Family 3-150-37-a

This is a Fano fourfold of K3 type, appearing as case K3-55 in Bernardara–Fatighenti–Manivel–Tanturri.

ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 6) · 152.58x4000 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 6)
Bundle: $E^{ω_{6}} \oplus E^{2 ω_{3}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2} + ω_{3}}$ E^(w6) + E^(2w3) + E^(w1 + w2 + w3)
Bundle: $⋀^{3} Q_{2, 1}^{\lor} \otimes U_{2, 2}^{\lor} \otimes U_{2, 3}^{\lor} \oplus O_{2} (0, 2) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1, 1)$ wedge^3 Q_2,1^v ot U_2,2^v ot U_2,3^v + O_2(0,2) + O_1(1) box O_2(1,1)
ZL62 label: 152.58x4000

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1,4) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	37
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	150
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-18

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	150
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	132
$\mathrm{c}_2^2$	=	114
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	32
$\mathrm{c}_4$	=	32

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		1		22		1		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₂ + 18	0	x₀ + 18	x₂
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 22	0	0	x₁	22
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x₁ - x₂ + 35	0	0	x₁ - x₂ - 2	0	37
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 32t + 84t^{2} + 32t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(481)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(532)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t - 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{5} \left( 164t^{3} - 32t^{2} - 10t - 1 \right) \left( 932t^{3} + 136t^{2} + 2t - 1 \right) \left( 6993424154154600077498496t^{21} + 24706042002263598604152768t^{20} + 37069795496122771818491040t^{19} + 31838408364740320523930880t^{18} + 17822168501454736010741696t^{17} + 7246029703884731933843576t^{16} + 2464342915357149096703240t^{15} + 789728681405058081389104t^{14} + 227864001247850617242280t^{13} + 50647696970933840566808t^{12} + 7597181220985504839472t^{11} + 690629036458324624834t^{10} + 33361685710317568938t^{9} + 995208372692426130t^{8} + 89424555471228002t^{7} + 10965115854436004t^{6} + 558504831404736t^{5} + 2140183663799t^{4} - 718315681923t^{3} - 21468834856t^{2} - 190652805t + 108000 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) ^{4} \left( 153926048896448013020950576791552t^{29} + 520509035168238224388936911634432t^{28} + 707911334467055939434903383957504t^{27} + 490032694974037453051881729776640t^{26} + 158956845637308956168535779396096t^{25} - 5733110812381224097433614370304t^{24} - 26524807358635192474623212711680t^{23} - 12557546693122383227425848949760t^{22} - 4728833492243347822708612055040t^{21} - 1936569811530297278452206638912t^{20} - 635676813156772367806540913312t^{19} - 112942380248454868115962691936t^{18} + 1178350352376091441044532176t^{17} + 5391206204517415331592732320t^{16} + 1265648011031308658508960648t^{15} + 155753548731204136488344624t^{14} + 13683918475612379630296920t^{13} + 1420159078062162052129160t^{12} + 176929087642651656567964t^{11} + 16074797064640858816348t^{10} + 856982169496173432450t^{9} + 27135066352463674816t^{8} + 1193247600299051450t^{7} + 111900270792077700t^{6} + 5308627092941402t^{5} + 12463668026376t^{4} - 6248216747623t^{3} - 167492813138t^{2} - 1337809635t + 648000 \right)D^{7} + \left( 2t + 1 \right) ^{3} \left( 4669090149858923061635500829343744t^{30} + 17720335092789940542906088185200640t^{29} + 28322387952033569515357233839890944t^{28} + 25083849866011723958846237612469504t^{27} + 13304779812209659564828743968217984t^{26} + 4133238731066462089505268256238976t^{25} + 590370636437890455762391137489664t^{24} - 75148680010000771347473165485856t^{23} - 96045302843788789805920186572416t^{22} - 64484401671884706381150549319456t^{21} - 31998968804389737944829673732576t^{20} - 10358616992549119004385212806832t^{19} - 2067663979331958032155040685104t^{18} - 229680506572047999048838906904t^{17} - 8942977989197096755054314776t^{16} + 372983862584707420588767192t^{15} - 113044889826811809583553416t^{14} - 46448527842576456988100848t^{13} - 7200971122513479800502728t^{12} - 707849765647019485467732t^{11} - 44030174228991992344140t^{10} - 1462117468858517741382t^{9} - 43437047553680783796t^{8} - 5646733061463193438t^{7} - 573718470780420736t^{6} - 25639647325217096t^{5} - 236919998403302t^{4} + 15900559364477t^{3} + 440005640784t^{2} + 3241004445t - 1404000 \right)D^{6} + \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 77578728643809798562559090702942208t^{31} + 327605951420096133208186611213926400t^{30} + 599390639441215668697747359776658432t^{29} + 632028460823042355298162681198021632t^{28} + 427601942162270395471036973579521536t^{27} + 196255996946284843042401449200592896t^{26} + 64632062946116628088988901969419392t^{25} + 16976337461828638944405501664563584t^{24} + 3826495277289329351265315659807872t^{23} + 358480724975810913404142809078432t^{22} - 326934905753756696951023224753440t^{21} - 220474749440039993450598879376032t^{20} - 71160008922239612144396702434176t^{19} - 13940903748320248975543994399536t^{18} - 1718567540684370786716949479664t^{17} - 135326160332050645082970997288t^{16} - 8392247644842394319823462280t^{15} - 646522855138427382274968488t^{14} - 20797996399547462126195880t^{13} + 9027266611847539377776296t^{12} + 1866030954900742975670988t^{11} + 164497869566444605889292t^{10} + 6319060762152075613550t^{9} + 21324697979295692820t^{8} - 2793136452518467434t^{7} + 394621010482133432t^{6} + 29361408578438186t^{5} + 336142114964778t^{4} - 18212551658745t^{3} - 487534796314t^{2} - 3228034725t + 1296000 \right)D^{5} + \left( 2t + 1 \right) \left( 767885749261413654290515444087455744t^{32} + 3580613523507198781761818816419135488t^{31} + 7373307371464826072689678528788461568t^{30} + 8944934356576673762756548527844893696t^{29} + 7171026600026736506736315675474650112t^{28} + 4059042136786019002521741882035652352t^{27} + 1725043932146311162384637025808178048t^{26} + 599975831627718528038743739553861376t^{25} + 187114648627688168754921944121478144t^{24} + 51041127269946425049377261944762720t^{23} + 9251826736577184583367740370882496t^{22} - 195280479676118826809735903885664t^{21} - 764465069236410455703237657545440t^{20} - 261561362281576343961034389404848t^{19} - 49845475485295277527688823331920t^{18} - 6068906593647271195714869085672t^{17} - 507125568322325979937088162528t^{16} - 35337166098714720332170551008t^{15} - 2811594110503941992449039496t^{14} - 236453038311542746402565848t^{13} - 15199052174422635440230168t^{12} - 622432505707869309227816t^{11} - 26461895728008879247670t^{10} - 2573419296853904998492t^{9} - 236395765377866480806t^{8} - 14891096280889502216t^{7} - 746832317886432456t^{6} - 24916988434803598t^{5} - 284462006774105t^{4} + 7010313991136t^{3} + 191848911998t^{2} + 1134702630t - 432000 \right)D^{4} + 2 t \left( 2301502283099690690689253024187285504t^{32} + 11770189112609592790122056603494121472t^{31} + 26953839442143099486036239673015662592t^{30} + 36885688016309304053418904160684335104t^{29} + 33901926385913193493887283812662684160t^{28} + 22379414650880988329010054350099986944t^{27} + 11216580127671115446002177184988027392t^{26} + 4560014909644274509660197043454909312t^{25} + 1622496153197875254932825247837822656t^{24} + 522937652349023240253054220598803520t^{23} + 142809262008986055495436113806452704t^{22} + 27777620271161443862245539298503632t^{21} + 2196733893798440203381334526035632t^{20} - 626216583599880191848246827406640t^{19} - 266288833231217301709549272131136t^{18} - 49989946622325032885187281134264t^{17} - 5783047768032654871606438125720t^{16} - 459643489613703926829181623628t^{15} - 31015206800799176429125508872t^{14} - 2397515913365494898822705140t^{13} - 181747875948657651513761032t^{12} - 6959942137475302940317016t^{11} + 296455479746928679368540t^{10} + 35961467537126491974680t^{9} - 67019326974235689136t^{8} - 139735073535074903198t^{7} - 7581084359318482596t^{6} - 190842242494321150t^{5} - 2265681465265836t^{4} + 192798511745t^{3} + 198931920738t^{2} - 176579508t + 66240 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 1010131144435779171671486996273627136t^{31} + 5126746150283142802324462341310808064t^{30} + 11648045232472116070865379576968982528t^{29} + 15829950513390490002123331418731855872t^{28} + 14483743715230958575484839521367849472t^{27} + 9563915190642908513280983639005023232t^{26} + 4836511787462391337315049140339092544t^{25} + 2008745190087826131387520153819733056t^{24} + 738288942811370031905762589963184160t^{23} + 246915088978488494259263023543281488t^{22} + 70794013841575961355476421379996064t^{21} + 15415446596361238765034617245396128t^{20} + 2075095598914524751368728232318144t^{19} + 37070064194528696262059717766000t^{18} - 49965009912594453328475813550328t^{17} - 11424402308241271860046067794772t^{16} - 1351446684493121815228577043740t^{15} - 103535068465129935372169011320t^{14} - 6860714859710287213405182428t^{13} - 586843577292775066481193298t^{12} - 50208724921153933923677088t^{11} - 2140923106072063122708636t^{10} + 56867690757316192696056t^{9} + 7971198616047108691644t^{8} - 15238117879250731976t^{7} - 27024300831445710448t^{6} - 1286486535012345344t^{5} - 26630037476153991t^{4} - 227549706031588t^{3} + 1160158501563t^{2} + 32538530250t + 2160000 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 468550892840787751635773555753484288t^{30} + 2364147700177797961889684909911769088t^{29} + 5337467696636693848143997923585844224t^{28} + 7210430646364228695935736190833414144t^{27} + 6566084879450239236514308073150986496t^{26} + 4327338758626491623588467360827969280t^{25} + 2195671143098029587227047920208626176t^{24} + 922015028333444934195076307231058112t^{23} + 344856848933988679927357938659354304t^{22} + 117574296695881322141309345212767904t^{21} + 34490015529261120069647236986415936t^{20} + 7865134271524076106155906606402416t^{19} + 1224291481836865414770821127775808t^{18} + 93504103064364410839099466165688t^{17} - 6534792459847058242810072356840t^{16} - 2685166800656643383707514043152t^{15} - 336706720791894677630398984776t^{14} - 24892680175361403700513381288t^{13} - 1688998452776523370974648964t^{12} - 173297215794770313748671362t^{11} - 16497821810945224664719304t^{10} - 717922272403060631387864t^{9} + 15968834724300692272188t^{8} + 2383439214575174388502t^{7} + 12356843824845913016t^{6} - 5627178979886001961t^{5} - 249763305756172154t^{4} - 4138604519511206t^{3} - 15236995327920t^{2} + 353089980995t + 4040318250 \right)D + 960 t ^{3} \left( 2873286246067029576391077433442304t^{30} + 14436963569565695137509253637996544t^{29} + 32442364080458815969820411639073792t^{28} + 43625204672422270628240500116713472t^{27} + 39568274248833212188284027345782528t^{26} + 26014725197225928578265281900046464t^{25} + 13210787421900206049405379230817312t^{24} + 5579258228369334968479157949783296t^{23} + 2107403152131143226885625261610928t^{22} + 726171870965331026958318337075736t^{21} + 215510548136518221241232781376920t^{20} + 50218954686820860914298632668488t^{19} + 8299110679641525762905123954736t^{18} + 815355115017923629221583668196t^{17} + 13782800805351712184733403356t^{16} - 8009292457938067371427129950t^{15} - 1143885627371218349157722412t^{14} - 82024604293326987971664302t^{13} - 5994020156153139127169936t^{12} - 767733894511991561080478t^{11} - 78370359300565058115844t^{10} - 3291363901986597026761t^{9} + 80929410143002426314t^{8} + 11213904007254523207t^{7} + 139922783544303786t^{6} - 16058723815472724t^{5} - 699999119164896t^{4} - 8908440286044t^{3} + 41851920060t^{2} + 1509786675t + 5467500 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 6)

Show multiplicities

Sector dimension: 12
Spectral radius: $15.0972698$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$15.09727$	1	1
$-6.278866 - 4.969422\mathrm{i}$	1	1
$-6.278866 + 4.969422\mathrm{i}$	1	1
$-6.548635 - 4.341474\mathrm{i}$	1	1
$-6.548635 + 4.341474\mathrm{i}$	1	1
$2.557732$	1	1
$-2$	5	1, 2, 2
$2$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{5} \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{3} + 10 \lambda^{2} + 32 \lambda - 164\right) \left(\lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - 136 \lambda - 932\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{3} + 10 \lambda^{2} + 32 \lambda - 164\right) \left(\lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - 136 \lambda - 932\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 10 & 8 & 24 & 24 & 36 & 24 & 64 & 32 & 64 & 160 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 8 & 8 & 12 & 8 & 24 & 12 & 12 & 32 \\ 1 & 1 & -1 & 2 & 0 & 4 & 8 & 4 & 24 & 0 & 12 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & -2 & 4 & -2 & 10 & 8 & 24 & 36 & 36 & 64 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 2 & 0 & 2 & 8 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -3 & 1 & -2 & 8 & 12 & 12 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 1 & -1 & 2 & 0 & 4 & 8 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 4 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -\frac{3}{4} & -2 & \frac{5}{4} & -\frac{3}{2} & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{3}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{3}{2} & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta