Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-132-33-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × Fl(1, 3, 4)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)ω1ω2ω3ω4ω5
Bundle
E^(w3) + E^(2w5) + E^(2w1 + w3)
Bundle
O_2(1,0) + O_2(0,2) + O_1(2) box O_2(1,0)
ZL62 label
2034.92x317
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;3,3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;2,2) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 33
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 132
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -6

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 132
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 120
$\mathrm{c}_2^2$ = 114
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 52
$\mathrm{c}_4$ = 22
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 6 0 x0 + 6 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 18 0 0 x1 + 12 6
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 33 0 0 0 0 33
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 28t + 74t^{2} + 28t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(578)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(606)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 5t + 1 \right) ^{3} \left( 31t^{2} + t - 1 \right) \left( 3509t^{7} - 3047t^{6} - 408t^{5} - 358t^{4} - 566t^{3} - 88t^{2} - 11t + 1 \right) \left( 24787833877492813044979826823905t^{28} + 49941824278367423912435764093024t^{27} + 63981789674885878724637682035964t^{26} + 79696442427169732444052075208846t^{25} + 82115544395926743076383236145614t^{24} + 61911256160613326923405216445498t^{23} + 34007955799465939778731609264807t^{22} + 13872680559422151930815801663473t^{21} + 4272608688176596293136169770165t^{20} + 1015072283355083816163485125575t^{19} + 196755560008341089318812302407t^{18} + 35735935381462957202204165588t^{17} + 7208318823419471926366788890t^{16} + 1585496215835157575058340919t^{15} + 324952967940036850954600497t^{14} + 56431196274703961542930434t^{13} + 8037118944764875631583831t^{12} + 916178436330614678266993t^{11} + 80090996103692376651227t^{10} + 5000716352025049749640t^{9} + 195885073120371856076t^{8} + 2822350832226672995t^{7} - 185524946366724040t^{6} - 18410163131995775t^{5} - 923303373247137t^{4} - 24762973844892t^{3} - 297997091214t^{2} - 1893195822t + 4725600 \right)D^{8} + \left( 5t + 1 \right) ^{2} \left( 485351240644762327839574904773961159100t^{38} + 720802343391321411149780664865360122660t^{37} + 643749702011588680755311822671507015136t^{36} + 701891673605031044293611640055776105352t^{35} + 461883004967291763234050188238548335256t^{34} - 129377910615611589606174844905816835610t^{33} - 565273366009515431164845875900391617762t^{32} - 622817429134046514949728990301398997831t^{31} - 452886278043026712730531114190086001245t^{30} - 253830740050145380664879826180396343317t^{29} - 115938708714621945846698500293901791180t^{28} - 43991925401535591250181887870689366621t^{27} - 13934847228488404513091712664706923267t^{26} - 3722023424929482964152567902712631879t^{25} - 868984696262753392466931335113011104t^{24} - 190484117207420027333955758831095751t^{23} - 41974153733228122274439348438125185t^{22} - 9247304537093062635244234253447021t^{21} - 1909335366272648075356724803570280t^{20} - 350674514930702539488451025558956t^{19} - 56064386860844346101790359507434t^{18} - 7681318787969546015558655597900t^{17} - 869277117052921327084726339658t^{16} - 74785469144159543200595870647t^{15} - 3799853331361010734689456665t^{14} + 111501689232678614437457307t^{13} + 55321860986554052501649596t^{12} + 8179232321219662013930853t^{11} + 813755200051652471457767t^{10} + 54939651018133524092455t^{9} + 2209208509989152497452t^{8} + 30561497540058217693t^{7} - 1799895680884047013t^{6} - 161403943470186613t^{5} - 7878395877734280t^{4} - 206457243735612t^{3} - 2268465803058t^{2} - 13488650754t + 28353600 \right)D^{7} + \left( 5t + 1 \right) \left( 36805802415561143194501096945358721231750t^{39} + 65336398855179187060019549329620989728500t^{38} + 71369606747767432044441799538965888250780t^{37} + 84922017353720311089353356818067894015986t^{36} + 76590236645256236533514927748252469157236t^{35} + 32207958428375886976007633239284171268944t^{34} - 12262188308273943184358415302345240962640t^{33} - 29616280362074641292128812909076680413895t^{32} - 24959006141879185813567615218464591891566t^{31} - 14193683005808748146055960081405920166036t^{30} - 6227015093684470695973166833961878392019t^{29} - 2235951560555372690674148308081987135707t^{28} - 678155772542715266460136183226199080052t^{27} - 177518077032012996562555492253980844808t^{26} - 41431093718525394002536058215153369593t^{25} - 9180377917863618007241209233993730443t^{24} - 2080847571410239180232856374465072592t^{23} - 490228427436464961682470364871360810t^{22} - 112972589454981803012424203498430887t^{21} - 23718333089511759374342326457828502t^{20} - 4342587727495208181133889789189406t^{19} - 677515920090327596314782583133084t^{18} - 88956500851363862898981862993734t^{17} - 9848067646860315317285314553783t^{16} - 953601425448543783477260058098t^{15} - 88662012151960162777483260860t^{14} - 8729271848789513045298604327t^{13} - 888307193742578610151007957t^{12} - 82650361374698340866225928t^{11} - 6278241612726646595000464t^{10} - 352984505723057462438055t^{9} - 12868337969618619304543t^{8} - 207989815329721182830t^{7} + 5561633234543361342t^{6} + 576987917241881693t^{5} + 26424825381624924t^{4} + 632911141910910t^{3} + 6267983134572t^{2} + 32223379614t - 61432800 \right)D^{6} + \left( 1528856408031001332694660950037977651165000t^{40} + 3135169122941342176699601546899068755169000t^{39} + 3918467842491855849610453704238463641147550t^{38} + 4925059725063574399613195193645320400818170t^{37} + 5048390917009367320443586796358152057618736t^{36} + 3302578702376274322806558436799095827464052t^{35} + 981239284420493315728354913514442048052140t^{34} - 400547322009808306251355603385413643812495t^{33} - 676417551707689689029063247479823335928813t^{32} - 453607609780937659222522207174615519109188t^{31} - 207878728628111226193503785147951755000529t^{30} - 73628095902485083928523945253893755343000t^{29} - 21520912480517968256393096745330182685907t^{28} - 5486412417701095863199775271687595481692t^{27} - 1296900879836540103549917486136034346381t^{26} - 303825782765523793170667646980238821330t^{25} - 73491937606262882759531126186596570285t^{24} - 18012716952892699745010945606540744042t^{23} - 4222390774696110601827842345011306581t^{22} - 899049020723911463058152583673092271t^{21} - 168498524416010802271778586761762500t^{20} - 27219832842840447033004473752057690t^{19} - 3704291780661097651309694253147322t^{18} - 409920378632859787608377715579465t^{17} - 34434657731184313887462277616957t^{16} - 1767217617131283287082100145692t^{15} + 31231482787311902714157529495t^{14} + 20022688432433735817547773170t^{13} + 2807346978720586565239623223t^{12} + 266663629837894851606500412t^{11} + 18789266572183648970120049t^{10} + 954289595707903438430408t^{9} + 31800230908293872582751t^{8} + 533665393616102909618t^{7} - 5460051559547927231t^{6} - 769099546939368373t^{5} - 34022662967446560t^{4} - 770814379464906t^{3} - 7029936026406t^{2} - 31722423054t + 56707200 \right)D^{5} + \left( 7566423611968242706715706275882398653219375t^{40} + 15989322337114994485980929280774404484727125t^{39} + 21022516286633113966214540508265232474528875t^{38} + 27556181097422067127669301152486985285713640t^{37} + 29617993914745389951621841713684112840333739t^{36} + 21647191520231695922117586976519476828981199t^{35} + 9634149915073371795116621526693747285727041t^{34} + 1457718256180839585468318148442604687950022t^{33} - 1313371228537967602124246550463462632777145t^{32} - 1229408334965591261785287548167094518233513t^{31} - 593098728412265362729316360081500929182676t^{30} - 202952997070450723167957819995341410409261t^{29} - 55078648912500250922957665606174202073905t^{28} - 13105678713556819903369867678403301749142t^{27} - 3080507804542221237223301015985927541991t^{26} - 777362639667923897111925763305017349125t^{25} - 205952290075618380659870378732681588648t^{24} - 52946433023980744443857494073636157285t^{23} - 12446810525539866417039794618177647904t^{22} - 2596224763568613268463837444955976199t^{21} - 472541091311758803622395343125917880t^{20} - 73947399022115807697178492608136627t^{19} - 9773362394136732826330470371866683t^{18} - 1068171933036798454861703670839132t^{17} - 94605096447476540697663105406361t^{16} - 6741848687937514786632284782675t^{15} - 403446099952561505836966372692t^{14} - 23883925016508636099934691039t^{13} - 1725957075102932094286843217t^{12} - 140788081899211074571980020t^{11} - 10114088906799438731464981t^{10} - 540974447367788812788401t^{9} - 18916360748876920024661t^{8} - 353589531970655670956t^{7} - 488187300527938115t^{6} + 214787503561994963t^{5} + 11435708346912303t^{4} + 294696364175526t^{3} + 2711407950102t^{2} + 11121563172t - 18902400 \right)D^{4} + 2 t \left( 11339018359563259884152068712781667579473750t^{39} + 24539091816883540402896679175004559251483750t^{38} + 33439852460114396794728048957825492275545075t^{37} + 45078854602935162125266389619351078821424865t^{36} + 49978085471048944385295922119797891960874732t^{35} + 38889171050151954216548208459911140032927183t^{34} + 20185400960925743390781870392474580468926853t^{33} + 6180133010429678286728545141250417013774978t^{32} + 250684044030192903258236772474770302357329t^{31} - 829895581328600368284669095406833774939775t^{30} - 499489673570280042477884802245286259009030t^{29} - 175671780433769998384753518868989794426451t^{28} - 45734618863746279108768411490291660373594t^{27} - 10359606762284060756017991294221081847441t^{26} - 2485109618995885963065074547376448412521t^{25} - 686266253602026245424717881748979740628t^{24} - 195006339344437299536223074300482086010t^{23} - 50777022519386797397549373316393460148t^{22} - 11604809038804400809873270954342454760t^{21} - 2307717291567376828352073899229825796t^{20} - 397887462800477728819111488568530241t^{19} - 58932965416591227049068947579500125t^{18} - 7360619245900751385288424134790697t^{17} - 752670664808461578865212128732556t^{16} - 60265000699582480816910972452681t^{15} - 3481798541782090497366634291207t^{14} - 110465340404743946299362842948t^{13} + 2906001190051073726157340507t^{12} + 718856923674943446691437734t^{11} + 61811756787281171517293745t^{10} + 3695397044720824666210503t^{9} + 166281813296173491728734t^{8} + 5658385227672840950292t^{7} + 143733178808788312684t^{6} + 2719575463041867575t^{5} + 43566237604590475t^{4} + 617102181185553t^{3} + 4389438819414t^{2} - 684284850t + 5370000 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 9953407977416997432937837856166560409293125t^{38} + 21943449704745941065786043577565103000057375t^{37} + 30675160365359275645394477775067491648912775t^{36} + 42161022723429418322429707707215958704374460t^{35} + 47760353190619075696683478132845026467697851t^{34} + 38659612028274176344775653040820806585260103t^{33} + 21726452753695830999446716819365119997920852t^{32} + 8151886320502163552697051749426074646363895t^{31} + 1677553998996198159561739677830201718091210t^{30} - 99732782058992724913039565014525888097509t^{29} - 213659583731465393678423562446697514410228t^{28} - 85963081505661261097667255691242518231503t^{27} - 22130840000647871519801678235929357186747t^{26} - 4830654460465925396890158406433274578626t^{25} - 1233008018692177306605836940414587143957t^{24} - 390786633599872331384475717093820924019t^{23} - 121630607563065042456478437327464000642t^{22} - 32601105016930924745029909131130833121t^{21} - 7372420928123011981608757056563674117t^{20} - 1416448548768993383374076620703099334t^{19} - 232388890462776682480023065392013355t^{18} - 32443051100999464448542261256736845t^{17} - 3797035742921254418618634954759308t^{16} - 361453952490326018880154944504793t^{15} - 26465940850576799390760447315764t^{14} - 1306140621618788280859901074595t^{13} - 18819009618014673508823429792t^{12} + 3912891929024244081223666767t^{11} + 509685003417780624526330725t^{10} + 39488345224138682905464352t^{9} + 2254037202978009710948981t^{8} + 95749740858608563285261t^{7} + 2948048005611028404159t^{6} + 64600646483490326754t^{5} + 1056817096705438698t^{4} + 16194155025829746t^{3} + 238765623393966t^{2} + 1548286645104t + 302438400 \right)D^{2} + 8 t ^{3} \left( 4616903676633301643573956281662305525938750t^{37} + 10321420650387693314259268408192403312535750t^{36} + 14689859574800750379391476094142945107217025t^{35} + 20463357793457382193054866636414386983241985t^{34} + 23533104101230493906226631353211405040715098t^{33} + 19547536443516773971054086064045283443209337t^{32} + 11504516898538363801916722061426728338522784t^{31} + 4739308465209810385122809776797784087843659t^{30} + 1278529451529102594924132617362089480320366t^{29} + 162535445155489032160169718714343488540195t^{28} - 27614469707083238959929612587087718634352t^{27} - 19232077016697787459712798231481005518311t^{26} - 5077655625121696966724163213564592421640t^{25} - 1057031328444198350799675391681333030273t^{24} - 313218122931866584728185597055976660891t^{23} - 124309554866080066457488448741998136576t^{22} - 43521661938428309889666563284366329014t^{21} - 12162492440805522428211202934376906842t^{20} - 2754149287478900638984163797211296625t^{19} - 516161010156625261632806291459741177t^{18} - 80931701583385426389270283695322900t^{17} - 10623586298965467053405867706705715t^{16} - 1154765467022240134439996408446640t^{15} - 100863857981746674583822984814373t^{14} - 6592694244854786619707773842642t^{13} - 255924581611943369651593766637t^{12} + 4052177512603451259692630940t^{11} + 1708492759538284088222240013t^{10} + 177941366403972612455489064t^{9} + 12890720205871414408684503t^{8} + 708230872727758932094683t^{7} + 28841180050778816172582t^{6} + 832058358136005483828t^{5} + 16441201331369161650t^{4} + 236310598570680468t^{3} + 3140316185382630t^{2} + 41143330369602t + 219312721584 \right)D + 96 t ^{3} \left( 141560778521389012286542680559072004737500t^{37} + 319587323657332516187454781258940776905000t^{36} + 460364299665141889503949114318640938474125t^{35} + 647059156196742405746675564319756230489775t^{34} + 751679335354429060115249960890732314136340t^{33} + 634796883644495189685002918365060783914535t^{32} + 383992927863636429250993459342942864160620t^{31} + 166135510490241389322345858529822312096305t^{30} + 49933024508847290933807010762654401321411t^{29} + 9378320544109905384418875962129033122944t^{28} + 622948225131997857191846355925644801946t^{27} - 176386666558876358468167328129005331382t^{26} - 54317071123026329525880297635073906108t^{25} - 9663787321901908582815179736710657092t^{24} - 4686131455049756073778913866442341519t^{23} - 2751729192769339962852592727344253531t^{22} - 1105320866509655869491128066953996628t^{21} - 323410593280762970260070930833701635t^{20} - 73812706296430736584180974010503167t^{19} - 13615018572029431753352751457522292t^{18} - 2059129622954297385314792836179187t^{17} - 255818588702693312540743387283875t^{16} - 25838277950951498972859266634707t^{15} - 2049893249661097389087393025812t^{14} - 115144612031969371427566095477t^{13} - 2648828141892474275506448127t^{12} + 302692747809600041344690950t^{11} + 49631949978156875692712919t^{10} + 4481911093155653085308265t^{9} + 304957277373055245766494t^{8} + 16031499205037234411160t^{7} + 625698879274324762470t^{6} + 17229546818509506264t^{5} + 323771909324461308t^{4} + 4524424776043632t^{3} + 55734519686292t^{2} + 573581077956t + 2047838760 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × Fl(1, 3, 4)

|λ| = 17.79956 λ ≈ 17.79956; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 6.09017; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.132235 - 4.471546i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.132235 + 4.471546i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.09017; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5; multiplicity 3; Jordan blocks 1, 2 λ ≈ -2.340407; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.4723367 - 1.749455i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.4723367 + 1.749455i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.8606409; multiplicity 1; Jordan blocks 1 3
Sector dimension
12
Spectral radius
$17.7995625$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$17.79956$11
$6.09017$11
$-3.132235 - 4.471546\mathrm{i}$11
$-3.132235 + 4.471546\mathrm{i}$11
$-5.09017$11
$-5$31, 2
$-2.340407$11
$0.4723367 - 1.749455\mathrm{i}$11
$0.4723367 + 1.749455\mathrm{i}$11
$0.8606409$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 5\right)^{3} \left(\lambda^{2} - \lambda - 31\right) \left(\lambda^{7} - 11 \lambda^{6} - 88 \lambda^{5} - 566 \lambda^{4} - 358 \lambda^{3} - 408 \lambda^{2} - 3047 \lambda + 3509\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 5\right)^{2} \left(\lambda^{2} - \lambda - 31\right) \left(\lambda^{7} - 11 \lambda^{6} - 88 \lambda^{5} - 566 \lambda^{4} - 358 \lambda^{3} - 408 \lambda^{2} - 3047 \lambda + 3509\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 12 & 12 & 8 & 54 & 24 & 21 & 36 & 160 & 96 & 64 & 280 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 12 & 8 & 4 & 8 & 36 & 24 & 12 & 64 \\ 1 & 3 & -1 & 2 & 8 & 0 & 4 & 4 & 12 & 12 & 6 & 32 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 8 & 12 & 2 & 12 & 54 & 30 & 21 & 96 \\ 0 & 1 & 3 & -2 & 5 & 2 & 3 & 2 & -12 & 8 & -4 & -60 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 12 & 8 & 4 & 24 \\ 0 & 1 & -4 & 4 & -10 & 0 & -6 & -4 & 40 & -8 & 16 & 144 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 16 & 4 & 6 & 42 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 5 & 6 & 0 & 3 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & -1 & \frac{1}{2} & 0 & 1 & -1 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -8 & -10 & 2 & -6 & -24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$