Family 3-142-35-b

← 3-142-35-a · 3-141-35-a →

Blow-up of family 2-225-51-b along a del Pezzo surface of degree $4$.

$\pi_1\colon X\to\mathbb P^4\times\mathbb P^4$ is the blow-up of a fourfold of the family 2-225-51-b (the blow-up of $\mathbb P^4$ (1-625-126-a) along an elliptic normal quintic curve, equivalently of $\mathbb P^4$ along an elliptic quintic scroll) along a quartic del Pezzo surface, the preimage of a plane meeting the scroll in $5$ points.
$\pi_2\colon X\to\mathbb P^1\times\mathbb P^4$ is the blow-up of a fourfold of the family 2-512-105-b (the blow-up of $\mathbb P^4$ (1-625-126-a) along a plane) along the strict transform of an elliptic quintic scroll meeting the plane in $5$ points.
$\pi_3\colon X\to\mathbb P^1\times\mathbb P^4$ is the blow-up of a fourfold of the family 2-297-65-a (the blow-up of $\mathbb P^4$ (1-625-126-a) along a quartic del Pezzo surface) along the surface $\mathbb P^1\times C$, with $C$ an elliptic normal quintic curve contained in the del Pezzo surface.

More details (pdf)

Varieties in this family can be blown down to

ℙ¹P1 × ℙ⁴P4 × ℙ⁴P4 · 14040.wHw0 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ⁴P4 × ℙ⁴P4
Bundle: $E^{ω_{2} + ω_{7}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{6}}$ E^(w2 + w7) + E^(w1 + w6)
Bundle: $O_{2} (1) ⊠ Q_{3}^{\lor} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{3} (1)$ O_2(1) box Q_3^v(1) + O_1(1) box O_3(1)
ZL62 label: 14040.wHw0

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;5;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;4;4) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	35
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	142
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-7

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	142
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	124
$\mathrm{c}_2^2$	=	111
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	46
$\mathrm{c}_4$	=	13

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		1		1		0
0		0		9		0		0
	0		1		1		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 7	0	x₀ + 7	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 30	0	0	x₁ + 15	15
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 35	0	0	0	0	35
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 30t + 80t^{2} + 30t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	No match
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 8t^{2} + 4t + 1 \right) ^{2} \left( 681784t^{8} + 879504t^{7} + 391314t^{6} + 60125t^{5} - 3469t^{4} - 2040t^{3} - 177t^{2} + 3t + 1 \right) \left( 1742325023975078471185093772378112t^{34} + 10442791518421870216054627946889216t^{33} + 29835535546361840280655089926356992t^{32} + 54286771825811388807936857031737344t^{31} + 70753682054581499642702099384496128t^{30} + 70276770846094716877120783420168192t^{29} + 55220656887512917927716701707683840t^{28} + 35240454885734456554511838575064576t^{27} + 18710643173718363258591334953553664t^{26} + 8513221820604569300454447172772096t^{25} + 3457930794424266776936550086618752t^{24} + 1315880746859941188501886881782720t^{23} + 485120393906078037222227871496928t^{22} + 172435666967917895623488071139200t^{21} + 57019015206007432958810490484304t^{20} + 16867882171285959412905324283872t^{19} + 4345558309922284117206774990572t^{18} + 960448650011277448266377413240t^{17} + 180709870355586592325519847748t^{16} + 28821243074715143498522326286t^{15} + 3885297177405571407758769645t^{14} + 441499591479065464050854735t^{13} + 42093670772789056599739103t^{12} + 3328255538957495132304481t^{11} + 211626695811985249511327t^{10} + 9976881757123353037675t^{9} + 261126620250550930649t^{8} - 5219128630136239571t^{7} - 959841945324714800t^{6} - 52984342865777138t^{5} - 1773716861044880t^{4} - 37749457958420t^{3} - 396414338628t^{2} - 1995542448t + 5594800 \right)D^{8} + \left( 8t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 684224250707995142629511792164054298001408t^{45} + 5473093658186204042843977738634298767966208t^{44} + 21082151750652036076126730609289426987122688t^{43} + 52168761093482497058886035876261140832452608t^{42} + 93280063425752776374014826028814883107897344t^{41} + 128427108429787188782774514836480981667807232t^{40} + 141601949029735853477995165649977103371337728t^{39} + 128390347636196967197987034374226349649428480t^{38} + 97619256524749844663189719100286150489587712t^{37} + 63268113078790651011908371603421061779668992t^{36} + 35524399989309004871804051143072844107689984t^{35} + 17608789141107836255980972895035246571274240t^{34} + 7885524849898006121514925683591866984566784t^{33} + 3274272633790597506042906636241998444492288t^{32} + 1288724092415497126512637152416584789668352t^{31} + 484909641255447060728349916281541993486848t^{30} + 172901813209432699800771731215404196870400t^{29} + 57281430280602524483151108060567208185280t^{28} + 17267360897390201140507148507292884968320t^{27} + 4658580401608141655581482693225599339520t^{26} + 1112011429646265981619242794172280885024t^{25} + 232984109302953492313086849258280022800t^{24} + 42570100614254824265919680927873535416t^{23} + 6736638509094615940885721463737031664t^{22} + 914019032344488925913669240945025360t^{21} + 104313899458357277500121977480719962t^{20} + 9567851730502384265763208457217572t^{19} + 606608236987912803667917252608039t^{18} + 3876664480671999596568707645991t^{17} - 6079427519544675310041193251523t^{16} - 1145976700598527927716825474798t^{15} - 141541680757181238808962355156t^{14} - 13634093078137116688285404853t^{13} - 1069814677012149828266122770t^{12} - 68821559455269979009599495t^{11} - 3528887994356870855705433t^{10} - 128808653460732289360528t^{9} - 1746914882265080429165t^{8} + 159847150767750681313t^{7} + 14319193738325537658t^{6} + 634595900729024746t^{5} + 18227316033276940t^{4} + 339799047833404t^{3} + 3145570467696t^{2} + 14080693136t - 33568800 \right)D^{7} + \left( 83019209085903410639047430782571921490837504t^{47} + 685584383915475456365531379165530820647583744t^{46} + 2735935083219761097424566629982148557312884736t^{45} + 7039203773417123427810965931699730953277538304t^{44} + 13134964832028665291040586054831743139970023424t^{43} + 18944939460921075382446532102489030893334691840t^{42} + 21971506685508459828311122033264940304397762560t^{41} + 21043976396880773778488978911213439639041081344t^{40} + 16975845429863454221088499002658835689920200704t^{39} + 11721257621201186414683934392029432107642355712t^{38} + 7033898461468301669876659185982806301177741312t^{37} + 3730561346722361676560980017646545901767933952t^{36} + 1783739759428058349948668102599599022837088256t^{35} + 786490383503039294944333279514116001323866112t^{34} + 326686352665480398683543916029096942767345664t^{33} + 129482387350086649941066340313181710452676096t^{32} + 48921542830691804957368774848006865431240192t^{31} + 17394991181621377577285085797527600769715968t^{30} + 5720470658132999760255002237319342736395008t^{29} + 1712965360348813914218036131533184275260224t^{28} + 461799824221687544747781903001115516154944t^{27} + 111266640297365542877681450235165828146048t^{26} + 23852423210586997161435026093554185671392t^{25} + 4537084947456249922770692590580939367448t^{24} + 764539397204882424254890568235675787576t^{23} + 114045746815958900901008893689580030436t^{22} + 15064389433249395840566531793065593668t^{21} + 1765820219448095271194811596480148466t^{20} + 184733959982159868105206520464896046t^{19} + 17469591617957413068424690759273003t^{18} + 1531034052919102207837982416180425t^{17} + 129370626864262061000120807312747t^{16} + 10978343765412608539311553180476t^{15} + 944230652301451324721511074456t^{14} + 79242185330945394039409118211t^{13} + 6109691038488968906126088996t^{12} + 409118204905857316417423941t^{11} + 22553853673014381734733983t^{10} + 947801004532628930760126t^{9} + 25005177201718854451031t^{8} + 2677308645873014609t^{7} - 35919966068590034846t^{6} - 1848924810257274414t^{5} - 53343468763673336t^{4} - 965228352886040t^{3} - 8280926982304t^{2} - 34222802696t + 72732400 \right)D^{6} + \left( 689698044713659103770547886501366732385419264t^{47} + 5556365775819105678562698530135110194969968640t^{46} + 21615288381451829620652876384336179841130823680t^{45} + 54182939679217908984269266087170217435818098688t^{44} + 98455306153196501925226186202370789234263982080t^{43} + 138208748400481661260693322112292847688310849536t^{42} + 155899293206618910936684624178980865151229755392t^{41} + 145124928645500666449425160525900736544456048640t^{40} + 113722105953923955244102701685243044121316753408t^{39} + 76285287665329498336684844915879907531564285952t^{38} + 44542997905197684507626413141458396655800680448t^{37} + 23076392612089702898189484554735617242927710208t^{36} + 10853615065840251751315716111399716122487406592t^{35} + 4752248841898893928145173479163239598385899520t^{34} + 1977793069872756020225583800221814659195844608t^{33} + 788718851335582985879137043622033732422098432t^{32} + 299107372292353024049966697133776299196443648t^{31} + 106014009497345692323010476463495230596880640t^{30} + 34478765559133074417990547347323276301828864t^{29} + 10143400663235801529703232897295310696420288t^{28} + 2674178900391386674987055324776003336392704t^{27} + 628274960988492540992039424805519784530848t^{26} + 131119695411997809361124317786825596371376t^{25} + 24260743064410546737391786030627597620200t^{24} + 3974098168108064504751699530021938821552t^{23} + 575433315096303438499496149622750520812t^{22} + 73463690010560220607402394528255196672t^{21} + 8227544852109519629304414556027982858t^{20} + 799631794067486804757733144127819608t^{19} + 65851263264757588668968516806766769t^{18} + 4336045221808029642040761754137755t^{17} + 188353545899096463159890921878797t^{16} - 1133070822084434617513100701314t^{15} - 1257364971529407866195806275590t^{14} - 154941447640862761603501621543t^{13} - 12893080341200705429480968398t^{12} - 839189396786494311249827513t^{11} - 44070725918022674660629037t^{10} - 1812737442444782327205766t^{9} - 51474372815021791624945t^{8} - 522214836583611454677t^{7} + 33511481308463214582t^{6} + 2032683850897271782t^{5} + 59404558838947616t^{4} + 1077941381994212t^{3} + 8808134661152t^{2} + 34289396576t - 67137600 \right)D^{5} + \left( 3413366712031951768197757827175745541296357376t^{47} + 26928029355458517917872435577350540865807843328t^{46} + 102513378077163002827142351147630078951782612992t^{45} + 251349313610595664071164875896643206352119791616t^{44} + 446539971443238421406915867259380620284979576832t^{43} + 612545305959045001638867005945570475235560390656t^{42} + 674755497465634531058897391507335411297835024384t^{41} + 612968998127825642529059002596494401562414678016t^{40} + 468507762282190158108832493027001671401049423872t^{39} + 306597200704447679746529574359818193730946859008t^{38} + 174934756080190518307421928185767746131984072704t^{37} + 88917901095650499300912915653585448235862622208t^{36} + 41317596117698362614620582733709906879929323520t^{35} + 18028650227574043734553953957951667501034684416t^{34} + 7529193827417075006294992136444339004765510656t^{33} + 3017548706215507727160932889364244829847414784t^{32} + 1145254190183740894331575021334183840225604864t^{31} + 403380726037488615558395471305397482253223680t^{30} + 129467334089822619690212312824881166550216960t^{29} + 37383175260891945021937670380180011084609280t^{28} + 9636139075438518405883803034856268570313568t^{27} + 2207896022801975021294765829608414983785152t^{26} + 448647886836508969464224557504887192653056t^{25} + 80746699723140249531093279124936677988120t^{24} + 12860164742373780382817316779702474034724t^{23} + 1810708048945330380868782957886930725944t^{22} + 225026571320622872120106023744340961404t^{21} + 24606103642298534607847933291541895100t^{20} + 2352940762728154534653345965396336513t^{19} + 194521715610626443097836644709860721t^{18} + 13622533807585889487469053310443669t^{17} + 779382232736842852836121454547836t^{16} + 33966920019382916466287875821960t^{15} + 948032381512299347895345863729t^{14} + 6330592246295225934621833412t^{13} - 256252370682550765772826315t^{12} + 73198975145216198819763783t^{11} + 10933645078245376838437658t^{10} + 760518816799544051764815t^{9} + 31482322532202564228551t^{8} + 667942454243497324892t^{7} - 3372811392789733412t^{6} - 660241879993900884t^{5} - 21318397589769296t^{4} - 409176445934504t^{3} - 3312738451180t^{2} - 12082006568t + 22379200 \right)D^{4} + 2 t \left( 5115260498292971686298230158218469931858526208t^{46} + 39657457762878827911084380482402423438586150912t^{45} + 148280462265761571041471839503471716683971821568t^{44} + 356923931671483750788174109065086484562782978048t^{43} + 622269920363002469580753556249836998834057641984t^{42} + 837268926135635497684313744148352322080740212736t^{41} + 904091090139740798137646225558721303726376878080t^{40} + 804550173709511623014060118877470378179783360512t^{39} + 602116324983452264337296584433208864912295690240t^{38} + 385907209647062373008041760659112019822537949184t^{37} + 216010695807742793521136226629869683923171401728t^{36} + 108146946370345933318871532337006346614850641920t^{35} + 49825044411905935466154984918631309833807325184t^{34} + 21719549031828209617601688385089100464444433408t^{33} + 9106963376196600275022143326264665184651102208t^{32} + 3663235929588513262622949925571421817002695168t^{31} + 1388605465279233471899763767192249294640436480t^{30} + 485349120193333366411817966615400077630029184t^{29} + 153691592810615587218013036410066307044880512t^{28} + 43593781897957569981162531061964943969564608t^{27} + 11004870652261053933490748893536525257729728t^{26} + 2464235234206045186512373087893305224274640t^{25} + 488646767755207384390771177282531734300744t^{24} + 85732301255422978345210443532152926574916t^{23} + 13299929558679066982736480340940141726500t^{22} + 1822667326105981557993829068000008994154t^{21} + 220226842031178603019677382308796745940t^{20} + 23359016416438506192259777854560409394t^{19} + 2155127813515202863311879602069404880t^{18} + 169754200172186416108212029470594662t^{17} + 10981131279487050711457797487080673t^{16} + 530389328518497815018141916620583t^{15} + 12726846330300540003836279444220t^{14} - 719130388888141850415635852929t^{13} - 115186849496910733344725569250t^{12} - 8468025491719691755160732934t^{11} - 433215990874486264002125926t^{10} - 16598467628952029319534229t^{9} - 482231129985331294020395t^{8} - 10627725259665343911611t^{7} - 186008773642378621686t^{6} - 2883181733254827276t^{5} - 39601151055019480t^{4} - 559478350114286t^{3} - 3950289080564t^{2} + 290756512t - 4097600 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 4490183632812845457109358385421486105395462144t^{45} + 34325166679198142911904472744086374442424336384t^{44} + 126485237278391891997866078479805436449098039296t^{43} + 299936473368171015178512212423690588536642207744t^{42} + 514955111830069858269091387467407328435984400384t^{41} + 682015570978142081422646067154056145550972551168t^{40} + 724484248016310156396763717481149188623823536128t^{39} + 633852948765928461066359037476373143199946506240t^{38} + 466179910305256222921394839171745333063811203072t^{37} + 293698218597195436193517644241594222935752638464t^{36} + 161861525552716203718653778590228710349625311232t^{35} + 80087992162983214601248340600951860245857959936t^{34} + 36683560545414985692838850281213969845736865792t^{33} + 15998966774775356740189987732714948945509552128t^{32} + 6734368904777706252014026074158669958950715392t^{31} + 2715534380962613771270732878407277410324935168t^{30} + 1026974459634578724640136232690874258874017024t^{29} + 356151853157257286082117667205216408177876736t^{28} + 111383616889375192210756730987773631806293120t^{27} + 31096377647023712608945591010438171582500864t^{26} + 7708099061582987315272131423916676909013056t^{25} + 1691946112319698679070917708553074728308064t^{24} + 328473788884870669288833094339379132255048t^{23} + 56368160297824706810016111035348815885932t^{22} + 8546201802382758492454858138196897467320t^{21} + 1143699880840762872250255702160317154734t^{20} + 134789397297851872209615915476513590832t^{19} + 13915084377119122829865505858459694378t^{18} + 1243961883793430723757470730259647527t^{17} + 94027881667975999542540166159411759t^{16} + 5703298029961454790770125371190314t^{15} + 239432996793109105217072521786919t^{14} + 2029268789986530231204592663904t^{13} - 745360739867398713783793106694t^{12} - 82362126178684645811563770920t^{11} - 5464179388874694486567735049t^{10} - 265297392492224929103251039t^{9} - 9864921764028501163452369t^{8} - 282589813614776336302946t^{7} - 6208587415396674841834t^{6} - 106290874116449355680t^{5} - 1475651754144060428t^{4} - 17624714794885760t^{3} - 224067035749032t^{2} - 1359742292528t - 223792000 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 347129769859189535694038982557896880519380992t^{44} + 2624892162372575730921497588507086295264133120t^{43} + 9563514189995590336577644506835015825427005440t^{42} + 22414792480498625173167740296654517735631355904t^{41} + 38023955206797384976116389488251312957499637760t^{40} + 49737674450990064413121627785217205501911498752t^{39} + 52155205198817214309953978526365225463990452224t^{38} + 45018835818980554442603856418297166169393496064t^{37} + 32653842688195889882693966950812264903459225600t^{36} + 20293245068855429662622976517653768248964341760t^{35} + 11048105528373460969974565295949454711571025920t^{34} + 5418022460862579960814484411141064988981252096t^{33} + 2472173191339612806725178449557176612046398464t^{32} + 1079496173154443623985802102819026022078277120t^{31} + 455913880116555853049855519488716500747479552t^{30} + 184120825980449561687159057263678158669409792t^{29} + 69444562514100957862529478437463774137612416t^{28} + 23911860081805699942385488516718098285438528t^{27} + 7398372342673808839984389372038034454862080t^{26} + 2038097097269993733150721330139980021620704t^{25} + 497568933708850185827327980779296642759440t^{24} + 107421278305500956796010992873703902629256t^{23} + 20490158728978368278056601826238049266264t^{22} + 3451810119118597528779709751061135442524t^{21} + 513362340018896347579408741486757956104t^{20} + 67335527328918796958837053876603277308t^{19} + 7768622865903259046484510342212005944t^{18} + 783323606991247759034990699780316100t^{17} + 68073334371086811352651524142365874t^{16} + 4950333453753246034318660043787422t^{15} + 281332707199372211192025362427898t^{14} + 9955421562517365315108012925345t^{13} - 129761657053368400570111833474t^{12} - 54791553940552301417652156757t^{11} - 5103423177441100882004418614t^{10} - 315300680333335660950599898t^{9} - 14617644518507501973938094t^{8} - 524335460287943081424546t^{7} - 14564782460750876009314t^{6} - 311006994847487365729t^{5} - 5120240494036513166t^{4} - 64989138425827987t^{3} - 673859332239658t^{2} - 6858445771046t - 33394042020 \right)D + 576 t ^{3} \left( 10643488344346591107570183433663066857799680t^{44} + 79855921424881693563673878287984988939878400t^{43} + 288576711346831387233608229992984800002048000t^{42} + 670656225506051657768851700813043756496322560t^{41} + 1127768243102217689988089706371355707818115072t^{40} + 1461817966447066670889497208829742562510241792t^{39} + 1518311604161247251592687736740673359462793216t^{38} + 1297509202872422685614869326134261958919553024t^{37} + 931456613006644543516745281201359844991025152t^{36} + 573003217379629069104407487410660130057428992t^{35} + 309146507147073838076942584875080459641106432t^{34} + 150637182293050609703973908093392881686917120t^{33} + 68566731901501893097999082502966443046853632t^{32} + 29979777933093182145349790740486366311209472t^{31} + 12694868859583337576342457171431333987651072t^{30} + 5131345861781124930539319894144303495441408t^{29} + 1930614838587185176334455163836154806050432t^{28} + 660909922366470473957953221596902956951744t^{27} + 202758401867809599934196090928892473897856t^{26} + 55275887906632959492979039716278710596128t^{25} + 13335690233459041385762174062349812162928t^{24} + 2842062971666993542198507009302528511128t^{23} + 534674750560095023283477198605491525520t^{22} + 88770049485795535814700415871218854288t^{21} + 13002135085868179294477632629916527336t^{20} + 1678278033155241113317910113859934706t^{19} + 190317794292889892161423489570730024t^{18} + 18820293846361948510625189736842330t^{17} + 1596620850212584527883944473590683t^{16} + 112168982631779650479560943674035t^{15} + 5984416826844085055351034151934t^{14} + 171665268211696058953368822486t^{13} - 7668627190636853506491481366t^{12} - 1544801074428318805454447543t^{11} - 130070679302213823597876422t^{10} - 7630704589143644521796681t^{9} - 340636225775439209523779t^{8} - 11822053429286060695859t^{7} - 318134407376235575114t^{6} - 6589137197655387487t^{5} - 105397504041337934t^{4} - 1291161317030481t^{3} - 12728018116982t^{2} - 99994495190t - 339884100 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ⁴P4 × ℙ⁴P4

Show multiplicities

Sector dimension: 13
Spectral radius: $15.8128354$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$15.81284$	1	1
$-5.887195 - 4.787313\mathrm{i}$	1	1
$-5.887195 + 4.787313\mathrm{i}$	1	1
$6.556852$	1	1
$-4.671376 - 1.740006\mathrm{i}$	1	1
$-4.671376 + 1.740006\mathrm{i}$	1	1
$-2 - 2\mathrm{i}$	2	1, 1
$-2 + 2\mathrm{i}$	2	1, 1
$-2.126273 - 0.2736781\mathrm{i}$	1	1
$-2.126273 + 0.2736781\mathrm{i}$	1	1
$-2$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{2} + 4 \lambda + 8\right)^{2} \left(\lambda^{8} + 3 \lambda^{7} - 177 \lambda^{6} - 2040 \lambda^{5} - 3469 \lambda^{4} + 60125 \lambda^{3} + 391314 \lambda^{2} + 879504 \lambda + 681784\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{2} + 4 \lambda + 8\right) \left(\lambda^{8} + 3 \lambda^{7} - 177 \lambda^{6} - 2040 \lambda^{5} - 3469 \lambda^{4} + 60125 \lambda^{3} + 391314 \lambda^{2} + 879504 \lambda + 681784\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 10 & 10 & 15 & 15 & 57 & 51 & 39 & 72 & 56 & 156 & 180 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 42 & 36 & 51 & 84 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & 4 & 14 & 12 & 12 & 21 & 18 & 39 & 36 \\ 1 & 1 & 3 & -1 & 0 & -2 & 8 & 4 & 4 & 12 & 6 & 30 & 24 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 14 & 12 & 14 & 18 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -2 & 0 & 0 & -1 & 8 & 4 & 8 & 18 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -2 & 0 & -1 & -2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & -1 & 2 & 4 & 0 & 10 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 4 & 0 & 0 & 0 & 6 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -\frac{1}{3} & -2 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{8}{3} & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 1 & \frac{5}{2} & -1 & \frac{1}{2} & -3 & \frac{1}{2} & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{4}{3} & 1 & \frac{4}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{10}{3} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta