Family 3-120-31-a

No geometric description is recorded for this family (yet).

ℙ¹P1 × ℙ³P3 × ℙ⁴P4 · 13040.Cw9w9w0 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ³P3 × ℙ⁴P4
Bundle: $E^{2 ω_{5}} \oplus (E^{ω_{2} + ω_{5}})^{\oplus 2} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2}}$ E^(2w5) + 2 copies of E^(w2 + w5) + E^(w1 + w2)
Bundle: $O_{3} (2) \oplus (O_{2} (1) ⊠ O_{3} (1))^{\oplus 2} \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1)$ O_3(2) + 2 copies of O_2(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label: 13040.Cw9w9w0

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;4) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	31
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	120
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-15

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	120
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	120
$\mathrm{c}_2^2$	=	116
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	36
$\mathrm{c}_4$	=	24

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		0		16		0		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 15	0	x₀ + 15	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 23	0	0	x₁ + 14	9
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 31	0	0	0	0	31
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 26t + 66t^{2} + 26t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(587)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(612)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3t + 1 \right) \left( 4t + 1 \right) ^{4} \left( 64t^{2} + 16t - 1 \right) \left( 1472t^{4} + 576t^{3} + 32t^{2} - 4t - 1 \right) \left( 8871368282229494652076032t^{24} + 19992100982625991290519552t^{23} + 5546824536401516221693952t^{22} - 35025622153935083265327104t^{21} - 66563084081518251986255872t^{20} - 66235348028956680224669696t^{19} - 44521178752934165725356032t^{18} - 22000836190658715995375616t^{17} - 8322974273729302041170432t^{16} - 2462747894596650378387456t^{15} - 576031453667301284363584t^{14} - 106752315550795464693616t^{13} - 15584644800161080047376t^{12} - 1762669851889985348920t^{11} - 148962604997925717300t^{10} - 8628492747297700308t^{9} - 247276020260502660t^{8} + 8061913627076612t^{7} + 1321422107714266t^{6} + 75853708719428t^{5} + 2681823397286t^{4} + 58683965016t^{3} + 583236318t^{2} + 2945385t - 6000 \right)D^{8} + \left( 4t + 1 \right) ^{3} \left( 300871390727619443585800376156160t^{32} + 965310310707640813680259497984000t^{31} + 896824487974572345753289504063488t^{30} - 947089757676078758072124316844032t^{29} - 3686543924132213859084754019680256t^{28} - 5323817429860298993992153838911488t^{27} - 4984016181601305075913579726635008t^{26} - 3425726573115969344869330562580480t^{25} - 1824455944923737291575097219350528t^{24} - 775118511472517835203524556226560t^{23} - 267221059646558886447779073622016t^{22} - 75489959921835719502135291805696t^{21} - 17553561685262025777208037212160t^{20} - 3358918080974806163608514441216t^{19} - 526064244960085230685815530496t^{18} - 66578031405026722239260170240t^{17} - 6629598664500527288775637760t^{16} - 487381232210005095407337216t^{15} - 20987940887624380159330288t^{14} + 458377759194268189764048t^{13} + 193629077357584866853400t^{12} + 22396418927044819433776t^{11} + 1743689856796340914940t^{10} + 92846634138524019756t^{9} + 2306055937361089124t^{8} - 106692100921356712t^{7} - 14071610678226452t^{6} - 732799528731732t^{5} - 23993753995652t^{4} - 498846535620t^{3} - 4498841139t^{2} - 20905695t + 36000 \right)D^{7} + \left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 15163918092672019956724338958270464t^{33} + 49083171980869324195209198748827648t^{32} + 45287004393325256345963006332502016t^{31} - 53145335494758861864893594571112448t^{30} - 203543867571670711072591795082756096t^{29} - 298870241046990184928326670444658688t^{28} - 286388649590613984409876168687222784t^{27} - 202429419272622290871925134883553280t^{26} - 111379913135656583945469910906306560t^{25} - 49138975747637229409808450775941120t^{24} - 17697753080730105925658700315492352t^{23} - 5260860588239016515876667118911488t^{22} - 1298721753764440506566367171715072t^{21} - 266847706666030824264533804507136t^{20} - 45566921406654575323024276461568t^{19} - 6430833461631039528198728364800t^{18} - 742349739105458296518314047744t^{17} - 68975493216726899387330818368t^{16} - 5056597499537822089657894112t^{15} - 291540975496625532028465904t^{14} - 14974500066560604486434928t^{13} - 1038475423720285512373616t^{12} - 102348428612194667532280t^{11} - 8913946894164983762556t^{10} - 535015297592667299052t^{9} - 17560316218205788000t^{8} + 117157881850754772t^{7} + 45151697258019744t^{6} + 2459683709596592t^{5} + 77010428461220t^{4} + 1490912952984t^{3} + 12170374917t^{2} + 50331345t - 78000 \right)D^{6} + \left( 4t + 1 \right) \left( 417850187442517883251959562405675008t^{34} + 1381912652312649631367874995237683200t^{33} + 1311173448630499653342726749216047104t^{32} - 1540456984575312582740223009514061824t^{31} - 6111276878790086225860663838844649472t^{30} - 9245598670295724433726754975280791552t^{29} - 9143244837264025010797554071358144512t^{28} - 6686987585457334969397376659855769600t^{27} - 3818747030221313195101030023253983232t^{26} - 1754889457614338400284818237510647808t^{25} - 661048254229148443215051462439075840t^{24} - 206497759368003231738133224208990208t^{23} - 53864146407874603441643933865705472t^{22} - 11769532459976051422409727696707584t^{21} - 2153419886865395031952896284880896t^{20} - 328471496497370183283760535943168t^{19} - 41354534399866658152833453671680t^{18} - 4213153674719994777012114697728t^{17} - 332965584495550247546405969984t^{16} - 18146342702498187868834541600t^{15} - 321436602291902370715878032t^{14} + 62714784455052443234100544t^{13} + 9229774048576655970454696t^{12} + 782070026430528546624168t^{11} + 48632870959059510412364t^{10} + 2241851061722595657908t^{9} + 67728930417459190276t^{8} + 613930827252158612t^{7} - 54715375902324544t^{6} - 3225232759036608t^{5} - 97075371751544t^{4} - 1779669616440t^{3} - 13352449557t^{2} - 49880745t + 72000 \right)D^{5} + 2 \left( 3430415248520025847987861568782073856t^{35} + 11710527356443915678568290736601563136t^{34} + 11743519727550654283992598186813292544t^{33} - 12681669961660172459478696473600720896t^{32} - 54414140460957948967918856213272461312t^{31} - 85737064506255561478356421650958778368t^{30} - 88091994033343843414729195852239208448t^{29} - 67006675131684636238655979420561440768t^{28} - 39883149980593686450641377947994292224t^{27} - 19155908490872193323979264269779730432t^{26} - 7566599366862915078350687501859946496t^{25} - 2488061192743772326886645538973024256t^{24} - 686213956547421558392901806670659584t^{23} - 159373537704115717363642401536569344t^{22} - 31192342496819988743592350673442816t^{21} - 5130790958216455126963412502713856t^{20} - 704340427180225614872797868120704t^{19} - 79612129075314112252842150311040t^{18} - 7222949146339430166940759965632t^{17} - 498399169762990551690050904544t^{16} - 22389649258954826885696188496t^{15} - 140535148232660949342079568t^{14} + 78058093436592991021911880t^{13} + 7795912279045466888361084t^{12} + 435745744084562481863894t^{11} + 15235359792426592277278t^{10} + 277526156197945894126t^{9} + 170954419372407912t^{8} + 45528466530177385t^{7} + 13387071400696305t^{6} + 684142400040457t^{5} + 19512869893339t^{4} + 356865233181t^{3} + 2577023127t^{2} + 8720655t - 12000 \right)D^{4} + 4 t \left( 4279594661709658965564424550445219840t^{34} + 14127915198158102312707897848621957120t^{33} + 12881559751767984545840708216665669632t^{32} - 18306622704615274125829767098861092864t^{31} - 68656463742717669265019993651851296768t^{30} - 104117941497257679608097749444411260928t^{29} - 104149245282159300430035631605817540608t^{28} - 77378259000805305675209705246911627264t^{27} - 45033418773150023208990741405483663360t^{26} - 21153017538914606293911739603415465984t^{25} - 8168982939680125869335687833905790976t^{24} - 2624537771074303473410354871842963456t^{23} - 706583857101433238794003182589018112t^{22} - 159975643442370682839209321350213632t^{21} - 30465222532657989955214353150611456t^{20} - 4862608904954683906868485657182208t^{19} - 644969824052964143649033821983616t^{18} - 69918922435433398552377488160000t^{17} - 5993059111557056532808254569600t^{16} - 375287789425989396078827707760t^{15} - 12632810329796906340795744728t^{14} + 480673863049963884363000328t^{13} + 112451035789936310141909860t^{12} + 9829387930907606883175064t^{11} + 581162555197134011179394t^{10} + 25497899889978085680554t^{9} + 842472176125608225156t^{8} + 20715192660718022346t^{7} + 378269792486712249t^{6} + 5343205600874349t^{5} + 59924992834421t^{4} + 609191880751t^{3} + 3249435513t^{2} - 1214982t + 3600 \right)D^{3} + 16 t ^{2} \left( 1577849805346497060682226719329878016t^{33} + 5072499532724336730297144839661158400t^{32} + 4257387276907080691009421445898960896t^{31} - 7420963571858095825807738479656828928t^{30} - 25485793413083112101566030661866749952t^{29} - 37562391540353780640398109683950288896t^{28} - 36805355335127634194720171075815079936t^{27} - 26844767452142006931375711801808257024t^{26} - 15347346627743267005392716807618428928t^{25} - 7081315420592743732809245710319353856t^{24} - 2685198329328224940176477127350091776t^{23} - 846501228450906342492826873589235712t^{22} - 223397611119748941439784230536878080t^{21} - 49513493652065940077482422300770816t^{20} - 9213253485262385203377858880380160t^{19} - 1432943465154405795429965077806272t^{18} - 184415101307046412452770754143664t^{17} - 19254258248367092259539337503728t^{16} - 1565181083861457958153227047768t^{15} - 88912713904709158015823066904t^{14} - 1986298360951043569025243384t^{13} + 241183129400988686456129552t^{12} + 36604439819576055883959044t^{11} + 2896191447147933435689948t^{10} + 162098401107209622264894t^{9} + 6818302835998604620614t^{8} + 216034016366125066948t^{7} + 5042864872132105242t^{6} + 85328791468006817t^{5} + 1074101079143153t^{4} + 10798210457598t^{3} + 113256509712t^{2} + 601858950t + 96000 \right)D^{2} + 32 t ^{3} \left( 625331098488284251548727501802962944t^{32} + 1969812217819978817380206665118253056t^{31} + 1542668281833907212600298297928712192t^{30} - 3135457596802046333018383974005735424t^{29} - 10146156287207819399131362833614241792t^{28} - 14643212479922130383884915230766006272t^{27} - 14126356099452657952206541194690297856t^{26} - 10159139177437525466877030990262304768t^{25} - 5728704322324554095819526486424027136t^{24} - 2606737231318512833628541809113563136t^{23} - 974377648526460506187671637086896128t^{22} - 302586861160308815356259651265961984t^{21} - 78589574620985250664166227291797504t^{20} - 17120640093236000973001085514674688t^{19} - 3125698936867369229608048327234048t^{18} - 475738769238663124754718680614848t^{17} - 59668785279907956202045897712944t^{16} - 6026693684022088681572499261168t^{15} - 466307957346476447323340895384t^{14} - 23907718320474696058726227968t^{13} - 225588741221742043392008548t^{12} + 103466586274968532725254484t^{11} + 12831176877954843608454116t^{10} + 946516031857910720305520t^{9} + 50631514571523858131866t^{8} + 2047953225385369100698t^{7} + 62265493168747617022t^{6} + 1383586706539812062t^{5} + 21905441147333272t^{4} + 246235897250988t^{3} + 2051529503439t^{2} + 17851702557t + 83504880 \right)D + 768 t ^{3} \left( 8424398940373344420402410532372480t^{32} + 26141889337263331678827565516062720t^{31} + 19379671324321210507735597307658240t^{30} - 44115801423289365822281454565982208t^{29} - 137125844739780931278003291509751808t^{28} - 194951408736206643832725805146832896t^{27} - 185950145722956231154736179517063168t^{26} - 132349022039892005905848297072361472t^{25} - 73873476364574292156460865872986112t^{24} - 33266907902871805868083126405201920t^{23} - 12301067981059937933101823925321728t^{22} - 3776583099869026192739794189670400t^{21} - 968914649045288644191199699562496t^{20} - 208267498370725266078160632722432t^{19} - 37457788852997777884915617685184t^{18} - 5603225371354796424812395473408t^{17} - 688091415521459929072503997504t^{16} - 67572240862787374887580956592t^{15} - 5001196446415047585275761704t^{14} - 230672276500017406510693280t^{13} + 1212915918854243035099662t^{12} + 1422712710764588314161930t^{11} + 156771540154534854356480t^{10} + 10997293559733108286270t^{9} + 567774498318724457531t^{8} + 22226450613637415485t^{7} + 652238729494820862t^{6} + 13932145790934540t^{5} + 211860659767221t^{4} + 2273336002281t^{3} + 17554818585t^{2} + 115019025t + 384750 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ³P3 × ℙ⁴P4

Show multiplicities

Sector dimension: 13
Spectral radius: $19.3137085$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$19.31371$	1	1
$8.91482$	1	1
$-4.880191 - 5.341209\mathrm{i}$	1	1
$-4.880191 + 5.341209\mathrm{i}$	1	1
$-4$	5	1, 1, 1, 2
$-3.313708$	1	1
$-3.154437$	1	1
$-3$	1	1
$0$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right)^{5} \left(\lambda^{2} - 16 \lambda - 64\right) \left(\lambda^{4} + 4 \lambda^{3} - 32 \lambda^{2} - 576 \lambda - 1472\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda^{2} - 16 \lambda - 64\right) \left(\lambda^{4} + 4 \lambda^{3} - 32 \lambda^{2} - 576 \lambda - 1472\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 14 & 16 & 18 & 18 & 102 & 48 & 84 & 128 & 48 & 368 & 480 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 12 & 16 & 12 & 12 & 4 & 84 & 30 & 78 & 256 \\ 1 & 1 & -1 & 4 & 0 & 0 & 12 & 4 & 12 & 12 & 6 & 54 & 64 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 4 & 2 & 22 & 12 & 16 & 30 & 12 & 84 & 96 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 12 & 4 & 4 & 48 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 2 & 0 & 20 & 8 & 16 & 60 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 4 & 0 & 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 4 & -1 & 2 & 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & -2 & 4 & 2 & 10 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} & -\frac{7}{2} & -\frac{1}{2} & -4 & 4 & -18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta