Family 4-230-52-d

No geometric description is recorded for this family (yet).

Fl(1, 2, 5) × Gr(2, 4) · 3142.6wFwA (preferred model)

Defining data

Ambient: Fl(1, 2, 5) × Gr(2, 4)
Bundle: $E^{ω_{4}} \oplus E^{ω_{4} + ω_{6}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2}}$ E^(w4) + E^(w4 + w6) + E^(w1 + w2)
Bundle: $⋀^{2} Q_{1, 1}^{\lor} \otimes U_{1, 2}^{\lor} \otimes U_{1, 3}^{\lor} \oplus ⋀^{2} Q_{1, 1}^{\lor} \otimes U_{1, 2}^{\lor} \otimes U_{1, 3}^{\lor} ⊠ O_{2} (1) \oplus O_{1} (1, 1)$ wedge^2 Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v + wedge^2 Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v box O_2(1) + O_1(1,1)
ZL62 label: 3142.6wFwA

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,4;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1,3;3) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	52
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	230
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-1

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	230
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	152
$\mathrm{c}_2^2$	=	102
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	56
$\mathrm{c}_4$	=	20

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		4		0
	0		0		0		0
0		0		10		0		0
	0		0		0		0
		0		4		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 1	0	x₀ + 1	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 34	0	0	x₁ - 11	45
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 52	0	0	0	0	52
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 47t + 134t^{2} + 47t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(121)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(166)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t - 1 \right) \left( 2t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 51t^{3} + 26t^{2} + 5t + 1 \right) \left( 6928t^{5} - 624t^{4} + 632t^{3} - 48t^{2} + 9t - 1 \right) \left( 55794448776172801809106944000t^{28} + 88276791530681526661883125760t^{27} + 159414074778146531735266940928t^{26} + 324647779845404553462794897408t^{25} + 297031855857725149379540890112t^{24} + 17242866327907189934850580480t^{23} - 218678175666258573233863436288t^{22} - 226418989122132814535155418752t^{21} - 118277506128016665111028224064t^{20} - 36793083144350407342962733280t^{19} - 6725587687276701111447431864t^{18} - 551425428630477119546541552t^{17} + 59535780636567592925431918t^{16} + 39496638018227853221163940t^{15} + 13494598533481871471363402t^{14} + 3180382823625718520983182t^{13} + 457033183391232086361404t^{12} + 32562505265705595392438t^{11} - 278825936044681088134t^{10} - 294461436970182694369t^{9} - 37488525508167341117t^{8} - 3607855701316346666t^{7} - 238706954175612638t^{6} - 6081669013064664t^{5} + 214582202463632t^{4} + 19350180956132t^{3} + 571646849464t^{2} - 73533385t - 89905275 \right)D^{8} + \left( 3t + 1 \right) \left( 4258168055392518083003357874880512000t^{39} + 7625194555692258891635822502743900160t^{38} + 12330103441037732182477135124744896512t^{37} + 25481763303264589794025995672661000192t^{36} + 23109702694282375171156251882644111360t^{35} - 7946121566033967027426645654008381440t^{34} - 35714588157615464313380545217913643008t^{33} - 31511863041098857071107523176971358208t^{32} - 8552244089162483462066135725984466944t^{31} + 7154779999115515297494301050549840896t^{30} + 9238241050962295181048244988522298880t^{29} + 5450396884432359843860045131376431616t^{28} + 2138733949703892332672653021415491072t^{27} + 607825846652558176269695133174905664t^{26} + 124784648936602482975408549823584992t^{25} + 15671499646843809529953557491206576t^{24} - 434022843989667409510714196026760t^{23} - 916174576271716606789845181602376t^{22} - 320527974692625771428518892936134t^{21} - 78597501147894900388895076453464t^{20} - 15229290330682112767628681669232t^{19} - 2308349676936713340514155122662t^{18} - 256226173756073693426240529272t^{17} - 17824606120516244284418388156t^{16} - 415042721185050530277512431t^{15} - 11010927808137385079828296t^{14} - 20000554035437221253109579t^{13} - 3948130412265711618667011t^{12} - 219542502517207623918001t^{11} + 23568294539265152091744t^{10} + 5045587454920679876939t^{9} + 511858475532874526505t^{8} + 45009076942587316905t^{7} + 2900908589749762228t^{6} + 73715396449729155t^{5} - 2064717026817339t^{4} - 184495111692745t^{3} - 5148172277826t^{2} - 760312045t + 629336925 \right)D^{7} + \left( 193746646520359572776652783307063296000t^{40} + 404229182300160554099800639396994088960t^{39} + 706428889781529270566293106500785143808t^{38} + 1468179202714781405455073381704613756928t^{37} + 1623099847869877285867719136780152504320t^{36} + 202532729152994502715061320830911545344t^{35} - 1537846497189498280659483033489183539200t^{34} - 1858119987171745959803339421121850159104t^{33} - 918772881364702213449354597949400248320t^{32} + 3625773014347135090731766554709144576t^{31} + 309067723185104184496145917081462882816t^{30} + 229145646362525861259890373208793861632t^{29} + 97634172815929852425917181449733127040t^{28} + 28213489521066706799014981175176139136t^{27} + 5600554306035017171013820965417442688t^{26} + 620719027677198760420370234607130800t^{25} - 56714124259023927290562325449781504t^{24} - 55772088606279577663657182521632196t^{23} - 19646127841099292683843204880630362t^{22} - 5012531119196733393255258875252646t^{21} - 994264587634972035129726086679004t^{20} - 149013003889640126148744155769878t^{19} - 14955875585354280007573280373162t^{18} - 509156045189141562277577534820t^{17} + 137414349726381912744865089125t^{16} + 35625798902615513185456177375t^{15} + 5924190666724267042670504099t^{14} + 831587168714127202761741730t^{13} + 87699573591457462836693226t^{12} + 5357853008378471963607659t^{11} + 24864824935260612161063t^{10} - 27433000956694596970346t^{9} - 3254189575114588889426t^{8} - 269731847222263907109t^{7} - 15073841513737388751t^{6} - 342655696088852020t^{5} + 7618228995840446t^{4} + 618237492477257t^{3} + 15178708367381t^{2} - 6247059870t - 1528389675 \right)D^{6} + \left( 1609587524938371835375269276704833536000t^{40} + 3307371193174332052734011665774419640320t^{39} + 6043239921012862659603559500565731999744t^{38} + 12939858055785690181605552808205339000832t^{37} + 14551707558037932569206017360051552452608t^{36} + 2735132872196896312876446654321540710400t^{35} - 12045934026245465696023077605407813312512t^{34} - 15441633986558474095593570938062230274048t^{33} - 8583095414233602358570734029901232535552t^{32} - 1469834307088232249718544268875793987584t^{31} + 1211556178677303798756593012017120761856t^{30} + 1069968221641123403896482949507228736768t^{29} + 442682577189668511994994203876168876032t^{28} + 115482754428819047852419732003936981952t^{27} + 19078929489272804600183257563624369504t^{26} + 1125857956507409132033117053061351520t^{25} - 572623280523621822069033335374661592t^{24} - 305759426185842497046749973607898920t^{23} - 95843063096290192295290165545574470t^{22} - 21681712834941690391789936609032218t^{21} - 3512522185255302368197051194647136t^{20} - 368641030030614637122690059443742t^{19} - 13548877454671011829833905003562t^{18} + 3166410314214041976005101967004t^{17} + 757112162391063652401342286197t^{16} + 91102593243269505778267998243t^{15} + 5901959614741837345395281165t^{14} - 128826513121862755509772052t^{13} - 68429493000156633498219618t^{12} - 5212707250420210769425823t^{11} + 77653338652911166909475t^{10} + 46054743703623435276030t^{9} + 5331514048089989822052t^{8} + 461800417581339723115t^{7} + 26852034798723876655t^{6} + 669409499921925478t^{5} - 6982874318288534t^{4} - 731085122096069t^{3} - 17570918030787t^{2} + 14214698410t + 1528389675 \right)D^{5} + 2 \left( 3982983944812776601889265872216358912000t^{40} + 8080011941581443165302146106873405767680t^{39} + 15257171376551361659679854557392437673984t^{38} + 33396157933519274091878273812688625745920t^{37} + 37889271236234204956619761524638397767680t^{36} + 8254016962974483406136729820811257851904t^{35} - 29424741032294764365911644105654500378624t^{34} - 39369959346146975709928348423211572704256t^{33} - 23812726360821601369194224381519909329408t^{32} - 6653194866862955019055171421355758575872t^{31} + 660940186367392075514134211712452637312t^{30} + 1379899163919909199791419493465919268032t^{29} + 604599412828485652648983024634015854304t^{28} + 151429260668104345190394984265916519312t^{27} + 22972138636870532743739048735979547304t^{26} + 913199462356565361798719040811535860t^{25} - 917316539276926443120690177063771986t^{24} - 473747345311547451374755224744845371t^{23} - 146754075597285362763256874033806011t^{22} - 31230340266566045358725727929784905t^{21} - 4476847756202471528230969999253430t^{20} - 366313124996136395213572655143363t^{19} + 4137960538940246228082595038056t^{18} + 6532609341249268966806318803209t^{17} + 1206154069473178522436657937717t^{16} + 155923574794102874614800240919t^{15} + 17675284194570004982296208438t^{14} + 1807477237955178226325578374t^{13} + 144490625504116158901781975t^{12} + 6749415762325257079378882t^{11} - 32563044217008281266408t^{10} - 31371831270081550238423t^{9} - 2896125840867546832533t^{8} - 193631807065996954661t^{7} - 9705893040485198397t^{6} - 239852558644029605t^{5} + 620088318490116t^{4} + 148292267791952t^{3} + 3473658347640t^{2} - 4443277540t - 269715825 \right)D^{4} + 4 t \left( 5968887071646462222849956901113757696000t^{39} + 11981485968218783683366631082148436705280t^{38} + 23181135999740037035409326656883655868416t^{37} + 51606793463325199494520905975150264926208t^{36} + 58816490660677317366126268488481330266112t^{35} + 13549719927151081145170599711377888968704t^{34} - 44663955595783993289701658243980444884992t^{33} - 61365857763491373317682216495993666604032t^{32} - 39175972297427708558260186156213202649088t^{31} - 13385126816461194487515372494886283225344t^{30} - 1363238966349593967585038115334329893760t^{29} + 913192182162727743036962711042343175360t^{28} + 505429421334899717684792853638661004800t^{27} + 132356558448939837689310994255796775264t^{26} + 21551752879204369006079684806092502192t^{25} + 1618596097563057216214762124901137036t^{24} - 634900643846481249513058349764499744t^{23} - 416804864180274220865974303367409558t^{22} - 132367342272464761636625526196119136t^{21} - 25894842032560828609434535458262998t^{20} - 2967892702828821580489823252438782t^{19} - 98820977511721378606370287353428t^{18} + 30758286529135999362751179741808t^{17} + 7106562560222320939638899495542t^{16} + 969562050315953982912701228791t^{15} + 113001525254479530528263046681t^{14} + 12066642660463859191481774237t^{13} + 1057662505220091613732702634t^{12} + 63090378507384855435802596t^{11} + 1604144153575658193306478t^{10} - 85155506378237662997429t^{9} - 10377298101959561722459t^{8} - 476085672349336623514t^{7} - 8488406173582931120t^{6} + 235561169726753487t^{5} + 17002492672387662t^{4} + 322984165112581t^{3} + 2312356164103t^{2} - 7515891543t + 33616755 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 5239498368491518812882173391795683328000t^{38} + 10428613922492272469534022463005407969280t^{37} + 20540903426813526332226384169695782928384t^{36} + 46332583077902582724127439401830485458944t^{35} + 52923095737913310141324922297471091834880t^{34} + 12378094668952786647250693938566555521024t^{33} - 40145551237547940440304621926355474612224t^{32} - 55962683975822626818765674510802436400128t^{31} - 36909281497841217732597929719593643912192t^{30} - 13913393708286337202806813724017838738432t^{29} - 2553453418613400535126369065302454446336t^{28} + 188580025552741026512409813896877008960t^{27} + 249481113031812102813734150786604394528t^{26} + 76126781568841897601382259004128543264t^{25} + 15200569753726681383193948739508616856t^{24} + 2209652867461460239246444585478975056t^{23} - 45426354808188434536240833725696898t^{22} - 187621766235136437103817756505695169t^{21} - 67331449719362178059751763001829005t^{20} - 12526063687453311295021620067223625t^{19} - 1138148280833127279408305669846392t^{18} + 26523197063487071395646456356959t^{17} + 23372882143864236915270202492584t^{16} + 3929568550194965596992029453276t^{15} + 498291725265031337424579767244t^{14} + 60678590803284930189769649854t^{13} + 6629229579207417677334166780t^{12} + 547208018311908582060386528t^{11} + 28170584234710065391432768t^{10} + 395137281418800119970140t^{9} - 57587813626471138804168t^{8} - 4664008170606287193034t^{7} - 148260081493743533092t^{6} + 868307149179115277t^{5} + 250548724245016135t^{4} + 8887123022838515t^{3} + 126136725255334t^{2} + 690240837615t - 1977916050 \right)D^{2} + 32 t ^{2} \left( 1215174708807639847937083253544026112000t^{38} + 2402926768578757409109368447451658813440t^{37} + 4794370773415033501228229251240456470528t^{36} + 10922221243788687851497952106490451656704t^{35} + 12488267436959729758521815465220773769216t^{34} + 2912310155480904241838233002302461411328t^{33} - 9546755929325399744792205597085361126400t^{32} - 13402259531389571868620160292280015544832t^{31} - 9008906287292916284676591430736600963328t^{30} - 3575860043201333227067613911795330703872t^{29} - 794761389451570115166442784208175504512t^{28} - 41814345600198045563846173030616419104t^{27} + 32720739035455422741623623448062964672t^{26} + 13078861942316009418737226649769928120t^{25} + 3308159791946289684482155936499636728t^{24} + 689395426135175567746116839412663364t^{23} + 75208010302567027000132153363810138t^{22} - 15652840286216540300039045064981831t^{21} - 8484349170823381305820219910283119t^{20} - 1565361878907601136789188810764003t^{19} - 103572635282519372680841118884724t^{18} + 12877173038102258871367947646961t^{17} + 3960998009826377355114388764996t^{16} + 562171025341574457266072671847t^{15} + 72361967450664384385999159339t^{14} + 9629330301671038320988454822t^{13} + 1069274640417105996418010631t^{12} + 82511136712578908348991639t^{11} + 3653713310004920367316380t^{10} + 11106486211726975493212t^{9} - 9649939217413160082738t^{8} - 589879557122220244268t^{7} - 10727306121419190691t^{6} + 644567610759507455t^{5} + 45908372021727797t^{4} + 1198927944818557t^{3} + 13659957497474t^{2} + 38424257485t - 89905275 \right)D + 192 t ^{3} \left( 74517940969369066452558762810408960000t^{37} + 146667559645987647883359780099642163200t^{36} + 295224492829904025097897230002099159040t^{35} + 677310276550568983305354104985858539520t^{34} + 774731788719808689471996542093925064704t^{33} + 179127907011526413155918543863154040832t^{32} - 597694512949510068992274968915041634304t^{31} - 841686767528666935468725118068989109248t^{30} - 571921139055520472691951096425661699584t^{29} - 233414665638996103917820628524836462592t^{28} - 56477329962618686344515896585527046912t^{27} - 5669177303502930914681701073050270784t^{26} + 1145925192310311121977784193418156864t^{25} + 661764099332131846861435319159443792t^{24} + 202670205395273174511975187118250016t^{23} + 50533546705581380094772137350636888t^{22} + 8162953006201349471291886104503624t^{21} + 143527298030907127620466863423692t^{20} - 253281688283451551420017085157120t^{19} - 50146843335635361011692049855686t^{18} - 1768162244558292936132792180796t^{17} + 807946352354541388998858953443t^{16} + 169913257611052843319030223881t^{15} + 21664027654293011576933987083t^{14} + 3023639261794358732257045806t^{13} + 444845657241959480071925008t^{12} + 49637630343500061167098009t^{11} + 3592135976517378870488807t^{10} + 138334580998282730643874t^{9} - 935968670986002278432t^{8} - 428604438887086497201t^{7} - 20765099148859813229t^{6} - 54489843654118070t^{5} + 43747821695924930t^{4} + 2145233876678125t^{3} + 45881731611903t^{2} + 453892291380t + 308093625 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 5) × Gr(2, 4)

Show multiplicities

Sector dimension: 13
Spectral radius: $10.3234041$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$10.3234$	1	1
$-0.8599174 - 6.911588\mathrm{i}$	1	1
$-0.8599174 + 6.911588\mathrm{i}$	1	1
$-1.209294 - 4.277176\mathrm{i}$	1	1
$-1.209294 + 4.277176\mathrm{i}$	1	1
$0.1982154 - 3.714168\mathrm{i}$	1	1
$0.1982154 + 3.714168\mathrm{i}$	1	1
$-3$	2	1, 1
$-2.581412$	1	1
$-2$	2	1, 1
$1$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda^{3} + 5 \lambda^{2} + 26 \lambda + 51\right) \left(\lambda^{5} - 9 \lambda^{4} + 48 \lambda^{3} - 632 \lambda^{2} + 624 \lambda - 6928\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda^{3} + 5 \lambda^{2} + 26 \lambda + 51\right) \left(\lambda^{5} - 9 \lambda^{4} + 48 \lambda^{3} - 632 \lambda^{2} + 624 \lambda - 6928\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 4 & 12 & 12 & 12 & 12 & 6 & 24 & 20 & 16 & 20 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 4 & 4 & 2 & 6 & 9 & 12 & 16 \\ 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -4 & 0 & -8 & 0 & 0 & -6 & -6 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 6 & 6 & 6 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 2 & 2 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta