Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 4-256-57-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × ℙ2P2 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(2w5) + E^(w4 + w5) + E^(w1 + w3)
Bundle
O_3(2) + Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
202040.CwIw1
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 57
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 256
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 4

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 256
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 160
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 64
$\mathrm{c}_4$ = 16
Hodge diamond
1
00
0 4 0
0 0 0 0
0 0 6 0 0
0 0 0 0
0 4 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 4 0 x0 - 4 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 38 0 0 x1 - 14 52
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 57 0 0 0 0 57
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 52t + 150t^{2} + 52t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(373)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(448)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t + 1 \right) \left( 79t^{4} + 69t^{3} + 37t^{2} + 11t + 1 \right) \left( 11008t^{6} - 3840t^{5} + 1728t^{4} - 320t^{3} + 12t - 1 \right) \left( 82808568761687596494838562816t^{30} - 876373673732234085178310918144t^{29} - 933110724082488435480663031808t^{28} - 538890181926589560596114898944t^{27} + 55641293145411161195081007104t^{26} + 20351871583631593481484779520t^{25} - 242057375425907942175674388480t^{24} - 264933619132816891668368244736t^{23} - 131647737076343968342814112768t^{22} - 37754409839461783327974224896t^{21} - 6925386261687085517947506048t^{20} - 1333462902359550172884904000t^{19} - 506995958390689627120589984t^{18} - 167249377816509635419938864t^{17} - 34816450584942449510691632t^{16} - 4820070918676427495910992t^{15} - 532985223281583872616096t^{14} - 47633041491538509280872t^{13} - 2958435495923666791228t^{12} - 105354731149796766836t^{11} - 11618367132153054236t^{10} - 1728497936652598840t^{9} - 118161408199331250t^{8} - 4415882914280982t^{7} + 99918655638008t^{6} - 2368044088964t^{5} + 244503921143t^{4} + 27578330907t^{3} - 45119256t^{2} - 6073938t - 24064 \right)D^{8} + \left( 8641557752323668949799933887056445440t^{41} - 89148335454637878363364692597923643392t^{40} - 160557256457764193903777378894585266176t^{39} - 152829991023780105403974062389680144384t^{38} - 68396561413148460932800667047262420992t^{37} - 19273057796434663158890832097045381120t^{36} - 32297375252839292593045439499183587328t^{35} - 53031132590404412040008079552992509952t^{34} - 48451940493766810228849270788353687552t^{33} - 29337485387569604292492348076222840832t^{32} - 12900571477249632952720735366291193856t^{31} - 4361307016921747455113711241414115328t^{30} - 1220461128211180210893223085690028032t^{29} - 318028086359961327336413600520708096t^{28} - 85529497271359582686181184842293248t^{27} - 22691910058714023004272189646966784t^{26} - 5283611320039449143848977626977280t^{25} - 1048693947405050868201571829572352t^{24} - 186808624273828021914650586337984t^{23} - 29219074209516233464766457429568t^{22} - 2615281584722904912420709614512t^{21} + 341400076587768640367469155632t^{20} + 159907894378274230304896452224t^{19} + 19646712783509795510387071008t^{18} - 698128813286818742310585512t^{17} - 539950268218833708651855808t^{16} - 91477483607316908714662420t^{15} - 10817047364252841317191452t^{14} - 959381921031062956633564t^{13} - 53353437699397719442264t^{12} - 1791782884699878539614t^{11} - 219483518440036538182t^{10} - 28019212842453882410t^{9} - 1757021044542606388t^{8} - 55337046677730741t^{7} + 1320443732314407t^{6} - 15035022006295t^{5} + 2646669654983t^{4} + 244802049237t^{3} - 393469878t^{2} - 42517566t - 144384 \right)D^{7} + \left( 108883627679278228767479166976911212544t^{41} - 1168823964556289529599821622983912325120t^{40} - 1972371774950305193405936812126933876736t^{39} - 1743593495104730968534651068101615943680t^{38} - 613335704387061456902870061685302886400t^{37} - 113250284611102718715823740122046660608t^{36} - 446903808899928616562484013056214958080t^{35} - 751402407545382583084670838479383429120t^{34} - 636016734513187926167810112590334918656t^{33} - 349153599135252272436853105234239881216t^{32} - 137953083379582257672306947199298109440t^{31} - 42163572181703383873051414045937057792t^{30} - 11116933668141610192394491398574620672t^{29} - 2988347309434678698634545060155576320t^{28} - 896387330353710820124866302728232960t^{27} - 267285193369481115064511562126954496t^{26} - 68458198248817819734307334221258240t^{25} - 14107712139178381124619288817518720t^{24} - 2296829852847316120778715371555136t^{23} - 292086618885860531219266508379104t^{22} - 28785201136298054701355916366192t^{21} - 2339746239710114156670315487168t^{20} - 5718220063717780170654225936t^{19} + 109246468394554927810332655968t^{18} + 37935724230453377949710464216t^{17} + 7032690593046337884298887016t^{16} + 863447371373038283468368228t^{15} + 83451905240652364794963028t^{14} + 6524816737793750425790676t^{13} + 378086508457725196394404t^{12} + 15432533782565684370542t^{11} + 1285510997241966028754t^{10} + 137510946891184530258t^{9} + 7754894257504103628t^{8} + 261081907106274147t^{7} - 5163394197882749t^{6} + 43024519101157t^{5} - 7357572765877t^{4} - 780508903087t^{3} + 540800330t^{2} + 105393942t + 312832 \right)D^{6} + \left( 750087212901694464842634261396499464192t^{41} - 8307777571331645403916173284841378283520t^{40} - 13254143038225240034240094835156627488768t^{39} - 11077213299962416174840648541734503972864t^{38} - 3027898772732108832972194431387528331264t^{37} - 308672847712757246532015088638485331968t^{36} - 3520465629642470813444031581288456519680t^{35} - 5735841579597591063125356657051430813696t^{34} - 4526134451782249703083448576943583920128t^{33} - 2277787376739237081529723588926375002112t^{32} - 816098171215617764033011523819380834304t^{31} - 229394655991359828060001058498974154752t^{30} - 60191742701144453788032784807003684864t^{29} - 17764557134689038962980547372871905280t^{28} - 5675286638689222018183967498612307968t^{27} - 1638846393246025096690488084200427520t^{26} - 387060155554040155333323828107750656t^{25} - 73777800554147219324277372129510784t^{24} - 11845721462716216474469394167240832t^{23} - 1705200210210279123442154871787296t^{22} - 228979013236699901668999623005872t^{21} - 29784798380613325600448598078624t^{20} - 4360634209456398234960823499360t^{19} - 841431445803205636311753753952t^{18} - 164868509338913052054174232904t^{17} - 25352102038754201552437984656t^{16} - 2841726700662435534171865524t^{15} - 253634471724879432514734276t^{14} - 18086318006722613910249164t^{13} - 945169358964034251495392t^{12} - 31831754686969631213854t^{11} - 2261665244000095883702t^{10} - 232591593119167583226t^{9} - 13669475863395951150t^{8} - 468449566730028481t^{7} + 9234944337082319t^{6} + 4610694459345t^{5} + 6870510467279t^{4} + 971199146115t^{3} + 156778274t^{2} - 107834370t - 288768 \right)D^{5} + \left( 3078987027152923246813716443958211510272t^{41} - 34947907252169849777025094676358593773568t^{40} - 53194503268706492468869450419179985305600t^{39} - 42684964272243376952989938242780754083840t^{38} - 8979620803061168649010975433976845434880t^{37} - 314370905855282659752460789676077219840t^{36} - 16388223106130392994531770702541816332288t^{35} - 25571967153987085690507833815590667550720t^{34} - 19045318259108201062419158348821982085120t^{33} - 8918933167035798043536750832643919314944t^{32} - 2940081217337682586577478760789870870528t^{31} - 777064153115350990358702747330849095680t^{30} - 212947529522869884890768878667684954112t^{29} - 70197224385265104532983560493184317440t^{28} - 23117879193412280821468651836106339328t^{27} - 6345867040533581143407889198412487680t^{26} - 1378146908828248143614174141317724416t^{25} - 236060648872945944928102688468202880t^{24} - 32417063694128519514005720490842880t^{23} - 3630116012893571583875910468024000t^{22} - 335707337482655338204107183348480t^{21} - 25426293352315448893877320859264t^{20} - 1052582572458989279128948114720t^{19} + 314076760195897356983994395408t^{18} + 120507415707506414847243144960t^{17} + 22029458346002584963787766524t^{16} + 2600839160237049551535683852t^{15} + 238504761926305991785402304t^{14} + 17492585305352027621088104t^{13} + 979936544582269839199962t^{12} + 32762620051725382526110t^{11} + 1651936491256916611578t^{10} + 131201136096720718758t^{9} + 8207444299586637421t^{8} + 328204101493689595t^{7} - 4291956331617917t^{6} - 68157578978611t^{5} - 1520114609013t^{4} - 392882721968t^{3} - 268920720t^{2} + 38826528t + 96256 \right)D^{4} + 2 t \left( 3841172420907870848186070612796589998080t^{40} - 44436865845417795004779824236122408484864t^{39} - 65102174718229812421847663580049626365952t^{38} - 50779706988094185795422757873678683209728t^{37} - 8171099294972485744496781164493313933312t^{36} + 127131775441495055071312639608576016384t^{35} - 22687731559100910358438732558045730045952t^{34} - 34047136022094099981174687857697573830656t^{33} - 24245426621928659977574621806425938984960t^{32} - 10726877466590764814353197683745840332800t^{31} - 3306335150797185203391982314275456761856t^{30} - 840179731295968390816574950449931419648t^{29} - 247347718817135463753181276448314695680t^{28} - 89358345001001951669434496786688843776t^{27} - 29500582409095947822791063517681980416t^{26} - 7687793797343626845776863514181107712t^{25} - 1571192063988708627653624038988247680t^{24} - 257604905562417583654088536508906560t^{23} - 34954877204085752650606740117694304t^{22} - 4003886205588242275874910699586704t^{21} - 386307225273489629358328558198224t^{20} - 31010010885598787756302131609928t^{19} - 2427234758873802320535111096816t^{18} - 259102696641275139627873415200t^{17} - 33913893848784072199423422600t^{16} - 3434397372628606088206403640t^{15} - 220066100556204089245457964t^{14} - 7269256839288225534923712t^{13} - 1554875245842590397164t^{12} + 22080383110913175009036t^{11} + 560966074818375564846t^{10} + 146794163417254267126t^{9} + 13752671810205240302t^{8} + 749375510438974233t^{7} - 652178207637305t^{6} - 327399079616899t^{5} - 5352361939613t^{4} - 258868036287t^{3} - 2504685096t^{2} - 12747418t - 7332 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 1416207289643310613056379165190433800192t^{39} - 16624902729984231400924934804470591651840t^{38} - 23635353919136969092094539580447945392128t^{37} - 18086808643213338472350905603330311454720t^{36} - 2225473315911904743917037999919631695872t^{35} + 110721402711009348365981400219199733760t^{34} - 9078050241798321015515778658214183698432t^{33} - 13210849398928879096100442307047851458560t^{32} - 9099027702485089442310455331042647277568t^{31} - 3855934237564466328438069690690254512128t^{30} - 1129147640483007384208176747908429467648t^{29} - 281189668708939216077196149622023376896t^{28} - 89519315412754874455864853332986118144t^{27} - 34418242918727722465324067220530362624t^{26} - 11223209465239705149952173616483853184t^{25} - 2791114721039250104835577918861885184t^{24} - 543438617030138514064368510330691488t^{23} - 86089666479802370869134792024918032t^{22} - 11433702733135450303250785435058176t^{21} - 1277593430712876829163100902887872t^{20} - 119885599703419651270454834562600t^{19} - 10059983293822775562808115396156t^{18} - 1009414012286871476184465229672t^{17} - 130303060827721575636267039840t^{16} - 15328786313088542767484898216t^{15} - 1273906336511008717560628158t^{14} - 63914754101266921241727396t^{13} - 1556380532279270562001324t^{12} + 4624941718955535355796t^{11} + 8906887102223050641387t^{10} + 858953598387014848242t^{9} + 75714399320918538820t^{8} + 4175573830557545961t^{7} + 103798752607367818t^{6} - 2748544138589826t^{5} - 51873342290891t^{4} + 349801899777t^{3} - 61471851977t^{2} - 461368080t - 385024 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 561269176013422298289505705964316131328t^{38} - 6662099282052373417337469341366904422400t^{37} - 9257653203734070697302632139398181814272t^{36} - 6996476579560200175612429358584193089536t^{35} - 663696952009274555228983535441187438592t^{34} + 45186646327768337816870985306903543808t^{33} - 3829879749888292021655847132092872589312t^{32} - 5448738649839353768131065197764044324864t^{31} - 3664005691457928394180679438010100154368t^{30} - 1504596862058408542313177896973829398528t^{29} - 424492468688905775497726819202817540096t^{28} - 105001283103760704681274364680116406272t^{27} - 35874685496943699951890472821377025024t^{26} - 14338436778901575823069517495199699200t^{25} - 4599300238794512907488987937471303936t^{24} - 1100728346024192658692518117163529984t^{23} - 206580718275963936896881050294716192t^{22} - 31976246020025959597892694477246256t^{21} - 4196114534465498653881383567994448t^{20} - 464335828172969894636594227527224t^{19} - 44711195428929765369905173673040t^{18} - 4440047951013231006234574600856t^{17} - 572947886391179861228417284368t^{16} - 77594750487830796618642569168t^{15} - 8173898321326260074742858812t^{14} - 602102828334183059703512588t^{13} - 27431706254980214132398232t^{12} - 624126276843266380604616t^{11} + 6141231731222958996310t^{10} + 4624382798575683536190t^{9} + 545902577127879449936t^{8} + 36011300304507598333t^{7} + 1398086960338978603t^{6} + 7209067599165817t^{5} - 1164655646392279t^{4} - 10643901724647t^{3} + 88940820254t^{2} - 16043383174t - 122532864 \right)D + 192 t ^{3} \left( 15122726066566420662149884302348779520t^{38} - 180965977515130148466179425676820480000t^{37} - 247324570738279235707487809131490836480t^{36} - 185439254541531568013458964303684567040t^{35} - 13842117960978837093166438312878407680t^{34} + 1002143508877359602202524345454493696t^{33} - 108050177014139022868781228165423857664t^{32} - 151308601483810187473292650532451729408t^{31} - 100075254691742357491528500217040846848t^{30} - 40197597113333049182845516795570429952t^{29} - 11052207412421148829475348224196270080t^{28} - 2735986241294925833356473720593196032t^{27} - 988736894964318189208014318687420928t^{26} - 404416177512977862995147267182830592t^{25} - 127801175913377153179225662595963712t^{24} - 29706038974284276792243339674024832t^{23} - 5426239156085465075411125805140288t^{22} - 826202319421049391928529996846656t^{21} - 107519348188173878234335101848816t^{20} - 11867974431546887206020773460568t^{19} - 1198188365117853553204236167312t^{18} - 139047770035879460282292710536t^{17} - 20360188376403147586227922976t^{16} - 2758226898538631916152597920t^{15} - 275489995222980454244848712t^{14} - 19461382028868775229521300t^{13} - 900074887797394227971984t^{12} - 23591909150960308438234t^{11} + 100489086278919956674t^{10} + 143105958401999890451t^{9} + 17451921103056711070t^{8} + 1018990194683804034t^{7} + 31193654397358065t^{6} - 226177817590133t^{5} - 27467200569572t^{4} - 211347461478t^{3} - 3919602315t^{2} - 333584991t - 2436480 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × ℙ2P2 × ℙ4P4

|λ| = 10.32388 λ ≈ 10.32388; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.799605; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.323876; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.746691 - 2.773876i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.746691 + 2.773876i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.2533086 - 2.773876i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.2533086 + 2.773876i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.6695; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.7654478 - 1.940705i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.7654478 + 1.940705i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$10.3238764$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$10.32388$11
$-6.799605$11
$-6.323876$11
$3.746691 - 2.773876\mathrm{i}$11
$3.746691 + 2.773876\mathrm{i}$11
$-4$11
$0.2533086 - 2.773876\mathrm{i}$11
$0.2533086 + 2.773876\mathrm{i}$11
$-2.6695$11
$-0.7654478 - 1.940705\mathrm{i}$11
$-0.7654478 + 1.940705\mathrm{i}$11
$0$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda^{4} + 11 \lambda^{3} + 37 \lambda^{2} + 69 \lambda + 79\right) \left(\lambda^{6} - 12 \lambda^{5} + 320 \lambda^{3} - 1728 \lambda^{2} + 3840 \lambda - 11008\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda^{4} + 11 \lambda^{3} + 37 \lambda^{2} + 69 \lambda + 79\right) \left(\lambda^{6} - 12 \lambda^{5} + 320 \lambda^{3} - 1728 \lambda^{2} + 3840 \lambda - 11008\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 4 & 8 & 0 & 0 & 0 & 12 & 8 & 8 & 8 & 20 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 4 & 12 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 2 & 0 & 2 & 4 & 0 & -3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 4 & 0 & 3 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & -1 & 2 & 0 & 2 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 4 & 2 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$