Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-186-44-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × ℙ3P3 × ℙ7P7
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6 (marked)node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9node 10: fundamental weight ω_10node 11: fundamental weight ω_11node 12: fundamental weight ω_12ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9ω10ω11ω12
Bundle
E^(2w6) + E^(w5 + w6) + E^(w2 + w6) + E^(w2 + w3)
Bundle
O_3(2) + Q_2 box O_3(1) + Q_1 box O_3(1) + Q_1 box O_2(1)
ZL62 label
2030700.Hw0cw0Ew0B
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;4;8) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;3;7) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 44
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 186
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -10

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 186
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 144
$\mathrm{c}_2^2$ = 102
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 44
$\mathrm{c}_4$ = 20
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 10 0 x0 + 10 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 35 0 0 x1 + 3 32
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 44 0 0 0 0 44
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 39t + 106t^{2} + 39t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(325)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(410)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 472432t^{8} + 546048t^{7} + 92208t^{6} + 19064t^{5} + 4228t^{4} + 92t^{3} + 35t^{2} + 6t - 1 \right) \left( 29262345406595585477838158326368t^{30} + 132475206086784862896293096534016t^{29} + 275852210917394871642009753844160t^{28} + 314961534612832232405688924261000t^{27} + 197749998725568951499305429880640t^{26} + 45805603839461589163584024793372t^{25} - 23692415775909959070162399032596t^{24} - 13932530976340733038521758779528t^{23} + 12950904624819573852972769950834t^{22} + 21860085315324165409370989253672t^{21} + 15813983131896591132631389598802t^{20} + 7500726626016282033807178766725t^{19} + 2581569526061085177302150870607t^{18} + 671670748314094854381391311582t^{17} + 135221149644665268901059508870t^{16} + 21550745620117648967207644696t^{15} + 2777374273361286722850152303t^{14} + 286542474309722745923573053t^{13} + 22235724426281285506171390t^{12} + 1260639633644566197468159t^{11} + 73766124527228054175699t^{10} + 6680647084009117977608t^{9} + 485498165611028628034t^{8} + 15074918834861659980t^{7} - 383877614504405877t^{6} - 41935007257956021t^{5} - 744822392903948t^{4} - 1654991844816t^{3} + 136306383642t^{2} - 255968778t + 1303488 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) \left( 2986085166867813377908663951919620386816t^{41} + 21083377159906914095038248128459836010496t^{40} + 69361468653904253537519199291987054403584t^{39} + 137629659077939497103081708805668371089152t^{38} + 179591545833556862499578284945215104130432t^{37} + 157424815440651564168690606843877978425728t^{36} + 88550631514534160186622850247107516364864t^{35} + 25227298345025010813789099066735320969344t^{34} - 1074479337916487983286468171841586741600t^{33} + 1748064763912566668860130586855665825936t^{32} + 10890107411812535151920434213534256495336t^{31} + 13625799902070187243335648305594767246264t^{30} + 10338746012203868815237120693278221126716t^{29} + 5694685064586700118050894883461142557712t^{28} + 2439225425397039797072677808161123719872t^{27} + 841451843598455699030990678755680673656t^{26} + 238878616810669248315003287323658222024t^{25} + 56685449661151850298546475650209952358t^{24} + 11380394597833538707275069808210117611t^{23} + 1948311757469506545116124314248228198t^{22} + 285021715928712863826667353018042142t^{21} + 35567096358667415684097023250590816t^{20} + 3807824908909612137175973073619077t^{19} + 364523735992782172716611823286026t^{18} + 35011278116815433923032549627827t^{17} + 3872356533041524786888152115476t^{16} + 481947795059747970703671960025t^{15} + 57629599566824404267968526150t^{14} + 5717214222522100156233943711t^{13} + 415706884830305258925086476t^{12} + 20785457640971217705522979t^{11} + 1021762500449255582118238t^{10} + 89060399673617258503515t^{9} + 6415285723978550622990t^{8} + 194408995181288254012t^{7} - 4205590769973199212t^{6} - 452121700599245577t^{5} - 7393444479909428t^{4} - 16606998795312t^{3} + 1094023233864t^{2} - 1807423302t + 7820928 \right)D^{7} + \left( 90577916728323672463229473208228485066752t^{42} + 649886414692781465552154963010497552543744t^{41} + 2186221353223723372976028031015548739743360t^{40} + 4462098084763662673587977032796504444808320t^{39} + 6034892197547936735378829514068556334435200t^{38} + 5544664729435143940734419046876000721716384t^{37} + 3340718661392009505020648950178473151929184t^{36} + 1103248937662174342425414670487446559543280t^{35} + 51678330943093662350358334721746015363248t^{34} + 83353038287190804992605674156496026260000t^{33} + 429312045694329847322063256788485804156848t^{32} + 568249301464015940476643239331088165121464t^{31} + 458664837826901046228696456387840794954688t^{30} + 268899514923271062919898172897904729549572t^{29} + 122566699668555307669777214476712962129748t^{28} + 44934014807746241559521194686758905664364t^{27} + 13515456110138246072909926321351351686896t^{26} + 3381207297485472181495548807999174779084t^{25} + 711339744320595115268555802497171963808t^{24} + 127017230579479819475737516124420343701t^{23} + 19363399806705522855027587499770534370t^{22} + 2517851083515495434322304949359345110t^{21} + 275761091964081785806902855347031866t^{20} + 24482007311080605724954562881269291t^{19} + 1533810665290530566285724066039464t^{18} + 13437545989533537068903767070279t^{17} - 14593142716711868336039641208358t^{16} - 2838925600233016088334215383997t^{15} - 363297215599595002777784016952t^{14} - 35714975319771177738331019385t^{13} - 2630240148280736541112081338t^{12} - 142379149618548275561208095t^{11} - 7402534524240190342323524t^{10} - 531375092581895452314021t^{9} - 32159439546480051323554t^{8} - 877390690095567143632t^{7} + 16998756195087934782t^{6} + 1715121098514780487t^{5} + 25411166040885764t^{4} + 49148167958616t^{3} - 2948528352684t^{2} + 4220980266t - 16945344 \right)D^{6} + \left( 752493462050688971232983315883744337477632t^{42} + 5155756198623928973705752511190211913588736t^{41} + 16584670544848031864121075452852329551520896t^{40} + 32214215378083432095328009801619427355970176t^{39} + 41097396004264254541201863066227050655204096t^{38} + 35041465599033174695908543006917273753129568t^{37} + 18846374526102634006484176501462981090574304t^{36} + 4801067757420908801991408705696487173937456t^{35} - 203456954290003412796057206528602280241760t^{34} + 1421009255561194236147664230653500080280992t^{33} + 3988466643336570076931899058830692557775456t^{32} + 4513944961759939463395961199322040709388744t^{31} + 3338712568969713255425124339067927893734688t^{30} + 1835885119500092359262438494207257473862188t^{29} + 792518898570560282411905498189153704747996t^{28} + 276306286896189106804326632671728224509904t^{27} + 79155939991389138257303475104662459892596t^{26} + 18867004194607597180986613889504067087892t^{25} + 3780969713389238256406806407237624668396t^{24} + 642551606579251137307281828399325103825t^{23} + 93025102273936482669640170587787013176t^{22} + 11473173788395931518639712745807212102t^{21} + 1211919695049983893207653619406743082t^{20} + 114495211933028711397206307297933579t^{19} + 10954567655097041047041698033927668t^{18} + 1206603825392956655728380260914601t^{17} + 143810374570655161758826804493918t^{16} + 15855555976201747855196095393119t^{15} + 1489914733238752008885231788040t^{14} + 114935417855003794026399180501t^{13} + 6737782447616902299357184902t^{12} + 268077826569367179345390021t^{11} + 9423840971792052127750792t^{10} + 754512935941174813605837t^{9} + 55233213238338715638542t^{8} + 1725071251558917417520t^{7} - 16916555660290968792t^{6} - 2482452759087141511t^{5} - 34507795169545604t^{4} - 55105723876824t^{3} + 3232826878152t^{2} - 4078479594t + 15641856 \right)D^{5} + \left( 3724145883945307917815088725369086559090688t^{42} + 24518903060691853576745230517526238733015040t^{41} + 75865475994158577705433055008600262584644480t^{40} + 141032781315047142876796818523592406951747968t^{39} + 170699164809809151460297733429025052070738944t^{38} + 135866397338975457361449261231003589360747104t^{37} + 65453309495390112984410560623837365654121056t^{36} + 12395182867938650420989373483949135359613360t^{35} - 710099396896244183289884624869227366685968t^{34} + 10221024018204705915197504865693925065435296t^{33} + 20762020585806825945485665212932759235429936t^{32} + 20989813773730622902371435059069762067312480t^{31} + 14497013577137528372205072729725349948395616t^{30} + 7565234142680671421662699075921621632074592t^{29} + 3121796594860189646743192455270006576839504t^{28} + 1044229623087037118413236165842215054615212t^{27} + 287684985123596483869315091849697251723366t^{26} + 66089754581176043192791768159354370777876t^{25} + 12796845723219469688541197476559087958114t^{24} + 2104567098165559720213571226726665137610t^{23} + 294150223965248479038730276028323311027t^{22} + 34629361446500922939695000834813218782t^{21} + 3392152653345485998457106356512377740t^{20} + 277674193743933098703342668777829012t^{19} + 19891783797651428439989614183701824t^{18} + 1308589625711416159595978326646084t^{17} + 65457386998314597305113831373904t^{16} - 912026348524534080733736541320t^{15} - 739098815455286802340289586916t^{14} - 96606307535833334088531154464t^{13} - 7137750062700287387798059320t^{12} - 305017695348089614508499188t^{11} - 7794167142352785737175800t^{10} - 375478730367643251298692t^{9} - 30223508862109964096194t^{8} - 1106179388602858280386t^{7} + 1316676970391273409t^{6} + 1164663122635134706t^{5} + 15477258518853500t^{4} + 16661945498628t^{3} - 1230353662638t^{2} + 1394335164t - 5213952 \right)D^{4} + 2 t \left( 5580993176875943203311292926137770502959104t^{41} + 35526558791579520747027411276116082132658176t^{40} + 106354314166075576450392991359026312184915648t^{39} + 190312387222886587442942942773972239952892096t^{38} + 219886235787946866032047482914363132142679552t^{37} + 164457615701339101506526303836619113002022224t^{36} + 71319550632968639077109882160015080124965520t^{35} + 9600407539077409497241674740533814906567048t^{34} + 996367931478514015826615625829986759372976t^{33} + 18855708909952162241282510417090328586729488t^{32} + 31557957770897631620010924998645254668006336t^{31} + 29378689455942771918570151537969620339074384t^{30} + 19227870534963503449380471261899245655380104t^{29} + 9615323847635320263823017982917162675964924t^{28} + 3822446290342930824509700046970109953912682t^{27} + 1235577532880008362095310538883817722489320t^{26} + 329796683886679034152973431558145700328610t^{25} + 73623053721684002657736124948248599440916t^{24} + 13899656621732159513356779329377632879860t^{23} + 2234277847925002994054581459098498081088t^{22} + 305074966944133875656112104846303700363t^{21} + 34996706610940840280726327352590431054t^{20} + 3357044376011024931545153643952187854t^{19} + 280078016676089555491226088353234646t^{18} + 22831407035684450500168666900960502t^{17} + 1974336759949929135356492917720090t^{16} + 159114693028847730712454086918894t^{15} + 9365298483654489150535979415606t^{14} + 259367453306952710211344206146t^{13} - 11047244628801643714474121442t^{12} - 1626893916571068028878862764t^{11} - 90870138681136398108442866t^{10} - 3001884048266467674677254t^{9} - 54292079397090233344542t^{8} - 341101289338880575442t^{7} + 15783995290141866890t^{6} + 699113651893289307t^{5} - 334963716776024t^{4} - 104489352673036t^{3} + 481797457596t^{2} + 123780462t + 791904 \right)D^{3} + 24 t ^{2} \left( 816500750581235156139081066334613978176512t^{40} + 5055966961437157002645213780647914430833664t^{39} + 14728533052781816615452896595008619866843520t^{38} + 25520557437890675735529908142246779968779520t^{37} + 28333833906051083098381764334919938637746480t^{36} + 20062135292051786413663717906936781592747568t^{35} + 7888275752786101622711129892486459289700472t^{34} + 715595079081708002310559609493196414962636t^{33} + 477658210969546430204063964126091317338120t^{32} + 3113606788562705995871840689763271635953448t^{31} + 4595560552469709064662626735444886957948100t^{30} + 4024797625030902549202565413964013182762988t^{29} + 2525382535502669213171018405451187483365054t^{28} + 1220125378637140912660760810620575432031922t^{27} + 470437136018551454519946544553248413081999t^{26} + 147857594783737766552459543579019201901290t^{25} + 38468715799315237785481985430257588781482t^{24} + 8396493455078121010911303922437269076202t^{23} + 1555099699175670775672651985347119074208t^{22} + 245714401437757256249977910768748073356t^{21} + 32949159930447891096918208862254295778t^{20} + 3703365420385305618042239205905001286t^{19} + 349426996883062450826440421157555054t^{18} + 29330583427159280927904016546265242t^{17} + 2478073737893240357275449463047614t^{16} + 217068505747056477243599478320638t^{15} + 16498075447360835576945749265620t^{14} + 828062579822544800460526999122t^{13} + 9835182716670450637537345572t^{12} - 2105029535819082296993479784t^{11} - 187633956901542132918164869t^{10} - 8371883080511495997391812t^{9} - 218888287942111075185444t^{8} - 2420491665832834161528t^{7} + 20612520672729012924t^{6} + 1102773869657212398t^{5} + 6310605788104560t^{4} - 358312675621416t^{3} - 2350923988500t^{2} + 16219446924t + 5213952 \right)D^{2} + 144 t ^{3} \left( 126245045110355887810471848189490617464832t^{39} + 765003114409070935782353755987818160475136t^{38} + 2180960418887029793938440753550365354492576t^{37} + 3682039309572013835697355320770653057488416t^{36} + 3956217605609403766660769656890244927390256t^{35} + 2674766456346362022518794426469700540522952t^{34} + 963400792266424192233038784924828376462640t^{33} + 55242953876163184562677589810233764600584t^{32} + 117953175835606134710059592841393836021288t^{31} + 517401616536982258952074975807396716593632t^{30} + 701875832737914751974140107584137218249068t^{29} + 587715090603810677736816322641196976127260t^{28} + 357002731338760449188415622978768960181010t^{27} + 167864681538755305075712694151250605673404t^{26} + 63161437301385538993673285983236351379944t^{25} + 19410806789302819960040390207164745050284t^{24} + 4948807965311786386328991847695454745972t^{23} + 1061434228633645717956324339680813320038t^{22} + 193728531923262041145904465049520048069t^{21} + 30207470340789560402282016703592807786t^{20} + 3993664737110488367074371212282048354t^{19} + 442252678837307999252522391480818024t^{18} + 41421650541981865237467886080681780t^{17} + 3532537680851322964592580996720312t^{16} + 307974295963170516369702288562278t^{15} + 26872986900440206623881203167828t^{14} + 1913280391030220191816737380148t^{13} + 80859817968836706714985873224t^{12} - 545574012285123490108237616t^{11} - 335344682243475645839720544t^{10} - 23606283589304362187836922t^{9} - 893015858112037949895112t^{8} - 19172682310904563386306t^{7} - 120342155124134833194t^{6} + 4458894956772840187t^{5} + 101875932536104626t^{4} - 1983446340706900t^{3} - 51419195518428t^{2} + 45183714894t + 1160908956 \right)D + 8640 t ^{3} \left( 774170228447210875754098061608790470656t^{39} + 4618188505917162185062016890211716307968t^{38} + 12959482968519369075338495932063428686048t^{37} + 21458055475041449754441639850515787331168t^{36} + 22488230987001364727787338568984526042864t^{35} + 14663901064023603513248056935956167382712t^{34} + 4910016207810936294778748545085169627328t^{33} + 163858768651926853220211974348710294768t^{32} + 924772362500308504471254072421996204488t^{31} + 3311267977669279159227139638208560304896t^{30} + 4249147348310913446846741359329368457212t^{29} + 3447469405496900025884466263246494953084t^{28} + 2045275977859654538294343386759521427674t^{27} + 942460305990656736929763301114594872884t^{26} + 348143488326574639526505749154040853750t^{25} + 105186655946476470887609836323531914872t^{24} + 26410024445510385907575402893447523676t^{23} + 5590967182958747112429969252800365566t^{22} + 1009401014713027352031191171243579249t^{21} + 155822317323787972462589563335129110t^{20} + 20377826979507387053796392558760921t^{19} + 2232843937843922025220854499215608t^{18} + 208689930189855113596991208760693t^{17} + 18120789130816118639030523125292t^{16} + 1618587386811721898217752303041t^{15} + 140050283872303252261976102810t^{14} + 9442148371340922278725214905t^{13} + 342289097627024542426767494t^{12} - 8491610322525802662430673t^{11} - 1936743980121140844322228t^{10} - 120635760640751186128863t^{9} - 4100792531191512887732t^{8} - 75902544337679425081t^{7} - 246949643090164560t^{6} + 24176018055818958t^{5} + 490350379852488t^{4} - 9155519215854t^{3} - 190908029448t^{2} + 627408720t + 2932848 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × ℙ3P3 × ℙ7P7

|λ| = 12.62837 λ ≈ 12.62837; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.778972 - 6.188703i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.778972 + 6.188703i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.48866 - 0.7751647i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.48866 + 0.7751647i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.09990002 - 5.119003i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.09990002 + 5.119003i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 2; Jordan blocks 2 λ ≈ -1.009192; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1; multiplicity 1; Jordan blocks 1 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$12.6283673$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$12.62837$11
$2.778972 - 6.188703\mathrm{i}$11
$2.778972 + 6.188703\mathrm{i}$11
$-5.48866 - 0.7751647\mathrm{i}$11
$-5.48866 + 0.7751647\mathrm{i}$11
$-0.09990002 - 5.119003\mathrm{i}$11
$-0.09990002 + 5.119003\mathrm{i}$11
$-3$11
$-2$22
$-1.009192$11
$-1$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda^{8} - 6 \lambda^{7} - 35 \lambda^{6} - 92 \lambda^{5} - 4228 \lambda^{4} - 19064 \lambda^{3} - 92208 \lambda^{2} - 546048 \lambda - 472432\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda^{8} - 6 \lambda^{7} - 35 \lambda^{6} - 92 \lambda^{5} - 4228 \lambda^{4} - 19064 \lambda^{3} - 92208 \lambda^{2} - 546048 \lambda - 472432\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 4 & 8 & 6 & 6 & 6 & 18 & 64 & 32 & 80 & 200 \\ 1 & 0 & 0 & 2 & 4 & 4 & -4 & 8 & 0 & -6 & -12 & -32 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & 4 & 4 & 4 & 0 & 0 & 12 & 32 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 18 & 12 & 18 & 64 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & -1 & 2 & -1 & 3 & 4 & 0 & 4 & -12 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & -1 & 1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 8 & 4 & 12 & 24 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 4 & -1 & -1 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & -1 & 4 & 0 & 6 & 16 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$