Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-130-33-d

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ2P2 × Gr(2, 5)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
3 copies of E^(w5) + E^(w2 + w5) + E^(w1 + w2)
Bundle
3 copies of O_3(1) + O_2(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
12041.444w8w0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 33
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 130
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -11

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 130
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 124
$\mathrm{c}_2^2$ = 110
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 44
$\mathrm{c}_4$ = 20
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 11 0 x0 + 11 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 25 0 0 x1 + 16 9
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 33 0 0 0 0 33
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 28t + 72t^{2} + 28t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(593)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t + 1 \right) \left( 5t + 1 \right) \left( 1910061t^{10} + 3121632t^{9} + 2269621t^{8} + 783342t^{7} + 206242t^{6} + 65952t^{5} + 12603t^{4} + 115t^{3} - 218t^{2} - 10t + 1 \right) \left( 1928987894815378337371465692126t^{29} + 7478758035896120213011010701362t^{28} + 13527619560912999035877146052291t^{27} + 14989907250475060439363888149083t^{26} + 11166162505668144003456261820062t^{25} + 5646417942939341936929283947479t^{24} + 1697109438388179018168233899290t^{23} - 3636673018264968277088116626t^{22} - 338235058976251834510195340992t^{21} - 226309578419456128342546795968t^{20} - 94800383534703637991041775954t^{19} - 29430960309410957152670959187t^{18} - 7118077644819768488343247042t^{17} - 1364614904551535327975163394t^{16} - 207794357614439100093444298t^{15} - 24880661360785147264764392t^{14} - 2279251659716106695647868t^{13} - 148810759187890091113057t^{12} - 5220002030554433863186t^{11} + 177287934368225334751t^{10} + 45073575363649225402t^{9} + 4119606815616232712t^{8} + 249176330835776726t^{7} + 9882042716088296t^{6} + 183411870754108t^{5} - 3076591423508t^{4} - 225837671349t^{3} - 3459247417t^{2} - 19024824t + 155142 \right)D^{8} + \left( 2652828874098448580969816974584873373920t^{41} + 15178579230901226343827197122663039575100t^{40} + 41587844628268729117062393312425465187774t^{39} + 72258814122048485827138356726926723079906t^{38} + 88851481422686867291174743692022379369451t^{37} + 81550590025566211378929699038968696438635t^{36} + 57129434592976672646706596220555148588818t^{35} + 30295221023490797553810955592452632887334t^{34} + 11309724978386074883402377680359779787181t^{33} + 1945651801187875701915476801074948639353t^{32} - 994575150805400041239059920832244382915t^{31} - 1158149878390165663463835270374985601446t^{30} - 673503326671163492490520756323537231679t^{29} - 290739558057317409546456206750171323541t^{28} - 102064415038438999793984126502913230059t^{27} - 30255324641068541627239574074640194944t^{26} - 7724769194946038538416404612836106045t^{25} - 1718628303709019933660361460723129257t^{24} - 335514302839244773863160635255754738t^{23} - 57685402529554855731061404239061249t^{22} - 8741033341853910361632465862030973t^{21} - 1163765946803577347069462418616070t^{20} - 134789508779942571034120182104024t^{19} - 13251164043698649088624689365552t^{18} - 1040275780009330622258601059811t^{17} - 53607520684077892713347570170t^{16} + 289370243895212905077530242t^{15} + 440298444866745796828099498t^{14} + 55823035592372554287808199t^{13} + 4162769179620079175598580t^{12} + 180307259581044108853736t^{11} + 452904802602444849990t^{10} - 638555814065230883694t^{9} - 60499726499943655644t^{8} - 3418281116931951711t^{7} - 123334440066403814t^{6} - 2024689110380959t^{5} + 36341852815852t^{4} + 2266422236073t^{3} + 30871772625t^{2} + 152353734t - 1085994 \right)D^{7} + \left( 40234571257159803478042224114537246171120t^{41} + 222048308327196088038739439729418360491052t^{40} + 585450368080016994791081100629541411998814t^{39} + 976453963098071556360189146841651366423198t^{38} + 1148602800759039681313912972252955572848885t^{37} + 1002445709481210461888472513609627529512507t^{36} + 659610041148065676599017578345516092551566t^{35} + 318904160055995562118366740232430408766258t^{34} + 97852738958785303012987425024960698360739t^{33} + 994069707812157361628470777576095050727t^{32} - 21664476681389460132294883864125322906937t^{31} - 16872325788098134103016790889858071180440t^{30} - 8516838521130414031493619469858833809947t^{29} - 3330864014319773641268614590550844862469t^{28} - 1068043382748995684279084597477435522721t^{27} - 288023578589111831875057410831592102348t^{26} - 66195983055437872229914312581235944249t^{25} - 13056577233298530984884830325623397583t^{24} - 2216371594641498209777232696294659308t^{23} - 323586707384120063867062062109424727t^{22} - 40480268498090690760613368621576435t^{21} - 4315460095667843266591510053503332t^{20} - 391729338134294746809677894900120t^{19} - 31090530463516715934457857399926t^{18} - 2399958835697883722718816581965t^{17} - 215541195387724927829519381238t^{16} - 22590266600138052236077420102t^{15} - 2220746805387812641041385494t^{14} - 168152419460154404492145783t^{13} - 7767381076232560966147898t^{12} + 39022968633943342563440t^{11} + 44839159233541793389370t^{10} + 4743706111059543211210t^{9} + 320511983843196747318t^{8} + 15615883098549298521t^{7} + 515380480735976624t^{6} + 8078719743953791t^{5} - 120727081671830t^{4} - 7476881816993t^{3} - 92999290015t^{2} - 397994454t + 2637414 \right)D^{6} + \left( 334256438136404521202196938797694045113920t^{41} + 1787873339332883434452820256182530234202776t^{40} + 4559950339895623607851092682904260066538082t^{39} + 7339814575850038610259740966925032641558908t^{38} + 8303841638090033865390932853877584235573779t^{37} + 6928279951593441878580959524523873094867009t^{36} + 4303190534929655131551916662381483778660230t^{35} + 1898120371196438162333751967865760352079076t^{34} + 453764523268217986603383391022492715020877t^{33} - 108357885668252888179339392013240740302949t^{32} - 192381153802157132349380079682177578210439t^{31} - 126135180765109449889305481486794613381512t^{30} - 58398762325289677497632682538762634899531t^{29} - 21363560791817568151190151088064089984277t^{28} - 6432260817839587931266400247908949301121t^{27} - 1623892230063453684748618634336831452596t^{26} - 346768891308632785610561479333477575829t^{25} - 62803654263132733892423992148050205337t^{24} - 9621026179945230234184022726387522266t^{23} - 1233807956777400847257843867646093779t^{22} - 128941247632701435127314777129405377t^{21} - 10152472352156705680200547829453150t^{20} - 411086194715710573994245363326728t^{19} + 39816912120281190623913318463678t^{18} + 12131886555682505029570390766913t^{17} + 1825333186255744602607511969612t^{16} + 207057073385678258987792669440t^{15} + 18894797866944181592948655814t^{14} + 1380474216624652117523069573t^{13} + 77280206696492204626300606t^{12} + 2938616469751137707601758t^{11} + 37750485637620998665272t^{10} - 4247089370976371659668t^{9} - 409599524780610960612t^{8} - 21473104010027984163t^{7} - 728804848485002240t^{6} - 12080010489496867t^{5} + 132663676504060t^{4} + 9196391972931t^{3} + 107499758991t^{2} + 413618790t - 2637414 \right)D^{5} + \left( 1654259872073224227616428368401550621420280t^{41} + 8615341377737056824488807060215412168172606t^{40} + 21361206918010951473527513981481347835692838t^{39} + 33352720134157514933665956425389668380521227t^{38} + 36479449962958464848986402179449882782641033t^{37} + 29247202867824832202404504011295505551038051t^{36} + 17224668740256240536553982875094610823491109t^{35} + 6923912620766539675708327999275642874330272t^{34} + 1154437159601473486411535857630480691087208t^{33} - 831862150663187094482801797638172068329013t^{32} - 940338083748357270101133183840258827024444t^{31} - 556067087785058190118772444470668242401299t^{30} - 242222867040566686733077307209001496034552t^{29} - 84350850526287003772638503985646097983213t^{28} - 24248362283481351803639224272816363223971t^{27} - 5839040836783248103980366940118180520736t^{26} - 1184922718341499574066666286460711601898t^{25} - 202697424594014861849208892275997948902t^{24} - 29074641152361862124071397497747879948t^{23} - 3451246925863047675570912295312796598t^{22} - 329524093019571602588589571302475092t^{21} - 23618996879337488378580906099684766t^{20} - 992610415030724512943345336759474t^{19} + 22041731665577388403418260926574t^{18} + 8018350839884998585896272931452t^{17} + 671605677692012333655447876390t^{16} + 13252707668736594488481908282t^{15} - 3862249503192327922932737763t^{14} - 612305442562667915543366811t^{13} - 54052548803039011393000361t^{12} - 3336547382656206353694769t^{11} - 148275606704044293366700t^{10} - 4373766506811460756388t^{9} - 43316093099905861569t^{8} + 3606103972793302866t^{7} + 224939290909329263t^{6} + 4977571957155196t^{5} - 38565116815523t^{4} - 3752555577449t^{3} - 42667302016t^{2} - 148010460t + 930852 \right)D^{4} + 