Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-151-37-c

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × Fl(1, 2, 6)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6ω1ω2ω3ω4ω5ω6
Bundle
E^(w6) + E^(w2 + w3) + E^(w1 + 2w3)
Bundle
wedge^3 Q_2,1^v ot U_2,2^v ot U_2,3^v + O_2(1,1) + O_1(1) box O_2(0,2)
ZL62 label
152.5lx311
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1,4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 37
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 151
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -15

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 151
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 130
$\mathrm{c}_2^2$ = 114
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 34
$\mathrm{c}_4$ = 25
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 17 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 15 0 x0 + 15 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 23 0 0 x1 23
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 32 0 0 x1 - x2 - 5 0 37
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 32t + 85t^{2} + 32t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(436)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(495)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( t + 1 \right) ^{3} \left( 854411t^{8} + 840187t^{7} + 143570t^{6} - 66538t^{5} - 21881t^{4} - 2680t^{3} - 65t^{2} + 11t + 1 \right) \left( 5296658416815767833952877380t^{28} + 39190088449172730169262505756t^{27} + 113477987813653124155890914294t^{26} + 194449368773237038372735741146t^{25} + 236026468861375009062625963968t^{24} + 221486571311258944189126509664t^{23} + 168600131447013042344449980688t^{22} + 107952978203133989872302292685t^{21} + 59104314570983176540394088500t^{20} + 27199516964191647558431629848t^{19} + 10108963472771508202128231034t^{18} + 2915961680488667262178775593t^{17} + 634472914432795114727601436t^{16} + 103773341966603705270823144t^{15} + 13957714308476617120613800t^{14} + 2085757704045634855237522t^{13} + 404685706465725315223728t^{12} + 73241969066546363150076t^{11} + 9628557180428454286042t^{10} + 847038504750070070008t^{9} + 48614103762301163084t^{8} + 1912613173368648328t^{7} + 62716509787021320t^{6} + 1913691921620457t^{5} + 43272268052568t^{4} + 592216967200t^{3} + 4026550006t^{2} + 17095581t + 402264 \right)D^{8} + \left( t + 1 \right) ^{2} \left( 325837671449038344775836857888868960t^{38} + 3061646394718862757692689068901065184t^{37} + 12185826459429397052168808265612832156t^{36} + 29072896530510990086548276437001445684t^{35} + 48367704969956765314975418120691878638t^{34} + 61086272004707946285363365080902844768t^{33} + 61722072249124034475482227020706231698t^{32} + 51662163286580922493705972747136906186t^{31} + 36695870465671112218167192406756632197t^{30} + 22411622177478365146400545023442789464t^{29} + 11745029090377676664080545492896147853t^{28} + 5183978402070183687049352079225018228t^{27} + 1865313061752202130417183419637447826t^{26} + 521882456352213503346868612199689021t^{25} + 104535719448155806101588924543880142t^{24} + 11771734128004967360595063838469690t^{23} - 465922423996745206608023696538995t^{22} - 471788451728870030801807339264346t^{21} - 95506755715753410650053758275295t^{20} - 13817686980149055898972146909996t^{19} - 3263969223177319846299614963350t^{18} - 1050106895773557820402433417601t^{17} - 256485375693173645911166633398t^{16} - 43744753645975566995734347914t^{15} - 5404206258730278861225835957t^{14} - 519322258213772776953740912t^{13} - 44151302431413045094819637t^{12} - 3749713164190391044072124t^{11} - 301220613057385114803510t^{10} - 19393042804206660604049t^{9} - 901103501220723384346t^{8} - 30616801721224051738t^{7} - 881961144114628509t^{6} - 23144707079497758t^{5} - 452406115151125t^{4} - 5416717400352t^{3} - 32300895572t^{2} - 115646427t - 2413584 \right)D^{7} + \left( t + 1 \right) \left( 4941871350310414895766859011314512560t^{39} + 49344000611596116530989569020873577208t^{38} + 211030110341897634019436634485191080820t^{37} + 542936598475625830108298029776637672676t^{36} + 974738863114348683404326681515693949938t^{35} + 1328498709393159670146383895637288764990t^{34} + 1449307889314540534513347454933941088246t^{33} + 1311189012595986606504298460615444990344t^{32} + 1008457179321956977490446518915727220977t^{31} + 669678999304833826455361368188542129383t^{30} + 385402568644180919089279483414042063693t^{29} + 190497837685714803006109766084257822341t^{28} + 79406278902788339974385637800627444890t^{27} + 27301481689547405631663217919939371901t^{26} + 7572221129634414370244741963602332665t^{25} + 1662151640157242513692453157141304390t^{24} + 287875439091327746454857843784358367t^{23} + 42091708913464269972607255525831747t^{22} + 6571766355345258146907253701917777t^{21} + 1295439706152320010740360963125839t^{20} + 245391339016465460445538851187328t^{19} + 31415138356957391850956695815641t^{18} + 1213238215646020303174139812145t^{17} - 424894292344592337701231161968t^{16} - 103080793201358513148490941157t^{15} - 12006389330659113108020956211t^{14} - 757584715744813647079923817t^{13} + 348842907207794713187511t^{12} + 6426907331636273067569406t^{11} + 863881707019598235580335t^{10} + 66349535601483838082355t^{9} + 3255157556868812317962t^{8} + 109230327416752613797t^{7} + 3031586355313762977t^{6} + 77997102620683335t^{5} + 1480929021556529t^{4} + 16664688993334t^{3} + 92704872621t^{2} + 294040125t + 5229432 \right)D^{6} + \left( 41055546602578831441755444093997488960t^{40} + 436831511862673967454284577600984534016t^{39} + 2012723302614174247118126838811306484788t^{38} + 5596193664526850069879938093746211869652t^{37} + 10852894438156485180722093797795642353270t^{36} + 15950407338931667518198035819212496522024t^{35} + 18731926613807006797993593759511788027720t^{34} + 18219600777752124107614059353352176949438t^{33} + 15053096217028143210149424367882691550465t^{32} + 10744998234777773576303411834134707184104t^{31} + 6675410365087203430676243513863279602566t^{30} + 3596829468513017951902407134897297234154t^{29} + 1660155099087506292283878592008618042241t^{28} + 645556775149577026352070017182763746859t^{27} + 208039427712571634492801131327080063246t^{26} + 54866636521745947980820407857992240993t^{25} + 11813464254986724305464374321019920893t^{24} + 2132235177502995393662683761154103562t^{23} + 353927763329044621346441788208397046t^{22} + 62436391661416346939157796498898244t^{21} + 11857939997817876646512587994538613t^{20} + 2039830949540416442923906159528921t^{19} + 264515781798685966777809867710478t^{18} + 20816713028346861427345699040355t^{17} + 149913372613654070869030523283t^{16} - 190153079071607867583226772944t^{15} - 26252673947697003048993993582t^{14} - 2180974622559560078401506122t^{13} - 183128652971172677128156437t^{12} - 19939622848969537534139431t^{11} - 1992222495868185973290134t^{10} - 141127913472729034040165t^{9} - 6575619322839514457265t^{8} - 205584613971493631986t^{7} - 5140597575777308130t^{6} - 121504795321851336t^{5} - 2183486626731351t^{4} - 22491747588149t^{3} - 108260857390t^{2} - 331639821t - 4827168 \right)D^{5} + 2 \left( 101593470643881413914899466982600267820t^{40} + 1051936435593610472773738999670841863354t^{39} + 4680032302957437843801217864429529518318t^{38} + 12561713330374495298602749920113223312793t^{37} + 23593487475780924071712242806357715970610t^{36} + 33733873409928921619465653158014649661608t^{35} + 38713058323138838306729485889546346482308t^{34} + 36940134139662504179727032222720307403340t^{33} + 30040031211869884220548780505268437256207t^{32} + 21149836311426325916081786027688224128935t^{31} + 12959386028878492573403052665425796662567t^{30} + 6870244711541845084958607386334168036977t^{29} + 3108121444028727227674968817648833622725t^{28} + 1180527443837744815216226943595259892863t^{27} + 371040371124809225199070596452359613170t^{26} + 95654323865499159166443646500620637667t^{25} + 20326592034544297206125960620014178393t^{24} + 3706960503935918086159831950235383241t^{23} + 645582160872974527268266590832670665t^{22} + 121583004278692338993146767348768299t^{21} + 24093872740155624603732709110175691t^{20} + 4304905118644084493651671504766647t^{19} + 614029679909859968230634962620156t^{18} + 65195063299685406641825236635905t^{17} + 4852974008488959558520982278213t^{16} + 229492184143797732924982682733t^{15} + 4750766882508933534406612913t^{14} - 193558015696968682363850325t^{13} - 20458789420305802711942577t^{12} + 555048767031555316126265t^{11} + 311945969379394631733610t^{10} + 33357795507552193614485t^{9} + 1838888868564518246775t^{8} + 61473024704179410697t^{7} + 1539528583576429633t^{6} + 35244087566192176t^{5} + 611984361856751t^{4} + 5861088745929t^{3} + 23677366612t^{2} + 64853163t + 804528 \right)D^{4} + 4 t \left( 152247651984563166596509771848574021560t^{39} + 1541005662669887438609271428212766643544t^{38} + 6654113712587626517277336182755247637484t^{37} + 17333177765353937482590630368622050377120t^{36} + 31686943162888075763090412593627006163402t^{35} + 44267480971536682506301696635668368583530t^{34} + 49815351092811211887742666060730672442722t^{33} + 46752665084421127412715095889211663590989t^{32} + 37484888905189238200049748121415984830575t^{31} + 26051048535625698005462425792714991837179t^{30} + 15742600072620545537062191276156088459860t^{29} + 8205676777806791559203812396085610753952t^{28} + 3634643276909291557609414464563851604204t^{27} + 1346189598489335793161768068589942059842t^{26} + 411466189085399619801443291217848191280t^{25} + 103164560275913340120028567769995049335t^{24} + 21457806991157977243784740834004927837t^{23} + 3907980785778297321978462007864786901t^{22} + 703516502187949198517560362328008254t^{21} + 138936121807436970156263725150088032t^{20} + 28145968034986931661625944039627626t^{19} + 5021547915499471937785781805468468t^{18} + 713755935376354990705924785093212t^{17} + 76914778326456187619941570887283t^{16} + 6106085905623560694463322210301t^{15} + 351712202655508472051593945313t^{14} + 14803796013644043349259520796t^{13} + 441934343310224620230102336t^{12} + 1888772819726271136958000t^{11} - 1121482410996759238902130t^{10} - 98586964412613158484832t^{9} - 4824752166127290004303t^{8} - 155267126343079235289t^{7} - 3444825205509078665t^{6} - 55579948257698098t^{5} - 914764203356224t^{4} - 14447348697400t^{3} - 120761581422t^{2} - 93564342t - 98568 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 133643226049465991105211642365502628580t^{38} + 1327979885927434826266694498944386641974t^{37} + 5594262646623508710217797232257949350394t^{36} + 14215943397278577019724298431434207769143t^{35} + 25416577318891239611907283374100199881122t^{34} + 34836926321793728243648053061399164609800t^{33} + 38571159869097241929245193772690609140380t^{32} + 35698785611202847342706553092777633606848t^{31} + 28275371408384090821248704316529402690091t^{30} + 19423766726190691382759071551600263341085t^{29} + 11586908675419440441471332980813170643169t^{28} + 5943111128277136609073389105388807074017t^{27} + 2579836036449435213681045582374381519925t^{26} + 932734198638144567848838771451959956324t^{25} + 277503829279232420476809665247196048236t^{24} + 67704548226022652888117534165480687528t^{23} + 13788076648859483222116522978543401993t^{22} + 2509275485064966094244774549542943423t^{21} + 466151629830869134428438081152299415t^{20} + 95665313384841417900016598092718605t^{19} + 19603332273395783709364863713760253t^{18} + 3460355069265004953847589976235002t^{17} + 483800686363573927742914205900014t^{16} + 51622908448284559914135246331826t^{15} + 4142926920606474431861859477115t^{14} + 252021700368794283727788845865t^{13} + 12088631430066286259787791933t^{12} + 468682619756175532056097305t^{11} + 11721484122015895445063157t^{10} - 172999374300222856809850t^{9} - 38355678171626701154966t^{8} - 2214360143752160145154t^{7} - 74007665049685088971t^{6} - 1650942202407046739t^{5} - 29193742885872623t^{4} - 508296067891606t^{3} - 6530509938737t^{2} - 38266896276t - 6436224 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 61990616993179545093602962213357319640t^{37} + 607219856174590370573375397373187047344t^{36} + 2508457731522645064387556486787436367352t^{35} + 6250547004566995565494516241328643795488t^{34} + 10980355145939885887210607300795072710640t^{33} + 14824409298552344085864349306936894435554t^{32} + 16201947977841546489129471834199461421858t^{31} + 14827477661269513354365523714846037398567t^{30} + 11626934599135659300368351202824991218472t^{29} + 7908937730816485233127523519371355808497t^{28} + 4665032229377142456820161614276893257874t^{27} + 2358948245904539010914971699965591428832t^{26} + 1005807646782342750779343256436699200781t^{25} + 355927978746726486627895274203132997550t^{24} + 103375339343490676577757848391350087094t^{23} + 24615214753944423070595749935533255277t^{22} + 4922867584347981549646425517572741760t^{21} + 897495104148545766608275359368165433t^{20} + 171672018421226169461554815236312174t^{19} + 36262170050370468306960112779042884t^{18} + 7452885696257648732781366637660983t^{17} + 1295079375360776065924839348630502t^{16} + 177095756465560914600516142479882t^{15} + 18508225113456347034294279557493t^{14} + 1468166780580506654754379808148t^{13} + 90069928822905171595990194671t^{12} + 4491766044275003658703844358t^{11} + 187001154248837481138937300t^{10} + 5554395875131026564712219t^{9} + 20526556385452416789990t^{8} - 9248183344822288369114t^{7} - 594407854174387411273t^{6} - 19903876508380123452t^{5} - 439806124461331961t^{4} - 8141677852832902t^{3} - 141868958286552t^{2} - 1587036793511t - 7014467628 \right)D + 192 t ^{3} \left( 1900719750119390344525715004351735600t^{37} + 18426978148905021473664498195152949660t^{36} + 75041819602751144236765524596347265580t^{35} + 184309429087563321142894462152136541070t^{34} + 319603048335000706836501499590581588492t^{33} + 426691788145897585184576637013689304326t^{32} + 461849690491589535701645477462514265030t^{31} + 419095274315239019657123571587943960105t^{30} + 326120363099027020747932819185129248194t^{29} + 220136481349735255691832143768885854365t^{28} + 128682486016489879040263134787758640806t^{27} + 64326595885529668246251030201081226533t^{26} + 27031303202899658635107000151518136443t^{25} + 9399531433860878675454696492731704242t^{24} + 2676558223148288915710990866695479584t^{23} + 624739119948005309582673592555177446t^{22} + 123176152502840893666855742869090085t^{21} + 22535423093915749838399334639853566t^{20} + 4419349865150733463378414229956483t^{19} + 952671685428774428621158397776177t^{18} + 195508239598897202192832228697557t^{17} + 33436839532707236681389152985709t^{16} + 4475159424695890077352533804539t^{15} + 457662294569660746528310055720t^{14} + 35706363200292326305125602053t^{13} + 2181927155467643983475933606t^{12} + 110433982590564082364792811t^{11} + 4733017419657901788242074t^{10} + 147639176789419115753614t^{9} + 1195402596863935051269t^{8} - 182263815665139367537t^{7} - 12020017565329315979t^{6} - 391666938661575120t^{5} - 8486639380465033t^{4} - 159184117655904t^{3} - 2675691646410t^{2} - 26566938246t - 91414494 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × Fl(1, 2, 6)

|λ| = 14.51886 λ ≈ 14.51886; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.734079 - 5.951293i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.734079 + 5.951293i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.654559 - 5.50563i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.654559 + 5.50563i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.11213; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.926857 - 0.2147228i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.926857 + 0.2147228i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1; multiplicity 3; Jordan blocks 1, 2 3
Sector dimension
12
Spectral radius
$14.5188602$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$14.51886$11
$-6.734079 - 5.951293\mathrm{i}$11
$-6.734079 + 5.951293\mathrm{i}$11
$-5.654559 - 5.50563\mathrm{i}$11
$-5.654559 + 5.50563\mathrm{i}$11
$3.11213$11
$-2$11
$-1.926857 - 0.2147228\mathrm{i}$11
$-1.926857 + 0.2147228\mathrm{i}$11
$-1$31, 2

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right)^{3} \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{8} + 11 \lambda^{7} - 65 \lambda^{6} - 2680 \lambda^{5} - 21881 \lambda^{4} - 66538 \lambda^{3} + 143570 \lambda^{2} + 840187 \lambda + 854411\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right)^{2} \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{8} + 11 \lambda^{7} - 65 \lambda^{6} - 2680 \lambda^{5} - 21881 \lambda^{4} - 66538 \lambda^{3} + 143570 \lambda^{2} + 840187 \lambda + 854411\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 8 & 8 & 24 & 24 & 36 & 30 & 48 & 32 & 72 & 180 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 8 & 8 & 12 & 12 & 24 & 18 & 24 & 48 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & 8 & 8 & 8 & 24 & -6 & 24 & 16 \\ 1 & 2 & 2 & -2 & 0 & -8 & 8 & 4 & 24 & 42 & 24 & 32 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 2 & 0 & 3 & 8 & 4 & 12 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -3 & 0 & -3 & 8 & 8 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & -1 & 2 & 0 & 8 & 8 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & -2 & 0 & -8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -\frac{1}{4} & -2 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & 2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{3}{2} & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{3}{2} & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$