Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-188-44-c

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ5P5 × ℙ6P6
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7 (marked)node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9node 10: fundamental weight ω_10node 11: fundamental weight ω_11node 12: fundamental weight ω_12ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9ω10ω11ω12
Bundle
E^(w6 + w7) + 2 copies of E^(2w2) + E^(w1 + w7)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + 2 copies of O_2(2) + O_1(1) box O_3(1)
ZL62 label
150600.w0jDDw05
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;6;7) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;5;6) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 44
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 188
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -6

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 188
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 140
$\mathrm{c}_2^2$ = 104
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 44
$\mathrm{c}_4$ = 8
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 2 2 0
0 0 8 0 0
0 2 2 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 + 6 0 x0 + 6 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 36 0 0 x1 36
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 37 0 0 x1 - x2 - 7 0 44
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 39t + 108t^{2} + 39t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(449)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(506)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t - 1 \right) ^{2} \left( 2t + 1 \right) ^{4} \left( 55712t^{5} - 6704t^{4} - 2928t^{3} - 120t^{2} + 18t + 1 \right) \left( 4868154864792057881511936t^{20} + 13322930697814161151133696t^{19} + 14572134251314384420467200t^{18} + 5958571830207702345825792t^{17} - 1055873260487482915225728t^{16} - 2224668504543871893392512t^{15} - 982024511090536459363424t^{14} - 210253930193500250773184t^{13} - 27324566064660628713728t^{12} - 2457849954615932638768t^{11} - 207828903839855103068t^{10} - 36932513539457989006t^{9} - 2629512415194972228t^{8} + 694825409178404654t^{7} - 9792868282638653t^{6} - 670633393775504t^{5} - 29709195579895t^{4} - 134935144708t^{3} + 1972064846t^{2} - 49300958t - 96256 \right)D^{8} + 2 \left( 2t - 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{3} \left( 19527454355565249266025094447104t^{27} + 50798402749277750016027369930752t^{26} + 49258891716859812432763563540480t^{25} + 10114990513904738671430380847104t^{24} - 13714414499629036342457276448768t^{23} - 10846472547873753381986017648640t^{22} - 2196806846878279338126212624384t^{21} + 649504987922010032876591450112t^{20} + 397546245947590904987552762880t^{19} + 82657466507361602895608753664t^{18} + 9610843922803109617181230336t^{17} + 482014339526323986794572672t^{16} - 37360183209899261264813504t^{15} - 9124974577712960179496160t^{14} - 5586751212617869947236048t^{13} - 1191464355402866552277736t^{12} - 3596635062189284068804t^{11} + 2574138850186177981786t^{10} - 682758174115010201109t^{9} + 10912923977342559806t^{8} + 3677292171980938597t^{7} - 86036759655518682t^{6} - 4501954190485476t^{5} - 151729244275383t^{4} - 599537818154t^{3} + 7813161818t^{2} - 171783305t - 288768 \right)D^{7} + 2 \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 1184665564237625122138855729790976t^{29} + 3066698834093090845102196175405056t^{28} + 2814987596133495877192875321262080t^{27} + 188401193026164932054563328884736t^{26} - 1224604777142154691597578880106496t^{25} - 755139003814609323642030373388288t^{24} - 44537538890169008917517226254336t^{23} + 116713156724192904836615691116544t^{22} + 43362270139564913983518795888640t^{21} + 3398382140509122041115629639680t^{20} - 1288921301901998377137122450688t^{19} - 454976968270356566331572773376t^{18} - 75633522802226558057905473600t^{17} - 8714749128476754430808745792t^{16} - 1796416236991553297891618496t^{15} - 363903516541696856808573824t^{14} - 13748090890561579739155040t^{13} + 836947302498705794953264t^{12} - 418484631003731852314624t^{11} - 14585190988855097312184t^{10} - 1245766239455290843591t^{9} - 57486271684471742258t^{8} + 21291764926244891166t^{7} - 269104482781581472t^{6} - 14275022880080091t^{5} - 507557040877646t^{4} - 1866334480092t^{3} + 19878228778t^{2} - 413038879t - 625664 \right)D^{6} + 2 \left( 2t + 1 \right) \left( 19683673990409771260153295202680832t^{30} + 60586278476840572885108237061324800t^{29} + 73411709745862748284166923549540352t^{28} + 30676786032260427628378237629890560t^{27} - 13199983838306222486334886603030528t^{26} - 20066233214975628406255501381681152t^{25} - 7664820988404539456669511654178816t^{24} + 157199831141326280779947489185792t^{23} + 1027585250372520412476111141212160t^{22} + 334342253584482697683803569326080t^{21} + 44258219845386200900508051865088t^{20} - 30366076297972903473781943808t^{19} - 1001635996723728480437878937216t^{18} - 154024946464285465901843589440t^{17} - 15209979198965958514151276992t^{16} - 4617826482270929026816277360t^{15} - 496814857014815081173893728t^{14} + 98680534281285051810981584t^{13} + 10937071779545968388889880t^{12} - 153285506562569990825184t^{11} + 44769961219560594733998t^{10} + 3466988328826581892515t^{9} + 434176556539667859032t^{8} - 38781403975117297879t^{7} + 401770668082685609t^{6} + 25624252907723072t^{5} + 788707977182255t^{4} + 1484900614418t^{3} - 14072689990t^{2} + 413973599t + 577536 \right)D^{5} + \left( 389663842513852694020442084660477952t^{31} + 1390773579553860336486273829474140160t^{30} + 2064419238967647816931215982796996608t^{29} + 1388975903126141314382984334684717056t^{28} + 133853149052707928394759965872193536t^{27} - 462640128195041478130358579818659840t^{26} - 342740653737425501274266598908715008t^{25} - 95139342996252689703448651828158464t^{24} + 3343802511139415185390219098781696t^{23} + 10063361012809197346512325163640832t^{22} + 3162162390386462347797955533990400t^{21} + 520648531882833400987809033170944t^{20} + 50901038185656719866973522409728t^{19} + 3837660728916295548650385610880t^{18} + 603351668409890049719989723968t^{17} + 11519206310017866382949562080t^{16} - 30812225888907056719880044544t^{15} - 3104346005951594914507951200t^{14} + 342039152150474129540463920t^{13} + 18792190096294688464254288t^{12} - 681033800032546337935168t^{11} + 73757880973411872918312t^{10} - 1352414736244419373716t^{9} - 383505230306547165768t^{8} + 56962477073453585452t^{7} - 441315269882211039t^{6} - 38339633885560396t^{5} - 939668593291853t^{4} - 780915569784t^{3} + 3718132490t^{2} - 293679540t - 385024 \right)D^{4} + 2 t \left( 583948995048823214051214424346198016t^{30} + 2080007006381410812474296923244724224t^{29} + 3101984143384426346832860306571788288t^{28} + 2126853104258805491687225641411674112t^{27} + 279045911091342693229123937923137536t^{26} - 638596440008195598567855183971811328t^{25} - 510771063633009170249378735406424064t^{24} - 166454542957967231075966269777010688t^{23} - 14493435782453812624720381140908032t^{22} + 7413539251020651329405382868013056t^{21} + 3087981072718144403450529063949824t^{20} + 605785282821634186479020178652160t^{19} + 78326694851968446909972601032704t^{18} + 9368786441531142681977249845248t^{17} + 1463627513530070810281940553344t^{16} + 97100629258577012879210381440t^{15} - 24176890661539488960497760432t^{14} - 2118291629167437449141234608t^{13} + 358109100038722750096731592t^{12} + 17491765417763673883110232t^{11} + 510514256097768649819164t^{10} + 11914167859190782880586t^{9} + 1059632877864772541092t^{8} + 128970482628618960324t^{7} - 1464279875066629506t^{6} - 21575758795127955t^{5} + 1535208592399908t^{4} + 25467767227110t^{3} + 4542774672t^{2} + 67461870t + 23552 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 256295668699643278255549806274412544t^{29} + 911450716966577631868693418641195008t^{28} + 1362800067506664801729736495886499840t^{27} + 943440288638426783114040585318072320t^{26} + 140910042048244100163208468843581440t^{25} - 267996857321093766446108366820442112t^{24} - 225152353038257159594978990628590592t^{23} - 80630872753606165600180107041827840t^{22} - 12289839403695209641184071952999168t^{21} + 856511344932483849092713320744192t^{20} + 775894380804492172536303687814336t^{19} + 176212157290705739440881191177600t^{18} + 25045322714374814256046159500128t^{17} + 3398592641574848061187235320848t^{16} + 573479776561013772511668119944t^{15} + 40555753098762459429356932196t^{14} - 7458589072161979816194083952t^{13} - 615718306526002358279471924t^{12} + 91134229777931532288656048t^{11} + 2971668563248014183690804t^{10} + 122928428711917227988828t^{9} - 9008226407399156257014t^{8} + 333392698719461430970t^{7} + 11774918333098237854t^{6} - 447160184635655800t^{5} + 3489438143243953t^{4} + 478789966232832t^{3} + 3549688004300t^{2} + 1492963532t + 1925120 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 39627714038893745843853591664656384t^{28} + 140752644597978179584921422520123392t^{27} + 210736441521730721214993474335145984t^{26} + 146543725192959526740534212890427392t^{25} + 23195024983743551941939214188171264t^{24} - 40571287817384175195910035079266304t^{23} - 35098443881253172033125982386660352t^{22} - 13294600417634105270884822291934208t^{21} - 2518188943143088338526767910481664t^{20} - 118622672397698195759625588267776t^{19} + 56610686336013404533587386913728t^{18} + 16337427164207741686144192554112t^{17} + 2472060845285754895891535260320t^{16} + 375177781494730762993996552912t^{15} + 71856133914229523152404421384t^{14} + 5032003087624125224911246372t^{13} - 955895172751902706645870048t^{12} - 75465568552151197081827224t^{11} + 8075962899259662071925036t^{10} + 118348264097185315345864t^{9} + 3283413025102827007552t^{8} - 1480498797415842036612t^{7} + 30016272142139537032t^{6} - 153437207634972643t^{5} - 32384769897339944t^{4} + 840129852902635t^{3} + 45743049946648t^{2} + 175750112742t + 215783580 \right)D + 288 t ^{3} \left( 2430083208692564353105345086750720t^{28} + 8623787637037049699232084614184960t^{27} + 12920172578165854003952128138936320t^{26} + 9001329338869223106924288175964160t^{25} + 1461819501898675580262555375869952t^{24} - 2466804526249974843172402448793600t^{23} - 2169566567551358233543838844090368t^{22} - 849301449484718234584204524394496t^{21} - 178858838741028937843643974781440t^{20} - 17166131205867647569949576815104t^{19} + 935752325049569218562315864704t^{18} + 548606749776454334424616251392t^{17} + 90133150737387157608152922496t^{16} + 16062494732567971130684785056t^{15} + 3628058165289814577241436752t^{14} + 246972966553461680286240088t^{13} - 52975089806490053441962568t^{12} - 4068891502221267471141620t^{11} + 283383827816632139984060t^{10} - 1946081971883678216826t^{9} - 340080724871319780508t^{8} - 71171881276196066458t^{7} + 838614339333354514t^{6} - 38258737700300604t^{5} - 661705214594440t^{4} + 48194214590675t^{3} + 1722120277232t^{2} + 3457856280t + 9908352 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ5P5 × ℙ6P6

|λ| = 16.93364 λ ≈ -16.93364; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 12.29567; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -8.329453 - 3.432263i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -8.329453 + 3.432263i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 3.296878; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 4; Jordan blocks 2, 2 λ ≈ 2; multiplicity 2; Jordan blocks 2 4 2
Sector dimension
11
Spectral radius
$16.9336449$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$-16.93364$11
$12.29567$11
$-8.329453 - 3.432263\mathrm{i}$11
$-8.329453 + 3.432263\mathrm{i}$11
$3.296878$11
$-2$42, 2
$2$22

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{4} \left(\lambda - 2\right)^{2} \left(\lambda^{5} + 18 \lambda^{4} - 120 \lambda^{3} - 2928 \lambda^{2} - 6704 \lambda + 55712\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda - 2\right)^{2} \left(\lambda^{5} + 18 \lambda^{4} - 120 \lambda^{3} - 2928 \lambda^{2} - 6704 \lambda + 55712\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 8 & 10 & 12 & 12 & 0 & 0 & 32 & 64 & 80 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 8 & 8 & 0 & 0 & 0 & 24 & 32 \\ 1 & 0 & -4 & 1 & 2 & 18 & 56 & 24 & 0 & -216 & -32 \\ 1 & 1 & 4 & -1 & 0 & 0 & -40 & 0 & 24 & 216 & 32 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 16 & 16 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & -1 & 8 & 0 & 0 & -40 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -8 & 2 & 10 & 48 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$