Family 5-184-43-a

No geometric description is recorded for this family (yet).

ℙ¹P1 × ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁴P4 · 112040.CwIx4000 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁴P4
Bundle: $E^{2 ω_{5}} \oplus E^{ω_{4} + ω_{5}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2} + ω_{3}}$ E^(2w5) + E^(w4 + w5) + E^(w1 + w2 + w3)
Bundle: $O_{4} (2) \oplus Q_{3} ⊠ O_{4} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1) ⊠ O_{3} (1)$ O_4(2) + Q_3 box O_4(1) + O_1(1) box O_2(1) box O_3(1)
ZL62 label: 112040.CwIx4000

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;2;4) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	43
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	184
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-1

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	184
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	136
$\mathrm{c}_2^2$	=	108
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	60
$\mathrm{c}_4$	=	24

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		5		0
	0		0		0		0
0		0		12		0		0
	0		0		0		0
		0		5		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 1	0	x₀ + 1	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 21	0	0	x₁ - 2	23
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 43	0	0	0	0	43
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 38t + 106t^{2} + 38t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(415)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(482)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t - 1 \right) \left( 5t + 1 \right) \left( 4t + 1 \right) ^{3} \left( 17t^{2} + 2t + 1 \right) \left( 320t^{4} - 384t^{3} + 16t^{2} - 12t + 1 \right) \left( 38430056196836095296307200000t^{28} + 158606302796218524397731840000t^{27} + 302333630711804836241141760000t^{26} + 312192997580018126857454182400t^{25} + 170559592568950506268233651200t^{24} + 20516399011242796351182592000t^{23} - 36998092193092742764942595840t^{22} - 29223311730974313546774823520t^{21} - 11752457831162872563879449920t^{20} - 3210643099129511298549756880t^{19} - 685121882884995554931924400t^{18} - 127063605639610591555366288t^{17} - 22764869286860396335082648t^{16} - 4570073480686961835489222t^{15} - 1028175860770769733751474t^{14} - 210026629397953297142999t^{13} - 34143922371186360358864t^{12} - 4323986484647328138505t^{11} - 419546344557757109666t^{10} - 29332821567857429932t^{9} - 1374359013829937388t^{8} - 41896743330984518t^{7} - 798687369204564t^{6} + 9660889026955t^{5} + 1693745176386t^{4} + 60071888727t^{3} + 1126343690t^{2} + 10800342t - 75072 \right)D^{8} + \left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 501742813705892060188586803200000000t^{37} + 1743806053232144230421530411008000000t^{36} + 2468858133521452632239619912499200000t^{35} + 913697567793628233368929393704960000t^{34} - 1541066196513885717895092952104960000t^{33} - 2293775696919994901624927541867315200t^{32} - 1217648748433361338849833342382899200t^{31} - 91549806110923940477404415504384000t^{30} + 256361377122894456047441129418670080t^{29} + 179051059763318782651944581579499520t^{28} + 69002843278916840175717331522375680t^{27} + 18976154918902714849969948153973760t^{26} + 4188752563304727705253292040712320t^{25} + 834328499654273210387046928645536t^{24} + 173754546841735393428227212211424t^{23} + 40047938745555258624698677097136t^{22} + 9048479378768454774886004005776t^{21} + 1732071177515365676213869470304t^{20} + 249744672338140890479116226584t^{19} + 21149414816772663965426670670t^{18} - 663768377517402900628362058t^{17} - 571141539928159943965444061t^{16} - 113613544783839798722853245t^{15} - 17447314076629921265523640t^{14} - 2613863352457334675744980t^{13} - 372436137993359554840301t^{12} - 46483067699428818371225t^{11} - 4717727304622515684638t^{10} - 345093058732943754282t^{9} - 16271586307845726923t^{8} - 474554805451397383t^{7} - 9068696775406494t^{6} + 42915911956506t^{5} + 14351914702137t^{4} + 490844701769t^{3} + 8472033586t^{2} + 78605274t - 450432 \right)D^{7} + \left( 4t + 1 \right) \left( 25287837810776959833504774881280000000t^{38} + 99037794816527263410971263107072000000t^{37} + 168481469418299883096304173396787200000t^{36} + 122770517091469970210903692203786240000t^{35} - 10714486508854793138648813009633280000t^{34} - 92703086131178575866816645289888972800t^{33} - 70967888786673685298774505424050585600t^{32} - 17643613382204410563399647471811379200t^{31} + 7834730045830586742929026161655930880t^{30} + 8698429759720293019523932374484684800t^{29} + 4038599330437951340704103039202460160t^{28} + 1283287254433986553883894267661744640t^{27} + 323394164604103954976073064174762880t^{26} + 70574550881096729785210324458310016t^{25} + 14559105239000788622439414161844000t^{24} + 3161423998148040829379868969972448t^{23} + 743274773826560446489460233829808t^{22} + 170120791350372034151146015772928t^{21} + 33748519169654909393260260021832t^{20} + 5470571511438863340058906089472t^{19} + 711268218268500113352100601442t^{18} + 74393254428309402386621502570t^{17} + 6564921943565245906211069507t^{16} + 656025722438309105386238149t^{15} + 112949642370681947709174704t^{14} + 22136527020517058817519770t^{13} + 3369694582654542120989699t^{12} + 384796675161382844381899t^{11} + 33440293316082732031630t^{10} + 2102719932634277180818t^{9} + 87868872866326609921t^{8} + 2335063897628752627t^{7} + 41508470212007114t^{6} - 2967734212028t^{5} - 43319274270179t^{4} - 1437146218071t^{3} - 23071161414t^{2} - 186020358t + 975936 \right)D^{6} + \left( 696820419674742893189909352284160000000t^{39} + 3012405472520670328402867491176448000000t^{38} + 5848131751718462710092342758473728000000t^{37} + 5679733775164812866323951314177884160000t^{36} + 1983525267079357380139761832215183360000t^{35} - 1516892675227839858370113434810659635200t^{34} - 2105623105092049112200009409143799808000t^{33} - 952326483641934287208933864696081612800t^{32} - 47035434546202099458450504137384017920t^{31} + 172827080159753858105424433602301173760t^{30} + 110776910167250247980754404985939742720t^{29} + 41373425250865759253852152392429176320t^{28} + 11506666704941957865116127838149585920t^{27} + 2644744419886347442923299891806727936t^{26} + 554271375602648769704030604452612352t^{25} + 122461209885901032884391532805557088t^{24} + 30557179492110050730939330922418528t^{23} + 7589683782955656615173454621133008t^{22} + 1628452684114764194647620083755200t^{21} + 284986567444658897768109252461056t^{20} + 40042730078279890889114344835184t^{19} + 4434379462380535018760934061066t^{18} + 365137912671510840519648038130t^{17} + 17007344336723091871646323861t^{16} - 1087988197040632420839025353t^{15} - 461850619351281023153252454t^{14} - 84783498308547116869670492t^{13} - 11176223072948281339417859t^{12} - 1125969005003814574434195t^{11} - 86927556371337038821666t^{10} - 4868307602891644623766t^{9} - 182667598088776781325t^{8} - 4457823406551605959t^{7} - 79219688088340232t^{6} - 602211981969450t^{5} + 40948485923503t^{4} + 1582853197223t^{3} + 25323834530t^{2} + 181440150t - 900864 \right)D^{5} + 2 \left( 1430167716187274728361547823841280000000t^{39} + 6364832457232459500563995343978496000000t^{38} + 12872016342837747940888372631096524800000t^{37} + 13527102945331969875591678849110507520000t^{36} + 6355290057944768060252644579757260800000t^{35} - 1479793823136931486245291732898539110400t^{34} - 3767570259961140195881331610092065587200t^{33} - 2107522393769504676511369583371607040000t^{32} - 419408130596441796872003663216318504960t^{31} + 131525128976413369418732773487577057280t^{30} + 126588656499477599487310444646318795520t^{29} + 50799593426600229246896415420554887680t^{28} + 14186257069373941209758494779357893760t^{27} + 3145228685535688468985702164580953408t^{26} + 637924632692467831757228960343510784t^{25} + 153524235309684635050964761912190144t^{24} + 45755017995319204006256906384045872t^{23} + 12941336303584925207584466799645792t^{22} + 2980290696699275692932590068314520t^{21} + 544922374000518571662705744139292t^{20} + 79532088240096894934192463852956t^{19} + 9274680360310582751291390449880t^{18} + 860655435014416063267631871021t^{17} + 64408204326181637934834326231t^{16} + 4341146278703258340302439975t^{15} + 359530158402505906593476050t^{14} + 40896212484545052197320229t^{13} + 4649962756869146883485726t^{12} + 439194246473309790736283t^{11} + 32738469939327740976597t^{10} + 1787985656130925003544t^{9} + 65190509983531763860t^{8} + 1555009424867068081t^{7} + 30260195146574198t^{6} + 527352852392358t^{5} + 118404743641t^{4} - 239645378541t^{3} - 4697672675t^{2} - 31831050t + 150144 \right)D^{4} + 2 t \left( 3568394891076304332061229344358400000000t^{38} + 16246528240077243234836760773001216000000t^{37} + 33857589200920546287359868087985766400000t^{36} + 37471437926729861486719502865460101120000t^{35} + 20282728558415638659148625753678807040000t^{34} - 760226028439984686972001148114462310400t^{33} - 8706398938515695942054692395963521433600t^{32} - 5866886432713626562743098985268150681600t^{31} - 1822925206725005717096006124304268451840t^{30} - 144509598377933837830707649832944353280t^{29} + 118713813259416323755405476015224819200t^{28} + 63617451907965889835526571304525812480t^{27} + 18451674638140552172674205677597322240t^{26} + 3748194431394990339494477529299672192t^{25} + 677673734909230060037629269403646784t^{24} + 198272749704172936551231585176612224t^{23} + 79573882886437879380183528743954880t^{22} + 25839267594237468120497498260963424t^{21} + 6211422885181829755212218327942616t^{20} + 1139245343910186877220789454447136t^{19} + 163432878755432180974874918887748t^{18} + 18413368520587382776863159361236t^{17} + 1618259235658730864730122469008t^{16} + 110601208324390691410948069050t^{15} + 5892818429621877315152438445t^{14} + 234286588164938930203303973t^{13} + 4767349856886106790432818t^{12} - 198590433154780297862566t^{11} - 25869574972780000163716t^{10} - 1622239631200451416434t^{9} - 86001329130189160382t^{8} - 3778631253846257368t^{7} - 115825130958349857t^{6} - 2838310870298453t^{5} - 80463717250556t^{4} - 1828312567508t^{3} - 19100540556t^{2} - 14213274t - 44064 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 2631273113157352868178332819128320000000t^{37} + 12194618317602479204701310495490048000000t^{36} + 25986797975103088413928246195047628800000t^{35} + 29803406053605473557996497606207733760000t^{34} + 17489510171214497715682445790401003520000t^{33} + 1009484606830974521729480428750113996800t^{32} - 6201434026130356086611002947240543027200t^{31} - 4820003846410758337423588788641273958400t^{30} - 1855986578097227283286128143651574292480t^{29} - 392960095096040879744880535998541982720t^{28} - 25006543942889037406005150549550314880t^{27} + 12241375754291489967539775491999952000t^{26} + 4355263285075962524292640036099412800t^{25} + 451382893940542499594921044391679744t^{24} - 42802663065509260031261173937076064t^{23} + 32255994145067798125481182991670560t^{22} + 37463393102461132344721497079502328t^{21} + 15401345219560128193121177731876104t^{20} + 3978671251984257784748014816235396t^{19} + 746309941482314134312910727746628t^{18} + 107033498840595612162660384663340t^{17} + 11848809181643065418775439154048t^{16} + 1005533995454136941743061269426t^{15} + 65077736688554631266616215590t^{14} + 3201265985980881984149367008t^{13} + 111030696828096689556592036t^{12} + 955324077594775226610735t^{11} - 256112708924419878679893t^{10} - 27859540712569016607261t^{9} - 1909736247684876809529t^{8} - 95041885590538828353t^{7} - 3170311340764555173t^{6} - 68872955791099613t^{5} - 1379300258251669t^{4} - 39171806489118t^{3} - 828124795878t^{2} - 6492244008t - 2402304 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 521411132003163028947979405885440000000t^{36} + 2449839703660335588070415303442432000000t^{35} + 5308147586654376346808075248730112000000t^{34} + 6242803000206112894956094630144573440000t^{33} + 3853255238329609496935678680992317440000t^{32} + 427725991428709753233515115726476083200t^{31} - 1216611381496232586389292280845023232000t^{30} - 1048037199281063186777882202381538867200t^{29} - 453979388972745127945281847363829268480t^{28} - 123439169546721413216399240459033090560t^{27} - 22099922919070940573972562371665601600t^{26} - 2720073602404727039171910914172675520t^{25} - 518590538715989674646833649721937440t^{24} - 269526780809766322193695624120681536t^{23} - 96451460315055696026747596410797232t^{22} - 12530219911910935656573769686411376t^{21} + 3926484104409501912457028289900772t^{20} + 2475543387596610492685666416821260t^{19} + 699884280156649863338129665404882t^{18} + 134983158411511674852174803032142t^{17} + 19417551734851894328289701412108t^{16} + 2116726230747616794394969873652t^{15} + 173180951340188967779315820444t^{14} + 10460714685107019486647111328t^{13} + 452862764380961872713739574t^{12} + 11892859773079868006568166t^{11} - 169029228671087692142549t^{10} - 54501006973309812254469t^{9} - 5162259937458987278179t^{8} - 353447471601505590619t^{7} - 17479297065808640129t^{6} - 548114027708841213t^{5} - 10498225165494145t^{4} - 179820687789645t^{3} - 4645173435250t^{2} - 92003725394t - 518242992 \right)D + 192 t ^{3} \left( 14048798783764977685280430489600000000t^{36} + 66688712278250800237248412385280000000t^{35} + 146260098479513243591232037847040000000t^{34} + 175081467026281205386619977841049600000t^{33} + 111661747465503527113032771914956800000t^{32} + 15957052934307867280452732085690368000t^{31} - 32834980581460041187754803844462592000t^{30} - 30369669265183448111223197038116403200t^{29} - 14090870943717092508800691590548684800t^{28} - 4273434303108433966020934467740930560t^{27} - 941632121090336146625814585934521920t^{26} - 175592529495567488248559721898663360t^{25} - 41767107514144441766167186723228000t^{24} - 14744876799207254848468792390901120t^{23} - 4495535144518600583074992090797296t^{22} - 751906083406782641424298659332752t^{21} + 29911160310019096240502748943204t^{20} + 54662162295984841543719323217964t^{19} + 17122252642569821462249662859574t^{18} + 3400469791706676500791512089546t^{17} + 491590214851161348460809315044t^{16} + 52930729210790338052920076584t^{15} + 4184599500526268613859987581t^{14} + 234042819347081084512886045t^{13} + 8337697638961835212500927t^{12} + 76336861349748264850283t^{11} - 15982213640616591878699t^{10} - 1820610703731535742559t^{9} - 140562835911670900743t^{8} - 8850233371969994055t^{7} - 419991214402709262t^{6} - 12763196562469866t^{5} - 237862118132694t^{4} - 3839602318434t^{3} - 85018756860t^{2} - 1507696476t - 5574096 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁴P4

Show multiplicities

Sector dimension: 16
Spectral radius: $12.9148198$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$12.91482$	1	1
$-0.8801913 - 5.341209\mathrm{i}$	1	1
$-0.8801913 + 5.341209\mathrm{i}$	1	1
$-5$	2	1, 1
$-1 - 4\mathrm{i}$	1	1
$-1 + 4\mathrm{i}$	1	1
$-4$	5	1, 1, 1, 2
$4$	2	1, 1
$0.8455628$	1	1
$0$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 4\right)^{5} \left(\lambda + 5\right)^{2} \left(\lambda - 4\right)^{2} \left(\lambda^{2} + 2 \lambda + 17\right) \left(\lambda^{4} - 12 \lambda^{3} + 16 \lambda^{2} - 384 \lambda + 320\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda + 5\right) \left(\lambda - 4\right) \left(\lambda^{2} + 2 \lambda + 17\right) \left(\lambda^{4} - 12 \lambda^{3} + 16 \lambda^{2} - 384 \lambda + 320\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 2 & 4 & 8 & 0 & 6 & 6 & 6 & 6 & 24 & 16 & 16 & 32 & 32 & 40 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 0 & 4 & 6 & 6 & 18 & 6 & 16 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 8 & 4 & 6 & 6 & 6 & 18 & 16 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 4 & 6 & 0 & 6 & 6 & 16 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 0 & -2 & -2 & 0 & -2 & 0 & -4 & 0 & 8 & 4 & 4 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 & 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 4 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -1 & 2 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 1 & -2 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta