Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-230-52-f

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × Fl(1, 2, 3, 4)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4 (marked)ω1ω2ω3ω4
Bundle
E^(w2) + E^(w4) + E^(w1 + w3)
Bundle
O_2(1,0,0) + O_2(0,0,1) + O_1(1) box O_2(0,1,0)
ZL62 label
136.31T
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2,2,2) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1,1,1) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 52
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 230
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 1

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 230
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 152
$\mathrm{c}_2^2$ = 100
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 18
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 8 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 1 0 x0 - 1 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 34 0 0 x1 - 9 43
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 52 0 0 0 0 52
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 47t + 134t^{2} + 47t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(310)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(399)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 100t^{3} - 12t^{2} - 6t - 1 \right) \left( 212t^{3} + 76t^{2} + 2t - 1 \right) \left( 164t^{5} + 162t^{4} + 43t^{3} + 13t^{2} + 6t + 1 \right) \left( 1423375652828119934724228642816t^{30} - 21265653379094930583156890664960t^{29} - 105355015625950126206318217985536t^{28} - 221103138969510091947236355113472t^{27} - 281995975893706500635314363268224t^{26} - 247789411744382371495403550385664t^{25} - 159187570262408891292062716451456t^{24} - 76822573858075280180840827175968t^{23} - 27872613326897560270732914521088t^{22} - 7298204779440825377781298000272t^{21} - 1145869987789816714551043719408t^{20} + 34504107159686487804909137504t^{19} + 89838090614537419348593430008t^{18} + 33810784562946570676789506184t^{17} + 8388071528754955638252479012t^{16} + 1604036085834403136989617352t^{15} + 249901515811252251338684208t^{14} + 32380712524816600817369590t^{13} + 3476394128486741809634476t^{12} + 302219014694984198422230t^{11} + 20607289126751612970708t^{10} + 1083036831713237966024t^{9} + 46783011229017142248t^{8} + 2083762068358833510t^{7} + 104324383948750198t^{6} + 4447779964305301t^{5} + 137355957121400t^{4} + 2657665002974t^{3} + 28315044648t^{2} + 201483137t + 1210720 \right)D^{8} + \left( 356313057822202132011542266464672153600t^{42} - 4958710677808521008314719048739635855360t^{41} - 35510450058291923758492857075167997853696t^{40} - 104153534485759996220219029444701979672576t^{39} - 186001015389193726299045411893946467155968t^{38} - 231098585441491012954533540583175734558720t^{37} - 213319005109593369820513287568276597858304t^{36} - 151687532888233226686334826331340294307840t^{35} - 84651061910429771428445307568649562697728t^{34} - 37200397450204195304452479578712756144128t^{33} - 12649064440569240732457124299101065067008t^{32} - 3113481848063461148817203179106666769920t^{31} - 413292317798590687781978701612183516416t^{30} + 59969337707412099858085008853597565440t^{29} + 55934633248122933017650240340044346752t^{28} + 18914637495914600482004180876566476544t^{27} + 4014559460904792434621047901331538464t^{26} + 461525085808437380562240633797443360t^{25} - 38514512589717732329386008004172528t^{24} - 37149132681865190053302820473567856t^{23} - 12201223992587164452813316978632768t^{22} - 3048247031572052448489310282960992t^{21} - 678301218625185235196354348250344t^{20} - 141830759570949426628925025826184t^{19} - 27665393968946965855375567408792t^{18} - 4878890881273117448184990519360t^{17} - 759131442119254197661499946198t^{16} - 103227565669302181879279540186t^{15} - 12247203564397853119682392330t^{14} - 1261161690494718935613952704t^{13} - 110813622824903117466771856t^{12} - 8072931161742381592951550t^{11} - 472993861841184792298838t^{10} - 22127065894099414233298t^{9} - 888936145231355994381t^{8} - 36445747888111669069t^{7} - 1557977354800574890t^{6} - 56052920511696293t^{5} - 1474327042412589t^{4} - 24635571752173t^{3} - 229076176908t^{2} - 1410381959t - 7264320 \right)D^{7} + \left( 5404081376970065668841724374714194329600t^{42} - 78420447483302436807633145595343351054336t^{41} - 541795253377731778805893214009023748341760t^{40} - 1550044760889799439628274946973195911610368t^{39} - 2710406789226877538368844114125074321719296t^{38} - 3306398740402568864728117834918921233027072t^{37} - 3003797958196370359664137729674888565653504t^{36} - 2107040544661554804333351154722320772955136t^{35} - 1162730320309239623993724812645323390333440t^{34} - 506734310663942365080084781861368458156032t^{33} - 171646818453394610468954396664406606501120t^{32} - 42511688785888659572811749426924602654336t^{31} - 5934152823001284114679336887236189749504t^{30} + 645826706397630442516162081970646711360t^{29} + 720096422288245015222439576680857485504t^{28} + 264485980283243657637493242609160469440t^{27} + 66239573130779740260136540051156448224t^{26} + 12468914430352644985676959554364223296t^{25} + 1747506206442727102451419855082388352t^{24} + 156869573075041603345106553852919664t^{23} + 968424916512185266851374836071552t^{22} - 2114557919170679800941765239070304t^{21} - 89456824160620496239610198080368t^{20} + 143397091734948088699963270169912t^{19} + 60137203559299314201609635742624t^{18} + 15082567120777873754604052517840t^{17} + 2838205589667565711540774243730t^{16} + 429688603008543257835896020598t^{15} + 53929237109118655571849410578t^{14} + 5668985789418728124811562940t^{13} + 496024866274390107216192320t^{12} + 35372259662430872765383934t^{11} + 1994781836364704749934862t^{10} + 87166011175696087974406t^{9} + 3111909224176808110043t^{8} + 113234543229006835119t^{7} + 4688725658906584162t^{6} + 166583965163758979t^{5} + 4278685581089115t^{4} + 68345905819391t^{3} + 595568625044t^{2} + 3339402233t + 15739360 \right)D^{6} + \left( 44895445285597468633454325574548691353600t^{42} - 673873942689209815638242265943838737563648t^{41} - 4519178477834724069408103911043229219258368t^{40} - 12652603323364435892507768953968864659488768t^{39} - 21708621207508804633333104914484471672422400t^{38} - 26031205586524571309104112188597209706663936t^{37} - 23279940169496377350017725697819553514545152t^{36} - 16093688347094152481505685977048625088977920t^{35} - 8758409885553548764113960145373622656672256t^{34} - 3763040890964548022075679813215736740799488t^{33} - 1252772016000169457820113649167124639425792t^{32} - 301004522822585462548466843978209896977792t^{31} - 37355804822556683559648879733619678932992t^{30} + 7413565579636578967597019904743949974464t^{29} + 6310217486754059584666944348182951310976t^{28} + 2307255533581974374676710325790258077568t^{27} + 607709641977807440872803511273855636320t^{26} + 128327790699724733483529749984072048128t^{25} + 22792588787640992024471742126879436624t^{24} + 3510394475216633739296062614410581904t^{23} + 477301469048598086150239319278411200t^{22} + 56725050037923942769170862722963072t^{21} + 5337724066506305885554514532943192t^{20} + 194343994407729090886257410987128t^{19} - 73905278981610729563890262730760t^{18} - 25311243789579538280646100447752t^{17} - 5146199529984189935183320440234t^{16} - 803867582270266385624482874590t^{15} - 102778545625381808225030775550t^{14} - 10977536439416696681597629656t^{13} - 976195040831231126937079768t^{12} - 70633671929448069404569658t^{11} - 4009576801782849270181346t^{10} - 172290459135534611302342t^{9} - 5682577995693627048087t^{8} - 175498652148740190259t^{7} - 6459651365907960742t^{6} - 216851697251376599t^{5} - 5296995204238659t^{4} - 78605160718003t^{3} - 640321124688t^{2} - 3312611105t - 14528640 \right)D^{5} + 2 \left( 111095442153480773076765449164797571891200t^{42} - 1713397205711097794623764190955330784067584t^{41} - 11212814446307185057775334641977873348476928t^{40} - 30817677047153681496049167549189978278649856t^{39} - 51997195528156256866356525367935722743857152t^{38} - 61381496323733260491841620976596808787576832t^{37} - 54081137820111109715658842416593355008995328t^{36} - 36846950252659759454087039840612587466925568t^{35} - 19757019319646757742517809296855435660101376t^{34} - 8348587793569895813553765764396797802226176t^{33} - 2717999308579703678079044886795994335598976t^{32} - 625835500146963677016716022420883329423296t^{31} - 64053122722129870109475029807560553952512t^{30} + 23154715690502250202253093941379733509088t^{29} + 16040858724722369583779422138483953339040t^{28} + 5664321727499223386890546845386393558816t^{27} + 1474313654943831267978836113597447043072t^{26} + 308087733946640052307892223765417326192t^{25} + 53313396074888118277836899710180225160t^{24} + 7686791223692417736960521839339611976t^{23} + 909153501811122598416590543614998504t^{22} + 84481842382254503642140990553000980t^{21} + 5697268450784332534259649268900224t^{20} + 280057415733692818908890654612470t^{19} + 32109800102716684493317134162018t^{18} + 9369804354863581228914120859456t^{17} + 2024980146124268021995607851198t^{16} + 316791049827137002277270686636t^{15} + 39216019277290566032637222618t^{14} + 4046539855098936733276212054t^{13} + 352917932383255704246593596t^{12} + 25484755697895007576466554t^{11} + 1457757979764100363654122t^{10} + 62759824803126114790523t^{9} + 1994153036725260024385t^{8} + 54064261313736394197t^{7} + 1710973136396464373t^{6} + 52641778105113589t^{5} + 1197786314320458t^{4} + 16122854975371t^{3} + 121724128948t^{2} + 584242231t + 2421440 \right)D^{4} + 4 t \left( 166487276267423946182393124005618063769600t^{41} - 2623685047239382494826225386790123727093760t^{40} - 16833063569014237959699797790118252304736256t^{39} - 45552473857558840166739076106302163832426496t^{38} - 75758497032135378087067026664330462150668288t^{37} - 88200340427460364715752103281801872625798144t^{36} - 76660064993761352199945619554054822025084928t^{35} - 51516701193526592189234497850882304421692672t^{34} - 27220188736571299610354138249570918160058752t^{33} - 11304846871188940575886073638769732866777856t^{32} - 3591022123489706775400159005771479619011648t^{31} - 786229766329202775082826193252526890664352t^{30} - 59546822055733616355104804498852849846976t^{29} + 40804198209938072511727672453058555899024t^{28} + 24494735295373915279765410496829677951168t^{27} + 8392006575604569691318955077840859541280t^{26} + 2168386872061856407031025427753893064416t^{25} + 455155132505368833380555520709936497880t^{24} + 79925673306560630020016792502309707992t^{23} + 11848460445355921410828261470201438456t^{22} + 1473565842450863567577247452411207120t^{21} + 150421107661984424572662050577365496t^{20} + 12075840808153365700131083153709412t^{19} + 697991603827352036984669955791356t^{18} + 21381733915341716418215825363888t^{17} - 743880030743518174622610299526t^{16} - 176227815164237825080057152588t^{15} - 18954725093614488319850189158t^{14} - 1661116181400220900056102730t^{13} - 112798147455189196748503626t^{12} - 5148362442532375383968122t^{11} - 115947954011936513735354t^{10} + 2686060655012015186188t^{9} + 468537349066843596728t^{8} + 34671116332294957983t^{7} + 1520186188118805896t^{6} + 30112177247647670t^{5} + 42470953966699t^{4} - 7269402301062t^{3} - 89482799560t^{2} - 233089629t - 226352 \right)D^{3} + 48 t ^{2} \left( 24357131737378359167668645071685725388800t^{40} - 390357620220300474093655003540931838148608t^{39} - 2465494706170334466785424913798092818350080t^{38} - 6588198378463713645977566684624383646347264t^{37} - 10826121066561702507696921518220065077198848t^{36} - 12456258601602870806575252736811073842096128t^{35} - 10698717749897452552278634001410197202033152t^{34} - 7101502666304018253043020477696134393161216t^{33} - 3701572230059733453454965765204375785970560t^{32} - 1511913356347167501879523414033034690436800t^{31} - 468509056270460226025610525570141236235296t^{30} - 97114576963347619228940888378546609333312t^{29} - 4417608499618847633407903038585824859776t^{28} + 6672618602441267902835813236967095398040t^{27} + 3624337462620651162591733337905376519632t^{26} + 1210082822805647148777330984042289948672t^{25} + 310096805012627814515797350222813142696t^{24} + 65118307582380025013418095388236227912t^{23} + 11508958798968399772506083438660312048t^{22} + 1726024206937866151287995320922548584t^{21} + 218366119301161381758584597212230152t^{20} + 22851475360069883422048863986506892t^{19} + 1904694374510297648455299108607564t^{18} + 116881010267624866224215166487883t^{17} + 4011430442894745811960715223795t^{16} - 121407880975201076494519488153t^{15} - 34471629545754641302283364666t^{14} - 3704792042451774474559054740t^{13} - 300243321350429595458445661t^{12} - 19360735620811107583495039t^{11} - 965828435623048027480876t^{10} - 35591051499951045473178t^{9} - 738393723132920626306t^{8} + 20732214464022433691t^{7} + 2741742666785128824t^{6} + 99048933967202830t^{5} + 1047440248690464t^{4} - 21530052281779t^{3} - 534868406156t^{2} - 4142819027t - 2421440 \right)D^{2} + 288 t ^{3} \left( 3766031069481886423066439788605770956800t^{39} - 61125772495483290674901000916612566810624t^{38} - 381486010584961276525380901592844664336384t^{37} - 1009404843667828878561974892323246908934144t^{36} - 1642988134655901174486092153430185504634880t^{35} - 1872444890372802502533153247541646618944000t^{34} - 1592602892440677810164136091502422482883072t^{33} - 1046201256061593034329631620761102229682048t^{32} - 538958943260240889863559624983235903688640t^{31} - 216905139367101773879576980361412451861824t^{30} - 65692356068281803001405760285997708657152t^{29} - 12894411205508900901379009726743044759536t^{28} - 178002635155128496701628230701121146912t^{27} + 1112056855155419612063644541326377007440t^{26} + 563689601034649808392912991211843814208t^{25} + 184403700862875822236669805727326668144t^{24} + 46909993240843612354777251057415806344t^{23} + 9844715545270033707237504599028330052t^{22} + 1747002750795617292889804242174825296t^{21} + 264069825147666807603718372081730624t^{20} + 33802581590681648958387628354112420t^{19} + 3598109315110363517433891696446474t^{18} + 307947292328509696113522743369910t^{17} + 19830644279408887911854549104116t^{16} + 784371470013302859054261239970t^{15} - 7233843480175146329588867216t^{14} - 4596538507311225229968669034t^{13} - 513412127345563504158766145t^{12} - 40956655169471521007238873t^{11} - 2614722204253944357323586t^{10} - 134115612451349929662469t^{9} - 5328502901808259317665t^{8} - 130645258612912371759t^{7} + 1249981181871243227t^{6} + 252566470032753691t^{5} + 7207221691476032t^{4} + 1676278204965t^{3} - 3569440121553t^{2} - 52935938385t - 298400505 \right)D + 1728 t ^{3} \left( 230943648588464344822295913449324544000t^{39} - 3781993000493210012224675145047039672320t^{38} - 23404378709838670739596889979020382904320t^{37} - 61489222097207492776760628339445497835520t^{36} - 99389578759308391196645978670562424950784t^{35} - 112471736919871917555788808200836878842880t^{34} - 94960778476457696042755579464433047258112t^{33} - 61886846018062524516396682509022859348224t^{32} - 31590957361789049179028126480352966068864t^{31} - 12564487618641142884233970496240048316544t^{30} - 3734066557569130683011011787568200851328t^{29} - 698426755162086886688352524873720952224t^{28} + 10904730909540256560190300614793428224t^{27} + 71577500121708952863342614605721200192t^{26} + 34655937288491010535663184784172098496t^{25} + 11170050933498245270710279564664079376t^{24} + 2825040872860507011220565129585188464t^{23} + 592236895350517074011303683125073864t^{22} + 105320827493453219547865834169101248t^{21} + 15993195310130216600753538243525648t^{20} + 2061334716107649184837247411870736t^{19} + 221585956472693717456564112851808t^{18} + 19254424973262394075745320100788t^{17} + 1274860088944596984360340752000t^{16} + 54517504223400625999349573060t^{15} + 100872060908404579747485342t^{14} - 241722629388957751478169042t^{13} - 28661741292508662449730632t^{12} - 2337017037167682469523130t^{11} - 153362181509976256012330t^{10} - 8198341913364840960390t^{9} - 339622614389400790743t^{8} - 8804064576413306101t^{7} + 10689165441018490t^{6} + 9928570833859981t^{5} + 236171920611073t^{4} - 1953710627383t^{3} - 161901130030t^{2} - 2020555803t - 9534420 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × Fl(1, 2, 3, 4)

|λ| = 10.8275 λ ≈ 10.8275; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.381102 - 4.124189i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.381102 + 4.124189i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.41375 - 0.3139739i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.41375 + 0.3139739i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.391039 - 0.983344i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -3.391039 + 0.983344i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ 1.115956 - 2.797955i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ 1.115956 + 2.797955i; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ 2.762203; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.449834; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 2 2 2 2 2
Sector dimension
17
Spectral radius
$10.8275008$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$10.8275$11
$-4.381102 - 4.124189\mathrm{i}$11
$-4.381102 + 4.124189\mathrm{i}$11
$-4.41375 - 0.3139739\mathrm{i}$11
$-4.41375 + 0.3139739\mathrm{i}$11
$-3.391039 - 0.983344\mathrm{i}$21, 1
$-3.391039 + 0.983344\mathrm{i}$21, 1
$1.115956 - 2.797955\mathrm{i}$21, 1
$1.115956 + 2.797955\mathrm{i}$21, 1
$2.762203$11
$-2$11
$-1.449834$21, 1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{3} + 6 \lambda^{2} + 12 \lambda - 100\right) \left(\lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - 76 \lambda - 212\right) \left(\lambda^{5} + 6 \lambda^{4} + 13 \lambda^{3} + 43 \lambda^{2} + 162 \lambda + 164\right)^{2}\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{3} + 6 \lambda^{2} + 12 \lambda - 100\right) \left(\lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - 76 \lambda - 212\right) \left(\lambda^{5} + 6 \lambda^{4} + 13 \lambda^{3} + 43 \lambda^{2} + 162 \lambda + 164\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 2 & 6 & 2 & 3 & 6 & 3 & 6 & 6 & 3 & 6 & 4 & 8 & 4 & 8 & 10 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 4 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 3 & 6 & 3 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2 & 0 & 4 & 2 & 0 & 2 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 4 & 3 & 3 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & -2 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 3 & -2 & -1 & 3 & -1 & 2 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 0 & 4 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & -2 & -2 & -4 & 0 & -4 & -1 & -2 & -2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 2 & 3 & 1 & 2 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$