Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-172-41-e

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ4P4 × ℙ6P6
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6 (marked)node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9node 10: fundamental weight ω_10node 11: fundamental weight ω_11ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9ω10ω11
Bundle
E^(2w6) + E^(w5 + w6) + E^(2w2) + E^(w1 + w2)
Bundle
O_3(2) + Q_2 box O_3(1) + O_2(2) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
140600.GwYCw0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;5;7) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;4;6) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 41
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 172
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -8

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 172
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 136
$\mathrm{c}_2^2$ = 108
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 48
$\mathrm{c}_4$ = 24
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 14 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 8 0 x0 + 8 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 26 0 0 x1 + 2 24
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 41 0 0 0 0 41
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 36t + 98t^{2} + 36t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(469)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(524)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t - 1 \right) \left( 2t - 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 52t^{2} + 12t + 1 \right) \left( 4312t^{4} - 84t^{3} - 110t^{2} - 7t + 1 \right) \left( 489400947607517069340744764522496t^{29} + 710743053660499920042161425784832t^{28} - 234987940392475153775014682052608t^{27} - 1438646789699762762466121798450176t^{26} - 1801983909811994537905847619468800t^{25} - 1349308940344020135560876908730624t^{24} - 709591933881173420112778421815040t^{23} - 279635999464936935813613069064704t^{22} - 85619072692636063268959315629408t^{21} - 20807395540663295742424029384432t^{20} - 4027554651895532790524215738456t^{19} - 601382131609690643386054728204t^{18} - 60759514905225002471587910032t^{17} - 1548121663308439366900965104t^{16} + 829838137308914015029660704t^{15} + 200546711682973755668860854t^{14} + 29387990345475705589423630t^{13} + 3579855422756348097105983t^{12} + 390152503567969155494576t^{11} + 34895494734386144762499t^{10} + 2288701300960118848548t^{9} + 103777001611295417485t^{8} + 3446900281692529840t^{7} + 118283262474519245t^{6} + 5222299976280886t^{5} + 148487143763238t^{4} + 853083575012t^{3} - 8916765760t^{2} - 491269100t + 440320 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) \left( 47405709248982295977731154562686205820928t^{39} + 46623568481191900474177974988899030663168t^{38} - 77670302565599611128837744695290201374720t^{37} - 162881465927335501976917212680600250875904t^{36} - 102806742757301086358388318653018718535680t^{35} + 9401760223719670795634942496092881289216t^{34} + 63843020590622825955728795500621243777024t^{33} + 53772799133632750572180771916465394368512t^{32} + 25218729708617241043242628288071262306304t^{31} + 6831033242916145596020394372498240825344t^{30} + 411894251124773307163754366119215770624t^{29} - 583480629588747252776020251633411929600t^{28} - 342212536570224919264732495943144813312t^{27} - 118328811886838282108357982287516519168t^{26} - 30221942178305730311182181152626803456t^{25} - 5935402076324262778055274222947088512t^{24} - 866911776686668780527979045496737632t^{23} - 80786832660383901948982750953366312t^{22} - 741945458156755811740774112171956t^{21} + 1388097717874426889459870592449616t^{20} + 330415662676576890677165373824964t^{19} + 52418099788159401620969360252764t^{18} + 6253094868836858254573446247090t^{17} + 472665971046359972983253775954t^{16} + 2016304200473249869915144461t^{15} - 5016414293411639755466761376t^{14} - 815603719862726678042798734t^{13} - 89550252881340735390889408t^{12} - 8370345963693800855737718t^{11} - 654975631830910979127308t^{10} - 38819921990686323614392t^{9} - 1628606270737789842438t^{8} - 49893420337277331331t^{7} - 1503677844462634128t^{6} - 57559286909537068t^{5} - 1462612674220588t^{4} - 7524044659248t^{3} + 61194355600t^{2} + 3450772340t - 2641920 \right)D^{7} + \left( 4313919541657388933973535065204444729704448t^{41} + 7788792110418175072493258407156712548073472t^{40} - 2237601409823649234936519758649357184794624t^{39} - 18893782860298069488119011132421191765327872t^{38} - 23687012057434682725018907776675990702325760t^{37} - 13760827953423468783815371870507865213239296t^{36} - 1185354509223363739213168303305424410329088t^{35} + 4889406707582497062938189986893947691220992t^{34} + 4791881765702042851785470106942066635296768t^{33} + 2650355080295351425852594847373711258103808t^{32} + 1013822554775471034412386062375279949008896t^{31} + 277086988973475085506074086756610810993664t^{30} + 49828576506760531095714425866778261467392t^{29} + 2645506760849707818870184394357371229952t^{28} - 1937376336788433019424491611343150079168t^{27} - 888405927826422945116247687075688811520t^{26} - 230196681599444253755776893866093705648t^{25} - 41574291068940692149551663091977828128t^{24} - 5151062553429290428899380641878998944t^{23} - 340520632711965067165847663748622908t^{22} + 19269436824779428353159738448137692t^{21} + 10199987765452177205852712820439956t^{20} + 2147934807155410234591681574577032t^{19} + 372657711966940541025419857365954t^{18} + 56463718818853710889636093572338t^{17} + 7305540166557549855805592888233t^{16} + 807981008448753001317615651051t^{15} + 78746345202053933678699818204t^{14} + 7138170536494360245522215338t^{13} + 632284756393728527045612922t^{12} + 53020746400366063304752142t^{11} + 3742628915789268431633624t^{10} + 197994088016262024871072t^{9} + 7345277041906814410353t^{8} + 197689497031481902527t^{7} + 5343665405773959778t^{6} + 198401861472474636t^{5} + 5016779430155616t^{4} + 24407103517936t^{3} - 169124324620t^{2} - 8277102380t + 5724160 \right)D^{6} + \left( 35838716192230615759164752849390771600621568t^{41} + 64366398578436031131116414797319710043013120t^{40} - 16024287727231272692232968101434140211019776t^{39} - 153122442498929786444191768633635666415583232t^{38} - 205305007709154883719614303015117645017448448t^{37} - 142845608975983680387345065336494889309405184t^{36} - 48187330826638251990983840760721762208153600t^{35} + 8429970611765061827644264175905586320113664t^{34} + 21048308342106796345348565833359098519277568t^{33} + 14279393627179995048508114011398248085456896t^{32} + 6309513018945592456779912058831902534423552t^{31} + 2069250286504165631630552110771066563512832t^{30} + 523393154254052466215880419312825895454720t^{29} + 100909663298308773404212140432121496977152t^{28} + 13402938084816357872845567466069690974272t^{27} + 652349366308058832891232938220132034208t^{26} - 195556419639114880023654435483153094368t^{25} - 52779192474420426639809370544775805248t^{24} - 3349472919115149260401161361757306256t^{23} + 1321348854839108557890642159358970044t^{22} + 504854535581571468203765027606035004t^{21} + 107552201520878002782534134241117900t^{20} + 17936107944704716494921823687424876t^{19} + 2512530073027157644423018337767890t^{18} + 287128601909180413392984311560954t^{17} + 24855948377087580691037832261045t^{16} + 1427578707307457674951228673897t^{15} + 27771050628681183107175850148t^{14} - 4671785081759613218548133544t^{13} - 781181674828105973626382996t^{12} - 82307090694037537708933500t^{11} - 6559990180705726112087110t^{10} - 371129863493868761548318t^{9} - 13775691799503180694085t^{8} - 321976307479967228269t^{7} - 5968302226395629732t^{6} - 210736033786618776t^{5} - 6272376164365996t^{4} - 31418013307552t^{3} + 198651714500t^{2} + 8184955820t - 5283840 \right)D^{5} + \left( 177368461155067260400681114796290439079002112t^{41} + 317158366654319126952605212348899448496062464t^{40} - 73596692544754319493717268671383152407085056t^{39} - 754213785495046987738939931660318582561832960t^{38} - 1059680334687060514451795111630598797813809152t^{37} - 818061236031705409561191259049072154805370880t^{36} - 380103781590540754918135753497654243013361664t^{35} - 77373395101036837259579443331062760799338496t^{34} + 31666725439999151514496045047954013812957184t^{33} + 37399361394753340475654188889903246195019776t^{32} + 19552155605690210087316053959119449477174272t^{31} + 7141552714343305698597297132592833058572288t^{30} + 2006606541395568305395395829180607775582720t^{29} + 443432584700005985440594612966923253954944t^{28} + 74757896226877175092722883032745551825088t^{27} + 8412889284245862602345704917035860014528t^{26} + 241139322831288740778767221545968014768t^{25} - 130377552278469170923010062074344900144t^{24} - 31825784923957778912090573331478289704t^{23} - 4189531345859340640866503807413951176t^{22} - 361431356484171311151377784455540476t^{21} - 7559783316926622110392976856175052t^{20} + 6783697394740427125932580936946696t^{19} + 2069569640131756844575971964569444t^{18} + 363759211717990705964438390904512t^{17} + 44515162688773673997939896900836t^{16} + 4064184700635464935479379840173t^{15} + 293673630883074030494188588669t^{14} + 18498935829163611241329893680t^{13} + 1201631954401640055325529436t^{12} + 87257937258519672372052094t^{11} + 5968458928166262522891926t^{10} + 314881633693047226755826t^{9} + 11408719349173594145202t^{8} + 260227476146186492313t^{7} + 3575058864989095453t^{6} + 84428353634204370t^{5} + 2906020102141194t^{4} + 16358257621012t^{3} - 89252396740t^{2} - 2858929160t + 1761280 \right)D^{4} + 2 t \left( 265803811759043733547138583632981556037943296t^{40} + 473588824687364112748005204597154826557587456t^{39} - 107990476354930237017724500121446302520705024t^{38} - 1137048665300211894325992902801348282027999232t^{37} - 1648511911203120716484909246959994977618657280t^{36} - 1354773228508833394792880101420774070989307904t^{35} - 725505238029344907215476464654745914846183424t^{34} - 245123854087541451458493510221487765942206464t^{33} - 31815699542111585773659726446476885785978880t^{32} + 18515337272425478743647347578086492902226944t^{31} + 15261554349237389494112495077090206958809600t^{30} + 6497022086686028574361762413035068749928704t^{29} + 1995981152018049364868768464801955822330624t^{28} + 472818540037963092302231281853483159096064t^{27} + 85289777989082812485065177368131890251488t^{26} + 10555619764067495553627028421612761874832t^{25} + 496737963245985911306027770731518273088t^{24} - 129201559922745758604620846235917891416t^{23} - 40051279717445074712912769441858481032t^{22} - 6694787880778698900881386365742443616t^{21} - 851227817538181272228813760351357328t^{20} - 79638439085993563803993928343920428t^{19} - 1820508966362572198989962203654304t^{18} + 1135539267900696831167393061122046t^{17} + 257844029589391656322216434009182t^{16} + 31759125226533992217421167916164t^{15} + 2622589657694454453306882546931t^{14} + 156387549497962804213256024347t^{13} + 7508699146332912505819696839t^{12} + 355731722716044872907294503t^{11} + 17325945000361861508414049t^{10} + 644357891710629360057661t^{9} + 12445084341979665180697t^{8} - 22946601215278815673t^{7} - 6118110014482125290t^{6} - 7033864506075160t^{5} + 5623701723556188t^{4} + 34334231748772t^{3} - 693900249980t^{2} + 305545540t - 250880 \right)D^{3} + 16 t ^{2} \left( 58330749992987340938265780224611931004076032t^{39} + 103632052504744385654878027217435550519656448t^{38} - 23926133825138370563331019604704710891012096t^{37} - 252154800263645201879004347375913084044525568t^{36} - 373146042839776359197259237913717322849239040t^{35} - 318676124531010704620584718090842735916144640t^{34} - 183859929431966983811987953393668055313230848t^{33} - 73784449654671249221124821513804341316414464t^{32} - 19167553686316785351429307225460727175159552t^{31} - 1733710867517417591392540438992937293017088t^{30} + 1144161493380025788412240861793000364257728t^{29} + 744306099685653431507479412617346316279168t^{28} + 265495688214769603820815849184461214593136t^{27} + 68137272407544115144350122875317521909976t^{26} + 12885544075686042620249769838799177993888t^{25} + 1621113940413498381765705474104470824456t^{24} + 64721346889099172187342400021372617544t^{23} - 26131673755073506447522992870724825424t^{22} - 8075619902594513318455187555218169124t^{21} - 1475956760332045312026339748512825970t^{20} - 215865645941802494307609468949413492t^{19} - 25687769628411202073525926150247466t^{18} - 2086840683207046946564882622315316t^{17} - 38221217025332520226302113569231t^{16} + 17411881530037828160544934688051t^{15} + 2874251563992479420574978166702t^{14} + 253433611225570166790647216246t^{13} + 15156459909490213247450705740t^{12} + 729253859509209982444973080t^{11} + 35689459383784640105948217t^{10} + 1674753228566145454272433t^{9} + 47814909934410759455407t^{8} - 18988317271665131104t^{7} - 48725348751097552416t^{6} - 1482646353568014699t^{5} - 7105214260381192t^{4} + 413398818132565t^{3} - 378169303767t^{2} - 52598981420t - 4403200 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 18037872369237763619526704311102101314863104t^{38} + 31976326521836317071062661535910762273832960t^{37} - 7561809949611943188952919424799773558571008t^{36} - 78839907028419665007326821406847303447576576t^{35} - 118203866078561322120692769528091128930484224t^{34} - 103378832463883402242981020376721361814196224t^{33} - 62206808743627508260391564014424438966016000t^{32} - 27062149640190118509582953785574751008129024t^{31} - 8484194622939969590228469461775943214222848t^{30} - 1746455611092889013675975289476744864456192t^{29} - 106920459916749082540197357642291371352704t^{28} + 86899516158046171000039919571476783517824t^{27} + 45411472512142497966967994607262691030560t^{26} + 13360824998633423554068838277436422658928t^{25} + 2690065154872811754907856651487364092896t^{24} + 341000669424605135953026769436641786992t^{23} + 9250726132827630366066766080485158032t^{22} - 7377391763903722403878005200438732656t^{21} - 2185275706948520499801944237994968164t^{20} - 411264206311671533410992392524190352t^{19} - 63479542685075561178642160435516232t^{18} - 8171752707997618061846147773938548t^{17} - 793392253424300058278793482852780t^{16} - 46122952274346120680634914984400t^{15} + 153593840778245728449876827983t^{14} + 324413041490466516283598987939t^{13} + 34288721643064353820798140176t^{12} + 2123239646004439743966508192t^{11} + 103450641097510609507184278t^{10} + 5193912217570423811503190t^{9} + 224976474776434025347638t^{8} + 3455894603994123073126t^{7} - 241161082761623306225t^{6} - 15104067158848375761t^{5} - 346383422741427782t^{4} - 1765774629881438t^{3} + 35030982764420t^{2} - 488364871140t - 5126774760 \right)D + 288 t ^{3} \left( 1106133215809586906147060273129344802488320t^{38} + 1957812609666085370816372305905690633830400t^{37} - 473952207815733585399962242882686395351040t^{36} - 4879268467468144771196760811482130786222080t^{35} - 7374576185442230998039543744248628234846208t^{34} - 6543575408743435974556559841383400716853248t^{33} - 4033937254215049469046083682635113825923072t^{32} - 1830361109652202898480157126353888096356352t^{31} - 621998414913348751200349611024677939789824t^{30} - 154911201882141133572405808806416858107904t^{29} - 24686423651198362280332905782821035268608t^{28} - 299192034092372341613728405872031030528t^{27} + 1343654415439417718075036408653453768064t^{26} + 516369875044208317446743211205042324320t^{25} + 114148187579756744137725813135190672592t^{24} + 14691208147129264973779151908589636552t^{23} + 190510242179332643783156009392353968t^{22} - 406955128468390889150473036165954256t^{21} - 116620184239753514373667603211116124t^{20} - 22292546140964172176225129170020652t^{19} - 3555564502168222827901531234432536t^{18} - 478327729220303119007826630711490t^{17} - 50127186084128931086362357478360t^{16} - 3620370479917649241291951948716t^{15} - 131537519534490379754781455508t^{14} + 4038302160059265004687042098t^{13} + 858571829011077723262240155t^{12} + 58071252546569067125755043t^{11} + 2832089211106609800857347t^{10} + 140120689493827120776363t^{9} + 4771378729146839934405t^{8} - 100880049254546096967t^{7} - 18713039560511103905t^{6} - 795109931892859177t^{5} - 15108296630549506t^{4} - 64015608665866t^{3} + 370885062120t^{2} - 26635206040t - 94366080 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ4P4 × ℙ6P6

|λ| = 13.7777 λ ≈ 13.7777; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.246097 - 3.969126i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.246097 + 3.969126i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6 - 4i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6 + 4i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 5.714491; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -2; multiplicity 2; Jordan blocks 2 λ ≈ 2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$13.7777019$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$13.7777$11
$-6.246097 - 3.969126\mathrm{i}$11
$-6.246097 + 3.969126\mathrm{i}$11
$-6 - 4\mathrm{i}$11
$-6 + 4\mathrm{i}$11
$5.714491$11
$-3$21, 1
$-2$22
$2$11
$1$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{2} + 12 \lambda + 52\right) \left(\lambda^{4} - 7 \lambda^{3} - 110 \lambda^{2} - 84 \lambda + 4312\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{2} + 12 \lambda + 52\right) \left(\lambda^{4} - 7 \lambda^{3} - 110 \lambda^{2} - 84 \lambda + 4312\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 8 & 12 & 12 & 12 & 36 & 12 & 32 & 0 & 64 & 80 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 8 & 12 & 8 & 8 & 24 & 0 & 24 & 32 \\ 1 & 1 & -2 & 2 & -4 & 0 & 12 & 8 & 12 & 24 & 36 & 32 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 4 & 0 & 8 & 0 & 12 & -12 & 12 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -3 & 2 & 0 & -2 & 12 & 12 & 8 & 24 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 2 & 8 & -4 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & 0 & -4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & -2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$