Family 3-173-41-b

← 3-173-41-a · 3-172-41-a →

Blow-up of family 2-305-66-a along a del Pezzo surface of degree $4$.

$\pi_1\colon X\to W$ is the blow-up of the Fano fourfold 2-305-66-a, the blow-up of $\mathbb P^4$ (1-625-126-a) along a smooth elliptic quartic curve, along the strict transform of a quartic del Pezzo surface containing the curve as a hyperplane section.
$\pi_2\colon X\to D_2$ is the blow-up of the Fano fourfold 2-297-65-a, the blow-up of $\mathbb P^4$ (1-625-126-a) along the quartic del Pezzo surface, along a threefold $\mathbb P^1\times C$, with $C$ the elliptic quartic curve.
$\pi_3\colon X\to Z$ maps the strict transform of the hyperplane spanned by the elliptic curve onto a curve, with quadric surface fibers; the target is a divisor of bidegree $(1,1)$ in $\mathbb P^1\times Y$, with $Y\subset\mathbb P^6$ an intersection of two quadrics singular along a line, and it is singular along that curve, with transversal $3$-fold nodes.

More details (pdf)

Varieties in this family can be blown down to

2-297-65-a
2-305-66-a
A divisor of bidegree $(1,1)$ in $\mathbb P^1\times Y$, with $Y\subset\mathbb P^6$ an intersection of two quadrics singular along a line

ℙ¹P1 × Fl(1, 3, 7) · 1604.66wBw0 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 3, 7)
Bundle: $(E^{ω_{7}})^{\oplus 2} \oplus E^{ω_{3} + ω_{4}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2}}$ 2 copies of E^(w7) + E^(w3 + w4) + E^(w1 + w2)
Bundle: $(⋀^{3} Q_{2, 1}^{\lor} \otimes ⋀^{2} U_{2, 2}^{\lor} \otimes U_{2, 3}^{\lor})^{\oplus 2} \oplus Σ_{(2, 1)} U_{2, 2}^{\lor} \otimes Sym^{2} U_{2, 3}^{\lor} \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1, 0)$ 2 copies of wedge^3 Q_2,1^v ot wedge^2 U_2,2^v ot U_2,3^v + Sigma_(2,1) U_2,2^v ot Sym^2 U_2,3^v + O_1(1) box O_2(1,0)
ZL62 label: 1604.66wBw0

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3,6) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2,5) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	41
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	173
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-6

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	173
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	134
$\mathrm{c}_2^2$	=	108
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	46
$\mathrm{c}_4$	=	13

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		1		1		0
0		0		9		0		0
	0		1		1		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₂ + 6	0	x₀ + 6	x₂
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 28	0	0	x₁	28
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x₁ - x₂ + 34	0	0	x₁ - x₂ - 7	0	41
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 36t + 99t^{2} + 36t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	No match
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 13t - 1 \right) \left( t + 1 \right) ^{2} \left( 5t^{2} + 2t + 1 \right) ^{2} \left( 11687t^{5} + 3014t^{4} - 210t^{3} - 166t^{2} - 22t - 1 \right) \left( 38813402155878238485243939441175t^{28} + 121746254172395314008720797940696t^{27} + 177487021721474778117785661096300t^{26} + 169078906507499501382529461344742t^{25} + 123404085512499385168828452175269t^{24} + 75074775554591898046883834385805t^{23} + 38968433880952630644498773217612t^{22} + 17026238506162973793465073331667t^{21} + 6151408349947926791137192875983t^{20} + 1826516159045576034052880915059t^{19} + 450055531816250406494715655673t^{18} + 94404124706365061979073102380t^{17} + 17455695305981939121022651821t^{16} + 2940164964689811070425454523t^{15} + 463488236467001338129575711t^{14} + 69112317200699596175200723t^{13} + 9319345836391439753342584t^{12} + 1021609912921525095846955t^{11} + 81206536738977234334741t^{10} + 4199144654916515241159t^{9} + 106457679734018942026t^{8} - 849464414160537908t^{7} - 119736226452305423t^{6} - 3810935045367274t^{5} - 91875682694458t^{4} - 930653485322t^{3} - 8380165270t^{2} - 279144469t + 1240064 \right)D^{8} + \left( t + 1 \right) \left( 5t^{2} + 2t + 1 \right) \left( 1061452620530052597234287453382688606500t^{37} + 4584509780735231659535946318097241546560t^{36} + 9262045116067287892639360252402386532352t^{35} + 11920881453482507818573388437877655796158t^{34} + 11267004881008968335018840691794786395268t^{33} + 8530940147842186342017061170242699024289t^{32} + 5450531100319023761226841278332491454736t^{31} + 3000518628446135862089448781905988066763t^{30} + 1421707917025459542881894428791382565542t^{29} + 574673011399681193663285650752980027790t^{28} + 196930853286122680341167927276289257889t^{27} + 57272715955128127480219648427667529377t^{26} + 14273788203906949419696019881089951127t^{25} + 3101878473809556875461972769802000562t^{24} + 599386250653359167766389027277884350t^{23} + 104090128885474404967647398852506569t^{22} + 16063822171454980682346304815868053t^{21} + 2093929958966482927782043115450076t^{20} + 192965216719999717172884860471878t^{19} - 356801560728710628488913534376t^{18} - 5183298339531659806212506621515t^{17} - 1349596111107212357867108104895t^{16} - 221466454314308840697865206472t^{15} - 27721459216100508339515545967t^{14} - 2977692716670299400500304164t^{13} - 291692366510246406816524502t^{12} - 24736112020011016709078759t^{11} - 1610564156146095951153355t^{10} - 69221129064336677397739t^{9} - 1374436510430474659964t^{8} + 19219348037261623394t^{7} + 1622432247788182163t^{6} + 45166355790558797t^{5} + 945328543281940t^{4} + 8467848529816t^{3} + 65552725084t^{2} + 1973852307t - 7440384 \right)D^{7} + \left( 80493490390195655290266798548187219326250t^{40} + 433201865238009111731045113353263522316350t^{39} + 1098054149748137883185966703310627683803370t^{38} + 1772883828862639156612334613294736706491616t^{37} + 2083371366379640591112212080240715102184838t^{36} + 1929394778091575621723977825683396488637207t^{35} + 1483539906419502007140896910316695473953189t^{34} + 977949616789581638139458354518414942152902t^{33} + 561205342528094081228374131237434231964816t^{32} + 281352695288999533677423898050550812445883t^{31} + 122979050317483920076405256110219848316506t^{30} + 46755134496990886427426793516493555822434t^{29} + 15467361749410129915985326335285232145165t^{28} + 4473564060803651426686552081243375536075t^{27} + 1142341208799969801022202533201858805548t^{26} + 261334532635962144299588366716824509244t^{25} + 54521539098317260625600083569568696362t^{24} + 10555458093708686714661041243742666510t^{23} + 1919903087521352307543375192392104290t^{22} + 328565940388312875028461984463862933t^{21} + 52152121685212235424518947036500979t^{20} + 7462026280583758410992156594120034t^{19} + 935006220786349595436221820034242t^{18} + 102227502741773888360807463441085t^{17} + 10320757066778860581792744489772t^{16} + 1083879912888701177321381471943t^{15} + 126343889077046217103621006990t^{14} + 15076308931433872632946567004t^{13} + 1610982548852606944434957187t^{12} + 137879774947472547995727451t^{11} + 8668393047856544217629964t^{10} + 362101333993663000811126t^{9} + 7586946728046264427120t^{8} - 48635072749983528990t^{7} - 5817734967480709140t^{6} - 141456602813470083t^{5} - 2726880046968201t^{4} - 23216169513807t^{3} - 159775797183t^{2} - 4876916197t + 16120832 \right)D^{6} + \left( 668715150933933136257601095631093822095000t^{40} + 3409823265320217000273457889944409930760200t^{39} + 8204037670662020340143808175643909747319560t^{38} + 12618329489163127889979416705649266498184746t^{37} + 14203782001267077095493072118550579928419290t^{36} + 12690732185504637678980685155785673204660653t^{35} + 9482262073600784721906344867283450428805071t^{34} + 6102358753018870412238608876786464443144278t^{33} + 3420846495712999543992718564858109649655144t^{32} + 1670726812748591550424738691103858519921039t^{31} + 708613138763373467963861060179247984983392t^{30} + 260593844270297208425881738799519372786840t^{29} + 83297601315135658587458597971601545529621t^{28} + 23310676031272526431560995964159043393605t^{27} + 5779788653876694126536479095479734671342t^{26} + 1289515345703932993145839382571380315824t^{25} + 263151855082451863708124323989498713416t^{24} + 49777287340377701878403393206923628176t^{23} + 8777054765228505283031950424812621670t^{22} + 1432069961507183393960320709217282873t^{21} + 210876683507484543671573820112478537t^{20} + 26848975706572590221022441732976334t^{19} + 2786294092822207688761441116311278t^{18} + 215179207613210340902115509729055t^{17} + 9462057666752485821508886777768t^{16} - 326251518957791682813753407937t^{15} - 129811171047002570105475577884t^{14} - 19697304127645514269334155238t^{13} - 2379973179591437856369632025t^{12} - 228214862939627171155857891t^{11} - 15711783344947265980815474t^{10} - 705068203613571156296890t^{9} - 16317138554004648529232t^{8} + 27322260586407287754t^{7} + 9221468971426043406t^{6} + 191226347571581979t^{5} + 2983908469237057t^{4} + 23072413550835t^{3} + 174855913479t^{2} + 4940509797t - 14880768 \right)D^{5} + \left( 3309520816427659827126738755692774517683125t^{40} + 16100387953737954372259853764521114604502975t^{39} + 37011964193649699244884563068286919432515205t^{38} + 54594493486012319382494858852956725144249671t^{37} + 59273910510163241045799194788837415821868218t^{36} + 51437465829106879987707188937105809857648763t^{35} + 37560914107476055247681955278761016979492237t^{34} + 23697374421984551448509794488311403808344075t^{33} + 13012729808107760864152441905459188532283209t^{32} + 6204407958089935890634281378793245564888722t^{31} + 2559060815162902117613992086199217882416961t^{30} + 912805180305742376595641938529353880968803t^{29} + 282948827562937265482042590573376106163135t^{28} + 77011115385774951204874036627411117119903t^{27} + 18684837215982024067856062834033002038414t^{26} + 4115239360422952919334766981305064939399t^{25} + 837710102690339855191140554751885952504t^{24} + 159778303501276175795276678523162516472t^{23} + 28664905012724618944247469985825167342t^{22} + 4780447253806864893607194739518028131t^{21} + 719788401577130516185272588007290482t^{20} + 94017597340851671149753886786510277t^{19} + 10233981064196614709490645936237929t^{18} + 897547708688050030218016753724499t^{17} + 61745486920328086647865084381509t^{16} + 3296409816889918481679713720478t^{15} + 152963023918887070144326098497t^{14} + 10678104702384387587090742101t^{13} + 1283583173671885527753510779t^{12} + 139731890366244788650222493t^{11} + 10590936912961804860578900t^{10} + 513715104200241009256665t^{9} + 12890799253343980920437t^{8} + 14356090466217051961t^{7} - 6141178458718845797t^{6} - 111234742178021410t^{5} - 1033812080013078t^{4} - 5658688457116t^{3} - 78102684776t^{2} - 1753678078t + 4960256 \right)D^{4} + 4 t \left( 2479818684713335380288604062965306256935625t^{39} + 11590937709775821147027213871678711857200675t^{38} + 25625958406409211861584376377725236267199655t^{37} + 36484366614989071615653614473362449491806479t^{36} + 38444119330580223290369285318478701979287752t^{35} + 32586092077730595017326443169295150826053892t^{34} + 23362538206810247934347125427825943134493242t^{33} + 14498704378461237456763996917757173414962957t^{32} + 7818878880235440223363009284506878289055509t^{31} + 3648460458533627879699766524022420686310523t^{30} + 1467682217274678673581619412417919590400546t^{29} + 509603933171014935822034258732593051413440t^{28} + 153852085353821251410112832557612316990411t^{27} + 40928490001040091378478143562519271949973t^{26} + 9766652538794745805652778927731668536437t^{25} + 2131656579828291109487557005215600059874t^{24} + 432929191812005767809951260744335538332t^{23} + 82681203364138676763907691853593755547t^{22} + 14821696441930761416801320953660366974t^{21} + 2446520260379943584529784913206560919t^{20} + 358826655485298889542612736026660494t^{19} + 44748276738314293471779402823204515t^{18} + 4535946071030957365011407807867941t^{17} + 356053876222150084154986532728021t^{16} + 20048109338348146126116081764083t^{15} + 652121478813133648957916728201t^{14} - 3552738129589066079671066664t^{13} - 1698521515046728991045910946t^{12} - 109040163397304085832213183t^{11} - 5136751574404400007987449t^{10} - 227379293081330567724707t^{9} - 10067780781327789384660t^{8} - 384453216230940413861t^{7} - 7156315271947231090t^{6} + 6398711389383097t^{5} + 1213532150291788t^{4} - 545872372778t^{3} - 263247861907t^{2} - 118774537t - 225792 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 4353577407899025451239686498033913505354375t^{38} + 19688909862483494642748497940896806992976725t^{37} + 42139422422973381359226739418339254585648095t^{36} + 58266369359834716656229870768843947884439741t^{35} + 59923501698774472392778783962015445500786888t^{34} + 49851554786500413354697785588130913568138887t^{33} + 35223544934043364527107906859745808858078921t^{32} + 21563587136875768701016063216451269129412891t^{31} + 11448642143553821546527861571672366451912073t^{30} + 5242287912478578668356701978621631631579002t^{29} + 2063496601088480575607967298543728189221636t^{28} + 700202005059439572171526862902329342207048t^{27} + 206842034817119505741297264399766796937252t^{26} + 54057983385896244306602035883011653156862t^{25} + 12752929407445049475562377916992734882962t^{24} + 2770756307316072259221904823140045768880t^{23} + 563204575710183945594706384194611324617t^{22} + 107880963582518689584979189221059507983t^{21} + 19340820885956551263776935239531716401t^{20} + 3165501320137826027271246435743668051t^{19} + 454546588344428605884214143187000686t^{18} + 54696331208762662711024831209768695t^{17} + 5262111146252478964015388273847609t^{16} + 382586041675366587441095421074415t^{15} + 18863207195268246321612760904863t^{14} + 402887679885046682098500955576t^{13} - 22241178396654783293558182362t^{12} - 2673915257624746316510411706t^{11} - 158405245945463972066981336t^{10} - 7858841017868057067085252t^{9} - 363996657245258694331492t^{8} - 14359208868684579081706t^{7} - 377601883628212847464t^{6} - 3543600107960086598t^{5} + 56916294183950870t^{4} + 818262689819794t^{3} - 8866096808722t^{2} - 153539707912t - 39682048 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 1009706805279212533119115940030282536933125t^{37} + 4449304093721771034945428776901527583291175t^{36} + 9279771224158434963613549068964090580005215t^{35} + 12536823403371388642894168147152771849393969t^{34} + 12650019652254689737583209687037784859857485t^{33} + 10372595945863728019230298292584758531543412t^{32} + 7246235698656368857826219653179601783591082t^{31} + 4387446734305812971915267931285132875021060t^{30} + 2299210935996187141345644491055757387626128t^{29} + 1036191455900313519664930445171497721773168t^{28} + 400513755398958179759516684255682054481420t^{27} + 133353369494277465551734283395506806762870t^{26} + 38711602289442036429933023523557921581394t^{25} + 9981802992715338639979837883097486673926t^{24} + 2336452420551457130151001117448632038082t^{23} + 506497318439839637375269843964028224282t^{22} + 103119685235473682056564029115825449288t^{21} + 19798399814177448697212467346807145440t^{20} + 3544962560849208496489499550106321210t^{19} + 574815345017932456375531537643624210t^{18} + 80886918893879565571345488375765038t^{17} + 9424535116331304314049825330727144t^{16} + 865886527192525234620750584662962t^{15} + 58826041944255517554815031960080t^{14} + 2560317582333893018371294166792t^{13} + 28601481120927030480546855884t^{12} - 5135520363627587342385754816t^{11} - 478889465608752469355852298t^{10} - 27849182079689658620391626t^{9} - 1415473033831578855860634t^{8} - 64434356966157794623790t^{7} - 2287765513116556138702t^{6} - 46346616360040679445t^{5} - 128223102256920419t^{4} + 10493867406348843t^{3} + 71008010563569t^{2} - 1546647492307t - 11520251304 \right)D + 192 t ^{3} \left( 30959034765459867419333384056995084356250t^{37} + 133868026875329181957403731922172705445750t^{36} + 273934903068330822805972122182432926560600t^{35} + 363784718682404016464522666907261519619260t^{34} + 361954520206625793821724378793254080523935t^{33} + 293665699587445390527267120492441333791491t^{32} + 203442782038732427648216745315806229365555t^{31} + 122151083862649758278351974996642196055591t^{30} + 63364739967346065681521497612278331248964t^{29} + 28202398735321670679932407794499648544771t^{28} + 10746437915035941271674183584488019458051t^{27} + 3525740631976510851515702530059010790839t^{26} + 1009984150664782512964340255175422961963t^{25} + 257873561377621743659987016701525610406t^{24} + 60045619488263641020549420775373784610t^{23} + 13003811138126810871294574699029267820t^{22} + 2651663619829371485809740090669472378t^{21} + 509891504553700864087317623103903754t^{20} + 91122187026006863056248470454308734t^{19} + 14646438028861639271044621332117554t^{18} + 2025069938447883329115829089308475t^{17} + 229617254995249095383863870608971t^{16} + 20297164872806612425180864167101t^{15} + 1301236740699863723916986697839t^{14} + 50409580264755144513003700686t^{13} + 66089481077223156776450427t^{12} - 140658980332854447853590979t^{11} - 11759629079763071412491077t^{10} - 691637752689688105027661t^{9} - 35718573965250917972820t^{8} - 1555254929381492313802t^{7} - 48867801380820849250t^{6} - 762137667592777758t^{5} + 2791490230063330t^{4} + 213295193379234t^{3} + 590465670528t^{2} - 31270735552t - 117186048 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 3, 7)

Show multiplicities

Sector dimension: 12
Spectral radius: $13$
Diagonalizable at 1: No
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$13$	1	1
$-7.256823 - 2.976564\mathrm{i}$	1	1
$-7.256823 + 2.976564\mathrm{i}$	1	1
$-5.849242 - 3.299424\mathrm{i}$	1	1
$-5.849242 + 3.299424\mathrm{i}$	1	1
$4.21213$	1	1
$-1 - 2\mathrm{i}$	2	1, 1
$-1 + 2\mathrm{i}$	2	1, 1
$-1$	2	2

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right)^{2} \left(\lambda - 13\right) \left(\lambda^{2} + 2 \lambda + 5\right)^{2} \left(\lambda^{5} + 22 \lambda^{4} + 166 \lambda^{3} + 210 \lambda^{2} - 3014 \lambda - 11687\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right)^{2} \left(\lambda - 13\right) \left(\lambda^{2} + 2 \lambda + 5\right) \left(\lambda^{5} + 22 \lambda^{4} + 166 \lambda^{3} + 210 \lambda^{2} - 3014 \lambda - 11687\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 8 & 8 & 12 & 12 & 24 & 18 & 32 & 16 & 64 & 100 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 8 & 8 & 8 & 8 & 12 & 6 & 18 & 48 \\ 1 & 1 & -1 & 2 & -2 & 0 & 8 & 0 & 12 & 6 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & -2 & 4 & 0 & 8 & 12 & 12 & 12 & 24 & 32 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 2 & 2 & 3 & 8 & 0 & 8 & 12 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & -3 & -2 & -3 & 8 & 12 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & -1 & 2 & -2 & 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & -2 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & -1 & 2 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 & -3 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{3}{2} & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta