Family 3-336-72-c

No geometric description is recorded for this family (yet).

Fl(1, 2, 5) × ℙ²P2 · 2042.5ii (preferred model)

Defining data

Ambient: Fl(1, 2, 5) × ℙ²P2
Bundle: $(E^{ω_{2} + ω_{5}})^{\oplus 2} \oplus E^{ω_{4}}$ 2 copies of E^(w2 + w5) + E^(w4)
Bundle: $(O_{1} (0, 1) ⊠ O_{2} (1))^{\oplus 2} \oplus ⋀^{2} Q_{1, 1}^{\lor} \otimes U_{1, 2}^{\lor} \otimes U_{1, 3}^{\lor}$ 2 copies of O_1(0,1) box O_2(1) + wedge^2 Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v
ZL62 label: 2042.5ii

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,4;3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(0,3;2) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	72
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	336
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	8

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	336
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	180
$\mathrm{c}_2^2$	=	96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	60
$\mathrm{c}_4$	=	12

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		0		4		0		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ - 8	0	x₀ - 8	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 53	0	0	x₁ - 37	90
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 72	0	0	0	0	72
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 67t + 200t^{2} + 67t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(63)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(103)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 1849257t^{12} - 3436749t^{11} - 318072t^{10} + 1091365t^{9} - 180900t^{8} - 315046t^{7} - 94161t^{6} - 21091t^{5} - 3036t^{4} - 66t^{3} + 24t^{2} + 7t + 1 \right) \left( 16749619340203196888770446769280124t^{30} + 28810117056589509825801531857378520t^{29} + 25843922711004444094453083910236216t^{28} + 15088170071165200905596494534340580t^{27} + 6786821703609194377454684062108686t^{26} + 2812569248132454566418105614751252t^{25} + 1070043432409649801450828261027208t^{24} + 374499334076696958430018755666682t^{23} + 125969136878954434613112967214372t^{22} + 36293320021769059470502142876134t^{21} + 6598794917148393622759700440453t^{20} + 208722475851072742060189390284t^{19} - 171156024452791897133885509814t^{18} - 21325792903188552316922669055t^{17} + 5882184521931753476732949626t^{16} + 2651999496047774655169780110t^{15} + 529794682486417787512335248t^{14} + 55343504062901713187936845t^{13} - 179400742373094929644043t^{12} - 841662960156547999199664t^{11} - 104334975686096901095416t^{10} - 5699725335090262809078t^{9} - 125200987299625289816t^{8} - 4311526100164799774t^{7} - 462301618468771730t^{6} - 48732883176824288t^{5} - 2785291302342816t^{4} - 61146852529600t^{3} - 827485118912t^{2} + 848753152t - 176160768 \right)D^{8} + \left( 1115076629239421157681730922923871553643248t^{42} + 244333368060829344232945420808967594800400t^{41} - 1381171319384485929847552087645405755120696t^{40} - 1654089375538093849004791088116006973053068t^{39} - 861848552436661118348554195724134115451132t^{38} - 244676254903742761799036846458139337880296t^{37} - 98835057343162054174201688808619978498344t^{36} - 72272218848974232775654595569165023892830t^{35} - 40626143837602279040670347837106459548334t^{34} - 20227095822845499841918460915375173631742t^{33} - 9392938087086423095509253206732654699526t^{32} - 3645804006923215034492088701892714830636t^{31} - 1421610012012287697088579616986010742370t^{30} - 665860124127010039580634856494607830093t^{29} - 273384173314905457831054431834650221645t^{28} - 72677056166915786355229442741242720952t^{27} - 9406433686969194510867126680983614147t^{26} + 382298124474147074791831295640448569t^{25} + 272043324097422895898153434988916841t^{24} - 22578912408333160066632687807687723t^{23} - 33570483690741456942064021614433644t^{22} - 10650678110881360181642811564355562t^{21} - 1925955440338792646237635539878494t^{20} - 199100350584712157956084189848799t^{19} - 6217618217062244273389214661782t^{18} + 923197812272097166577769375517t^{17} - 26336230894366302153095950386t^{16} - 55832791382568478314973954668t^{15} - 10913957016930327001637246109t^{14} - 709795559218264158069884057t^{13} + 86065793315267772808764708t^{12} + 22517835031646511552342452t^{11} + 2079706669967691869193590t^{10} + 96056269046335350930834t^{9} + 2134235478946220959246t^{8} + 78935814594477956602t^{7} + 7196179397850013688t^{6} + 610238802121525024t^{5} + 29066568993995520t^{4} + 562147834137664t^{3} + 6588572528640t^{2} - 5941272064t + 1056964608 \right)D^{7} + \left( 16911995543464554224839585664345385230255928t^{42} + 8821894524312401322469410296495260462574232t^{41} - 12142186691213777477710402496964294748552680t^{40} - 20016303471131305795801136510069442508354404t^{39} - 12857873300595993705533063453875641495579504t^{38} - 4766597686930329797841905651880192835752420t^{37} - 1646791507208830138166458692309242912389812t^{36} - 631706536971324279360564894843924376463598t^{35} - 199443511143104163486746720676799885010118t^{34} - 67338725379634212507346384890084494616294t^{33} - 20195372824484009926562864275586006323868t^{32} + 2152494364368807820580315655233583320986t^{31} + 3605539899616275620107325803367209314494t^{30} + 153837991747627486966547496218712924263t^{29} - 601141229022344258023173893876499665945t^{28} - 192425806831002811254367527746857474814t^{27} + 6273998318061737792141761812333633705t^{26} + 17121548267862556825532160777137818935t^{25} + 4552163945291156528655098122106760767t^{24} + 443003841434436378970109909872523307t^{23} - 68646718136173260080542867176505058t^{22} - 35924617961561256062113002592662130t^{21} - 7426758246323461989705056821885312t^{20} - 852026083489723141847625121386121t^{19} - 9776044809964099269693669231714t^{18} + 20173371187077984708630579331089t^{17} + 5405397723556731965409329057748t^{16} + 917047066043781708980239292100t^{15} + 112840771409820409042827720177t^{14} + 8147288938418810105231099929t^{13} - 120056540905455673779552144t^{12} - 95895176064599607704295168t^{11} - 9598834141351322518022162t^{10} - 438011269933503559015550t^{9} - 8333082271705054753846t^{8} - 272773366743744841258t^{7} - 23611407853434968200t^{6} - 1951110341787747904t^{5} - 93415928577367424t^{4} - 1691208390035776t^{3} - 19251149946880t^{2} + 17266774528t - 2290089984 \right)D^{6} + \left( 140499655284167065867898096288407815759049248t^{42} + 108923900581618156743288940984653037504946016t^{41} - 37222132829703413535087999667555620241911960t^{40} - 119414903975047396720641341961133348425323004t^{39} - 91394111222611781907951028611525172256751420t^{38} - 40340195533280449345075528854792315890599488t^{37} - 16095168854766817320664156136981565758276124t^{36} - 6250971686856611190229686915912812067641394t^{35} - 2107472266566408003531234037660831077986526t^{34} - 765606479851501123680341218569634957256898t^{33} - 233100103927520398878073349067996263162774t^{32} + 7539127154055705003663634003330192109200t^{31} + 38518264217762718589639527556367454844046t^{30} + 11445733472601338744159418677465670807849t^{29} - 238754888268584709318159720857585306065t^{28} - 689045859461768554916437468403670146126t^{27} - 71249723012144760035448647833141336869t^{26} + 26237915710271507221371124534791994053t^{25} + 7257164440836204201233938780933228741t^{24} - 398641589825610165364359306858845763t^{23} - 689903733631827431225374412808115158t^{22} - 209364402909460172060275345103180822t^{21} - 29543623140582912258865973407843678t^{20} - 74535505535014642208746874700853t^{19} + 710314496956282777512409108247548t^{18} + 116075406864071278657147916343091t^{17} + 5251739904950599924254310966212t^{16} - 1005725808380769868236993571452t^{15} - 227576575555974380357679546015t^{14} - 20112993795296490837706008149t^{13} + 37477532950586688531824358t^{12} + 204399433493210996198574776t^{11} + 21732852598703267430425594t^{10} + 1072098440169366296462862t^{9} + 25537850211827482363642t^{8} + 821579841660541971298t^{7} + 45046319497158931676t^{6} + 2825903294026337632t^{5} + 128706163234062912t^{4} + 2176587392358208t^{3} + 22385534165376t^{2} - 15122960896t + 2113929216 \right)D^{5} + \left( 695343201383215710244366041353277569659368732t^{42} + 685141740528026908147592849113621415286125196t^{41} + 84414070578058773163259767632320224785933096t^{40} - 365666760229103035934529189522748068474230196t^{39} - 346125102022627096245169430733368019614984682t^{38} - 172166642462264425432863153889123221578382546t^{37} - 76565048523956183624276857095575660775007584t^{36} - 31992190157435256238401584361021781027069254t^{35} - 12135034474979531961412511817549330873596760t^{34} - 5055500732815005137490696089930813578695348t^{33} - 1847310265005910049068791703138644042613175t^{32} - 264190524440144250616373701068537150615299t^{31} + 110006861374920867599792370390291860191634t^{30} + 55920439955910357448634489371809676365923t^{29} + 6292781871932288241172996839116001486994t^{28} - 1347997027805805070253267371281195352802t^{27} - 404892114598225745249164880148953307123t^{26} - 1106300789723329363606948110870338151t^{25} + 18174964708172870348740713955561173029t^{24} + 4386375451482381971848678562321555253t^{23} + 173738850731898231549496469287310776t^{22} - 158385277130160498371910919982625202t^{21} - 36952989614319416122221233228321893t^{20} - 1631722997472933471634903044644500t^{19} + 656131944414632829785161592203011t^{18} + 154785000877131389734608995030469t^{17} + 19005030819634010428866943070124t^{16} + 1899411739333156634067884781348t^{15} + 203685904289334196489810094790t^{14} + 18531875464465171346617020301t^{13} + 606686181836727856228429827t^{12} - 85923020940624876347297718t^{11} - 11897229526504041593287928t^{10} - 635224727534183909169032t^{9} - 15232627261791487743424t^{8} - 559795708810985939866t^{7} - 29953612811076726022t^{6} - 1565433286186857280t^{5} - 66212317908418208t^{4} - 1077506307550912t^{3} - 9342090362944t^{2} + 4132547584t - 704643072 \right)D^{4} + 2 t \left( 1042039110024239071853577547472357966879615256t^{41} + 1205053235027265764309910220280019224342169000t^{40} + 461901619481811263689630611797317479206856168t^{39} - 244646068936332803116139566249786092673911756t^{38} - 351690927235060370990785111126956160470928644t^{37} - 194523425521721737877584457287162293114449244t^{36} - 93978459754097784002238605072867129427821046t^{35} - 41392815574286370926960132043166712922289320t^{34} - 16822544755544405218556102387043542359192122t^{33} - 7804651248152149780528338511456848681103068t^{32} - 3253730147589180320691978901273728421588162t^{31} - 721507150335681504767592743889341968632994t^{30} + 42834849561087307762235834076541626027838t^{29} + 62133694248159236646859750381471126357566t^{28} + 10037219977164338317063628622682231583719t^{27} - 1363361172465025503513716175287995533373t^{26} - 784336434743089904092081270758308883468t^{25} - 135843986954132168141962540670410683783t^{24} - 3999519789315982745914520565464230243t^{23} + 3699709802590402789533341464439163507t^{22} + 671154954324865659174599096265287229t^{21} - 33073801878263781582790058769711532t^{20} - 19308721997841001904674929089569598t^{19} + 87627808121513268892494845120266t^{18} + 680604363615534099114169808225357t^{17} + 111098411805618452161817275302680t^{16} + 7245983171036782410123675739791t^{15} + 49149623203908281651839744152t^{14} - 13860141254509361725816115670t^{13} + 1105040189659260053036596811t^{12} + 364072746076250958788406495t^{11} + 39295741107148967251760254t^{10} + 2665792297138476592871968t^{9} + 121064618542221763450200t^{8} + 3811468393400503002980t^{7} + 87531062476694512994t^{6} + 1539456346166875126t^{5} + 22080052745121248t^{4} + 835633394836704t^{3} + 8845389218624t^{2} + 15111436608t + 24641536 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 914703553835259616874977663468468079184409908t^{40} + 1182212523753300233306551435177923698942505252t^{39} + 643530535934593826023271311694797179192711240t^{38} + 10582398900865491197644758828617921844197496t^{37} - 174286741299390367581535371600777505908055134t^{36} - 111648916052890002967638399709241287026519966t^{35} - 58973213084309607976056988678624964875788150t^{34} - 27149066384014677853460330963839289232503586t^{33} - 11568676966688063553473053746229225993237710t^{32} - 6024455173722166180517816561118010455923340t^{31} - 2833410486002016628296599650935793216512087t^{30} - 755161792559003265956287485055434703235929t^{29} - 26106317977968043323164962529331006652060t^{28} + 40755607616953620788269279454752412040855t^{27} + 8651212711103616276174620818976924543319t^{26} - 726117934738601381472470852007025859625t^{25} - 675943200937434481059161203590746553797t^{24} - 157563825139169828367857310701279123502t^{23} - 15154505701305065902987540202087496848t^{22} + 1916414619986476563989036252778117154t^{21} + 765083047523851691495644602135014499t^{20} + 68441243562810600622995625273614342t^{19} - 2801148863035752132239135634866671t^{18} - 308715054143468667859463227811506t^{17} + 158388854127489793824515964839244t^{16} + 28277002942324803661143636694917t^{15} + 1136786248113218359642640416869t^{14} - 118615775696254864805234772330t^{13} - 12325803966452945743696919538t^{12} + 410389798518438769228358674t^{11} + 195588153126270327516380546t^{10} + 21818057741533070178772030t^{9} + 1380304341740831126793910t^{8} + 54632379609972981328864t^{7} + 1584027006899381479344t^{6} + 40165476114147098560t^{5} + 850834474343171392t^{4} + 15501697182813184t^{3} + 439841588844032t^{2} + 2819546200064t + 1409286144 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 70714442904266625082983102695422187693542644t^{39} + 98748875739201076551646844813251067471789148t^{38} + 63997333745638735256281001780357859657029100t^{37} + 14681820218427322011823659589552876242764508t^{36} - 4831076989539613937221858955219955587574930t^{35} - 4561706799934164649413605734583659159568562t^{34} - 2810875072824712770729078509486408787627060t^{33} - 1367329942093119991952316539547217368754836t^{32} - 609251945078583831398387291509861779472152t^{31} - 372086881419050240306238076053937712813718t^{30} - 200150983741845712209860289911409906471195t^{29} - 60164907363688684614346464224996627528345t^{28} - 4596311441456694827574859922146733304384t^{27} + 2466626263423980303790344891928443089522t^{26} + 654005547155293378888453784740962567736t^{25} - 25772190962102461283709780727738130670t^{24} - 47127498458407500148062244157520965103t^{23} - 12910873762214954289787547024268965535t^{22} - 1646205367015769396152946863331099946t^{21} + 55774888846390831171883321507908209t^{20} + 56319857560860303461008521873062431t^{19} + 7771059419857950632749603302208519t^{18} + 209114436008834021509930680211826t^{17} - 44304866978759951631889451279332t^{16} - 3125582873523282158625159312448t^{15} + 1328560799146221939409054388t^{14} - 49323677160487576765259234426t^{13} - 10578200561837221780772869633t^{12} - 749175537394616037203826941t^{11} + 12178897403974088392038021t^{10} + 9546872216456141712902581t^{9} + 1105541507601151682543734t^{8} + 66035289327460964501838t^{7} + 2345366649886038515252t^{6} + 63748593740567258906t^{5} + 1774854395117360864t^{4} + 43114075365843488t^{3} + 893941341601920t^{2} + 20660210697152t + 88742513664 \right)D + 576 t ^{3} \left( 2168204556854430028825587905685305798750760t^{39} + 3188214056158336897464679219723100898226320t^{38} + 2275580686893923143306339388780951509879500t^{37} + 760019979640079459111570437047304264856820t^{36} + 49686705441833983577905101345927913674312t^{35} - 43506143760257412195584541018728233435194t^{34} - 43332511115205790389314350045862393804976t^{33} - 23455103974219191004877959613526446698284t^{32} - 11146140571446259345328510809013358764115t^{31} - 8727729196561507930310362690079081357694t^{30} - 5466253998358542844013570964997640803944t^{29} - 1802559456911733732021588211402832878783t^{28} - 179143889253386990695763951998034686314t^{27} + 62954535027658211316400375934882354146t^{26} + 19792104155430404344225652538155240881t^{25} - 74227677715695887226459052477693878t^{24} - 1279352163551096390274640403390168861t^{23} - 394098262374332036174508401365943067t^{22} - 58321640329850876504937414520920364t^{21} - 401984902506177801247387280072522t^{20} + 1531007704948315431423524240634345t^{19} + 258235622710746916178762644722842t^{18} + 11878418078330154426861557227596t^{17} - 1573542629443010015266168829092t^{16} - 285291528061058612746785273805t^{15} - 25477186967770307836384236485t^{14} - 2855863770432007008353358144t^{13} - 305437876978498983448067963t^{12} - 18703157054467937147949027t^{11} + 82888475944362388958312t^{10} + 200328147576396744667808t^{9} + 23941250180194678854306t^{8} + 1358232204151348946394t^{7} + 44487712951312689556t^{6} + 1158997237708234824t^{5} + 34862085426925856t^{4} + 934043934635904t^{3} + 20454394877952t^{2} + 399731195904t + 1189085184 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 5) × ℙ²P2

Sector dimension: 12
Spectral radius: $7.79935663$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: Yes

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$7.799357$	1	1
$-0.2436467 - 5.896892\mathrm{i}$	1	1
$-0.2436467 + 5.896892\mathrm{i}$	1	1
$-0.7989423 - 5.479122\mathrm{i}$	1	1
$-0.7989423 + 5.479122\mathrm{i}$	1	1
$-5.15126 - 0.1741412\mathrm{i}$	1	1
$-5.15126 + 0.1741412\mathrm{i}$	1	1
$-2.652829 - 0.3899036\mathrm{i}$	1	1
$-2.652829 + 0.3899036\mathrm{i}$	1	1
$1.170537 - 0.8556782\mathrm{i}$	1	1
$1.170537 + 0.8556782\mathrm{i}$	1	1
$0.552924$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 7 \lambda^{11} + 24 \lambda^{10} - 66 \lambda^{9} - 3036 \lambda^{8} - 21091 \lambda^{7} - 94161 \lambda^{6} - 315046 \lambda^{5} - 180900 \lambda^{4} + 1091365 \lambda^{3} - 318072 \lambda^{2} - 3436749 \lambda + 1849257\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 4 & 12 & 0 & 5 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & 2 & -6 & -6 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 & -2 & -2 & \frac{4}{3} & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 & 0 & 2 & 0 & -\frac{2}{3} & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -9 & 0 & -6 & -4 & -6 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 7 & 2 & 4 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 7 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta