206509432872468480t^{29} - 15129337856797830843528139429255442432t^{28} - 7723834351598860334732083041753870336t^{27} - 2477837342111611859647728800134433792t^{26} - 419709336871955181988400210627500032t^{25} + 80443624501283070963052558488053248t^{24} + 86509401912333780748985757029650688t^{23} + 33004883994830074652339480553275264t^{22} + 7957829739241311292143248166376128t^{21} + 1306570805210624618799906715438912t^{20} + 136606665111851030940705156553728t^{19} + 4267301305965143179512830443456t^{18} - 1545712888435578055163078169728t^{17} - 362375051542430285013641415164t^{16} - 43602408392957871205365290952t^{15} - 3275995957388309551051888544t^{14} - 155780563975248458775887364t^{13} - 6240982662313594915146154t^{12} - 550483908378096615150876t^{11} - 56762033921631516345624t^{10} - 3672826275918394633440t^{9} - 160257017948349024624t^{8} - 4482924892874766918t^{7} - 21898467417294029t^{6} + 1347811322216296t^{5} - 37429272935868t^{4} - 2004916563748t^{3} - 27634273653t^{2} - 213369924t - 76160 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 39230694156199644752016406853500010496t^{38} + 56833148803212872070101829422602518528t^{37} - 26898864130690399045575626069810085888t^{36} - 12912138269831077713931168554821746688t^{35} + 249558999320078256933725815254399975424t^{34} + 546571696838439085732139472484352098304t^{33} + 592145596247023233563580371049237446656t^{32} + 397412716105310830011424970167034806272t^{31} + 175792900401840292595379582027654987776t^{30} + 51144945633910645391122704631804313600t^{29} + 8405840432887178406220180359516356608t^{28} - 454309958424327731255942379237394432t^{27} - 988853131163063183799830246360449024t^{26} - 458038626107053139300695711449850368t^{25} - 114221756799953899656395655356444672t^{24} - 578320168797512061902411032234240t^{23} + 12137466300751799486403643332682368t^{22} + 5446309736102965412792205139570368t^{21} + 1396871891542885315582051824194976t^{20} + 237526660558620781236710941609312t^{19} + 25566071179164793340512431195968t^{18} + 844113047906668307782622001984t^{17} - 296981394150662157488168076744t^{16} - 72247095266128930313936645970t^{15} - 9114404874386101557910989352t^{14} - 748929196147383100968522726t^{13} - 42584716877427486692359200t^{12} - 2023577700285137787177868t^{11} - 127610343268779967691046t^{10} - 9631899920887469173401t^{9} - 561508020205080787008t^{8} - 23838265951521469479t^{7} - 526834140179246406t^{6} + 4193398317661566t^{5} + 180163877764788t^{4} - 9687790557135t^{3} - 319396236138t^{2} - 3163697280t - 20940804 \right)D + 96 t ^{3} \left( 2114048183936855375397342940527329280t^{38} + 3103300186618909069635867639011082240t^{37} - 1406692027856074893146910106834698240t^{36} - 634030072695593220004781423347892224t^{35} + 13922243384188523454288667978219520000t^{34} + 30806323023680346471806512359089176576t^{33} + 33988717897725823754156043049675390976t^{32} + 23485756505916324593771137315847700480t^{31} + 10933230833234696272385549229679968256t^{30} + 3524105783677661776694774530183168000t^{29} + 762158704616219626180789739611308032t^{28} + 69239009399736479363316736078188544t^{27} - 35082588058878037847772424341223424t^{26} - 24861376487716711433847554080029696t^{25} - 7991628382855918374568605692852224t^{24} - 885136557849613013026683615770624t^{23} + 404592960553418201861707480625664t^{22} + 239936513102411316721122711562752t^{21} + 66550947669631952811946250741952t^{20} + 11764571761289347059763550561024t^{19} + 1303121462637182710500091689664t^{18} + 45116680504620193062215983488t^{17} - 15487074633456467425386943560t^{16} - 3874020380519632873376214372t^{15} - 503314083752900085067998224t^{14} - 43230579843669010941817182t^{13} - 2620084970830210446095808t^{12} - 128171656580915251797482t^{11} - 6988991782667532744774t^{10} - 442529949400165726455t^{9} - 24257969944022664396t^{8} - 1035412372525529220t^{7} - 19796993075273394t^{6} + 274512239965860t^{5} + 5816904700512t^{4} - 472083173388t^{3} - 12547742064t^{2} - 99961785t - 578340 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4

|λ| = 9.324014 λ ≈ 9.324014; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.3843181 - 5.462088i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.3843181 + 5.462088i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.787267 - 2.357106i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.787267 + 2.357106i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.47582 - 1.990037i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.47582 + 1.990037i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.701594; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.32922; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.8058973; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$9.32401435$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$9.324014$11
$0.3843181 - 5.462088\mathrm{i}$11
$0.3843181 + 5.462088\mathrm{i}$11
$-4.787267 - 2.357106\mathrm{i}$11
$-4.787267 + 2.357106\mathrm{i}$11
$-4$11
$-2.47582 - 1.990037\mathrm{i}$11
$-2.47582 + 1.990037\mathrm{i}$11
$-2.701594$11
$2.32922$11
$0.8058973$11
$0$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda^{5} + 8 \lambda^{4} + 44 \lambda^{3} + 224 \lambda^{2} + 640 \lambda - 688\right) \left(\lambda^{5} - 4 \lambda^{4} - 44 \lambda^{3} - 80 \lambda^{2} + 192 \lambda + 592\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda^{5} + 8 \lambda^{4} + 44 \lambda^{3} + 224 \lambda^{2} + 640 \lambda - 688\right) \left(\lambda^{5} - 4 \lambda^{4} - 44 \lambda^{3} - 80 \lambda^{2} + 192 \lambda + 592\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 6 & 6 & 8 & 8 & 16 & 20 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 & 6 & 8 \\ 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 4 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & -2 & 2 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & -1 & -3 & -2 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2 & 2 & 4 & 2 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$