Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-182-43-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ5P5 × ℙ6P6
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7 (marked)node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9node 10: fundamental weight ω_10node 11: fundamental weight ω_11node 12: fundamental weight ω_12ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9ω10ω11ω12
Bundle
E^(w2 + w7) + E^(w6 + w7) + E^(2w2) + E^(w1 + w2)
Bundle
O_2(1) box O_3(1) + Q_2 box O_3(1) + O_2(2) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
150600.w0jw0FDw00
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;6;7) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;5;6) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 43
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 182
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -11

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 182
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 140
$\mathrm{c}_2^2$ = 108
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 40
$\mathrm{c}_4$ = 22
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 14 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 11 0 x0 + 11 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 33 0 0 x1 33
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 43 0 0 0 0 43
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 38t + 104t^{2} + 38t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(409)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(477)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( t + 1 \right) ^{3} \left( 382352t^{7} + 251760t^{6} + 15848t^{5} - 10216t^{4} - 2127t^{3} - 85t^{2} + 11t + 1 \right) \left( 45068792184050456147964151552t^{28} + 255303049516200041542427241472t^{27} + 717720802576257917242347129344t^{26} + 1292169109079060409984298832576t^{25} + 1627214697257128254153241777424t^{24} + 1507853766126312692019205712304t^{23} + 1075051126655409172436267762240t^{22} + 615700853458653059427623822328t^{21} + 292937235550601953329972831536t^{20} + 116665510759574288594691100340t^{19} + 38080371868785127002344505982t^{18} + 9856661334445622103664724570t^{17} + 1973756365482726417997558366t^{16} + 309168248399248472905019500t^{15} + 42512763936631772379283752t^{14} + 6486283370878664298723792t^{13} + 1114148002429076819375153t^{12} + 166194493398592501808901t^{11} + 18021313256159141522143t^{10} + 1316362338607909841409t^{9} + 63437579406872313696t^{8} + 2452303132708769334t^{7} + 117930910273448854t^{6} + 5051820965685546t^{5} + 86741205368433t^{4} - 968338059723t^{3} - 52611031547t^{2} - 617066573t + 1025024 \right)D^{8} + \left( t + 1 \right) ^{2} \left( 1033928569749363600545183356452618240t^{37} + 7492873503382752510380910791546781696t^{36} + 26694973320897867002918736333374341120t^{35} + 61354258327564431746814272700239116288t^{34} + 100638172764129063759548254254509603840t^{33} + 124152627022957400639150589250726294016t^{32} + 119386581980922407144372656074242217728t^{31} + 92203182103428394293768275894654019456t^{30} + 58739148558233082229228697964178687616t^{29} + 31524421136912616697629836237321051040t^{28} + 14396830898905998297892692976310451280t^{27} + 5570747021671455236684303339355633584t^{26} + 1797140513414613939901426566240427848t^{25} + 473239327027211188655363723530365160t^{24} + 99919918772903010939514815962830308t^{23} + 16924688736185491181316633150513552t^{22} + 2432756356841513391415668699653794t^{21} + 342720272809806534261113723774200t^{20} + 50570185716964305613552434175592t^{19} + 5982463364476916032795040451956t^{18} + 153113519985321769686633832906t^{17} - 125200090614070178507375917586t^{16} - 32653341725432252053707191225t^{15} - 4897037199617170532683506964t^{14} - 569489076063170506347744349t^{13} - 60444215480630151260311206t^{12} - 5966041376608785736942485t^{11} - 485346582525560300507704t^{10} - 28791184093326365459209t^{9} - 1197498138121644377702t^{8} - 41604468060686844399t^{7} - 1678809607095627188t^{6} - 58076549016175401t^{5} - 816667566583458t^{4} + 9706414649313t^{3} + 423182264588t^{2} + 4329716251t - 6150144 \right)D^{7} + \left( t + 1 \right) \left( 13027499978841981366869310291302989824t^{38} + 101267771040461162485986672174284433408t^{37} + 386305360244937105403230655459813266432t^{36} + 951648005067432222711258087394739076096t^{35} + 1678464240116579521854458550849231639552t^{34} + 2235491927138070903398255747305447952000t^{33} + 2329319081921422141760614176151850288960t^{32} + 1954308224065123048210985366388148307200t^{31} + 1354656565452354898267469543446179766560t^{30} + 792607348815454193351552237245286356672t^{29} + 396645953826866899179656911008069258384t^{28} + 170031022480292245101699635887552308048t^{27} + 61879701171165483671231931306793955944t^{26} + 18859120947100273127627334044081791376t^{25} + 4762459039810771514778364643585109260t^{24} + 999502217248344235897128870745319752t^{23} + 180622416671516720252242089780186874t^{22} + 30669546957578923246848890167176786t^{21} + 5380249037144412936075284794010876t^{20} + 957061524379356180442227335583680t^{19} + 153151127988035363277058695053314t^{18} + 19892818647685545616280728491332t^{17} + 1990121577980584669029900813429t^{16} + 155036566403143047266775860623t^{15} + 11598897138847292661465830415t^{14} + 1276157270932305740039065345t^{13} + 177485756982147254245680797t^{12} + 20760465883055582092211055t^{11} + 1775677032303428482468551t^{10} + 105418843683687681758189t^{9} + 4241583419787411261707t^{8} + 136639225001416587133t^{7} + 5433611718389970971t^{6} + 201661687632426441t^{5} + 3200267994993163t^{4} - 18529031629907t^{3} - 1064719419765t^{2} - 10457371805t + 13325312 \right)D^{6} + \left( 89744999854244760527321915340087263232t^{39} + 752847791431885667813225240724592453632t^{38} + 3089135980162427722956586253600907185152t^{37} + 8182218940107958823996592123255680974848t^{36} + 15545356046523255581438730249231885476864t^{35} + 22364171544029871838003636402866812524672t^{34} + 25228742350436026320909565528160253211328t^{33} + 22938057872030293731656226474175962527040t^{32} + 17221656480516335156750711648310583759264t^{31} + 10905069668464079593829526024903993310144t^{30} + 5912714102077521744542001935359610879376t^{29} + 2760536801929707850231333499966615029792t^{28} + 1104761546419568750837848355484362022296t^{27} + 374748909267460099353304865217623264952t^{26} + 106473898087814190485047220133830941316t^{25} + 25203218333206867784061522250563031168t^{24} + 5032552082504792984339011992010106290t^{23} + 889882764761866383819540352174115820t^{22} + 152311390563739148647940643980185790t^{21} + 26785880021337481197165469540740844t^{20} + 4577636414841172154107464588232522t^{19} + 677661088632202838233460309480852t^{18} + 79512428945379024464084151857683t^{17} + 6997402821916085725257104121344t^{16} + 445280361159347816786525914630t^{15} + 19080880379857333363243903740t^{14} - 61832494753126345676701258t^{13} - 195712430284840547169194848t^{12} - 34472952653666680370555586t^{11} - 3468785509271265739263620t^{10} - 215387784289019765465684t^{9} - 8120722936232825355376t^{8} - 201225965278751810752t^{7} - 6055112725066874792t^{6} - 238285214020252836t^{5} - 4175444499138940t^{4} + 17257099533512t^{3} + 1160586831160t^{2} + 10337822749t - 12300288 \right)D^{5} + \left( 368388749401698250874248829904067878912t^{39} + 2976889911008376624040400542833295878144t^{38} + 11828889361040574437920724779679502578688t^{37} + 30423982023829070922809432116753010903040t^{36} + 56164374049894265228460097640443123292160t^{35} + 78493543069037480069435784613186604855168t^{34} + 86033382264917474661600085569985190486080t^{33} + 76100425390999643624306428442135830563648t^{32} + 55728398579224658709996076948732518861760t^{31} + 34523568054131639920547689937811888524848t^{30} + 18348338395408872544324502818377940376320t^{29} + 8392370352761666846093603274687255637632t^{28} + 3280234599798020760684640520869124398432t^{27} + 1082167486350927165890012953852715540016t^{26} + 298085206564963438282321712798817067084t^{25} + 68485073063396942682026871503488096650t^{24} + 13429473947724406636572795706888550468t^{23} + 2404394082455943902754402036279298228t^{22} + 434135828824823835264797887000813448t^{21} + 81643609753078232142594750655001788t^{20} + 14666106441605592673376669391187866t^{19} + 2259405075692461949930790803906763t^{18} + 279670993730169579124470436722998t^{17} + 26984875810904733637157005601278t^{16} + 2020214348662983739940950184512t^{15} + 121855408762408287720194315986t^{14} + 6685544344507359239335250700t^{13} + 408692375223164078172576050t^{12} + 31077633946732125991902468t^{11} + 2480577729422054545780136t^{10} + 158180507472765700157020t^{9} + 6714059374312836238752t^{8} + 185833667340035809788t^{7} + 4525936607260852346t^{6} + 134126499834771484t^{5} + 2285352100965290t^{4} - 3021678538430t^{3} - 447491935955t^{2} - 3609838926t + 4100096 \right)D^{4} + 2 t \left( 459581249253592120442334001943188807680t^{38} + 3602431385359805764793457357331013041152t^{37} + 13946990136376959437398275375195045753344t^{36} + 35022606210095548763498031182959196249088t^{35} + 63134105710344363120048136764078949270528t^{34} + 86117314122133432471040063615637185842112t^{33} + 92120829077489647986677170537983659987104t^{32} + 79610119957440492464428088907334392264096t^{31} + 57078205086601542291802132723147145655536t^{30} + 34700101238214896988489142792589097570512t^{29} + 18116354471720521489413990386193653434224t^{28} + 8128324154497011050348794047062493574232t^{27} + 3105235824296668708883529613553968919128t^{26} + 996861883462606927490905780945909192752t^{25} + 266326057411639635569959718037982412224t^{24} + 59412623187404430219169713549325570832t^{23} + 11444375801120056803701174214620747708t^{22} + 2068853628433794418622051160271945956t^{21} + 387252003151885234084800167782842460t^{20} + 74880076851272339669245070003860412t^{19} + 13414181202188938246075684636373138t^{18} + 2010739225426633225353397759670323t^{17} + 238444049971946064221020577211584t^{16} + 21819102406045136432594619780052t^{15} + 1548349799426131657564803776624t^{14} + 90663896615557381321663327884t^{13} + 4928787955904435797742335576t^{12} + 252831524620290784454248588t^{11} + 10155614142261169102248996t^{10} + 240806616683197850416202t^{9} + 1186583037689008677536t^{8} - 93910711740921655364t^{7} - 857927038775654252t^{6} + 142479592412640440t^{5} + 3486710392814364t^{4} - 18816823715552t^{3} - 839788190654t^{2} - 2091877t - 343552 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 169443660439091538069346465733309919232t^{37} + 1296488458249394438847864223037876084736t^{36} + 4917108370649686987316356071496522572800t^{35} + 12113793238991557691275260614403028546304t^{34} + 21421140660402882405409497729599929913728t^{33} + 28644133315073048963586630002982005324544t^{32} + 30032854992469407682476876061838414535936t^{31} + 25460118289496675758815263489333343975024t^{30} + 17937733898750723457175003963583252323112t^{29} + 10734743783936986879210892207736855644152t^{28} + 5518964473496688177711433772767080273424t^{27} + 2433948117653150939515695484757555618484t^{26} + 910633538136585102058943300172141710764t^{25} + 285127314242959698958949909425912629892t^{24} + 74099693294995924194248572398207208802t^{23} + 16114565268286311982263573317268035495t^{22} + 3066330036112374733965498343438514070t^{21} + 562541631151804146974253753019344744t^{20} + 108840202854348370639960498507482010t^{19} + 21441001716451575534555394552128209t^{18} + 3813594536278482533280914898234776t^{17} + 558271818737000958049499552417251t^{16} + 64165514125295449040735866962846t^{15} + 5687570941495251023085845465021t^{14} + 395426641138864369855690887362t^{13} + 23401214190881763429244483515t^{12} + 1320839420855197498480298958t^{11} + 68280115391462762644063229t^{10} + 2516327624516913639005658t^{9} + 35480288712301290821981t^{8} - 1646064712773823790056t^{7} - 100578474105640324864t^{6} - 2135385125719085032t^{5} - 7915386528088287t^{4} + 64925998520560t^{3} - 8516830144086t^{2} - 134598720182t - 16400384 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 22384553535073721951803219667199184896t^{36} + 168113960168064568068723231272922072576t^{35} + 627549080482161222033066176550584745216t^{34} + 1523256042717330657138962337611065028864t^{33} + 2653166668979969450418643133760024930176t^{32} + 3492121951734512120051585349530814044128t^{31} + 3603117515023008510275477819642138305872t^{30} + 3007753065305622930807519938493915780928t^{29} + 2089500938484500326961786050432894224272t^{28} + 1234560972603418987289094457488725628584t^{27} + 626625397673970758289691291157182796776t^{26} + 272290076980895324257036318298525889384t^{25} + 100032758285372417293937997209019819120t^{24} + 30642183933659096975748215947863901212t^{23} + 7774011444584379802251064022987090076t^{22} + 1654890520717584161611055979602907244t^{21} + 312391615704504735763802269550234904t^{20} + 58226724340109217238896703144152208t^{19} + 11567491581592834761505426571421870t^{18} + 2301000898221017470203140157243909t^{17} + 404695912088163365469307039231932t^{16} + 57864507571831251080805753285022t^{15} + 6460824943063626555562076591048t^{14} + 557139949589084348270300544598t^{13} + 38254619507851533010540309692t^{12} + 2307717075565640701622841358t^{11} + 134034159998278203487306412t^{10} + 6757687978496365297139352t^{9} + 214209995014649564833004t^{8} + 91717372010031602830t^{7} - 338595374261321350612t^{6} - 15060185456705795378t^{5} - 303782311810721412t^{4} - 2862561758427886t^{3} - 34860191137186t^{2} - 862913615445t - 6853389816 \right)D + 576 t ^{3} \left( 603124999020462100318023624597360640t^{36} + 4467552054752466708319175584155671040t^{35} + 16481355313251843961828609151179139840t^{34} + 39564023965004419870390700961425169664t^{33} + 68127986474430664487080884225879526272t^{32} + 88594217290790949012675020466193945120t^{31} + 90288900179884274647593686339208904368t^{30} + 74478289867778644745003159455167378208t^{29} + 51180818426700575436775471404905547136t^{28} + 29939202767384551688973089157386410216t^{27} + 15041328421367346334139186168420771224t^{26} + 6457245904488781483217373559125869984t^{25} + 2336570946605632707698526869817399704t^{24} + 702756625588992405444082817683258764t^{23} + 174752669107055577370072387970514016t^{22} + 36563858490221068681680139615039782t^{21} + 6868743457241539917740094062821884t^{20} + 1299599963108058111953872889455148t^{19} + 263448262893316499020201245248706t^{18} + 52640943397824895877225427725525t^{17} + 9150912240280587200269938907276t^{16} + 1281545909366097511160163476134t^{15} + 139620553602206984237089660574t^{14} + 11780398380599405289725910733t^{13} + 804385498317394862366565472t^{12} + 49573845253577976635229106t^{11} + 2923990798739185630947446t^{10} + 140393163094226170556919t^{9} + 3563510175540013536196t^{8} - 74106505280088485402t^{7} - 10349393499953697790t^{6} - 391496361178005823t^{5} - 7312723192119940t^{4} - 78097553198718t^{3} - 1124518382656t^{2} - 17147348416t - 69189120 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ5P5 × ℙ6P6

|λ| = 12.63101 λ ≈ 12.63101; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.916425 - 4.277507i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.916425 + 4.277507i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.178206 - 3.744775i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.178206 + 3.744775i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 4.504929; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.946684; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1; multiplicity 3; Jordan blocks 1, 2 λ ≈ 0; multiplicity 1; Jordan blocks 1 3
Sector dimension
12
Spectral radius
$12.631015$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$12.63101$11
$-6.916425 - 4.277507\mathrm{i}$11
$-6.916425 + 4.277507\mathrm{i}$11
$-6.178206 - 3.744775\mathrm{i}$11
$-6.178206 + 3.744775\mathrm{i}$11
$4.504929$11
$-2$11
$-1.946684$11
$-1$31, 2
$0$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 1\right)^{3} \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{7} + 11 \lambda^{6} - 85 \lambda^{5} - 2127 \lambda^{4} - 10216 \lambda^{3} + 15848 \lambda^{2} + 251760 \lambda + 382352\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 1\right)^{2} \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{7} + 11 \lambda^{6} - 85 \lambda^{5} - 2127 \lambda^{4} - 10216 \lambda^{3} + 15848 \lambda^{2} + 251760 \lambda + 382352\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 8 & 8 & 12 & 12 & 24 & 18 & 16 & 8 & 48 & 80 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 8 & 8 & 8 & 8 & 12 & 6 & 12 & 32 \\ 1 & 1 & -2 & 2 & -4 & 0 & 8 & 8 & 12 & 24 & 24 & 16 \\ 1 & 0 & 2 & -1 & 4 & 0 & 8 & 4 & 12 & -6 & 12 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -3 & 2 & 0 & -2 & 8 & 12 & 8 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -2 & 0 & 2 & 8 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & -2 & 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & -\frac{1}{2} & -2 & \frac{3}{2} & -1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{3}{2} & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{3}{2} & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$