Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-400-84-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
Fl(1, 2, 4) × ℙ2P2
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5ω1ω2ω3ω4ω5
Bundle
E^(w2 + w4) + E^(w3)
Bundle
O_1(0,1) box O_2(1) + Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v
ZL62 label
2032.4b
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,3;3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(0,2;1) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 84
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 400
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 12

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 400
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 196
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 12 0 x0 - 12 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 61 0 0 x1 - 57 118
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 84 0 0 0 0 84
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 79t + 240t^{2} + 79t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(141)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(197)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 1715479t^{11} - 404540t^{10} - 90329t^{9} + 207359t^{8} - 43453t^{7} + 4939t^{6} + 4194t^{5} - 578t^{4} + 89t^{3} + 47t^{2} - t - 1 \right) \left( 946536789792275767697206105062t^{30} + 339332771480648733593503651706t^{29} - 723218034543882820900899383076t^{28} - 1791634938256411841041553407283t^{27} - 1228478961449713419749310865430t^{26} - 305091688085641669815206400547t^{25} + 86461039683483374954511800802t^{24} + 190862088782085921568336231930t^{23} + 99561956650767840966254595788t^{22} + 24745709994786995681591255510t^{21} - 20464803769052145850672863926t^{20} - 17568141286172904476546114598t^{19} - 4315900737080239536353163602t^{18} + 646060941845602479713580632t^{17} + 180457788633201254891815138t^{16} + 20622417859905134657694224t^{15} - 1896687668900155113343791t^{14} - 530269286483692268128956t^{13} + 251667604422256965805353t^{12} - 45027874830061021291461t^{11} + 1142698904855081722852t^{10} + 34029094474834498568t^{9} + 4503649580881314748t^{8} + 1639710927891464482t^{7} - 105422454879583404t^{6} + 284399573252100t^{5} - 384405353590582t^{4} + 1347630795798t^{3} - 97803867260t^{2} + 454080096t - 107724800 \right)D^{8} + \left( 116911006964356567801927351097207138256t^{42} + 68814950009954902762311901261109583016t^{41} - 98049743696431922583459211161266405814t^{40} - 260148307331937294222650488315519290390t^{39} - 207720812333032292996008147918341779535t^{38} - 56818708913012175523265065953012413074t^{37} + 9405369647350806616602602100670546868t^{36} + 24334296139778586208083277477884523623t^{35} + 15790722054803116016746847252628136118t^{34} + 4183726098114172823065367697476261042t^{33} - 2425670951852708123805281765084706597t^{32} - 2828573625607893892701257996349342373t^{31} - 573572690269834171892934357369854119t^{30} + 155800805318892116343946843675429997t^{29} - 71836944086155218387694893799758470t^{28} - 78990862196264807818276206867477382t^{27} - 2321554553271654713562149632435629t^{26} + 2655010535298446791084326239264777t^{25} - 627916033401874147650496601485268t^{24} - 8255844913165260946479421345080t^{23} + 52229299588863070628033593433241t^{22} + 26385575641458722241243641186060t^{21} + 972543808967255876555029500011t^{20} - 1683858896455284020981484588829t^{19} - 74908382966292041433850078797t^{18} + 13843156193070884729123414957t^{17} + 3612466595017976001862842528t^{16} + 705862873958958881483525984t^{15} - 137628524412758516555945793t^{14} + 10235353789830479992200591t^{13} + 2888011063496899540602831t^{12} - 744957199532164030553855t^{11} + 20684267692214601716432t^{10} + 404744942592162599820t^{9} + 100050410917684551338t^{8} + 18854349515052794454t^{7} - 1292565795167888518t^{6} - 1492462032237354t^{5} - 3847839873057190t^{4} + 11407458319422t^{3} - 810154393792t^{2} + 3178560672t - 646348800 \right)D^{7} + \left( 1773150272292741278329231491640974930216t^{42} + 992573063421197024794537466869401512716t^{41} - 1491777891139859095271590528566135761450t^{40} - 4170300955977826847396207259025473844142t^{39} - 3384852265628703302339435996217616662361t^{38} - 985201357049703334611088890878251367486t^{37} + 190947185344117037419583640166463930604t^{36} + 504474567890357590341723682606825175763t^{35} + 315973983163079516162439850956401265636t^{34} + 83949776649627973063622021728987524862t^{33} - 55042775355682031674102706801722815637t^{32} - 62124189084487728220350321116953009165t^{31} - 15782021922624541582857614472029501459t^{30} + 2565902708487795123744158732707713771t^{29} - 11598571459597669475414609615092176t^{28} - 875004597629450579836726265766197794t^{27} - 41006225338473063738187573407927827t^{26} + 45979726270918894476568011864302909t^{25} + 6086816670607130717437249768807154t^{24} - 17175796706093743101571220639494t^{23} - 337779368968775219687109690258693t^{22} + 74019162338294678342957228081350t^{21} + 9704880868000012792535272069851t^{20} + 662181776192850970106471437263t^{19} + 1535931102593807373245413159505t^{18} - 204087108241887510712912484403t^{17} - 39462034813489277254506699260t^{16} - 3412514978894311561844678792t^{15} + 428418238434333692165988823t^{14} + 60441044084456472089718259t^{13} - 25124524461671049736775093t^{12} + 4356304450257601559124177t^{11} - 101359354522296289423552t^{10} - 3715168312709885317688t^{9} - 320738761793733964070t^{8} - 98632442755306101438t^{7} + 5715226165433625702t^{6} - 450346838874442t^{5} + 13300542579472322t^{4} - 17634116409066t^{3} + 2222296428096t^{2} - 1455433824t + 1400422400 \right)D^{6} + \left( 14730786877508927543042846238248099420256t^{42} + 7889936613017591195970533197150010788336t^{41} - 12463522025960581225829565628884020587866t^{40} - 36113906447668912137223806376607114948170t^{39} - 29588515310689994419211663540226634181301t^{38} - 9092986372096300668840071810573636425290t^{37} + 1655943735531289531354934197758494544560t^{36} + 4944212547583413490703537445148879554399t^{35} + 3120215417469884650348342045930716376254t^{34} + 860044690970718208167339522634192905310t^{33} - 601883242532968911926694009161983863321t^{32} - 669522087052516220044338629200420734215t^{31} - 189570305737924084287707673578344480441t^{30} + 23694221342820655405796063216398388967t^{29} + 8735433416575464295427948134213890936t^{28} - 4236971763536703692023696756943840350t^{27} - 400832450820986064559853199869188947t^{26} + 236050724529334023516508498581701959t^{25} + 69213119785770317026503270780320906t^{24} + 1468976370996788159418502434870850t^{23} - 3077441884786521826514728129706817t^{22} + 296303429354748573026246087395318t^{21} - 18144211452832320374777707084221t^{20} - 36499256617128487479917657905703t^{19} + 821042322628216977410673419441t^{18} + 252707181958122510355412917201t^{17} + 113639053213018124602140067866t^{16} + 7882875922658235731744536048t^{15} - 158135918325333609475418607t^{14} - 237434682747810417712214657t^{13} + 77985200756774802502588723t^{12} - 11163879097194589946018877t^{11} + 193104403269099308717808t^{10} + 2404105414731037647036t^{9} + 585208910338847011846t^{8} + 192954986425682188242t^{7} - 10327556903407706530t^{6} - 62583280286163834t^{5} - 18983740216475158t^{4} - 54904190468958t^{3} - 2383174442008t^{2} - 6106039200t - 1292697600 \right)D^{5} + \left( 72903755426190016405151864021700084630804t^{42} + 37588369067665031296290485312690297907814t^{41} - 62096113631908655267608457034265448136800t^{40} - 184491642000834768277986339140321274590462t^{39} - 151963431344666592362222161379154576947126t^{38} - 48845219144934412430066096820504678516608t^{37} + 7564064884068161607600647307025614674112t^{36} + 26897862582287272579463231293520538685468t^{35} + 17294196660842171589444593316734886539078t^{34} + 4990464698232614190368081234404246896688t^{33} - 3620049703162245227083391681510708115758t^{32} - 4005294532327980582407691068304059128900t^{31} - 1211807175099579413197259688375335827030t^{30} + 122963449920997642897263571239290402344t^{29} + 78191997464455354001726956363263480376t^{28} - 7723090024583329497937848337495442596t^{27} - 1966977251778863838680516480356620656t^{26} + 460584902087926883847148339621513799t^{25} + 279399768304131887927789026342105024t^{24} + 3224738116166028413888332174738608t^{23} - 13274523997467942624028776404973975t^{22} + 1713630308288691511949781788270346t^{21} + 69945944209843315002983106171648t^{20} - 59889192387964616598004316393539t^{19} + 13292068550205622194193192169979t^{18} - 1081016705478464721823138833061t^{17} - 83513913610682569720043351675t^{16} - 9543980825493109915958369752t^{15} + 280765317243142480370037332t^{14} + 314088641775257266826940513t^{13} - 76689546983560407343209593t^{12} + 9129622983532392409956730t^{11} - 151554595289787677058326t^{10} + 120621073864164829356t^{9} - 405852573561687332920t^{8} - 139475998494714143142t^{7} + 6785546863835046510t^{6} + 101046667742728514t^{5} + 10234223550013478t^{4} + 105574999987164t^{3} + 989852572836t^{2} + 4518665664t + 430899200 \right)D^{4} + 2 t \left( 109253336008191212610901109600340070700232t^{41} + 54548232181343774730370892206634446932452t^{40} - 93682929069149218108959973092267427922448t^{39} - 283309279529984136169570137212081056789520t^{38} - 234041908699191093147891446818709547717770t^{37} - 77988038792252800369591387330636512342494t^{36} + 9683274855865700041447907405503475216334t^{35} + 42660458714100820565235264130586846840241t^{34} + 27978382046713348828090640075743861350878t^{33} + 8400552959683906445887524822901281615644t^{32} - 6296427181994865036227330788827628294169t^{31} - 6928024922126392149539701050994186372602t^{30} - 2184392760942940462128268756018761952840t^{29} + 186953922618988972724470293652810935326t^{28} + 156126402530407230904704948082808057263t^{27} + 3593501380355382218840984711060365714t^{26} - 2815417593115769566333358075894776140t^{25} - 48469275937723198035857894899090300t^{24} + 323507283375832692093568861296323201t^{23} + 752926119061934138315025101672627t^{22} - 16829335493888882386466142887430692t^{21} + 2831724559232491752857668547029163t^{20} - 44781572203797282202293596711899t^{19} - 80994990434442752763862754902754t^{18} + 6707295148198361029122122987910t^{17} - 328135655666603003006766734971t^{16} + 84704495839903575331465485203t^{15} + 6754441440479013315809152544t^{14} - 1470267809572014058805513808t^{13} + 96133212448453474540058509t^{12} - 1819211567135815545628909t^{11} - 172146710090324645151118t^{10} - 38135975304118288759740t^{9} - 1398037258396892527248t^{8} - 59671270650385852608t^{7} + 4273638160955315844t^{6} - 110434175310563660t^{5} - 6818524557155238t^{4} - 143967918705818t^{3} - 7559611416840t^{2} - 18311344052t - 2423808 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 95902748518455938993297683479211777773276t^{40} + 46639380100909335010352425860281517475026t^{39} - 82737248001511048143851176101261093599360t^{38} - 253366243148252324912393665813723661156572t^{37} - 209624260310610838602764862922709363373276t^{36} - 71847674576465895911232128633492347391019t^{35} + 6882321301092346592503858330312145161064t^{34} + 38783054316479968947991609363206129472775t^{33} + 25887548840889023218552783704505820126181t^{32} + 8007917081312892786982095196298893359807t^{31} - 6211320862687977195692115707917979276763t^{30} - 6785951987728277739575426628988293849140t^{29} - 2194199511830182082626315895525860796536t^{28} + 164615940060940613873129880125957049258t^{27} + 161929343720182978216820746750539330765t^{26} + 12702066549445138339618141037485704810t^{25} - 2359315134283622138078428689669336566t^{24} - 434332289479555280628055725106889744t^{23} + 232780693577521982264198917877116089t^{22} - 3951626770932442240980072878070603t^{21} - 13747695266862871796649796459488321t^{20} + 2538226797653013084009340166480914t^{19} - 105751376179969931731248365662972t^{18} - 47967728034749772129766556602783t^{17} + 3342306109189189976907648428545t^{16} + 28979676780819141483212727207t^{15} + 63638851967114906634499516313t^{14} + 3684631873289617849833352131t^{13} - 1086678604509223082685928075t^{12} + 73797278001810993383196156t^{11} - 3422055259390114611949412t^{10} - 117317427985030431282058t^{9} - 21597494636445216850198t^{8} - 968998915790534879376t^{7} - 10009054708604259484t^{6} + 1858726860810819484t^{5} - 114768156447916368t^{4} - 3447403261500120t^{3} - 96026970330448t^{2} - 2817662226432t - 1723596800 \right)D^{2} + 8 t ^{3} \left( 44484638149937674048633357092487316106408t^{39} + 21192883878988767185971922045808853329348t^{38} - 38572967073219855082094152385405729874828t^{37} - 119163206231359335908179505469225765021650t^{36} - 98662609339972014750211880326291349212198t^{35} - 34540997739178055427249307625131226566619t^{34} + 2500282366866495949955723019855605937286t^{33} + 18390379907632418483355505612000906585260t^{32} + 12451328483984236651682143183081289545539t^{31} + 3932366463731839163480994814901530816261t^{30} - 3150062766529822292060259749337299174758t^{29} - 3416251249875964768474687612327261725306t^{28} - 1121268615462775158696515822779740128380t^{27} + 76590790976557252830166460945352296388t^{26} + 83404323803345733210893877250984766460t^{25} + 8920108977332050195593427697439607152t^{24} - 1074985756615908777054536935516949418t^{23} - 305237211897223484091239050158185303t^{22} + 97045773943725105564549084171172018t^{21} - 4058224088626329420809160062215564t^{20} - 6367206302136326290345332586813666t^{19} + 1169597226918964905866139262265947t^{18} - 64859244670827751778435038619385t^{17} - 13993196632388231692516691364832t^{16} + 1010104871845760127288447184916t^{15} + 77588144989846142149187870017t^{14} + 23785734588309651483782230465t^{13} + 845939375173923391186507513t^{12} - 327529548785473347060215727t^{11} + 20157042818122940036391156t^{10} - 1747855308773577897249832t^{9} - 48229078754502086894746t^{8} - 6926888413063623319378t^{7} - 300675584386610425050t^{6} + 1436488237084965594t^{5} + 180721324776003978t^{4} - 40702215591735078t^{3} - 1203726363819336t^{2} - 30996328820976t - 586325779200 \right)D + 96 t ^{3} \left( 1363961747917493291022485762800749946320t^{39} + 640185440066822500543479189348404161920t^{38} - 1187203700972590051062737303963568713220t^{37} - 3689215146218308649706559098606204721550t^{36} - 3055525124035076983031949667184899996930t^{35} - 1085743838261528162491499070986225873231t^{34} + 59893630669626720869526839595194144650t^{33} + 571641875028995832101884194858542389110t^{32} + 391070412865046456895778203801265150839t^{31} + 125188580754576048472994745156427029727t^{30} - 102887989667560132655932339290178846744t^{29} - 110908027436946892122388390294317554694t^{28} - 36715910686026749692168360412441734848t^{27} + 2359131540698430086323946381873890013t^{26} + 2732097989848236580945707400060356526t^{25} + 333889302052650673631845370248362955t^{24} - 33084914671519121981986781505150231t^{23} - 11125781200278195385249468471470164t^{22} + 2860115748405982102265169858613315t^{21} - 182905432646510227205509271947768t^{20} - 200112808148060896316314800640766t^{19} + 35521140855151314262488080742068t^{18} - 2193351492129699836998899770232t^{17} - 254609649500877445093292724607t^{16} + 22868822011545999806684141015t^{15} + 3042358183555721192164393981t^{14} + 599143537945279831921990263t^{13} + 10407672607384875569401303t^{12} - 5964386249843187934898833t^{11} + 250586054270273224496390t^{10} - 51507180008456862753474t^{9} - 1322112739491238560214t^{8} - 157756357100454827014t^{7} - 5204853609952371052t^{6} + 54888659180833892t^{5} - 5884251249231232t^{4} - 922588430182560t^{3} - 31700526994944t^{2} - 668188118016t - 8725708800 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 4) × ℙ2P2

|λ| = 7.271314 λ ≈ 7.271314; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.505216 - 2.939946i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.505216 + 2.939946i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.338208; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.7989746 - 3.329389i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.7989746 + 3.329389i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.848593 - 2.284073i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.848593 + 2.284073i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.890027 - 1.825355i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.890027 + 1.825355i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.997864; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$7.27131444$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$7.271314$11
$-5.505216 - 2.939946\mathrm{i}$11
$-5.505216 + 2.939946\mathrm{i}$11
$-4.338208$11
$0.7989746 - 3.329389\mathrm{i}$11
$0.7989746 + 3.329389\mathrm{i}$11
$1.848593 - 2.284073\mathrm{i}$11
$1.848593 + 2.284073\mathrm{i}$11
$1.890027 - 1.825355\mathrm{i}$11
$1.890027 + 1.825355\mathrm{i}$11
$-2$11
$-1.997864$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{11} + \lambda^{10} - 47 \lambda^{9} - 89 \lambda^{8} + 578 \lambda^{7} - 4194 \lambda^{6} - 4939 \lambda^{5} + 43453 \lambda^{4} - 207359 \lambda^{3} + 90329 \lambda^{2} + 404540 \lambda - 1715479\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{11} + \lambda^{10} - 47 \lambda^{9} - 89 \lambda^{8} + 578 \lambda^{7} - 4194 \lambda^{6} - 4939 \lambda^{5} + 43453 \lambda^{4} - 207359 \lambda^{3} + 90329 \lambda^{2} + 404540 \lambda - 1715479\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & -1 & -1 & 2 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 5 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 5 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$