2 t \left( 2479068582845000198916293962749564167928240t^{40} + 12626536744268807457438933445215951079683150t^{39} + 30577143696717953757805021678398563819476008t^{38} + 46536753383494662231351930016598188866754077t^{37} + 49456441515080597061277668873315476245974417t^{36} + 38299476859245132100273470777971147302643154t^{35} + 21491217984611391100251583654678664187619776t^{34} + 7865603320289554774356223206524011624014195t^{33} + 696595899814800231579359310310295234099133t^{32} - 1475147003898316540193847053338250635441008t^{31} - 1355554439334828563749267752985961455699793t^{30} - 747063829367407872190651350215205491859435t^{29} - 310783018020965610312672183098956805317373t^{28} - 104150416181774849717156803302802660395373t^{27} - 28882519384349936808653940613474294459900t^{26} - 6709959135141614307301372830901709292654t^{25} - 1312055987257860245554170933437371172465t^{24} - 215782236943413743658997406285291748135t^{23} - 29660277826985131602311472257166093470t^{22} - 3357794129748671514528333609362255568t^{21} - 303050677683971044372258409848566727t^{20} - 19984835963727131403602848368782548t^{19} - 638310976947395701301117404652728t^{18} + 53271620021647839005173636246205t^{17} + 11598844576399132353894355648695t^{16} + 1195061435971018028857272611869t^{15} + 83155264181954326316609006939t^{14} + 3491513651531059911875110898t^{13} - 23408284909090246270975328t^{12} - 18926046281408720823889237t^{11} - 1854884462504899557703307t^{10} - 111624481878742838842107t^{9} - 4583658421341446807169t^{8} - 124890852514170277122t^{7} - 1959102932528721519t^{6} - 9756285592206067t^{5} + 36045273270751t^{4} - 4853221200562t^{3} - 66725652702t^{2} + 257368536t - 393822 \right)D^{3} + 12 t ^{2} \left( 725376754453715602264996898856165700048440t^{39} + 3628385163812737632275461476617229019018674t^{38} + 8619987806275966643928922273177330850302158t^{37} + 12847557199205192905682855329074025995123291t^{36} + 13332175970812650390197399966504118647642835t^{35} + 10025646448766360396322673354743200521000278t^{34} + 5390232864083083175598782430641445914076546t^{33} + 1798248196276533352668764488056605818756338t^{32} + 9356830793819455754079977569856434992270t^{31} - 465639732268362101267586458407252072993083t^{30} - 379190871498341982571326434861715701280870t^{29} - 198627988556666460413847076321697250699562t^{28} - 79741729758515210838429736195407375313878t^{27} - 25920786610694498535547825666335575337193t^{26} - 6985001665701948020241078656029744581229t^{25} - 1577547567225547371048300048428517122738t^{24} - 299821889479893268307920181665111358172t^{23} - 47909054479356334198889061927378919848t^{22} - 6397933446847484620023682769877041142t^{21} - 704423924966048654602899740360565599t^{20} - 62088404485764082508489803480611697t^{19} - 4058308450066514951454179304847947t^{18} - 141979596776668805387727737981524t^{17} + 7250398365255841599053981210302t^{16} + 1783280040339716091810899847927t^{15} + 173613993274036217324574841048t^{14} + 9867887787652452550943634518t^{13} + 91724647291684853407282214t^{12} - 50398645274506669015641379t^{11} - 6514283398189585179365137t^{10} - 489767585054265918977623t^{9} - 25514426778969849399052t^{8} - 935173320263749665466t^{7} - 22835143777016400678t^{6} - 307513778335940642t^{5} - 298667562748964t^{4} + 40806028807048t^{3} - 231639690220t^{2} - 6875557520t + 17582760 \right)D^{2} + 72 t ^{2} \left( 112155709621606631673223928758838257641840t^{39} + 553191408305006116172663413083264845153202t^{38} + 1294744742899923339177119480842013711538684t^{37} + 1898299381410032905991997549105956130093381t^{36} + 1932961985705378166485067309469701374738973t^{35} + 1419331901663592650757317062675282532676207t^{34} + 736009046479656341381781334595989429766217t^{33} + 225010013155708729046961425790232627458621t^{32} - 17972574866770307646464512616916941922045t^{31} - 74595664946475208874264984241027643412283t^{30} - 56240510995932597896183763303769949876068t^{29} - 28390703004708349057591908159277098266483t^{28} - 11091254002255510245998330816606730278308t^{27} - 3520137256193704766362377758305874445642t^{26} - 927331671288548550442712206681377820935t^{25} - 204831640734002529206586610106863786041t^{24} - 38081965949047082700115910574060118587t^{23} - 5955402928736446652863701696446246926t^{22} - 779312715149003903806652690284487028t^{21} - 84334628883143990501994373318306527t^{20} - 7358763508720204875367589793864517t^{19} - 485624825356123840927825647373908t^{18} - 18967417568935589683767845703865t^{17} + 455005458202363783996215475539t^{16} + 158383546510394392112706118722t^{15} + 14842001683704627891100206682t^{14} + 620199827892959566008173386t^{13} - 34708306906616372105260417t^{12} - 8991228983397082906781613t^{11} - 911316453356614326308450t^{10} - 60946999308811972877125t^{9} - 2897125758345097089373t^{8} - 97273579158414714043t^{7} - 2162691780109568632t^{6} - 25601654867793952t^{5} + 41250222779500t^{4} + 5226803758896t^{3} + 21904775556t^{2} - 202915284t + 620568 \right)D + 2592 t ^{3} \left( 1146284081400564201653624618647784791200t^{38} + 5597012292976833259142873901204610061310t^{37} + 12958980868437464337237546424101814334520t^{36} + 18773528496624498361066212447239937718455t^{35} + 18850970464205067770224414080668328740415t^{34} + 13595833936882330850436731380086818253249t^{33} + 6854234754433216925064338206815809462733t^{32} + 1943397433809064653306839649502396649836t^{31} - 308986288212264366918088752068664864870t^{30} - 775161464863105021237411572081070344806t^{29} - 556142432326213894900158091140953228331t^{28} - 273554114234530585495612674143548673934t^{27} - 104763695222901817635523086499904584237t^{26} - 32663014828372464768438642463563855121t^{25} - 8459002813836641821644481110577192153t^{24} - 1837316721577559356447227865360815116t^{23} - 335978036767536750864010067963704723t^{22} - 51707728866637808203228524002676176t^{21} - 6668185606829213687281812996070931t^{20} - 713228048569575688661210444416364t^{19} - 61877687802811208023054870310788t^{18} - 4113876763074339822212013471130t^{17} - 170065347479746504912303939047t^{16} + 2160134616658356091747924676t^{15} + 1144261735352440239298846217t^{14} + 105944237137622784667033832t^{13} + 3378827260889252344592815t^{12} - 447390664826299456085796t^{11} - 84988559144114923426123t^{10} - 7909221289629231711996t^{9} - 495796880808785458891t^{8} - 22040557191608128946t^{7} - 684073642686800048t^{6} - 13721571448529316t^{5} - 135082332728305t^{4} + 698223059417t^{3} + 35011414989t^{2} + 240130062t + 132678 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ2P2 × Gr(2, 5)

|λ| = 18.74472 λ ≈ 18.74472; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 10.36307; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.189092 - 0.2049545i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.189092 + 0.2049545i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.82454; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.901929; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.077413 - 3.019805i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.077413 + 3.019805i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.078978 - 0.8484383i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.078978 + 0.8484383i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$18.7447162$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$18.74472$11
$10.36307$11
$-5.189092 - 0.2049545\mathrm{i}$11
$-5.189092 + 0.2049545\mathrm{i}$11
$-5$11
$-4.82454$11
$-4$11
$-3.901929$11
$1.077413 - 3.019805\mathrm{i}$11
$1.077413 + 3.019805\mathrm{i}$11
$-1.078978 - 0.8484383\mathrm{i}$11
$-1.078978 + 0.8484383\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right) \left(\lambda + 5\right) \left(\lambda^{10} - 10 \lambda^{9} - 218 \lambda^{8} + 115 \lambda^{7} + 12603 \lambda^{6} + 65952 \lambda^{5} + 206242 \lambda^{4} + 783342 \lambda^{3} + 2269621 \lambda^{2} + 3121632 \lambda + 1910061\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 4\right) \left(\lambda + 5\right) \left(\lambda^{10} - 10 \lambda^{9} - 218 \lambda^{8} + 115 \lambda^{7} + 12603 \lambda^{6} + 65952 \lambda^{5} + 206242 \lambda^{4} + 783342 \lambda^{3} + 2269621 \lambda^{2} + 3121632 \lambda + 1910061\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 8 & 26 & 9 & 9 & 69 & 60 & 80 & 40 & 168 & 170 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 6 & 26 & 6 & 0 & 60 & 60 & 30 & 128 \\ 1 & 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 20 & 12 & 0 & 0 & 36 & 8 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 12 & 12 & 15 & 6 & 30 & 32 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 3 & 3 & 0 & 20 & 12 & 12 & 36 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 10 & 12 & 4 & 24 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & 5 & 2 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -\frac{2}{5} & 1 & 2 & \frac{8}{5} & \frac{36}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 0 & 1 & \frac{5}{2} & -1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & 2 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$