Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-148-36-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × ℙ2P2 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(2w5) + E^(w4 + w5) + E^(2w1 + w3)
Bundle
O_3(2) + Q_2 box O_3(1) + O_1(2) box O_2(1)
ZL62 label
202040.CwIx317
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;2;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 36
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 148
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -5

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 148
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 124
$\mathrm{c}_2^2$ = 114
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 52
$\mathrm{c}_4$ = 22
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 5 0 x0 + 5 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 20 0 0 x1 + 7 13
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 36 0 0 0 0 36
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 31t + 84t^{2} + 31t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(437)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(496)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 142t^{3} + 47t^{2} + 7t + 1 \right) \left( 4528t^{6} - 384t^{5} - 864t^{4} + 760t^{3} + 12t - 1 \right) \left( 314588566345066912760787843407872t^{30} + 891140604947091756398709678967808t^{29} + 1078837757009362719836295904608256t^{28} + 781267739067169807328594205156096t^{27} + 426338806946873354861795305844608t^{26} + 220433137812694453128474478443648t^{25} + 116453658416396574207906584349984t^{24} + 49589275760272757884789132736608t^{23} + 12145726302280500877514813477696t^{22} - 117231346134321652112278756456t^{21} - 1284559796867033789521182021920t^{20} - 530485838967190832840050161320t^{19} - 131816287868385815029435958628t^{18} - 24255450864198882248456396996t^{17} - 3607186104502676932998889776t^{16} - 474037631823512570646827010t^{15} - 69159084855706396208942528t^{14} - 13010380553423587226623180t^{13} - 2426791208650047158371467t^{12} - 350972039888986448607945t^{11} - 36082033397107084657753t^{10} - 2579598448728227362389t^{9} - 134455625101224530413t^{8} - 6078324122840869680t^{7} - 275963276021767800t^{6} - 10706018219732836t^{5} - 304996860092558t^{4} - 6025412824948t^{3} - 75146861876t^{2} - 593528820t - 2436672 \right)D^{8} + \left( 4t + 1 \right) \left( 24272747764114289195913638928362388848640t^{40} + 79471059962822624098261563673816160927744t^{39} + 111909443437546723132686716104474834337792t^{38} + 93228734189995392256883097319518278074368t^{37} + 56911218006597235160289340618569292865536t^{36} + 32104579591203927133021600802050262970368t^{35} + 18572868693284993086171792230691451052032t^{34} + 9355694548312111157792560853824309647360t^{33} + 3342296086986797377563453244025116274688t^{32} + 773081359880744243961096987134536059392t^{31} + 145945427852820921752681502812484835072t^{30} + 40694511272716547325885913131731033728t^{29} + 3126622142328837188993309182627991168t^{28} - 9456206958148646979406918030660158720t^{27} - 6928410478057827071455381565117438656t^{26} - 2718396516063650154989453055879805536t^{25} - 736367333935644033613621209015144336t^{24} - 151829281391142252035314150694690152t^{23} - 25407470983449992277561712584543176t^{22} - 3777773641428711933580935897014848t^{21} - 599985120977476028840627377671488t^{20} - 118315236435793092764164830171604t^{19} - 25328338386081859604375522335472t^{18} - 4795292568405687345097278655034t^{17} - 731721305039237521131041604274t^{16} - 87835858045482124974810682038t^{15} - 8458443900808932443587096060t^{14} - 723836618063526422299718463t^{13} - 66507123359672466388797189t^{12} - 6711427325732358150081688t^{11} - 596982303977521639002665t^{10} - 39449791706730037169003t^{9} - 1899553464940381068510t^{8} - 77409191497895874388t^{7} - 3165991016774854272t^{6} - 112176078132789872t^{5} - 2923190615050136t^{4} - 52556329237712t^{3} - 587462416972t^{2} - 4096221612t - 14620032 \right)D^{7} + \left( 1223346487311360175474047401989464397971456t^{41} + 4256489086531666892455509191906651881275392t^{40} + 6490403848210983408016261969160588321153024t^{39} + 5937846971418232745601291698020475453648896t^{38} + 3917620402981812822467089845367833501624320t^{37} + 2240201907285897632333646790093207905945600t^{36} + 1262012343286746154781993555987180352910848t^{35} + 643772942254327743954660669429703984639232t^{34} + 240973378693926619232724076341840888486272t^{33} + 49348010076110157127485577394024286463744t^{32} - 2802176386473743594437925921248878401984t^{31} - 5955491983126957888106358825573548916512t^{30} - 2641097823579418119861373061555228629280t^{29} - 943799859477661245661832387773034258880t^{28} - 318719518174404125236141328931795413584t^{27} - 94670192722962927266117246960169337600t^{26} - 23367001094872457574408227924793177424t^{25} - 4841952407264005784941823642698838024t^{24} - 868932921206634488006226893261783344t^{23} - 139058733883614484689382865224106464t^{22} - 21687763358576437585981205158089332t^{21} - 3989117500433348849869880450753056t^{20} - 875517148876560107855016522162616t^{19} - 180333349374046673865174635563000t^{18} - 29591785610519774341713996803470t^{17} - 3666550217802972384186468196946t^{16} - 332871700358201639897428019064t^{15} - 19428614793585028811466785790t^{14} + 38866268401583199934676277t^{13} + 199270829850843768487444913t^{12} + 31468257017181746678200332t^{11} + 2978028557571158679044993t^{10} + 188961385320336762308467t^{9} + 8604610186690170778702t^{8} + 335133576226122514584t^{7} + 13009912754175712876t^{6} + 426169173776935508t^{5} + 10036340188288096t^{4} + 161625823104584t^{3} + 1629911862132t^{2} + 10180631316t + 31676736 \right)D^{6} + \left( 8427498023700481208821215435927421408247808t^{41} + 29020137993269125634470137113050401536147456t^{40} + 43780349575858704065036551132945347829350400t^{39} + 39746168485659870784790861429944368551870464t^{38} + 26219914356458455601173237160840602674724864t^{37} + 15159739848889817212033324709056793705180160t^{36} + 8694124503007847686434259001434793926854144t^{35} + 4463201192547173538975960423241245049028352t^{34} + 1630508989492677887147408230346134762371200t^{33} + 280274584218700222638360845848212138575872t^{32} - 68380277289548935214465785036087076155200t^{31} - 65506242574281092365434766101190808857824t^{30} - 25240304856020509086208736614917668230240t^{29} - 6900520409165501113647482726436165573152t^{28} - 1559691138571320177755079712637847931840t^{27} - 315055051667616047499228298241223075536t^{26} - 60721343406663368340423920318900086080t^{25} - 11710943778865627244691260572601386072t^{24} - 2170242745552383947931490754505867904t^{23} - 369073730561418330765145186439089192t^{22} - 67522931600970759825579536002671008t^{21} - 16160982402472509499347388235581492t^{20} - 4060254586170186637942627405543960t^{19} - 830542199922404798810285397523564t^{18} - 128139023631157490072248124842574t^{17} - 14818352065745409226032713522190t^{16} - 1319783516778869510032882720034t^{15} - 101603085285615912283787441538t^{14} - 8811735076850147363404614511t^{13} - 948542525543240740174929479t^{12} - 97603206522271218940567526t^{11} - 7797895717358352050340267t^{10} - 447249317362176577407371t^{9} - 18568650489210668407396t^{8} - 640897833697635715524t^{7} - 21910988898109949964t^{6} - 647407058997408988t^{5} - 13718552562137604t^{4} - 197282234632488t^{3} - 1801351355900t^{2} - 10304266548t - 29240064 \right)D^{5} + \left( 34593520113415684962016118200702076587081728t^{41} + 118147608059537324064570136026788609006305280t^{40} + 176455951469779417638926599559795145398337536t^{39} + 158771849791408093480294336051744529263636480t^{38} + 104641758342400159764958095257113506506616832t^{37} + 61368875053528809577449758437721684099698688t^{36} + 36024251431426982297469290362341811366309376t^{35} + 18690666272658835115679455430847662304766208t^{34} + 6734138737960219215103649474248223310591616t^{33} + 1028713289310123951735477422950184785702400t^{32} - 391236410753833335962423188995243813120320t^{31} - 322266693373626264865836490122229199788256t^{30} - 119308320435472075730896784256908292968800t^{29} - 30426766684586015233422315640829226431424t^{28} - 6000798895138938361929089129540251658672t^{27} - 997423247563298887767848692605863046848t^{26} - 162925890959900954935387909056718519632t^{25} - 30726607065657204061058103604611243688t^{24} - 6092116765635603055617971742144438888t^{23} - 1059454193966001100600286593792708840t^{22} - 169384868998692463649843598955915908t^{21} - 32250051761898814348428533875818436t^{20} - 7196083877580307030966509019419680t^{19} - 1407054377836097101908353830236588t^{18} - 207852416146796187850826303516604t^{17} - 22555446948295326143219151635724t^{16} - 1834417059285031385334829330548t^{15} - 116822477144835664311592188817t^{14} - 5586835267735622076214020879t^{13} - 56116680558096974663343212t^{12} + 28307647287897253760881399t^{11} + 3631418348431584605753920t^{10} + 245362637213748678484153t^{9} + 10766822020460010014533t^{8} + 371651400779059781640t^{7} + 12381813491336232398t^{6} + 349779527231258762t^{5} + 6838278464201842t^{4} + 87514691541996t^{3} + 710809998556t^{2} + 3681251928t + 9746688 \right)D^{4} + 2 t \left( 43156945524595206190334450014628327372881920t^{40} + 146463126011098480096176836037016092643459072t^{39} + 216828928948210726279153735694540383255691264t^{38} + 193337712768619613277440420235499105387716608t^{37} + 127148025684845049188918817045616418221492224t^{36} + 75526153155756117733661460370230303913333248t^{35} + 45282416257093169191616578909275313306639616t^{34} + 23694264499290070563057776111724371536168064t^{33} + 8418146358848035503218194007856654935935680t^{32} + 1147472938290013784507157510350408399522560t^{31} - 596618017251336297687573943659321387001568t^{30} - 452343055290160271958035584227049502569040t^{29} - 165232688960355073781983316624042472790352t^{28} - 41761920391321716524177184137703809490608t^{27} - 8057468215200435072474680334914244838976t^{26} - 1274561494046080246755394876975040716184t^{25} - 193190028347564506082812590736229110288t^{24} - 35020658550876070509881710159081620044t^{23} - 7184363860802979998862705261091960492t^{22} - 1342310320416671460067326024836166584t^{21} - 223164917060562406251486669367801992t^{20} - 38298197220470710467538899805297302t^{19} - 7160035427050009223991752367404522t^{18} - 1240435226527830814838932170508766t^{17} - 171301497597329765727004921247424t^{16} - 17891850043026279012888380791244t^{15} - 1444250834297888671289560214444t^{14} - 99141107082591251713927388691t^{13} - 6539327554465683562741209571t^{12} - 413708894579817228034071806t^{11} - 22546384833262589173246391t^{10} - 999827678055545492008444t^{9} - 35957591133805944462589t^{8} - 1026665068562582523911t^{7} - 23003297895636396924t^{6} - 452792922614900050t^{5} - 8343196072626754t^{4} - 108792715500722t^{3} - 750667430076t^{2} - 1897273236t - 1876896 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 15911595250969053710894587438839157969911808t^{39} + 53745340531717352703092429460629634145386496t^{38} + 78991491439463764680028797139183948842068992t^{37} + 69847212582652044063002644002301828778216448t^{36} + 45801432026988603181219144746525531388048640t^{35} + 27492281162324295732710746118951794474199808t^{34} + 16778405085098974850646184369660366316481408t^{33} + 8833405104944800549496770479582980141974592t^{32} + 3092020277226280024536723003665790285854848t^{31} + 371491349076465241703551556983715351522464t^{30} - 257041379381925259936546537214085795612768t^{29} - 183735398505628857944158312204074705720032t^{28} - 66840902563522242104313400391176560262272t^{27} - 17023009683641984870362463166348496681344t^{26} - 3312543682833431761517011862916598484752t^{25} - 524334525323147636497281267805211380732t^{24} - 79206391276655065639411520318338622580t^{23} - 14839785261719037726033159351311496964t^{22} - 3293520558089585110262371047855046896t^{21} - 664072357492243867372871696401052128t^{20} - 110648468589451154786160690898172572t^{19} - 16139314975373235726946070418918375t^{18} - 2298208143407838231238036487373397t^{17} - 323608793809490859889008241061044t^{16} - 40283190005048323150826973852307t^{15} - 4025525579655536784816738587359t^{14} - 321014261302045210467489495474t^{13} - 22308060560376146552870484749t^{12} - 1507827307401977578763465185t^{11} - 97418842438107610766994732t^{10} - 5409922643953115615760213t^{9} - 244023096938153976019843t^{8} - 8773633295397571532072t^{7} - 249631620671048033792t^{6} - 6061388211773805268t^{5} - 133455405562848544t^{4} - 2299964469965788t^{3} - 23190293177068t^{2} - 106471102752t - 38986752 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 6306059869116892333098363393588548622876672t^{38} + 21228293507474706451199951622869669764644864t^{37} + 31023725517040758419576251448409913689154560t^{36} + 27237096479739956291012653171056138862263296t^{35} + 17805350986419058012383212886837904288274176t^{34} + 10776181837834903414613600800182869155490304t^{33} + 6672051340802793501624736207127354071207168t^{32} + 3528366427559031330322997368690770683015808t^{31} + 1217379553001057954828419272963582194010784t^{30} + 127411668590950431902374941962441138364064t^{29} - 115529989940855923597530603772597236754736t^{28} - 79074803395124656097938313560150441882264t^{27} - 28729818862520809451106359467653209919928t^{26} - 7381860561120459734479472752282016254328t^{25} - 1450542909258953716254920872588863407448t^{24} - 230912450174429183948538417030114903392t^{23} - 35375701193852715818033463404286683020t^{22} - 6981664360016618658909741527873212518t^{21} - 1652414576849425388359449208205053986t^{20} - 347061269498971488739178726016774400t^{19} - 57605878006970656264983657406319446t^{18} - 7686051585900847336374506428605722t^{17} - 901230022370685195113957461258360t^{16} - 102638210716674347345460238115115t^{15} - 11244467333750776308090464044447t^{14} - 1075557691020330053956837386157t^{13} - 85970100298332009060841643024t^{12} - 6063900631952151669776343056t^{11} - 410678999200096918073121564t^{10} - 26331046477958033802578048t^{9} - 1452216424742434896688992t^{8} - 64801968462297674276346t^{7} - 2279347636052867556894t^{6} - 64415833145111867430t^{5} - 1660851862685724656t^{4} - 38842771167566756t^{3} - 649772085247340t^{2} - 5975010165004t - 23509878144 \right)D + 384 t ^{3} \left( 84954617174400012185697736249268360970240t^{38} + 285319893483904087334297216559484766330880t^{37} + 415230850303423802468293281233465156313600t^{36} + 362489519539163003227492983687674674980352t^{35} + 236303183210529176781673251721849983761024t^{34} + 143911266939658445098376025746099281261824t^{33} + 90104243425291704835919982719674151051072t^{32} + 47804864017400838684046237659301118374848t^{31} + 16288544015544070643803586543475178456592t^{30} + 1482738626455156954814209396356719363616t^{29} - 1716069183142815216189839334829445777000t^{28} - 1138926479742264724680968151143561807708t^{27} - 413619951384075445370642438802038291452t^{26} - 106979186655154607986039929555052645812t^{25} - 21151592229072964994493073607044910284t^{24} - 3378785504346819315658475173155864200t^{23} - 526201444372052045490272967729839570t^{22} - 109024050672506914462422878337609037t^{21} - 26960817468317357568676211997500979t^{20} - 5775469231306054879891674625747394t^{19} - 953605239280376948819488674555353t^{18} - 121429045504705403624574198226668t^{17} - 12679662461419448138481921959866t^{16} - 1218834180724786607279691435610t^{15} - 117099993115307424679793923119t^{14} - 10729754567442253410871986302t^{13} - 871541105404807981131419132t^{12} - 63178204753321582495126245t^{11} - 4307569168835109561097912t^{10} - 273889246900337050086334t^{9} - 14883793782411034238257t^{8} - 644566575501517538113t^{7} - 21657994753153806314t^{6} - 599436646598001152t^{5} - 15985603582132468t^{4} - 379168164627648t^{3} - 6024790087380t^{2} - 51288338052t - 179748072 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × ℙ2P2 × ℙ4P4

|λ| = 15.08608 λ ≈ 15.08608; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.127793 - 6.898065i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.127793 + 6.898065i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.474527 - 5.734048i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.474527 + 5.734048i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.050946; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4; multiplicity 2; Jordan blocks 2 λ ≈ 1.36559 - 1.350313i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.36559 + 1.350313i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.561673; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$15.0860795$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$15.08608$11
$-2.127793 - 6.898065\mathrm{i}$11
$-2.127793 + 6.898065\mathrm{i}$11
$-1.474527 - 5.734048\mathrm{i}$11
$-1.474527 + 5.734048\mathrm{i}$11
$-4.050946$11
$-4$22
$1.36559 - 1.350313\mathrm{i}$11
$1.36559 + 1.350313\mathrm{i}$11
$-1.561673$11
$0$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} + 47 \lambda + 142\right) \left(\lambda^{6} - 12 \lambda^{5} - 760 \lambda^{3} + 864 \lambda^{2} + 384 \lambda - 4528\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda^{3} + 7 \lambda^{2} + 47 \lambda + 142\right) \left(\lambda^{6} - 12 \lambda^{5} - 760 \lambda^{3} + 864 \lambda^{2} + 384 \lambda - 4528\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 4 & 8 & 24 & 24 & 6 & 36 & 128 & 64 & 48 & 200 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 8 & 36 & 24 & 12 & 64 \\ 1 & 3 & -1 & 2 & -4 & 0 & 0 & 4 & 12 & -6 & 6 & 32 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 8 & 4 & 2 & 4 & 24 & 18 & 6 & 64 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 5 & 2 & 3 & 4 & 4 & -8 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 24 \\ 0 & 1 & -4 & 0 & -12 & 0 & -6 & -8 & 8 & 8 & 8 & 24 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 4 & 4 & 2 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 5 & 6 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 2 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -8 & -12 & 2 & -6 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$