Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-80-23-b

·

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case K3-51 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ3P3
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4 (marked)node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6ω1ω2ω3ω4ω5ω6
Bundle
E^(w2 + 2w4) + E^(w1 + w2 + w4)
Bundle
O_2(1) box O_3(2) + O_1(1) box O_2(1) box O_3(1)
ZL62 label
12030.x361x4100
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 23
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 80
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -26

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 80
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 104
$\mathrm{c}_2^2$ = 136
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 16
$\mathrm{c}_4$ = 40
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 1 30 1 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 26 0 x0 + 26 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 2 0 0 x1 2
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 15 0 0 x1 - x2 - 8 0 23
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 18t + 42t^{2} + 18t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(652)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(660)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3t + 1 \right) \left( 4t + 1 \right) ^{4} \left( 1591t^{4} + 756t^{3} + 66t^{2} - 8t - 1 \right) \left( 4279t^{4} + 2124t^{3} + 258t^{2} + 16t - 1 \right) \left( 5272739570331522119531218318205479t^{28} + 34946232214115349206783093271020574t^{27} + 88374592941221902511277127142706017t^{26} + 127696656172125613696982853824321230t^{25} + 123331040851919718267704193916220720t^{24} + 86327755207986803952604778191844202t^{23} + 45926902480871753002222381108976484t^{22} + 19127256945734749498083549031176148t^{21} + 6351116080579368971295921496621425t^{20} + 1699006385052520248642149177609138t^{19} + 367823964057303886757672117310749t^{18} + 64418331384425938215461754730590t^{17} + 9079585568244018441095792591361t^{16} + 1017660582657158670590696416644t^{15} + 88068346285990375685416293523t^{14} + 5320253362060840549049930402t^{13} + 104115545142925091122093526t^{12} - 26254414142202111467154198t^{11} - 4700234713768663738851758t^{10} - 483843038992008606882404t^{9} - 35473957694990771729357t^{8} - 1906276720104548479150t^{7} - 74571776711130295051t^{6} - 2091362002839528142t^{5} - 41392168802665938t^{4} - 538009937622010t^{3} - 3142332510396t^{2} - 7868049264t + 4177920 \right)D^{8} + 2 \left( 4t + 1 \right) ^{3} \left( 7753584755676534290815665530543669328347496t^{38} + 62324195153292399339421506078661289253198042t^{37} + 206814809774357847402578240374948829013869578t^{36} + 405514086387717903772397665900687071245390750t^{35} + 543578004817978919798639289566201502932841391t^{34} + 538434526438746605721720511058507020545796783t^{33} + 413250392858226680893231352326329268442734571t^{32} + 253534958151345931258026142923419167902908659t^{31} + 127019196379435479148137603885539701154506016t^{30} + 52738955469782884473480413554587088694560268t^{29} + 18332085107200764386385934953841885385975122t^{28} + 5369583857006598163229920907242050548237592t^{27} + 1330110379332762168764278881926062134836522t^{26} + 278959665727935221481479503010690602466546t^{25} + 49474241800463498514984492897008857056746t^{24} + 7391918795449431758394587687962856687730t^{23} + 923277452523711683106931319274563967847t^{22} + 94842265248216312457738817547221710071t^{21} + 7679936429643152537972571663377439053t^{20} + 420725921108432791591412001499103171t^{19} + 1017765750947355544966401786532643t^{18} - 3410280554556676570335394389686173t^{17} - 530608300194056724383313106061401t^{16} - 51565538525204892483699893590545t^{15} - 3443815696990310907272034642378t^{14} - 133047149262995380100432602902t^{13} + 1595369359432949608915946796t^{12} + 748668494652679678254051662t^{11} + 74262039818561453236474732t^{10} + 5213596033500892780481172t^{9} + 293192001792912192609860t^{8} + 13132413106082576105004t^{7} + 448436793127514310139t^{6} + 11190770752689749657t^{5} + 199207855746753643t^{4} + 2365379966163129t^{3} + 12401400494712t^{2} + 27621730824t - 12533760 \right)D^{7} + 2 \left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 470384141844376413642817042186315939253081424t^{39} + 3841088291419588795164852786549548006967469368t^{38} + 12932011016333506674297225026563222556690154241t^{37} + 25743340909430457786536909548579418382341073173t^{36} + 35080582357538129340720072939958690350973897779t^{35} + 35383953738164480633779390440266377541244584166t^{34} + 27707212699732864833705595505003058449897038889t^{33} + 17380923867941781465389657406127730817630339010t^{32} + 8925545364547219235098289348219467565300630610t^{31} + 3809385948408645245218435100788125174473438942t^{30} + 1365570657508073171102001520016867158918175142t^{29} + 414086376376676399428736555409959593793489564t^{28} + 106678008331559623126802274851723404863666706t^{27} + 23397148198487577327226784251462364750714075t^{26} + 4368667110450265602433262195203644741133254t^{25} + 692865078651240456474940230319328774216089t^{24} + 92820404234491984159920131290586626335761t^{23} + 10374504597452668524174050812184435278518t^{22} + 938388952772952490105146600251484962476t^{21} + 62530419555955590575384817556754716652t^{20} + 1795137713266516985588479782252426544t^{19} - 265902584548020596146386123063551220t^{18} - 58042394536148409008271259500245099t^{17} - 6886219019199498578413747807776492t^{16} - 603806887276658285357580300576308t^{15} - 41581716653037458692784766857182t^{14} - 2302555831216811887684135152142t^{13} - 107221372527477582999961769832t^{12} - 4836051869428621891701229882t^{11} - 263299195098849751384567053t^{10} - 16853056516971103377370996t^{9} - 990137159550542016465847t^{8} - 45701049962779179115287t^{7} - 1552657233905711586406t^{6} - 37412226531030580253t^{5} - 626911197578599149t^{4} - 6939688361496227t^{3} - 32899524570696t^{2} - 67108648248t + 27156480 \right)D^{6} + 2 \left( 4t + 1 \right) \left( 15631226867443893130284381709576037365948551936t^{40} + 129947918862276141505166115260199336236807343168t^{39} + 445734600671690436642734232762703168808840387680t^{38} + 905173414193984827511089098797808909792114207760t^{37} + 1260216941329316457355239373782505486779287869656t^{36} + 1300809393091274639460848772792044917320309167384t^{35} + 1044245826821445313541336992195202436697312488695t^{34} + 672853026446284729380862055749068974969357314551t^{33} + 355652313663297448870168002150370428553317500409t^{32} + 156596345575461566443189412740592232712101665083t^{31} + 58059579109594661949382043156174462089458873712t^{30} + 18260290432170544679682134004980442469986146986t^{29} + 4894650603297843468595045993495525117000706400t^{28} + 1120938618912327057074109056347612318165317420t^{27} + 219414182432864613478433436562317956977239488t^{26} + 36641549112375568857777455600292165586486518t^{25} + 5193794371527243459285390115000957772080992t^{24} + 617573638209457766329542743257479937094030t^{23} + 59834888361573767500506722743071279903081t^{22} + 4324330549536927871379438038626849671781t^{21} + 144642849044674282979731035677059308623t^{20} - 19236189928728200654790629964051775933t^{19} - 4838423703223892867406927941702252821t^{18} - 647657115359112560830225112459829045t^{17} - 64975794764505531766015634050520647t^{16} - 5218841722301661531160904484075561t^{15} - 341103841054836886037102862874206t^{14} - 18150691486030228716146584802380t^{13} - 778354937649610404147002197426t^{12} - 25869222246082555025772556526t^{11} - 553569565926918927761299254t^{10} + 3170607268999235386122448t^{9} + 1048988503270278351360078t^{8} + 59349430055297717376736t^{7} + 2053576868952593482533t^{6} + 47759012424857681773t^{5} + 762707820719025355t^{4} + 8063259742990503t^{3} + 35197046877588t^{2} + 67105018680t - 25067520 \right)D^{5} + \left( 618880797085093398380518668427288294229592667392t^{41} + 5247154133329719751434599988643293374258050831872t^{40} + 18401222436034296277472718024902596470183677309792t^{39} + 38273711604010435923686180359291471462225088518256t^{38} + 54667549314841147369746176940537828447849164191573t^{37} + 57986340118581767388862953252749282006812517589169t^{36} + 47915515367772368056690663297154903817570459166753t^{35} + 31836657153424346133454846585266362801345317105345t^{34} + 17385769605339110952094153144448049796405468647206t^{33} + 7925188238690974537140815822812019475245334029640t^{32} + 3048944325694102228149618221038085204365556224364t^{31} + 997531808673896275176565237317398758412748233882t^{30} + 278937306180527687182923104798208917077552067536t^{29} + 66850003670786283814005641316674017559507986944t^{28} + 13742387427152229218885673123653081254180917346t^{27} + 2420063798302852724434558683774857930113014888t^{26} + 363560250985787482540348149373362935722212203t^{25} + 46147417332769490583720473889029131882215685t^{24} + 4838615696083901893862777445800647402698585t^{23} + 393559738996848570652197325385471418708245t^{22} + 19130873440051486649285953237671643817259t^{21} - 793047031525970400151144690547399239285t^{20} - 346099906443219996411064666122186052751t^{19} - 53381033589130953233676879722959091147t^{18} - 5938679309527413943189126525580638076t^{17} - 527393649388570564507838114571638230t^{16} - 38370560994358072185212106996568522t^{15} - 2296864639011795024607792262767428t^{14} - 112597449961119039941757319923094t^{13} - 4475186451533985393174390034966t^{12} - 142280395938848921863050260632t^{11} - 3599333829073400912413454586t^{10} - 77273427533397825281215317t^{9} - 1850755272142730479791127t^{8} - 60140501843414446626203t^{7} - 1871268886523186805019t^{6} - 41426963933055917786t^{5} - 622505246115714182t^{4} - 6402196569053212t^{3} - 26377744866852t^{2} - 47330760864t + 16711680 \right)D^{4} + 4 t \left( 463726397067502162865103324050755775189807040768t^{40} + 3899616661504574335428457336132149140016914502912t^{39} + 13463921884933883861498222483312299433967954932480t^{38} + 27495364210842903138481495298863372986235346794288t^{37} + 38503766654462735128902532517192447403243498740639t^{36} + 40004338374448683433979587476236274766811192407987t^{35} + 32354818166048186651969898240504564119119596696935t^{34} + 21026218040351354681047567960911983087320369356103t^{33} + 11221810892609600070648443496972210746879941441533t^{32} + 4994848358758776803388472261586638170467324488667t^{31} + 1874271230155660312304132644250126613065386725814t^{30} + 597312417404203134735855797555838663212009186938t^{29} + 162430073737574682072757006283956393009548271829t^{28} + 37781573184381239974323873993040020564704328063t^{27} + 7519306724858620866005751772329665813799834742t^{26} + 1277781641075795061187891032929389804672586872t^{25} + 184347584345508698588706694428787393472245173t^{24} + 22284303319730375105585277491747511841856917t^{23} + 2183905061606368604575115852158750678270558t^{22} + 156472541179273845212409079721348532031944t^{21} + 4246421550631519994662832393206777786426t^{20} - 982373760218175662158687876654707015478t^{19} - 228162506820838656220963064508977175145t^{18} - 31050565532407944893075732843893018751t^{17} - 3242848856679998022496781234079954785t^{16} - 275286011854965274726599519492542243t^{15} - 19276960250893145084845409573366406t^{14} - 1114799987315745271957262073480086t^{13} - 53032288306188643023711461759899t^{12} - 2062494287820266975294959164465t^{11} - 65083836984798539324143162000t^{10} - 1651181894764551532418809234t^{9} - 33389453397329026251709945t^{8} - 542480588088034338973909t^{7} - 7479130173060127748470t^{6} - 90983187542034015508t^{5} - 834991915295571563t^{4} - 5189410552390723t^{3} - 5378846334972t^{2} + 12851993994t - 4125696 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 814119507270697721394053044559947018437084104448t^{39} + 6801427153390169071021161358513163985228475573760t^{38} + 23186219257989706455979979375875607710304162523808t^{37} + 46645099312330592146603703363166840362207144212848t^{36} + 64270231599022650713343277148360822147056119330073t^{35} + 65646799384189968516687128933980310011015005317733t^{34} + 52160888610062168406021950265517669364050679907769t^{33} + 33279182714388596496450619492235042553070226448083t^{32} + 17424361458658540317045680745631379120863984982930t^{31} + 7601850650888453464642529504239895845645974456494t^{30} + 2793016577708761128896066384556159545541564503299t^{29} + 870414709295023873882640191776245499131482392741t^{28} + 231094425649382877670211885549651052652701965082t^{27} + 52379130731752731038331143807834500400346059620t^{26} + 10133230487644838124432208906799763673188351214t^{25} + 1668366894318778117871462616022136264987001552t^{24} + 232044754970875901210542585169553486963583858t^{23} + 26793313141795958399333964919545583588544224t^{22} + 2452262044537791835788535101766543642398367t^{21} + 150550844541001574975450753572281351950271t^{20} - 407972910372028940086668558828048178547t^{19} - 1833188793179955297933918701316555671631t^{18} - 339075926970294544211997986020450831839t^{17} - 42675697004360057578554599449787414905t^{16} - 4247414455224015925573304622208588454t^{15} - 346796192943544010240090712429576302t^{14} - 23426911147627830180180086828345043t^{13} - 1307957793070125119438497809330617t^{12} - 60067770378476961058708715459580t^{11} - 2254146220842014230741990647418t^{10} - 68522719512631546977342612736t^{9} - 1665707441592132402816148050t^{8} - 31793095312751647276387046t^{7} - 470706284200150052824872t^{6} - 5578678843222865262903t^{5} - 56898458203266196979t^{4} - 489234678919649084t^{3} - 3604222672344312t^{2} - 7248800349696t - 467927040 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 62938431990078321016647695666599811827972740864t^{38} + 523163629446098172192887091330498257362751547648t^{37} + 1765883896999778613026908874009340912815824659648t^{36} + 3511067803598507145062197197503087125202063382240t^{35} + 4776476282816411579280054212584171817274519439674t^{34} + 4813554357321257239206827079140296539254756550930t^{33} + 3771240086837500622074261238462622917269942669242t^{32} + 2370994027984130714582839050281166658848778951646t^{31} + 1222462310983841048070056821379502754542519849550t^{30} + 524768849846892933272624386923826556069750828820t^{29} + 189525690612277218059420126237188929008246440600t^{28} + 57989432239176272510715410652243447060835758882t^{27} + 15094057397917658726614259131269210471303454273t^{26} + 3347990883572605445601486046642140247976621109t^{25} + 632386819186362904333763693890050460503688042t^{24} + 101336119202674838619889564175416374218082236t^{23} + 13649817573433773760505231549219175709685084t^{22} + 1511635819777523816288676155835391025856400t^{21} + 129286273861434863387401715572517022205205t^{20} + 6546106160575018785171213495600378826529t^{19} - 307543545957749926908364959730989277434t^{18} - 136967653765593685640172422435554230406t^{17} - 22439931882658745534331697433386218844t^{16} - 2677149647780551521126214214212520228t^{15} - 256782152192100283919292077906735204t^{14} - 20308306837870141962437429503111878t^{13} - 1330689218058705816784694605645912t^{12} - 72068345179977032671770978902838t^{11} - 3209119005445792339994552067645t^{10} - 116658146820243926196617673233t^{9} - 3427387594468789965575067784t^{8} - 80040620304378067045627830t^{7} - 1446112901104238401178422t^{6} - 19573183931561040929566t^{5} - 196420805745479795349t^{4} - 1501384152488092845t^{3} - 9463722525798228t^{2} - 64797623742576t - 130679628480 \right)D + 576 t ^{3} \left( 1929781094746159645714121198713091032833154560t^{38} + 15983226614633705200916656898287783160805771520t^{37} + 53564685754136174375183366981683050717308690720t^{36} + 105597484013476479483885646370412071656592026800t^{35} + 142325110417172900625017812853324462938501260437t^{34} + 142019597523938233740495175799224928486472066441t^{33} + 110116064670491459967973444572267944497243356230t^{32} + 68478084956021349922934719584944059248018535518t^{31} + 34902331799074923035935878901919471939931439285t^{30} + 14800686090826893690329525053891800798725687545t^{29} + 5276065420285691658533021161145313054098343326t^{28} + 1591737246235733868024042582117928001398444554t^{27} + 407998490944427072278495952375260026542785822t^{26} + 88977729385148397449860103352980452880548022t^{25} + 16490722874638466678814008136643294395883986t^{24} + 2585507702284715195280698082334802725775440t^{23} + 339182330644788060971474700652877488522883t^{22} + 36239042688491817450336529592340728175963t^{21} + 2908794423662975285320536523535783947555t^{20} + 116156477516848447575408577065301846891t^{19} - 13320890995632577067421102339636457176t^{18} - 3984371522801044677840490743737353880t^{17} - 606944270443834880414845560492898875t^{16} - 69763166589200666439185516021433303t^{15} - 6508119067381857890986485458875362t^{14} - 501998238663722513174617349100762t^{13} - 32097215370439152828199957591901t^{12} - 1695869608325221729388088314265t^{11} - 73636933238434501171311291335t^{10} - 2608623490365445223792223891t^{9} - 74579449800359122354918425t^{8} - 1688590119906016510756115t^{7} - 29343132489114944191114t^{6} - 376126193561831892046t^{5} - 3457279747116968520t^{4} - 22165990717359696t^{3} - 102937637679072t^{2} - 429911542080t - 669772800 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ2P2 × ℙ3P3

|λ| = 28.0768 λ ≈ 28.0768; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 9.422244; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.663753 - 5.803717i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.663753 + 5.803717i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -7.099774 - 1.410326i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -7.099774 + 1.410326i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4; multiplicity 4; Jordan blocks 1, 1, 2 λ ≈ -3.222695; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.749291; multiplicity 1; Jordan blocks 1 4
Sector dimension
13
Spectral radius
$28.0767963$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$28.0768$11
$9.422244$11
$-4.663753 - 5.803717\mathrm{i}$11
$-4.663753 + 5.803717\mathrm{i}$11
$-7.099774 - 1.410326\mathrm{i}$11
$-7.099774 + 1.410326\mathrm{i}$11
$-4$41, 1, 2
$-3.222695$11
$-3$11
$-2.749291$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right)^{4} \left(\lambda^{4} + 8 \lambda^{3} - 66 \lambda^{2} - 756 \lambda - 1591\right) \left(\lambda^{4} - 16 \lambda^{3} - 258 \lambda^{2} - 2124 \lambda - 4279\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda^{4} + 8 \lambda^{3} - 66 \lambda^{2} - 756 \lambda - 1591\right) \left(\lambda^{4} - 16 \lambda^{3} - 258 \lambda^{2} - 2124 \lambda - 4279\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 6 & 22 & 28 & 60 & 72 & 234 & 108 & 186 & 728 & 304 & 1168 & 3120 \\ 1 & -1 & 1 & 2 & 20 & 24 & 28 & 16 & 22 & 198 & 84 & 204 & 744 \\ 1 & 1 & -1 & 5 & 4 & 10 & 30 & 12 & 24 & 78 & 36 & 150 & 408 \\ 1 & 1 & 3 & 0 & 6 & 6 & 38 & 20 & 30 & 108 & 48 & 186 & 456 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 5 & 2 & 0 & 3 & 26 & 12 & 20 & 108 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -1 & 1 & 2 & 2 & 36 & 16 & 32 & 126 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 3 & 4 & 0 & 16 & 36 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 5 & -1 & 4 & 10 & 4 & 18 & 36 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 2 & -2 & 6 & 4 & 14 & 36 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{5}{3} & \frac{11}{6} & \frac{7}{3} & 2 & 27 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{7}{4} & \frac{5}{3} & \frac{8}{3} & -\frac{13}{6} & \frac{17}{12} & -\frac{23}{6} & 5 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & \frac{5}{3} & \frac{2}{3} & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{2}{3} & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$