Family 3-192-45-a

No geometric description is recorded for this family (yet).

Fl(1, 2, 3) × ℙ²P2 · 2022.x317 (preferred model)

Defining data

Ambient: Fl(1, 2, 3) × ℙ²P2
Bundle: $E^{ω_{1} + 2 ω_{3}}$ E^(w1 + 2w3)
Bundle: $O_{1} (1, 0) ⊠ O_{2} (2)$ O_1(1,0) box O_2(2)
ZL62 label: 2022.x317

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,2;3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1,0;2) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	45
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	192
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	-1

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	192
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	144
$\mathrm{c}_2^2$	=	96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	60
$\mathrm{c}_4$	=	12

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		0		4		0		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ + 1	0	x₀ + 1	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 35	0	0	x₁ + 8	27
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 45	0	0	0	0	45
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 40t + 110t^{2} + 40t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(501)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(550)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 863t^{4} + 762t^{3} + 132t^{2} - t - 1 \right) \left( 6553t^{8} + 10329t^{7} + 11427t^{6} + 4655t^{5} + 1124t^{4} + 39t^{3} - 29t^{2} + 2t + 1 \right) \left( 102069378018255832903776872008674t^{30} + 338728858430407904821688029659636t^{29} + 399355107064763711343058324325250t^{28} + 334831855313218865436028268957844t^{27} + 290441781712585385295230857456992t^{26} + 240299669117322587591466309484326t^{25} + 154648113891381669084074229353463t^{24} + 72696315085729057555812095168970t^{23} + 25321659651922847283405548307108t^{22} + 6985102775065546606681057302573t^{21} + 1769460716138507794317079606781t^{20} + 481668594736117774507994655189t^{19} + 133977516516546102431365256280t^{18} + 31869717396807615665550549670t^{17} + 5795146027301899775357836831t^{16} + 771694852771928258632508037t^{15} + 74411599904046279284519000t^{14} + 5119990030608650109465022t^{13} + 215907932619171209608709t^{12} - 573079888750059842716t^{11} - 646215360662215364616t^{10} - 4625000016097047804t^{9} + 3493894620901249746t^{8} + 213090280933866199t^{7} + 2031022324710339t^{6} - 74526127046436t^{5} + 10425413880200t^{4} - 255373720030t^{3} - 1385045482t^{2} - 5463104t + 81920 \right)D^{8} + \left( 20780162181884991535737199699732615551096t^{42} + 113462251707437605530523948308647259610008t^{41} + 277413000883106165891023297497328024946928t^{40} + 434931630173497750927550400681344335717272t^{39} + 510453910882466242088178043312461800478024t^{38} + 501016585720921623108991178542852224299226t^{37} + 441062238012074258347064709843004481308128t^{36} + 349654398920605743580980231164561533047984t^{35} + 240354939364239014088549915104818506070704t^{34} + 138365737201995991809637676855181884400069t^{33} + 65739907411496103846635950625494341454951t^{32} + 25897928122262449678842075672107586941742t^{31} + 8661652490460665615145806574812803267215t^{30} + 2574214920410035333366085091709037535041t^{29} + 720943103313647792633786899089148452523t^{28} + 196759758523748573559355436627878987494t^{27} + 50994391676032979405918082870147940861t^{26} + 11780009807743166805604970934378129646t^{25} + 2280826478029735365568546104189840273t^{24} + 350593285105687906209781962501299333t^{23} + 39453297907884364535913559480346124t^{22} + 2439487321045299728168788014030135t^{21} - 144326002111757734955688830080302t^{20} - 62519796070890461361723249622432t^{19} - 8296099732660497227721811034469t^{18} - 390575084277069577097325184704t^{17} + 58032202299015888407745879853t^{16} + 14010507013357581443520644757t^{15} + 1516368200180247162331198653t^{14} + 103880593579778021585197499t^{13} + 4102730282740809924818649t^{12} - 19416356991471736605890t^{11} - 10502309639345271637154t^{10} - 9893801754402142779t^{9} + 52586382784738444089t^{8} + 2890217715564327825t^{7} + 24295202534600232t^{6} - 830367210390194t^{5} + 101009990990634t^{4} - 2310018152202t^{3} - 11018601488t^{2} - 38241728t + 491520 \right)D^{7} + \left( 315165793091922371625347528779278002524956t^{42} + 1636125259250670734850387573696470270203932t^{41} + 3707575801016426531833621306751756381560536t^{40} + 5380782615328502010072656179278182176979148t^{39} + 5985721793303214019837352946179067448470084t^{38} + 5768089924234993940023111325137411472847570t^{37} + 5066404261214401046801008939059825755489982t^{36} + 3956647104701096821212767344855544809856358t^{35} + 2622234184528319132196676300738053907454406t^{34} + 1434262627681098661918679993037569008812231t^{33} + 644598067834837549991987622409834935479809t^{32} + 241849460282946724628818764600819399281154t^{31} + 78728329711522122604570767917709227411481t^{30} + 23634013230430789354803617430471871751657t^{29} + 6919456187363258175629376573967066598447t^{28} + 1979202839283481576048292157413427185682t^{27} + 523788052380939674519606177688987290497t^{26} + 120484057998545111356729298231568268004t^{25} + 23084073402387360863723469992827082719t^{24} + 3592098811379678852001144228445483019t^{23} + 445365544926173462897427863531617830t^{22} + 42633416381937802384392093924176865t^{21} + 2795289692859253263017092057154670t^{20} + 19869090232942362707099538835450t^{19} - 34083457288428430319612211002019t^{18} - 7833273861181097657551763832078t^{17} - 1188816096960190552014593550139t^{16} - 133363514070295200272843677819t^{15} - 11072305472611256079609686763t^{14} - 665353004877341773701340109t^{13} - 25316632844344847913211543t^{12} - 100099861711798350785006t^{11} + 42628398927198191283854t^{10} - 133912482685573870977t^{9} - 228627307701872063037t^{8} - 12123563767935175329t^{7} - 138673188403340108t^{6} + 4140156166862674t^{5} - 362607046068018t^{4} + 7150011856178t^{3} + 33771367408t^{2} + 80589248t - 1064960 \right)D^{6} + \left( 2618300434917508933502887162166309559438096t^{42} + 13002355188188198711672389495123535429766480t^{41} + 27530535284430097779082469433088962454856616t^{40} + 37407599274567966445298590757161342822992816t^{39} + 40046855886924830176268747875142011383056832t^{38} + 38345202340090150602874513148748951332442174t^{37} + 33605375105897071657536209174843236547751468t^{36} + 25674847998842943542294309239200032945288472t^{35} + 16320126360481299075041399079926709112715040t^{34} + 8473794968188513841353322996116854507255867t^{33} + 3613543992028664285497190248447689330156919t^{32} + 1300285067882805213095383626409896008525868t^{31} + 416222527329234319811875672533927584823315t^{30} + 127000189759304138697291737335842724577507t^{29} + 38388215159795248844114811187882691075347t^{28} + 11144049461686138775079283735703785738542t^{27} + 2906044802683049655206402093950661501911t^{26} + 645511229619762026440825906022652342568t^{25} + 118785045517823925471823786765526064915t^{24} + 17926583500817008478149673600511008297t^{23} + 2220242548080390448220561140370195040t^{22} + 228026654892657708384029936325488757t^{21} + 20186454933366134926764413668402524t^{20} + 1781583369640105534273652811661724t^{19} + 206599003276506620460249675884013t^{18} + 30807653448436899798992184048552t^{17} + 4281179643831091102341206399647t^{16} + 463492739039094031609207594563t^{15} + 37059046846261125838616259123t^{14} + 2138211214476065201488967267t^{13} + 81241284871229108701904793t^{12} + 950220927374609089928368t^{11} - 83059849739586582923042t^{10} - 798552151637866024041t^{9} + 372235065522031873473t^{8} + 21648163680669383301t^{7} + 263093304320114610t^{6} - 8607826356876494t^{5} + 505278119973642t^{4} - 8815765018698t^{3} - 45113052692t^{2} - 67208768t + 983040 \right)D^{5} + \left( 12958162800587115971826788779424930180737614t^{42} + 61930851819967667474835470286562673361725454t^{41} + 123543346924150154794931243696531134290652752t^{40} + 158937200352178968300333075395832342314892798t^{39} + 165875866968719932796859623289530471661324522t^{38} + 158910601267858978641654229921390000671397578t^{37} + 138620455070895349128572734042301680979395113t^{36} + 103196343675192538810874217720448505173933167t^{35} + 62886179141577107269659612094889746505164077t^{34} + 31101697638776074441447892149523576437743360t^{33} + 12675763423297219284109711882437204863566987t^{32} + 4427170153262582228772191330449385874048264t^{31} + 1415116320761895585191170758626737123500006t^{30} + 442846855209656594733916747941206253052529t^{29} + 137174695091330311993969810871653995854099t^{28} + 39756430644113009814823260604017958235178t^{27} + 10073604954072364491230996245697651874403t^{26} + 2136410571435096087558833950474119691028t^{25} + 371498794326506472437627315497230185632t^{24} + 52545850320942330987461463883607562476t^{23} + 6014195340144937562376785276762531901t^{22} + 547209400336409840973151488473097558t^{21} + 36733665123624486477495934546781997t^{20} + 1183707212984638325364843540234199t^{19} - 126907746041460404010260506829625t^{18} - 32042123222341804747499821082883t^{17} - 4404889729042121865059105699710t^{16} - 463175582375509616314135907860t^{15} - 38144427860607759839756055687t^{14} - 2433387031982980585474322846t^{13} - 114738240134340344363865460t^{12} - 3193421969611949031781733t^{11} - 9758547187109597811754t^{10} - 170004987777582860886t^{9} - 187210032669780563697t^{8} - 12855046671727459521t^{7} - 256147741438745885t^{6} + 5597508906770212t^{5} - 239472057897546t^{4} + 3477561555698t^{3} + 20331753286t^{2} + 19529984t - 327680 \right)D^{4} + 2 t \left( 19419061558971524590146413119400129232499212t^{41} + 89856867633738697553604279797355623091870876t^{40} + 170310431629981361297376872402537897189838756t^{39} + 209657282149408459640188171491114967394483004t^{38} + 215455726097624341795616825990065583895699708t^{37} + 207157662803203156048423474620280185396687036t^{36} + 179442168481913213050418558295146489585887386t^{35} + 130068530957209503793863666570809268753402156t^{34} + 76203948007254786867259494844303463904398016t^{33} + 36103926082053190130911976168875193172986688t^{32} + 14181546890024073298285388007326350007667833t^{31} + 4862441104778575943813163910890301567338411t^{30} + 1568838418880057221289966594460381788344719t^{29} + 503782586008562815762049063599626164535154t^{28} + 158129575146187368004622732020596551246693t^{27} + 45238468704091559175425007049281615356478t^{26} + 11090976271997763984136964687094055195802t^{25} + 2252756436508252688710760121119590480841t^{24} + 373851101678808592458594426376420750026t^{23} + 50484596758084148223069693762819947485t^{22} + 5526989141587984122121927615723000890t^{21} + 481905879646535541759992385745387674t^{20} + 31598978136582595142727974377229145t^{19} + 1341531045585011809098975427123318t^{18} + 25658797865413732685597246407668t^{17} + 1647938034004631482727743466304t^{16} + 491765667051680128238541316946t^{15} + 56484344275661593540459874412t^{14} + 3216223197722365309459566936t^{13} + 83159022885218698456122781t^{12} + 725462798017436579149947t^{11} + 120016549930474726054277t^{10} + 9106190321546118298166t^{9} - 123964205691612613230t^{8} - 22566877226153540529t^{7} - 707131638654286143t^{6} + 9934760739177747t^{5} - 180057245390680t^{4} + 1550450296902t^{3} + 55962163242t^{2} + 44810786t + 56960 \right)D^{3} + 12 t ^{2} \left( 5682027494381904491128289299377813609624222t^{40} + 25605435604689459999336479391748007577969534t^{39} + 46505521283362223131637996028767053640358552t^{38} + 55311455673108022938183104103672273163078266t^{37} + 56365015682798016307679679893821198942036998t^{36} + 54432521427641547814061887332531345257948574t^{35} + 46762778884451208590199787480069275165217425t^{34} + 33062936639599636243146335979161025836935533t^{33} + 18714467856683674944334927981181465405197149t^{32} + 8551447453281161648527855024541848330702908t^{31} + 3264036261234537193943030163303764472363178t^{30} + 1108471996662766554541884424238622909708195t^{29} + 362744042332198148364172751315616364841623t^{28} + 118899073895407673941414034070643037593025t^{27} + 37423323449890894445169721518626284602748t^{26} + 10498082683943210597214705281123663341920t^{25} + 2487814947720475836604412382761336259693t^{24} + 485181632047618375304053490985179824459t^{23} + 77137774807008671565161051287322178108t^{22} + 9976582588914119888344441447573910971t^{21} + 1045053100986094728785370066438290461t^{20} + 86826429147084762691911996031269762t^{19} + 5425751981544608470512826080835428t^{18} + 241695300821235185562366748538203t^{17} + 11847811443297835541962246121263t^{16} + 1606920328714339646148770597333t^{15} + 217378630292854374094911953722t^{14} + 18676273560520184342401483550t^{13} + 1036749394082526549168830705t^{12} + 40745625182864845828277459t^{11} + 1534298723788350401610065t^{10} + 62864900897110204803438t^{9} + 948540126124234205194t^{8} - 74332768062638193748t^{7} - 3290713757469839112t^{6} - 34425053434202104t^{5} + 2204351898939944t^{4} - 34672363195456t^{3} + 360923942384t^{2} + 6015550976t + 1310720 \right)D^{2} + 144 t ^{3} \left( 439269539455957737741555804763792234288446t^{39} + 1938930125728531872174846695940893755097430t^{38} + 3403912224463136526844548806809332364388046t^{37} + 3944846130901337488633804572662530654086636t^{36} + 4004107805896432964406717348027570026280492t^{35} + 3882206965085103854889006089621844249106326t^{34} + 3308172593825541322666051530182334121652757t^{33} + 2289627745964517993170184696635759992682355t^{32} + 1259632511876322454645502788626777262411692t^{31} + 559092200083210281982486407137708983103511t^{30} + 208901430865615321944046113522688432546088t^{29} + 70688172474618267801053516293544672197800t^{28} + 23473064561486150197067505301882272348549t^{27} + 7803218124411175362840635090054753926571t^{26} + 2446997459889752342118395163302870826602t^{25} + 672111577357567632020486463342792025782t^{24} + 154410703122974278356351513254949293739t^{23} + 29076947488562654519088854559729876960t^{22} + 4461653510894736685877269246066472059t^{21} + 557745630155899613187223433612812815t^{20} + 56613807524921391689782638190250187t^{19} + 4593769440450199992483834985615438t^{18} + 293945272141430806748509314773729t^{17} + 17066446668675310021166166004491t^{16} + 1519839295798873728905150083164t^{15} + 193281493512056880022772760511t^{14} + 20072118194884341537171818809t^{13} + 1467957655209328170221868163t^{12} + 77353804428871648251450532t^{11} + 3281105554688727071927601t^{10} + 134102856439652108048879t^{9} + 4355385480734675808392t^{8} - 17359872991165163594t^{7} - 6714510114511169576t^{6} - 134777952725582994t^{5} + 1264264079079228t^{4} + 81205703118288t^{3} - 1109363174344t^{2} + 16019099804t + 168540672 \right)D + 1728 t ^{3} \left( 13468623636406938958348184990567436005340t^{39} + 58564786674393128756200383258312815475300t^{38} + 100269749005494876784097712952871149872090t^{37} + 114088138194386941763320136617789966231290t^{36} + 115624652756366923106751752841402815913726t^{35} + 112448474458893158585320379703853545232590t^{34} + 95167924308346811634418649224276332490806t^{33} + 64783541870229460122959974144942377198528t^{32} + 34874881216595463393129574972663882107450t^{31} + 15144828554830292312691168189065399975208t^{30} + 5574430272300804929285830435527153608144t^{29} + 1885620152975284464545754177859774620636t^{28} + 633963437694601692796861154573639098386t^{27} + 212598277983717641265903664897279753844t^{26} + 66257518404252585006358936830901996604t^{25} + 17857927858743869024653697683161432064t^{24} + 3998249800119433320884439490053240317t^{23} + 731915803585817926402892938512167421t^{22} + 109221728580654888522098947081102799t^{21} + 13312761193527917731875041257573602t^{20} + 1324746869335478105735190929584880t^{19} + 107239330447054454863717651963463t^{18} + 7369399210027091491031193672235t^{17} + 557165648547201417369120987885t^{16} + 61979840447164765685386201736t^{15} + 7373990296497917081547913740t^{14} + 680631500397568923184809855t^{13} + 45727221859108282631793579t^{12} + 2322881759027513020158813t^{11} + 99516423776797324035746t^{10} + 3985506235268995511338t^{9} + 109035507257491292020t^{8} - 1786547974928808174t^{7} - 197027211607595802t^{6} - 2323025973826738t^{5} + 65946635463464t^{4} + 924568696264t^{3} - 10201975552t^{2} + 358318720t + 2211840 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 3) × ℙ²P2

Sector dimension: 12
Spectral radius: $13.4217203$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: Yes

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$13.42172$	1	1
$5.363558 - 3.767819\mathrm{i}$	1	1
$5.363558 + 3.767819\mathrm{i}$	1	1
$-6.440035 - 0.4834011\mathrm{i}$	1	1
$-6.440035 + 0.4834011\mathrm{i}$	1	1
$-4.634101 - 0.519222\mathrm{i}$	1	1
$-4.634101 + 0.519222\mathrm{i}$	1	1
$-1.217527 - 2.41308\mathrm{i}$	1	1
$-1.217527 + 2.41308\mathrm{i}$	1	1
$-1.541651$	1	1
$-0.5119306 - 0.8355173\mathrm{i}$	1	1
$-0.5119306 + 0.8355173\mathrm{i}$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda^{4} + \lambda^{3} - 132 \lambda^{2} - 762 \lambda - 863\right) \left(\lambda^{8} + 2 \lambda^{7} - 29 \lambda^{6} + 39 \lambda^{5} + 1124 \lambda^{4} + 4655 \lambda^{3} + 11427 \lambda^{2} + 10329 \lambda + 6553\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 8 & 2 & 12 & 3 & 30 & 0 & 0 & 16 & 16 & 0 & 60 \\ 1 & -1 & 0 & 3 & 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 8 & 8 & 12 & 0 & 0 & 15 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 8 & 0 & 2 & 6 & 3 & 0 & 16 \\ 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 8 & 12 & 2 & 30 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 1 & -\frac{1}{4} & 0 & \frac{5}{2} & -1 & 3 & 2 & 0 & 4 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -\frac{1}{4} & -1 & 3 & -\frac{1}{4} & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{7}{2} & 2 & 0 & \frac{1}{2} & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta