Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-480-99-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
Fl(1, 2, 5) × ℙ2P2
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6ω1ω2ω3ω4ω5ω6
Bundle
E^(w2 + w6) + E^(w4)
Bundle
O_1(0,1) box Q_2 + wedge^2 Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v
ZL62 label
2042.5m
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,4;3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(0,3;1) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 99
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 480
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 17

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 480
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 216
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 17 0 x0 - 17 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 71 0 0 x1 - 82 153
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 99 0 0 0 0 99
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 94t + 290t^{2} + 94t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(44)
Coates et al. (2020) Obro(4,111)
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(76)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 9142499t^{12} + 4579824t^{11} + 1209658t^{10} + 469909t^{9} + 222793t^{8} + 27279t^{7} + 9191t^{6} + 3214t^{5} + 137t^{4} + 104t^{3} + 13t^{2} - 3t - 1 \right) \left( 9159296579307337772010366761760t^{30} - 48921654680020566583558943650272t^{29} - 36206603614456586604871848533892t^{28} + 6855211030901976785668201686732t^{27} + 37742681075404239409968895016862t^{26} - 19895493534075489223422366132828t^{25} - 54974470982242200423071397065742t^{24} - 25167336837674917596388261440234t^{23} - 7589455637674193225183309104581t^{22} - 757002236052388920011660963252t^{21} - 69567854832434567870652244872t^{20} - 19434324127304758129446852510t^{19} - 57807316743683002377603295455t^{18} - 16033883274000275551935272462t^{17} - 1189489436104058049006245146t^{16} + 56519495443698533762531798t^{15} + 7592886604062692027268065t^{14} - 1853956801756540196555870t^{13} - 50137005959874410278148t^{12} - 57172552653859275846349t^{11} - 6874305650859691380709t^{10} - 523016825850036823812t^{9} - 44627639301737314330t^{8} - 1480125989516368979t^{7} - 194609792278793309t^{6} - 1918988154443588t^{5} - 331941795116416t^{4} - 2021795489270t^{3} + 58363191913t^{2} + 5178979456t - 11857920 \right)D^{8} + \left( 3014598953412747225837612219924865376640t^{42} - 15290409633735144481745190995926398152736t^{41} - 19258434640630121403032932805469777694152t^{40} - 4263948398135564121911895767647973670084t^{39} + 13287517674323361694558907190848907622176t^{38} - 1837184099105783238526511254948103705916t^{37} - 23074760371446353810814836926332600697920t^{36} - 19251183681750457106289672976842272644842t^{35} - 9391411423312338565874757865407915298740t^{34} - 3260357106602559995264033175455038883652t^{33} - 978885264447810582763990691743231037346t^{32} - 269659434131756391557563619245885021542t^{31} - 87238986772692936825960373994889880602t^{30} - 28142332202072090267978029569877461550t^{29} - 7711613956485297141748681744486950586t^{28} - 1893324283443342840070623366411478916t^{27} - 559260775495767530679832647429063420t^{26} - 125877348740997282401523204333395370t^{25} - 22148168038095959582516567425536570t^{24} - 4372513031323048992052921041902657t^{23} - 716817958400376463447618368022596t^{22} - 23336041274782321770287767643684t^{21} + 13860524304886626111553571542119t^{20} - 1432530117172255517072062570982t^{19} - 2238316658648183073596475069521t^{18} - 456947664038784661846252406119t^{17} - 28679629679276717448002618967t^{16} + 1159758292928344528277943574t^{15} + 32954342498359478922517605t^{14} - 38178501909562484587422886t^{13} - 2784287240151995774840697t^{12} - 1190565795632265517529548t^{11} - 124237324147665963026710t^{10} - 9043666091671177775081t^{9} - 658019889407540385467t^{8} - 23044395834426332187t^{7} - 2374117713861418936t^{6} - 25099176374132566t^{5} - 3328683713721170t^{4} - 17524145271472t^{3} + 481517555912t^{2} + 36252856192t - 71147520 \right)D^{7} + \left( 45721417460093332925203785335527124879040t^{42} - 240874455480231535596714556683396038953152t^{41} - 286807359809066298357068566449686735558208t^{40} - 45335312497630014239623870412144085216012t^{39} + 228349069783886596320866318540211637235676t^{38} - 45056398285841155760268984077400360475404t^{37} - 397900714369936275477247919033477592008124t^{36} - 314420699142094965114931644943965008225490t^{35} - 145589532458281194194187741012849942947646t^{34} - 44524460069417053247647527434403119740464t^{33} - 10927136342972638856649284002367351268666t^{32} - 2540430137504969861262581054620067552104t^{31} - 990932180016609115347798663046830078916t^{30} - 397490022444233852937612899743718106116t^{29} - 110568719899606641385902433555011333666t^{28} - 25321176133072256291517372014058511942t^{27} - 6512567232362802138795055554209251444t^{26} - 1245358958832906449935674647425681128t^{25} - 115879872953791955120950550175004968t^{24} + 3161481476087724886694413558637847t^{23} + 2044946582548079162927654109689838t^{22} + 186705586532847829975609894003242t^{21} + 11485383234335855701421265085405t^{20} + 10796202743949913223785900540858t^{19} + 14204596007092918447921809605905t^{18} + 3133089707560548184326031227333t^{17} + 180612796525377192083499519481t^{16} - 12407856193239361739380154930t^{15} - 1117261973104446901248715733t^{14} + 220534843569784355915226144t^{13} + 9002318902298043724067661t^{12} + 5928597754399717345239488t^{11} + 615480247257236094587868t^{10} + 41128330254699184359723t^{9} + 3098790725064302640169t^{8} + 86523898601581842575t^{7} + 9742533326665536992t^{6} + 84888039860537378t^{5} + 11253254065876336t^{4} + 57060838446682t^{3} - 1306023120760t^{2} - 86272621504t + 154152960 \right)D^{6} + \left( 379839468130006150455539139710533037456640t^{42} - 2063586593298060008405466689594914535513664t^{41} - 2339613215753865637793988160741214150750712t^{40} - 236279414632905779084729601317359146708060t^{39} + 2086356972622014464466789725967876129963864t^{38} - 532662497420881887815245938299014497790380t^{37} - 3684361964186780972185893976142675897181600t^{36} - 2768589919223665840991296107009571149967254t^{35} - 1226261836561626148979506005437475111991356t^{34} - 336973687000168902513576115005350405901936t^{33} - 69612994683444310893060602794611474233526t^{32} - 13897777849929475796434228452063401978862t^{31} - 7680144826682169926775495447819526785284t^{30} - 3656177650253784902577693913308113172998t^{29} - 987783373041857628950939056470240169696t^{28} - 191189500282780536471580838931196311554t^{27} - 36953334213782013784916702317754408870t^{26} - 6294407161320426295444101557864866818t^{25} - 644563641585349167282581298772608782t^{24} - 35749604633963265931731750920680653t^{23} - 9055084672603777138843857335312504t^{22} - 2836538664649560259738679523853528t^{21} - 543608168952076193185093418958433t^{20} - 122802805245413712018347493071084t^{19} - 57220126679027082376454208261831t^{18} - 11925613391854722878667295946569t^{17} - 875320902818747632931494674949t^{16} + 12014498158784362559343592560t^{15} + 4070984556169342689532009803t^{14} - 504306707398551211971689798t^{13} + 564552903104347020501919t^{12} - 12458623052204322842623586t^{11} - 1268204399555388936062950t^{10} - 82338140693587091221855t^{9} - 6318349076386288390389t^{8} - 152661793369118490257t^{7} - 16759085734563796498t^{6} - 152701520605983870t^{5} - 15008767015758452t^{4} - 81515691363706t^{3} + 1889150843666t^{2} + 84359827840t - 142295040 \right)D^{5} + \left( 1879853664032298957578571020141480634449760t^{42} - 10468938351228537722269780595423637494815392t^{41} - 11381237309108033799618579715778657831076804t^{40} - 575992463878736163031659663721200036160344t^{39} + 11112618057232120672891800785425035517680234t^{38} - 3414215661067461116735237385132017123128500t^{37} - 19933848897197629887269025007424023072640310t^{36} - 14328867492061070502138386261806582447835046t^{35} - 6122552733020523311476586156932773754544925t^{34} - 1542017283948498676404265807967628585394236t^{33} - 280979247070716298900072315683436573585110t^{32} - 50914662411652736347820180473277862387217t^{31} - 40893259348682879666087307186844169931760t^{30} - 20707521863522319362829750111178062934141t^{29} - 5268562361867169786359423524317612137601t^{28} - 851795949125751503664156648190863463837t^{27} - 116308082688170395489223043151510311679t^{26} - 15003750577902551662400434431477038735t^{25} - 720700158554202385237985103492939566t^{24} + 123381523598759539282451296836023804t^{23} + 6835746368806770591519279382079248t^{22} - 6923977911171487384825851967815547t^{21} - 1291950301810885514167066952814122t^{20} - 215970249910446052245047194707582t^{19} + 25550338259700409497277082530170t^{18} + 10590615018462858787331815532329t^{17} + 836608792942758106109229673790t^{16} - 25544493881720774493107452988t^{15} - 8213915117331335166629948334t^{14} + 112055464662550410308857355t^{13} - 34588854112525375167068132t^{12} + 8446430796104642472688510t^{11} + 954093267350334529173307t^{10} + 63927096434685264385081t^{9} + 5157303432284544375738t^{8} + 131483730413679066435t^{7} + 11404431483157066534t^{6} + 155265838113979120t^{5} + 7410750954726721t^{4} + 63790289877091t^{3} - 880332973135t^{2} - 29196187456t + 47431680 \right)D^{4} + 2 t \left( 2817142721964212282545248619519786694470080t^{41} - 16001325045818390064510538787045573677093392t^{40} - 16794154439235702650566622754964893879752064t^{39} - 121982744391764088386518347406570233518688t^{38} + 17627544693137035775696960378570493497163972t^{37} - 6192391231516482038244311740429495174072380t^{36} - 32088138256513588869432952331085714737269584t^{35} - 22211930329463981800807196116762047822454944t^{34} - 9230234849590745479532010843917959384433520t^{33} - 2170621399319306655216462654410509135726710t^{32} - 367389038329033982585718655619924727809892t^{31} - 65015345907219435817554397391349600372726t^{30} - 69619185112378545116257247349543207174349t^{29} - 35264410779216763285604823370875690566510t^{28} - 8385044546796697980606607969091592089971t^{27} - 1137890282876766634866865778287089150585t^{26} - 101459100013592213635021243747404038631t^{25} - 9365668630682147708977540742079678966t^{24} - 611261793317339512535456386780741644t^{23} - 75962081925839444583940110185677517t^{22} - 47268719572196288505374346066114582t^{21} - 12328368853504591101889408440852286t^{20} - 1778101237121404796567002048444995t^{19} - 277387612490994117129797950544971t^{18} - 36655106528520790737661181109868t^{17} - 4072143114919442755886791350072t^{16} - 318475355372871160380021908678t^{15} - 14575714478058019520624825143t^{14} - 1625613291611013466646606736t^{13} - 125898238139198751909306794t^{12} - 9197917416885892474611227t^{11} - 717824830367930831305529t^{10} - 26565004116542981799150t^{9} - 1471117862977794507308t^{8} - 62601538620717214776t^{7} + 2405408975667977090t^{6} + 60045532683390349t^{5} + 1298143782176066t^{4} + 22921689122135t^{3} - 1330694044967t^{2} - 831595541t - 234688 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 2472892269256439953505847957405588873265440t^{40} - 14264118044793387408226577417020597942164672t^{39} - 14548291839756203655646926416584212033494268t^{38} + 418959602987062319087210630043321626219328t^{37} + 16161738637248005721455269719721385433379266t^{36} - 6254932487414893020850852207224482915482428t^{35} - 29787490357307238429332770891267512130077162t^{34} - 19993587324338533108729436542231600366400118t^{33} - 8137149127573272259225196120097800871006681t^{32} - 1816234881061021474095689620043291292566588t^{31} - 298051957430906966971509008175590151321822t^{30} - 54289421593605806200073088660181377918083t^{29} - 69538360752610633468295955886687511772182t^{28} - 34527363418138377863673981995484080378277t^{27} - 7714795625439556045188024531688444600090t^{26} - 892841029527734343546703113373525330937t^{25} - 44805238255428740219870824500431781228t^{24} - 1801203117377248913550947761896418648t^{23} - 323989492837111166763917824990117700t^{22} - 174114242773660532985655271540999258t^{21} - 59567202542106763678199605386899903t^{20} - 10762778701550229967571366356194973t^{19} - 1492433984146554578199798192191771t^{18} - 246589169359219964482141557128318t^{17} - 32420896409351225359499347829261t^{16} - 2988839985998582636262374260821t^{15} - 173665837777524258862365881364t^{14} - 5754851678636323235894446988t^{13} - 845058431833827808241787291t^{12} - 71742699601066920631954295t^{11} - 6115859800979388841374325t^{10} - 461223126283436075353858t^{9} - 21845003243853297993690t^{8} - 1395167149501924449626t^{7} - 36678170406972338598t^{6} + 721123752944746720t^{5} + 13891800006747630t^{4} - 36733148458744t^{3} - 9149054715888t^{2} - 477328749056t - 94863360 \right)D^{2} + 8 t ^{3} \left( 1147054901773550319431211449681411275811520t^{39} - 6693790198532304363278955878070198708549552t^{38} - 6676706281359676000538298470087803550672736t^{37} + 383143759053783459139475221797061436139600t^{36} + 7743175744786731678643914154634779659085632t^{35} - 3209860689349796446251142597242861385904652t^{34} - 14410877869328351438909207852345351870073180t^{33} - 9443851347601232071084209062428419296205456t^{32} - 3786304843056219495873144479080880878947174t^{31} - 813385348015023859615974587877826844702130t^{30} - 132953271595687044912391390113896604219600t^{29} - 25382325972666041879024402631533430166902t^{28} - 35936394951024023436431509362809038824139t^{27} - 17463731620902568854227512959164252715508t^{26} - 3709490277114930567606098208271603062682t^{25} - 374861229776337508118962438399524365455t^{24} - 6991836817804479947540102844532948664t^{23} + 662642289049309402660732080961694055t^{22} - 128718588917448572271233721808957712t^{21} - 112092793807020739601455243725503043t^{20} - 32923380153744253645672805224675967t^{19} - 5343996688304917403846848576973786t^{18} - 751957810551403500939909313553392t^{17} - 119347119679477722800731464872649t^{16} - 14631993936218776057548081475969t^{15} - 1146631617453238531588112094764t^{14} - 53940443172093678412796873258t^{13} - 1718458227465035818107599059t^{12} - 250909629448317778386428781t^{11} - 25202576192504419066795174t^{10} - 2387490796018640718369612t^{9} - 167212698046295826227971t^{8} - 9770851524550698807053t^{7} - 571195251371068865101t^{6} - 11569214821613212898t^{5} - 15040522090745749t^{4} + 3191583792366987t^{3} - 185796757762740t^{2} - 6168559984434t - 84002106240 \right)D + 288 t ^{3} \left( 11723440374382905878257380855263365353600t^{39} - 68976244370597214908562730547226851723760t^{38} - 67705120694486854304128415259041841206280t^{37} + 5299613213857891865887992706334069808400t^{36} + 80944119605828542904044661622891942806428t^{35} - 35135893193581702313950969801379531450288t^{34} - 151696079825152219492865585530132816194382t^{33} - 97723565891066742895712027777387420540460t^{32} - 38783230685516548523100361686507057034476t^{31} - 8114501982751515312588325985784486474648t^{30} - 1336266936312264541987752112481341054302t^{29} - 266088696635751338695920980022909650942t^{28} - 397413340849507487429305202380677369143t^{27} - 189950791246558929877023432983585631254t^{26} - 38896778146385936411014950884084546093t^{25} - 3540142422728563929612452480712847623t^{24} + 19019423290104134354029497900174878t^{23} + 13931278057544681651269455983080852t^{22} - 1307901450756341004720073377590088t^{21} - 1326346199128424495765848428400870t^{20} - 370786532589745852652424171380394t^{19} - 59267252532883130428955693565273t^{18} - 8455660530165193099422060194788t^{17} - 1251092968634106444076397508548t^{16} - 142472331103465748748394898272t^{15} - 9883895099540407704901381373t^{14} - 414634367465296059634194388t^{13} - 16319651665751943724301130t^{12} - 1949483643347746420538825t^{11} - 227657254714585514421340t^{10} - 22646781644163366102598t^{9} - 1466126393828025450817t^{8} - 98013228469350695802t^{7} - 4966475901860092281t^{6} - 93514675801073691t^{5} - 1817735994614004t^{4} + 27560457223732t^{3} - 2305999072128t^{2} - 56347983552t - 320163840 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 5) × ℙ2P2

|λ| = 6.338884 λ ≈ 6.338884; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.615525 - 3.245346i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.615525 + 3.245346i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.01717969 - 3.77794i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.01717969 + 3.77794i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.597899 - 2.700225i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.597899 + 2.700225i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.568806; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.2258 - 3.002312i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.2258 + 3.002312i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.076033 - 1.309069i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.076033 + 1.309069i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$6.33888356$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$6.338884$11
$-4.615525 - 3.245346\mathrm{i}$11
$-4.615525 + 3.245346\mathrm{i}$11
$-0.01717969 - 3.77794\mathrm{i}$11
$-0.01717969 + 3.77794\mathrm{i}$11
$2.597899 - 2.700225\mathrm{i}$11
$2.597899 + 2.700225\mathrm{i}$11
$-3.568806$11
$1.2258 - 3.002312\mathrm{i}$11
$1.2258 + 3.002312\mathrm{i}$11
$-2.076033 - 1.309069\mathrm{i}$11
$-2.076033 + 1.309069\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 3 \lambda^{11} - 13 \lambda^{10} - 104 \lambda^{9} - 137 \lambda^{8} - 3214 \lambda^{7} - 9191 \lambda^{6} - 27279 \lambda^{5} - 222793 \lambda^{4} - 469909 \lambda^{3} - 1209658 \lambda^{2} - 4579824 \lambda - 9142499\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 3 \lambda^{11} - 13 \lambda^{10} - 104 \lambda^{9} - 137 \lambda^{8} - 3214 \lambda^{7} - 9191 \lambda^{6} - 27279 \lambda^{5} - 222793 \lambda^{4} - 469909 \lambda^{3} - 1209658 \lambda^{2} - 4579824 \lambda - 9142499\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & -2 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 5 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 5 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$