Family 3-172-41-a

No geometric description is recorded for this family (yet).

ℙ¹P1 × ℙ⁴P4 × ℙ⁶P6 · 140600.wYwDCw4 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ⁴P4 × ℙ⁶P6
Bundle: $E^{ω_{2} + ω_{6}} \oplus E^{ω_{5} + ω_{6}} \oplus E^{2 ω_{2}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{6}}$ E^(w2 + w6) + E^(w5 + w6) + E^(2w2) + E^(w1 + w6)
Bundle: $O_{2} (1) ⊠ O_{3} (1) \oplus Q_{2} ⊠ O_{3} (1) \oplus O_{2} (2) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{3} (1)$ O_2(1) box O_3(1) + Q_2 box O_3(1) + O_2(2) + O_1(1) box O_3(1)
ZL62 label: 140600.wYwDCw4

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;5;7) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;4;6) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	41
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	172
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-9

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	172
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	136
$\mathrm{c}_2^2$	=	108
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	44
$\mathrm{c}_4$	=	20

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		0		12		0		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 9	0	x₀ + 9	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 31	0	0	x₁ + 4	27
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 41	0	0	0	0	41
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 36t + 98t^{2} + 36t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(463)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(518)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) \left( 2t - 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{3} \left( 128384t^{7} + 147136t^{6} + 18336t^{5} - 7888t^{4} - 2168t^{3} - 124t^{2} + 10t + 1 \right) \left( 14345239388698994350192394240t^{27} + 56893049656121481802624827392t^{26} + 100505349675829417495685382144t^{25} + 102773509728268466396134793216t^{24} + 64495786720496582312953954304t^{23} + 21142512946912978395005603840t^{22} - 2971256777372363686230890496t^{21} - 8530702951228863726119044096t^{20} - 6056189560029648770908980992t^{19} - 2839894969851429821672861056t^{18} - 1013597151084164661796124864t^{17} - 293952748584010236580040224t^{16} - 72966539839879285369056416t^{15} - 16091334492055038039847392t^{14} - 3145951440939865641258368t^{13} - 519934042163420771282928t^{12} - 67769880129392450625980t^{11} - 6462645867541698144206t^{10} - 409498252825059459750t^{9} - 14066147532919470212t^{8} - 82202382978249250t^{7} - 2551139830537256t^{6} - 1724255548698860t^{5} - 108756246466149t^{4} - 2698361305657t^{3} - 32807876829t^{2} + 104240395t + 4972563 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 265204686769737363454334449263575040t^{37} + 1518469336974969044313430512782802944t^{36} + 3881983498202538811660190974037983232t^{35} + 5794802586635775395377994890272047104t^{34} + 5469153685371742646853855910823985152t^{33} + 3149579946857785569386489215274975232t^{32} + 691266309677523171636914818025259008t^{31} - 584903681645657993793986650121437184t^{30} - 734371041920122830274270991583543296t^{29} - 432552040805245853695156012744310784t^{28} - 157462863732602900475796442299170816t^{27} - 28207419309319316327555855022030848t^{26} + 6181465142262518194253239694639104t^{25} + 7255117525489445656251920524099584t^{24} + 3384931599049028113361145712287744t^{23} + 1141754656190352317125899746953216t^{22} + 317766504457828469613777089419264t^{21} + 76083229000055972314060399823616t^{20} + 15309785767432664283791676265856t^{19} + 2388472728496693979169543820736t^{18} + 240055450124131032367002908960t^{17} + 2711053754063077604129982560t^{16} - 4299846790382838329864091872t^{15} - 984196116307001318272192960t^{14} - 144714811448560369082898608t^{13} - 17270626783204222462973620t^{12} - 1742532024028337519944502t^{11} - 139501777784756756518642t^{10} - 7890486940367973996924t^{9} - 261776556404198506612t^{8} - 3524924467792346356t^{7} - 169649126572479258t^{6} - 25409018567077367t^{5} - 1263052573847813t^{4} - 27238376909799t^{3} - 293023659841t^{2} + 789170093t + 34807941 \right)D^{7} + \left( 2t + 1 \right) \left( 8044542165348700024781478294328442880t^{38} + 47452316903170685083396481726877270016t^{37} + 127005598217554564821508410824651177984t^{36} + 202837167192256935260567699545758105600t^{35} + 212094411640264834231169082799882764288t^{34} + 146326997801393593995084660077901119488t^{33} + 57385386212533454887739098047548227584t^{32} - 2956441451627781777496841151727534080t^{31} - 22886557351786740857899299525191401472t^{30} - 19074683867464164763466905764583964672t^{29} - 9889911079040808475291505574110789632t^{28} - 3618361201040425321024722762001154048t^{27} - 907174762261837904479039062168674304t^{26} - 110725434015838730115903724253782016t^{25} + 27052384470952107092772907867822080t^{24} + 22876073937183968629212861944264704t^{23} + 9347777352519993542331577472352768t^{22} + 2974028128949965722174479932030976t^{21} + 795723575313450477877350138397184t^{20} + 178328389604702793974748673293056t^{19} + 32753184348087401818653288308608t^{18} + 4868121221123032163391642840736t^{17} + 594202641186745819743106974560t^{16} + 64002183154242933129658818304t^{15} + 7006799770702025692952357168t^{14} + 846502591668273879239778656t^{13} + 101201951647545504685798424t^{12} + 10166625209348671018580474t^{11} + 765667245364563095347234t^{10} + 38928819589524741340756t^{9} + 1063972386835770550952t^{8} + 48189538493550804t^{7} - 287836337869045008t^{6} + 62678526139860901t^{5} + 3931007366691259t^{4} + 83880880819173t^{3} + 863230509927t^{2} - 1947295101t - 84533571 \right)D^{6} + \left( 133663162131947631180984562428841820160t^{39} + 818631336443503309898175879098761478144t^{38} + 2301056942980054206764193097240746655744t^{37} + 3914541554617739178058194215155886194688t^{36} + 4449347859594205642291733686154512302080t^{35} + 3464093234695344967081793372471892639744t^{34} + 1722096668223718335214629723450157039616t^{33} + 289382831327864841742941352076390170624t^{32} - 373121124082627493092574952156049965056t^{31} - 444169345388989822510527437434333691904t^{30} - 287736831820071315082133151794444828672t^{29} - 134731406156307195561704097754379157504t^{28} - 48867543815868560541185131449079873536t^{27} - 14029497295985582710101220666592722944t^{26} - 3171712254201437996882168110004285440t^{25} - 528050681103974643101510752078809088t^{24} - 38595949229426435018281744849955840t^{23} + 15691750966264076796412146772448256t^{22} + 9386282081438469817307713439932416t^{21} + 3071365305314779534706697335800320t^{20} + 727109005704663721525098807595136t^{19} + 129779920061524405788473200645952t^{18} + 17384994125428553532112027591072t^{17} + 1681641587104444031627020896864t^{16} + 100868932576469780066771087232t^{15} - 193876736109046727014579040t^{14} - 1020219016196589665504261656t^{13} - 173366620592933778710738524t^{12} - 19683305107774786144046010t^{11} - 1612109377052201647641018t^{10} - 88489171291832039379024t^{9} - 2652266827914184021332t^{8} - 5047222936852967112t^{7} + 1620249158102260894t^{6} - 41927084631999905t^{5} - 4683080589728853t^{4} - 102668989937975t^{3} - 981953653441t^{2} + 2609439817t + 84533571 \right)D^{5} + \left( 661508890365981563576261561279777341440t^{39} + 3901280575723963883578854525327871311872t^{38} + 10577041327881914735318094735231099600896t^{37} + 17377830968283205958256223359628010848256t^{36} + 19080263882217270409308070463992425873408t^{35} + 14296251964318989936148900042502421610496t^{34} + 6686900840339644326901225231943350878208t^{33} + 734487203822433357322205568992701448192t^{32} - 1864610496517205551450249694901457780736t^{31} - 2023484103746637669950170712811314544640t^{30} - 1293874346786165421520575058326686433280t^{29} - 615449488551431901190703588015178825728t^{28} - 233488437271116431402963824300494671872t^{27} - 73243709789903136587696314157425227776t^{26} - 19512190659843891349882613288755223552t^{25} - 4486899711455513594335904011774009856t^{24} - 875353644434007026217898169905999872t^{23} - 129897722826340281094661528108857856t^{22} - 8184921266543631523910569161117696t^{21} + 2660641951250825670497883173787136t^{20} + 1145971137081061219334826314528064t^{19} + 247832817793266781141839959905056t^{18} + 36085651130066221046376629198656t^{17} + 3694273166137391789086269376416t^{16} + 261920813570194797541553599984t^{15} + 13017038325929945884245326832t^{14} + 777471597447825782770480400t^{13} + 111222142010410285811891628t^{12} + 15215699197191111484761448t^{11} + 1403012450743222037933790t^{10} + 85657009041389670419862t^{9} + 3211419359233908093102t^{8} + 51188448145631108126t^{7} - 467735832334724372t^{6} + 8109617478176936t^{5} + 2020044931023857t^{4} + 45824326293587t^{3} + 399420995817t^{2} - 1251670589t - 29835378 \right)D^{4} + 2 t \left( 991335119145278264592302171347243499520t^{38} + 5663118856709853557026184655971698081792t^{37} + 14882769281451683561702191590250033184768t^{36} + 23704985241540273766651311553339998601216t^{35} + 25195918621255744312252805459592239644672t^{34} + 18150589667792499687847205495148501270528t^{33} + 7893623631223278053073249895648498548736t^{32} + 260113422076601846579816200927533465600t^{31} - 2846769142434830751662980805753074548736t^{30} - 2835938501011329081699811467989052620800t^{29} - 1771689356160606564777580785634768519168t^{28} - 839976423248102050800904958142600118272t^{27} - 322492800970820113251594784003447607296t^{26} - 104139212714165138782859250024626513920t^{25} - 29156436581671363280055538293833388032t^{24} - 7225148480119708977119046873142077952t^{23} - 1578959199285238068653413031628064000t^{22} - 291434206380617816362332602420243456t^{21} - 41032380283541066093790232660356992t^{20} - 3259266036358082255515099475493120t^{19} + 195791309221400508246294444988672t^{18} + 112497047682518574686560754477984t^{17} + 19330623579851434726238822171920t^{16} + 1948768972046868813201065991904t^{15} + 112188003541805473752111971400t^{14} + 1821304216253975775038247024t^{13} - 180277549548058018029010824t^{12} - 3335415021135849411442640t^{11} + 1420637798678286158600700t^{10} + 147148954687417331060838t^{9} + 8095050512946869554934t^{8} + 319091301374436741744t^{7} + 10338834384796747332t^{6} + 338342153483878282t^{5} + 9644511612299016t^{4} + 138094673137537t^{3} + 706725612639t^{2} - 3729488139t + 4509999 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 435097755833173004453886145622368583680t^{37} + 2421586374465177037154379155475598934016t^{36} + 6200304970092542695651049562126482931712t^{35} + 9615812546360878783286222956594087329792t^{34} + 9928356818166649175270717707731574325248t^{33} + 6889371882947698580633444803330272067584t^{32} + 2770742018311262176909424974334096605184t^{31} - 156455366150941373258545688248107057152t^{30} - 1261134926808400321197189541939530301440t^{29} - 1173475266852701510194082199344377290752t^{28} - 715591432177260043465863988282788040704t^{27} - 335871960527217624121048848539393792000t^{26} - 128871498810924420375176247174552137216t^{25} - 41977703828041621454680154749507131648t^{24} - 11970981666035649892923966396677075328t^{23} - 3049529873718316951480287902188643776t^{22} - 692007402256259788954131843269543104t^{21} - 135389970882916754959211265252963584t^{20} - 21497702882765496872108755177734048t^{19} - 2503565808966733360003279910876800t^{18} - 161936048519024630837816270375384t^{17} + 5838685484090396905022413128196t^{16} + 2754152123754683022898547088036t^{15} + 309864893684974608086927083496t^{14} + 14594587266056887036025954288t^{13} - 356204944122838815319288298t^{12} - 78721118053035876551637162t^{11} - 1978938454309395810902492t^{10} + 251785396329082817765472t^{9} + 25141992476304136526176t^{8} + 1235857339012024728854t^{7} + 49197908703882661127t^{6} + 1994969281759711567t^{5} + 73094621890894039t^{4} + 1777374881440905t^{3} + 19581151253983t^{2} + 77012782075t - 507201426 \right)D^{2} + 16 t ^{2} \left( 201820766631770133588748515889580605440t^{37} + 1100573673091769061821926252951262724096t^{36} + 2759919125747532246546672151391996215296t^{35} + 4187925526857517990873483167714615754752t^{34} + 4219518795918550415320534573870061322240t^{33} + 2832361923018094106863729406901035139072t^{32} + 1054369848542029533680195263939088711680t^{31} - 159972974243730409292487221170275598336t^{30} - 585554577388282926273162079996963356672t^{29} - 517620898563160862497878658453826494464t^{28} - 309014272804927923309887088867287642112t^{27} - 143402266981638502847966969669395806208t^{26} - 54746104230928282515631977162271590912t^{25} - 17849182751250548416983869166345989376t^{24} - 5125091121927853916127262223936144000t^{23} - 1320974777353971856537114816047633088t^{22} - 304458204866559056190862618437449920t^{21} - 60889933958894768987159328686978176t^{20} - 10061629678018774082161001117310752t^{19} - 1286404889659652265966122931489184t^{18} - 113883286513853773523839166555944t^{17} - 4839708644845588781983062765132t^{16} + 265044946164777228199477141876t^{15} + 51957374715757914298193500016t^{14} + 1864795697883462945880883000t^{13} - 225423803542774971598799340t^{12} - 28181378427922559487225420t^{11} - 983352714384165886372986t^{10} + 22572419130145401280938t^{9} + 2871819344190596929886t^{8} + 119772980689351505752t^{7} + 6482907726142450070t^{6} + 442514796486721668t^{5} + 18377211309898591t^{4} + 374338998196005t^{3} + 2901371556022t^{2} + 5063482924t - 49725630 \right)D + 192 t ^{3} \left( 6188109357960538480601137149483417600t^{36} + 33250271853644324554500176013101629440t^{35} + 82112232249956705758856056921223331840t^{34} + 122568957002180847534585183827688161280t^{33} + 121180521149450433850580184592854417408t^{32} + 79198056773761816876854527852160614400t^{31} + 27528793335748384468817013134301954048t^{30} - 6670349303583265262466815150229946368t^{29} - 17903340665835051815900385238347251712t^{28} - 15263974450379180252788266926709415936t^{27} - 8962897363894483173881907312630837248t^{26} - 4118420512770791719291891277865689088t^{25} - 1563397066224341833893231870948571648t^{24} - 508875107206375482595108206691501568t^{23} - 146445822943395965412828473767130240t^{22} - 37944435577067660579852044615826432t^{21} - 8806187497875703787545840322933440t^{20} - 1777166974433673022115733689139168t^{19} - 298249469126281863364497869731680t^{18} - 39445770673459924061579520328864t^{17} - 3816706184491248061203468572104t^{16} - 230967489987624511083592312888t^{15} - 3724000914537154243092317964t^{14} + 548844053146580092736525950t^{13} + 11393744917544167983355766t^{12} - 6204740680964155779651332t^{11} - 708333897482446630167302t^{10} - 34986103637133045327140t^{9} - 1049784163407094325570t^{8} - 46824666206317727248t^{7} - 2183868005624887304t^{6} + 13197448832006847t^{5} + 7570537573761731t^{4} + 350646719883221t^{3} + 6107027517393t^{2} + 31657974708t - 60186240 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ⁴P4 × ℙ⁶P6

Show multiplicities

Sector dimension: 12
Spectral radius: $13.4704256$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$13.47043$	1	1
$-7.472109 - 2.42082\mathrm{i}$	1	1
$-7.472109 + 2.42082\mathrm{i}$	1	1
$-5.642832 - 2.527475\mathrm{i}$	1	1
$-5.642832 + 2.527475\mathrm{i}$	1	1
$3.817904$	1	1
$-2$	3	1, 2
$2$	1	1
$-1.058448$	1	1
$-1$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right)^{3} \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{7} + 10 \lambda^{6} - 124 \lambda^{5} - 2168 \lambda^{4} - 7888 \lambda^{3} + 18336 \lambda^{2} + 147136 \lambda + 128384\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{7} + 10 \lambda^{6} - 124 \lambda^{5} - 2168 \lambda^{4} - 7888 \lambda^{3} + 18336 \lambda^{2} + 147136 \lambda + 128384\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 8 & 10 & 12 & 12 & 24 & 12 & 32 & 16 & 64 & 80 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 8 & 8 & 8 & 4 & 12 & 6 & 12 & 32 \\ 1 & 0 & -2 & 2 & 2 & 4 & 10 & 12 & 12 & 12 & 24 & 32 \\ 1 & 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 8 & 0 & 12 & 6 & 12 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & -3 & 1 & -1 & -2 & 8 & 12 & 8 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & -1 & 2 & 2 & 8 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2 & 4 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & -2 & -2 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 2 & -2 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{3}{2} & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{3}{2} & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta