Family 3-120-31-d

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case K3-48 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 4) · 132.2x4000 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 4)
Bundle: $E^{ω_{3}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2} + ω_{3}}$ E^(w3) + E^(w1 + w2 + w3)
Bundle: $O_{2} (0, 1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1, 1)$ O_2(0,1) + O_1(1) box O_2(1,1)
ZL62 label: 132.2x4000

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2,3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1,2) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	31
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	120
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-18

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	120
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	120
$\mathrm{c}_2^2$	=	120
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	32
$\mathrm{c}_4$	=	32

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		1		22		1		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 18	0	x₀ + 18	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 19	0	0	x₁ + 9	10
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 32	0	0	1	0	31
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 26t + 66t^{2} + 26t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(555)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3t + 1 \right) ^{4} \left( 97t^{4} - 184t^{3} + 6t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 2207t^{4} + 1280t^{3} + 202t^{2} + 4t - 1 \right) \left( 123705078464493909052679803t^{21} + 383149521535688855244400912t^{20} + 572903255327067709850372998t^{19} + 561886848024100476710968130t^{18} + 406813373196311411705823167t^{17} + 226298799637902239106666372t^{16} + 96657231788712794539019122t^{15} + 31107259255169183094180850t^{14} + 7317381054898093888811996t^{13} + 1191957756949653650306032t^{12} + 116919825046780937058870t^{11} + 2601743230593316919096t^{10} - 1042753209491020975413t^{9} - 164124980588859868740t^{8} - 11875415674224051718t^{7} - 420265695980579418t^{6} - 2762973059410533t^{5} + 187269018777024t^{4} + 275929103152t^{3} + 38122273590t^{2} - 923694900t + 4714200 \right)D^{8} + 2 \left( 3t + 1 \right) ^{3} \left( 1430063612600421144028786535507598t^{30} + 3247756740022350931471279085578754t^{29} + 1682390675982455673572001138845514t^{28} - 3257209325133770357883733372775415t^{27} - 7609580813868765614893344010243647t^{26} - 8666091174715916471249783660087874t^{25} - 6847934222540078639624759611183872t^{24} - 4064915625737722511393979519559293t^{23} - 1843699807305472623394153828338375t^{22} - 633773880365799176208609065623410t^{21} - 160375918506668303108096888178268t^{20} - 27744447588685279363078357024015t^{19} - 2497971890500593364742126470465t^{18} + 151623603435191824364802695784t^{17} + 85806395491290612425601462524t^{16} + 12335480586333072277276298388t^{15} + 633541524908384088026388754t^{14} - 58214944203693114191905846t^{13} - 12708362458329616589755218t^{12} - 1073294042930422927486187t^{11} - 82371435665396016809739t^{10} - 10307315845386705958202t^{9} - 1159728990196023565672t^{8} - 78672606178894113071t^{7} - 2685854646258531809t^{6} - 17438600993550994t^{5} + 1023887556174684t^{4} + 678727350665t^{3} + 185133095955t^{2} - 3758421300t + 16499700 \right)D^{7} + 2 \left( 3t + 1 \right) ^{2} \left( 65067894373319162053309787365595709t^{31} + 178126980195242765522343715975889142t^{30} + 177303687691669869660555775548836117t^{29} + 7360676409167582748369395713395069t^{28} - 198895006978423095330144564481940563t^{27} - 302898736297897165287165457273069405t^{26} - 279372116699928341069210734384266094t^{25} - 187301338879548766532273104095469064t^{24} - 95575947835636422714309649414291450t^{23} - 37495601429610897167219743439188066t^{22} - 11248105275872626424033087119311661t^{21} - 2529691311672052294513641057502951t^{20} - 406903269362835309172299542489377t^{19} - 40999014405082843720975134738418t^{18} - 1118853041589070114849181295236t^{17} + 343603805007222789979836827234t^{16} + 47500275619540859738363472852t^{15} - 536491951518673403972291335t^{14} - 929351590426448607524281135t^{13} - 141391546773577394649055671t^{12} - 10839085986097979483822298t^{11} - 220219775290855291810252t^{10} + 50251656467237080346958t^{9} + 6629900045924052089210t^{8} + 408112335728204856549t^{7} + 12799699822295976731t^{6} + 88964846320775523t^{5} - 4210565870802759t^{4} - 1932668485838t^{3} - 524900380365t^{2} + 10054981800t - 40070700 \right)D^{6} + 2 \left( 3t + 1 \right) \left( 1621692136688877577328643931265616132t^{32} + 5161087343537826435520176429702420372t^{31} + 6945674352711262434717167197308663822t^{30} + 4343219605243613696988713016246764933t^{29} - 673720969655033571596172331778680053t^{28} - 4530744878368906256289653304980733185t^{27} - 5554212167085672501699570243745637070t^{26} - 4378539907356061326859837871630101064t^{25} - 2540100559409582790489701477903130366t^{24} - 1125236841851147982348974002015223684t^{23} - 384126971415740497180420110428389913t^{22} - 100503331637605383333158816920441633t^{21} - 19712939975116477156040119417777130t^{20} - 2734021507427746976981509134929340t^{19} - 219680679747498578231694608725339t^{18} + 3043357439426193424813323480440t^{17} + 3752407446235841911823449286089t^{16} + 591482405740051348737273603155t^{15} + 56796396592813107761477331342t^{14} + 4187154047120936252007878307t^{13} + 295423957859962725176943936t^{12} + 19370487808315928908872284t^{11} + 481818535390210173275764t^{10} - 93941717801059135398016t^{9} - 13561015778088305902351t^{8} - 850472057312904847675t^{7} - 26353271051146485911t^{6} - 198025861326638239t^{5} + 7276608484827219t^{4} + 12012883376633t^{3} + 478990330665t^{2} - 10473879000t + 40070700 \right)D^{5} + \left( 48155247058900281393453343403415101253t^{33} + 173760264416151018308398741824439451700t^{32} + 282780253698134082349121470969411034736t^{31} + 264344591838440045811979596672950270436t^{30} + 131643102076484788916737873345515001408t^{29} - 15265885317010762224449545174572558312t^{28} - 98273763746529527996073808049919191216t^{27} - 106485462867166049677383774191614159658t^{26} - 73945407179672689826311534132164476410t^{25} - 37699427515324182222083316117875517676t^{24} - 14663505288135285311070559110515934914t^{23} - 4392325598312015497989778021416806342t^{22} - 1004904750834375496720950971387787289t^{21} - 170031310724918918975008776202784278t^{20} - 19327037260500817003479581925755110t^{19} - 906616419229130372785626196780534t^{18} + 148698770184705887568369293766623t^{17} + 40303342670092907357538526991934t^{16} + 4983107579146371242146689491594t^{15} + 379442193610788137594364012538t^{14} + 16302059373054662547364144156t^{13} + 54513058927928129223171482t^{12} - 37795138507948917257836898t^{11} - 1333849963340534388281608t^{10} + 151159950789316399411098t^{9} + 21499432964695683187642t^{8} + 1301721408692286184696t^{7} + 40228825418285575000t^{6} + 326685005815715469t^{5} - 9512039548626252t^{4} - 32696681330104t^{3} - 170579549640t^{2} + 7410513900t - 28285200 \right)D^{4} + 2 t \left( 72165300082655052191124654941319917874t^{32} + 265832081646395104321908560872808274576t^{31} + 453102170065997135703753934038619145232t^{30} + 469910077999355873059464481897797044298t^{29} + 314120660741425955862318385518338001344t^{28} + 109597785100456810040341016746829163840t^{27} - 32064102716993709158759558793223490381t^{26} - 79773544300187291080880108773552836666t^{25} - 66007642966345918657565982268717352956t^{24} - 36019856364133216288376857593220914168t^{23} - 14388698120055955366158852672780035471t^{22} - 4326527912104688079220376695644616460t^{21} - 976506165947233752464258611370218575t^{20} - 159617321663726835181581255918048292t^{19} - 16667582371706891130275421335370023t^{18} - 428644813317983609089153523495610t^{17} + 210390323010676301610052875444803t^{16} + 46177191583838029809612032901930t^{15} + 5445103239213278616840126256513t^{14} + 421422931051192592877487854390t^{13} + 21460642217360692955228592315t^{12} + 641242673972851140733007888t^{11} + 6317173960530413062671408t^{10} - 203115363962136884327140t^{9} - 8907768337433513241865t^{8} - 528070420695605549374t^{7} - 32971189045261142742t^{6} - 1416468613832982152t^{5} - 32668203889736176t^{4} + 248803800259920t^{3} + 3274063410968t^{2} - 9563854740t + 10214100 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 63346812815554555206471142770112314807t^{31} + 237140580010753360996157231373352289004t^{30} + 417263826943262722530299050462486960368t^{29} + 459978395624794299481013467496158950450t^{28} + 349118694252357821073794239320094131278t^{27} + 177840012164887399771029610632284035108t^{26} + 41712300353803419711486715206920902863t^{25} - 22387901081107662316812154936315195618t^{24} - 31644483120084682379136331717405863154t^{23} - 19827573428096816998474954071737891242t^{22} - 8355921356237445334864025559765889742t^{21} - 2558055392976215064451278968152058184t^{20} - 574772664936754080051670348830292003t^{19} - 91321847884477879950748891955061872t^{18} - 8741888498459768953543251411774809t^{17} - 17189658399662287277267892853952t^{16} + 157470494074948870107738925571833t^{15} + 30395340734086987394393443629670t^{14} + 3396403360368914831967428775415t^{13} + 252694390921743754956794617802t^{12} + 12386141023332357340432560720t^{11} + 352090748435616567436929204t^{10} + 2716932505972570449030062t^{9} - 184172017905774649523310t^{8} - 12618057341611316905074t^{7} - 800446457938270388788t^{6} - 35482295530714604833t^{5} - 912571275154861812t^{4} - 7156697510318039t^{3} + 180212701957140t^{2} + 374371453620t - 1451973600 \right)D^{2} + 16 t ^{2} \left( 14691758524050426623179738472537308053t^{31} + 55671539880336614798499675799703576064t^{30} + 100115544224163402479339716163299745004t^{29} + 114592381653078173620948323925681015428t^{28} + 92954831246712827708925355768870782897t^{27} + 54374376695218961934495373835077710780t^{26} + 20757915484534552545925582569415173986t^{25} + 2262782411181844753939066674141504942t^{24} - 3286323390746208218783932982212585728t^{23} - 2813095359353719657426190715725555586t^{22} - 1303704132372328137158059102335606691t^{21} - 413643802830489469925333716146036070t^{20} - 93563716058567131188957679063035229t^{19} - 14585659217583369834780548174229760t^{18} - 1287822467743270629538398737884188t^{17} + 29309844487775867079286063620502t^{16} + 30403575882838273663818606304831t^{15} + 5408950448078773335150278684904t^{14} + 579294714559435392881035176744t^{13} + 41517115329690934640851651366t^{12} + 1944253429505119383232537355t^{11} + 50808000997906529394016544t^{10} + 174309738173655884042550t^{9} - 38587006381085390378892t^{8} - 2515321689563815282384t^{7} - 149886438846643811934t^{6} - 5932876602987390909t^{5} - 125022433936962060t^{4} - 135871766220291t^{3} + 23487401722620t^{2} - 15233350800t - 65998800 \right)D + 480 t ^{3} \left( 180188015187653064147627103473957348t^{30} + 688656141737109805099504099709972664t^{29} + 1256335154904851123367417838745790024t^{28} + 1471580710629397448451159865961186388t^{27} + 1238876707022771057175916540278509658t^{26} + 773942603497261462746782513981198922t^{25} + 344081768048016079848389248339537790t^{24} + 87325944008761854912111520721063694t^{23} - 8301152469195636822808805192108361t^{22} - 20596652215328641223805257357061046t^{21} - 11129390745892292996742130032754261t^{20} - 3722925277845932088656687431659166t^{19} - 855908903590171359380130492830866t^{18} - 132133018043308922070034130317580t^{17} - 10890204024393941983238906769895t^{16} + 506174873573870343542563616418t^{15} + 315867844466226749283593565768t^{14} + 53331322816234114238549645406t^{13} + 5539044386774941401703486105t^{12} + 385490971259684724396770354t^{11} + 17368379441468815553140820t^{10} + 418353293035813427069342t^{9} - 603258482622872766551t^{8} - 445688800584626066896t^{7} - 27813562423947982091t^{6} - 1495143508487754444t^{5} - 51420588383117628t^{4} - 880817577867016t^{3} + 3451273824684t^{2} + 151717225680t - 297606960 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 4)

Show multiplicities

Sector dimension: 12
Spectral radius: $18.7495201$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$18.74952$	1	1
$-4.317785 - 5.017347\mathrm{i}$	1	1
$-4.317785 + 5.017347\mathrm{i}$	1	1
$-5.881764 - 2.196696\mathrm{i}$	1	1
$-5.881764 + 2.196696\mathrm{i}$	1	1
$4.094968$	1	1
$-3$	4	1, 1, 2
$-2.985993$	1	1
$0.5406026$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right)^{4} \left(\lambda^{4} + 4 \lambda^{3} + 6 \lambda^{2} - 184 \lambda + 97\right) \left(\lambda^{4} - 4 \lambda^{3} - 202 \lambda^{2} - 1280 \lambda - 2207\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right)^{2} \left(\lambda^{4} + 4 \lambda^{3} + 6 \lambda^{2} - 184 \lambda + 97\right) \left(\lambda^{4} - 4 \lambda^{3} - 202 \lambda^{2} - 1280 \lambda - 2207\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 12 & 12 & 30 & 30 & 27 & 45 & 76 & 108 & 124 & 280 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 10 & 10 & 4 & 10 & 21 & 33 & 27 & 72 \\ 1 & 1 & -1 & 3 & 2 & 6 & 4 & 6 & 6 & 18 & 18 & 48 \\ 1 & 1 & 2 & -1 & 4 & 2 & 6 & 10 & 18 & 24 & 30 & 56 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 3 & 1 & 0 & 2 & 6 & 2 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 0 & 1 & 6 & 8 & 8 & 18 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 & 3 & -1 & 3 & 2 & 6 & 10 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & -1 & 4 & 2 & 6 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & \frac{7}{5} & -\frac{4}{5} & -\frac{8}{5} & \frac{11}{5} & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & -\frac{3}{10} & \frac{8}{5} & \frac{17}{10} & -\frac{7}{5} & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 2 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta