Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-183-43-d

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ4P4 × ℙ6P6
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6 (marked)node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9node 10: fundamental weight ω_10node 11: fundamental weight ω_11ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9ω10ω11
Bundle
E^(w4 + w6) + E^(w1 + w2)
Bundle
wedge^2 Q_2^v(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
140600.wSw0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;5;7) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;4;6) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 43
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 183
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -3

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 183
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 138
$\mathrm{c}_2^2$ = 104
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 54
$\mathrm{c}_4$ = 15
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 7 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 3 0 x0 + 3 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 32 0 0 x1 + 5 27
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 43 0 0 0 0 43
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 38t + 105t^{2} + 38t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(421)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3t + 1 \right) \left( 2386593t^{11} - 29494t^{10} - 513960t^{9} + 886398t^{8} + 777626t^{7} + 181203t^{6} - 9758t^{5} - 11074t^{4} - 1821t^{3} - 82t^{2} + 9t + 1 \right) \left( 36245792522920138474704373221690t^{30} + 152260374269763069187375545346860t^{29} + 279765434202638044540700621713352t^{28} + 272219020063689435996065240650948t^{27} + 101244870023656703683003448855039t^{26} - 99010834175326969953764501703908t^{25} - 196481313827620637723320843252456t^{24} - 179120416362958350605291648180045t^{23} - 112716592795167279040130834849815t^{22} - 54101798274310404494494305045618t^{21} - 20701566703217455486975354778927t^{20} - 6475709608110409494912792800996t^{19} - 1683380302822665744182945136208t^{18} - 367673784217973790675699222822t^{17} - 67876526926055625172186096924t^{16} - 10584524182957505176681934274t^{15} - 1379934687758730769085587180t^{14} - 146794743525765291190358294t^{13} - 12151470680281103557982254t^{12} - 706733084561451866678152t^{11} - 19892222248968780799437t^{10} + 863560384522171784090t^{9} + 135704183665616150700t^{8} + 8352069015046648416t^{7} + 358583117780672700t^{6} + 12809611837470489t^{5} + 338904109304388t^{4} + 5532412254132t^{3} + 73787183784t^{2} + 456980076t - 1545984 \right)D^{8} + \left( 9342427109182582540618094493629462634360t^{42} + 42834478953484444107010024558921986753480t^{41} + 85596541634396702549613902576214177005724t^{40} + 92004070485841874441072092000045468514772t^{39} + 45816341734009841045463329852724112679756t^{38} - 14040572222299807893995406423262230129390t^{37} - 45221846919743446770635131670652561599096t^{36} - 45976218517897617044630131264322338452981t^{35} - 37785758010983426502985676893573756378671t^{34} - 32544676731085715232325742164569899311436t^{33} - 28281733565492831280742081481823237569734t^{32} - 21651403252146585730765094975225468472124t^{31} - 13711457540081336862752817068847154519899t^{30} - 7120095872072044674497048390764938954257t^{29} - 3058099639064421090420419291876682748044t^{28} - 1098913940891013616601941990159779043473t^{27} - 333692186857359477099954490400714594765t^{26} - 86223132384900020093768684341017257977t^{25} - 19006775952245835215442224547909263180t^{24} - 3557605529094192838798100054745170647t^{23} - 554974841174876685043667719539424656t^{22} - 68488872685758429406063568039060294t^{21} - 5600406016448528941230418567413968t^{20} + 23409537411665418654038951477758t^{19} + 114560864671783402691629653959262t^{18} + 26329154290314515096617805784835t^{17} + 4074400073601300672081590767681t^{16} + 500116273311793335035610181340t^{15} + 50840742276328936612488665006t^{14} + 4249903139006125491328397022t^{13} + 275614235978275997979495831t^{12} + 11688984656970232350618659t^{11} + 73590096577520208826416t^{10} - 32987867326267860132735t^{9} - 2869895673723300395649t^{8} - 142143701516171710095t^{7} - 5231755328813601264t^{6} - 159738032207903187t^{5} - 3614371283739780t^{4} - 51649925631768t^{3} - 595271056464t^{2} - 3198860532t + 9275904 \right)D^{7} + \left( 141693477822602501866041099820046849954460t^{42} + 657232672752567553193056043169782995850580t^{41} + 1334868405843436762522984504652519427813156t^{40} + 1456905881154487062969557833463489199606972t^{39} + 696853253997131152123732189720765193182678t^{38} - 382009002469526345059079100306738637275948t^{37} - 1023032637985084687293274865219971219980670t^{36} - 1049552176420998808997193709262159596917593t^{35} - 772481359803278587625696604668440106784491t^{34} - 495446248640514308927131278133208516681442t^{33} - 309482763473920454756686637645340997288306t^{32} - 189563632905890171881928132145384481027648t^{31} - 107139670546831554562885270774065326068783t^{30} - 53011285952992638674236408571031320915107t^{29} - 22444482688452107368039760908297760338634t^{28} - 8100447414599603108215572148611908641839t^{27} - 2502444185920765421336256962066238109089t^{26} - 666011209052357498787856758818065725271t^{25} - 153670952560436016614850286941966448750t^{24} - 30898536440269793489512730536949857151t^{23} - 5437300096784265393805898923587847310t^{22} - 841986541679214966491485071963981020t^{21} - 116077263990696895183745214376731026t^{20} - 14616264031729499600775102786973990t^{19} - 1756259048378510287330724170554570t^{18} - 210489904708225210621374227888907t^{17} - 25263237721789967863823072644061t^{16} - 2891251613404010941037158435094t^{15} - 294804131247006353120004895232t^{14} - 25191127735591572584600815714t^{13} - 1694848071795381034098903157t^{12} - 80828096960005175560217965t^{11} - 1884786352074109830533166t^{10} + 67738911684887528834297t^{9} + 8901062805919204945689t^{8} + 451381753826198196177t^{7} + 15654091940961151344t^{6} + 458366296695875529t^{5} + 10258289888193756t^{4} + 138942899622624t^{3} + 1545478589376t^{2} + 7877976300t - 20097792 \right)D^{6} + \left( 1177145815757005400117879906197312291929360t^{42} + 5512856770771129534917069701368744972304880t^{41} + 11338810089226971877595114215038205866170460t^{40} + 12538213873547396351994814926080478291473124t^{39} + 5934815961108832019335519003600433788469348t^{38} - 3945966121421680486356685461920220386908446t^{37} - 10208920742431197617776587242352208861191502t^{36} - 10602376209371148063394860953044140298842909t^{35} - 7618983044182966116314078729106440513872361t^{34} - 4374833884034967900417122992531161657735164t^{33} - 2211461960901417513749124877195111722643248t^{32} - 1059813856652503247508412152404046096939368t^{31} - 493617911427264987397496376619008934544539t^{30} - 217388448997831432030139287492178808189519t^{29} - 86780574975744574966604599029477008834096t^{28} - 30515822019843340854475980401047495435025t^{27} - 9335592735058344339863365062139955533127t^{26} - 2476533959688515799433043689375937859623t^{25} - 569340287904629821250756936597645319310t^{24} - 113158086172479130544292986731559104471t^{23} - 19295765731846937573945415288147390630t^{22} - 2775422454174692143875036700527629472t^{21} - 325065429019983517495328088374808246t^{20} - 28430176998764764248405330575900684t^{19} - 1281907689628161094892855891012746t^{18} + 115857926018751019172212706336735t^{17} + 37062667004086840568128411126913t^{16} + 5501650694614604568671336213276t^{15} + 602011272821349997063318529588t^{14} + 52334499933091108849719164828t^{13} + 3574169079686030558145597051t^{12} + 177208201692237349559387159t^{11} + 4902272295638652528522084t^{10} - 62091561010985272640949t^{9} - 13363003787382912545493t^{8} - 660221189348297973009t^{7} - 20266010454499697196t^{6} - 537495387470178789t^{5} - 11768185224500004t^{4} - 153570521575368t^{3} - 1659515553792t^{2} - 7911411372t + 18551808 \right)D^{5} + \left( 5825781838167772095953766757985772407742990t^{42} + 27499846811011880621958390839861877547340970t^{41} + 57117348353436073628517582028742579132351052t^{40} + 63816546874935768116933759224348920171824196t^{39} + 30173749325023336110830376220026082086833149t^{38} - 21993376320999075603427915340126292363175779t^{37} - 56488732751415306445182397027623510905573658t^{36} - 59478622127531469911847037772717526386676626t^{35} - 42860250772682613306829199312177184111022483t^{34} - 23854506609997005888984311102852949768568248t^{33} - 10971838929628719971679534340489608795101256t^{32} - 4428972166129061333355922271279863643118149t^{31} - 1662263106660066247628810554722828675507983t^{30} - 601824723527295941140177449941888240891690t^{29} - 209774756120729809383544137941306003903818t^{28} - 68342509033863265379350730016012918452633t^{27} - 20170169353782533513764132599764795846475t^{26} - 5284049601426322584932376332478661029893t^{25} - 1215182918244578949424553506272882420858t^{24} - 243498080427126513167396833336646566163t^{23} - 42164278015776434626393315735129057091t^{22} - 6237714645365088295500367910632330713t^{21} - 776363306160637935252049209571539999t^{20} - 79795834633763594498874012672740176t^{19} - 6658184305638576879932343187872238t^{18} - 454731426432687981567825242473451t^{17} - 28748260942415947811412558594895t^{16} - 2303300054173825736540324638844t^{15} - 244892514377630190880062319301t^{14} - 24622455429332743121317384049t^{13} - 1910497110081435100358856253t^{12} - 102635921433776830231728322t^{11} - 2914630995264708253154385t^{10} + 48069886196702704380782t^{9} + 8869455511256617559538t^{8} + 400086743218246254546t^{7} + 9904556435165028168t^{6} + 204857261243243718t^{5} + 4340120089174092t^{4} + 58323548596800t^{3} + 630570600648t^{2} + 2792194632t - 6183936 \right)D^{4} + 2 t \left( 8730498133531123384207609304296732831809420t^{41} + 41475225864932332735923450537119779638207060t^{40} + 86797541496786532007471580383508850181491428t^{39} + 97742179128561032778419120497262140409772804t^{38} + 46230752100129192198852885606277622815973392t^{37} - 35721848924016409677167160531726876676692930t^{36} - 91608632503203386436431654818621288760505345t^{35} - 97705082593752909868468125838166265772133859t^{34} - 71194595055730490026112029202904235174252736t^{33} - 39644357219621933802927768027931059152052052t^{32} - 17787013781920217167022325323735333634106585t^{31} - 6684197754786756229793118645457400910444906t^{30} - 2188997977502708412153332087348782227730549t^{29} - 653624610878392782168332935026756872155136t^{28} - 185708897591805950999389114463418918601610t^{27} - 51278050502492490010003879392278578604075t^{26} - 13619903829798190047476625556763273787346t^{25} - 3380101711727737194604383852350892515904t^{24} - 760368988476472359262305555851639116203t^{23} - 151149350428849766146930229009490418145t^{22} - 25937096858187689150270291861586693201t^{21} - 3740049053587517073132652767449744633t^{20} - 435803110713694650911917233181945925t^{19} - 38057026340353907074109585244361165t^{18} - 1960162813098563137186521016365706t^{17} + 44705536970052801266207891796087t^{16} + 22592264507891360292085133588283t^{15} + 2800416993740428739396794336096t^{14} + 230261189007300144791655378139t^{13} + 14607883865675070299508574367t^{12} + 774099657369825217646558079t^{11} + 36046849485603162459978607t^{10} + 1488945469756251014580414t^{9} + 52406054081526052893402t^{8} + 1425742472786470258227t^{7} + 25673293484131265352t^{6} + 274814997488476614t^{5} + 3620082820888776t^{4} + 58559132294388t^{3} + 663843418992t^{2} + 50937480t + 836352 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 7663644860035301250194248569204768362646810t^{40} + 36591260750632311929659176199091849685339630t^{39} + 77018780795775810151362869996927005351423116t^{38} + 87231713358018711541306854302698822816677372t^{37} + 41242019938496982670214466013844212440884373t^{36} - 33312945792237354918434280984820529055378323t^{35} - 85333207023803872373125266269172124908611094t^{34} - 91984294596273124466645831230571069667005846t^{33} - 67836726518817871652057866727486806807840764t^{32} - 38156632424969428994022932697182958097392263t^{31} - 17166630331690043122123308397779435382110469t^{30} - 6358734141738224144970149867973739981048328t^{29} - 1985416938001010959648886543745600200139964t^{28} - 535966342170439847172361422771367209763032t^{27} - 129197160631964507917447950105371784646923t^{26} - 28952545468808609080476253536645925039222t^{25} - 6271812859132964335480165687608258489448t^{24} - 1336998142404941845979659092887419228598t^{23} - 275856590401237095806832660889011056070t^{22} - 52795376747098498309825638560876949445t^{21} - 8901921410866780464488271788689782005t^{20} - 1250513560222820531492039398012528828t^{19} - 135401675959218210552022092256704060t^{18} - 9312448360123839818014131908152239t^{17} + 29900461424630287323421959129751t^{16} + 113714082792510654009612709891993t^{15} + 18351335866586929428479789566760t^{14} + 1859798611105211907374304482485t^{13} + 140661162644255964914085628760t^{12} + 8564048206434846760687246506t^{11} + 443886036904896115279344393t^{10} + 20154100363634215105864526t^{9} + 787873799131533237647010t^{8} + 25062105395234571609162t^{7} + 596437695253835345022t^{6} + 9661574995611357600t^{5} + 111084413091974856t^{4} + 1828079975414712t^{3} + 25164662996664t^{2} + 228034341504t + 49471488 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 1184931171681324218901728318275336844124660t^{39} + 5679417409780563117580192670164686996144780t^{38} + 12005347230747119651452478828971531665315660t^{37} + 13653081076241330848050522150892714284735684t^{36} + 6447043807026219681280913633323157462378358t^{35} - 5393701808235552961011249761375254590772856t^{34} - 13794416443595514439330545743971982159952381t^{33} - 14989695056628689542560396721158359105220701t^{32} - 11166714344732417631217669538002164056477837t^{31} - 6349000683216015724850650681618340334861875t^{30} - 2884367096077863397705699066367035725786834t^{29} - 1074208846107881523846355252119650224196195t^{28} - 333611102223901647739453218964561442588664t^{27} - 87577381887767526386660484607589684350594t^{26} - 19695595794181602228405193136731141877303t^{25} - 3861299413651696680821565530165148184280t^{24} - 678692080170264837472722452556339204949t^{23} - 111941842279543260889070429895092545081t^{22} - 18277408913897074490723202161820280171t^{21} - 3001319561114345880702626147275168201t^{20} - 466171510778332856110921210120073053t^{19} - 60545927810453153996474620929522336t^{18} - 5280771509917775124733427772382412t^{17} - 29840595944350260985406483453738t^{16} + 86874658756549703821503332906579t^{15} + 17944509766698033763797607441125t^{14} + 2257624803463594691024460189972t^{13} + 207417991772507584771476520299t^{12} + 14884422966264224518805211220t^{11} + 878065680619608153153390852t^{10} + 44564802535646766681182439t^{9} + 1978120106645561629341897t^{8} + 74363469236016207873615t^{7} + 2215601179577154482094t^{6} + 48350727174128718987t^{5} + 729905164588225836t^{4} + 8615077658573508t^{3} + 135224695186056t^{2} + 1647700555788t + 11381428800 \right)D + 576 t ^{3} \left( 18165830490077243828979628182057288455700t^{39} + 87307057084278418313415554939034927068100t^{38} + 185101019454438940547695161401383688278350t^{37} + 211086432960111128491255420170975603986130t^{36} + 99533248880366542485847138598118885512520t^{35} - 85461134869756262892824217204412394306744t^{34} - 218216504613496309662876852017651972941299t^{33} - 238447487192579989930924070207665427430809t^{32} - 178935873958026997975523077636106156088226t^{31} - 102594927643433744405516612264235996079868t^{30} - 47030342977938441617608634562128467531337t^{29} - 17667103911060274113431928182908979790478t^{28} - 5521060180851434138864469177952027300784t^{27} - 1448753646358287150394688296172587430299t^{26} - 320753463387846016740537516959423779262t^{25} - 59940614323596591370787512671817494785t^{24} - 9419843456220314708224112686535421150t^{23} - 1240005236812651263182328861647643831t^{22} - 138097119982667719558599983419453660t^{21} - 13673110810876081178620376851016497t^{20} - 1254129792623414826605577135941717t^{19} - 65494005059119454026543166566029t^{18} + 17693025020086423315312314172834t^{17} + 7606544660708822206369209669707t^{16} + 1647341767300399676271407801737t^{15} + 247010107395544632615043661262t^{14} + 27666084014115424140301088634t^{13} + 2400497792418936246343109544t^{12} + 166495739564010005442250838t^{11} + 9588294888173067272192118t^{10} + 475747151098957671805788t^{9} + 20498458554118244583363t^{8} + 739024853423934425769t^{7} + 20958766997672268396t^{6} + 441473469340777311t^{5} + 6821384077260864t^{4} + 90285684544638t^{3} + 1225802610288t^{2} + 12770660232t + 57394656 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ4P4 × ℙ6P6

|λ| = 12.95248 λ ≈ 12.95248; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.479874 - 5.219714i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.479874 + 5.219714i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.710133 - 0.8487832i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.710133 + 0.8487832i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 4.318815; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.294348 - 0.0575294i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.294348 + 0.0575294i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.884108; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.7907607 - 0.7949788i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.7907607 + 0.7949788i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$12.9524808$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$12.95248$11
$-4.479874 - 5.219714\mathrm{i}$11
$-4.479874 + 5.219714\mathrm{i}$11
$-4.710133 - 0.8487832\mathrm{i}$11
$-4.710133 + 0.8487832\mathrm{i}$11
$4.318815$11
$-3.294348 - 0.0575294\mathrm{i}$11
$-3.294348 + 0.0575294\mathrm{i}$11
$-3$11
$-2.884108$11
$0.7907607 - 0.7949788\mathrm{i}$11
$0.7907607 + 0.7949788\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right) \left(\lambda^{11} + 9 \lambda^{10} - 82 \lambda^{9} - 1821 \lambda^{8} - 11074 \lambda^{7} - 9758 \lambda^{6} + 181203 \lambda^{5} + 777626 \lambda^{4} + 886398 \lambda^{3} - 513960 \lambda^{2} - 29494 \lambda + 2386593\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 3\right) \left(\lambda^{11} + 9 \lambda^{10} - 82 \lambda^{9} - 1821 \lambda^{8} - 11074 \lambda^{7} - 9758 \lambda^{6} + 181203 \lambda^{5} + 777626 \lambda^{4} + 886398 \lambda^{3} - 513960 \lambda^{2} - 29494 \lambda + 2386593\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 8 & 6 & 9 & 9 & 33 & 21 & 32 & 16 & 80 & 75 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 6 & 6 & 6 & 6 & 24 & 12 & 30 & 40 \\ 1 & 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15 & 20 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 2 & 12 & 8 & 15 & 9 & 30 & 20 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 1 & 10 & 6 & 10 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{2} & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 5 & 3 & 20 & \frac{45}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{5}{2} & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & -5 & -3 & -20 & -\frac{45}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{7}{2} & \frac{1}{2} & -1 & -1 & 1 & \frac{5}{4} & \frac{35}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} & 4 & 2 & -2 & \frac{5}{4} & -\frac{45}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{8}{5} & \frac{4}{5} & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{8}{5} & \frac{4}{5} & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$