Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-193-45-d

·

Blow-up of family 2-432-90-d along an elliptic ruled surface.

  • $\pi_1\colon X\to\mathbb P^3\times\mathrm{Gr}(2,5)$ is birational onto its image; it contracts a plane with normal bundle $\mathcal O(-1)^{\oplus 2}$ to a point and is an isomorphism elsewhere.

  • $\pi_2\colon X\to Y$ is the blow-up of the Fano fourfold 2-513-105-b, the $\mathbb P^2$-bundle $\mathbb P_{\mathbb P^2}(\mathcal O\oplus\mathcal O(-1)^{\oplus 2})$, along a surface isomorphic to the symmetric square of an elliptic quartic curve of $\mathbb P^3$.

  • $\pi_3\colon X\to D$ is the blow-up of a smooth divisor of bidegree $(1,1)$ in $\mathbb P^2\times\mathbb P^3$ (2-432-90-d) along a $\mathbb P^1$-bundle over an elliptic quartic curve of $\mathbb P^3$.

Varieties in this family can be blown down to

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × ℙ3P3 × Gr(2, 5)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7 (marked)node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9
Bundle
E^(w3 + w8) + E^(w2 + w6)
Bundle
O_2(1) box Q_3^v(1) + Q_1 box U_3^v
ZL62 label
203041.wJwB
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;4;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;3;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 45
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 193
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -2

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 193
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 142
$\mathrm{c}_2^2$ = 100
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 54
$\mathrm{c}_4$ = 9
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 1 1 0
0 0 5 0 0
0 1 1 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 2 0 x0 + 2 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 39 0 0 x1 + 7 32
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 45 0 0 0 0 45
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 40t + 111t^{2} + 40t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) No match
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 4t + 1 \right) ^{2} \left( 61589t^{9} - 183290t^{8} + 130409t^{7} + 86238t^{6} + 17154t^{5} + 620t^{4} + 320t^{3} + 97t^{2} + t - 1 \right) \left( 995498657776507769956739084736t^{32} + 2152158620066976969046185925248t^{31} - 844122604605764415708415918380t^{30} - 7777069734356352094127809562392t^{29} - 13197211871469052849881640965510t^{28} - 15309241423035629064083164470230t^{27} - 11925451865885043529017965123727t^{26} - 5984614621374214692732924565187t^{25} - 5345602569735988029862881162387t^{24} - 6860689648730765193646470463309t^{23} - 5445776105021149131637306171045t^{22} - 2741901805025184347166907066235t^{21} - 1032259040323783374457685501873t^{20} - 333027167452342058349379603083t^{19} - 90664847922966733261449107837t^{18} - 20793791635461576799436768125t^{17} - 6894033422851092836888981916t^{16} - 3577471097432895402496572730t^{15} - 1431489713348489425390014665t^{14} - 364891418901775658195025355t^{13} - 58783658076619565747590512t^{12} - 5836097914885281001913128t^{11} - 286845399647767383041076t^{10} + 11729169106335594512344t^{9} + 3670826890943354424036t^{8} + 301546936849400164648t^{7} + 7547473900988720220t^{6} - 492572852140199228t^{5} - 44377729018836272t^{4} - 913147890636080t^{3} - 23405955566080t^{2} - 102549382784t + 3032218368 \right)D^{8} + \left( 4t + 1 \right) \left( 6131176683379733704386560348980550400t^{42} + 776155527035823055650841403731711104t^{41} - 29893045265111544462102307623592982352t^{40} - 26651157176453514057548856996322006112t^{39} + 24460894244668833980695994904512245072t^{38} + 42029936943842813722260751828482359972t^{37} + 40081898995143960328206964591332164050t^{36} - 12359439243851584983933124040815319692t^{35} - 105627284358275669737940729967147478753t^{34} - 76877773721179301424358942081038657892t^{33} - 804891541412730370031389268829618938t^{32} - 12228127807081439269721295727698785818t^{31} - 52931259818894652768756930316689153584t^{30} - 53856664411431769748478237482500326968t^{29} - 31717225687336491148761199210789834682t^{28} - 13931819271283044534331130348119799141t^{27} - 5082586726786628769013541784683939205t^{26} - 1509852483977466960751732935282977010t^{25} - 374168404952723513207312188752532154t^{24} - 119984057304791913236833468885654754t^{23} - 60920468798960638198895252766925484t^{22} - 27583853711523670301088635827844694t^{21} - 8855682290622926308176612974415938t^{20} - 1995375568913256303522373064147286t^{19} - 316426579110585573510355439907601t^{18} - 33342967321424249478285508791671t^{17} - 1645753817316542021603122848448t^{16} + 101439410209356524431913945577t^{15} + 13689665978091016035170236291t^{14} - 3025610822695969519629074791t^{13} - 895535919896629763454554348t^{12} - 101939604807281357417054552t^{11} - 5369205327271237698547288t^{10} + 152855227497535014551336t^{9} + 55019316566777668952560t^{8} + 4280393068153779062852t^{7} + 97185676360744512012t^{6} - 6605393013968132956t^{5} - 533903935742282832t^{4} - 9863151993428112t^{3} - 231645851862144t^{2} - 965395502208t + 24257746944 \right)D^{7} + \left( 257754667769284004932410997071142338816t^{43} + 241174125901404469490391430226018549760t^{42} - 1077573358022582974442697175955013281232t^{41} - 1980460567390205819873601559337416611488t^{40} - 743860791510909389506387939597436934400t^{39} + 692675559107621424544544961389095662344t^{38} + 2525876624303908069110349483978698660372t^{37} + 2529862809866663976071627113606341595650t^{36} - 1053999975796304299772221946758567876074t^{35} - 1533937127212529038952253952062276020139t^{34} + 1015185002609623224661049279474760189690t^{33} + 1179436275104322098525011051936588700468t^{32} - 433158719279039729103724993808645084540t^{31} - 1114357890116969760752822906051862510690t^{30} - 817617465808962687691588151637600277472t^{29} - 411285576882115221387571531600202754436t^{28} - 172298684807576427606340174486024244659t^{27} - 58767488210052877441835046039268305919t^{26} - 16058716604639111896145170851721809232t^{25} - 5254115385159950742830257022175569380t^{24} - 2834358826569936623993639524938091650t^{23} - 1428639707598683298196493705564092054t^{22} - 511616973874405787255466052038954510t^{21} - 128247338084915174346361185181534152t^{20} - 22756913089442408155613980748883526t^{19} - 2799075907296200795492434108899983t^{18} - 204345864545907741505718089414571t^{17} + 2409427805585215490822922013774t^{16} + 3654342112625753283549436522705t^{15} + 755677759143928077816261578575t^{14} + 107943513546663577509531226835t^{13} + 11260463229401047009697121468t^{12} + 773812346006193738203301616t^{11} + 21207816441443650041263148t^{10} - 2344077178663927149975996t^{9} - 375742828888445892485120t^{8} - 23530663205421042108508t^{7} - 438878526461144390116t^{6} + 30822735754320252508t^{5} + 2259992955651479216t^{4} + 39048514523412528t^{3} + 807619947911168t^{2} + 2763963052928t - 69741022464 \right)D^{6} + \left( 1484970992714571503202424916523089306880t^{43} + 2058057994846705396733334413700090704640t^{42} - 5328436648893962152154667772946015266992t^{41} - 13555208661005911690619627624209061990480t^{40} - 11340230304118081295022272837942096006104t^{39} - 5300381377485472677606820062867272702576t^{38} + 8987782676476528330586816495917018188920t^{37} + 16485385239889314757297811257786757259070t^{36} - 1014813839101082570876933826236884426520t^{35} - 6106058607919762607275270960064328053195t^{34} + 7191796973457400007225049595896410548894t^{33} + 10608264261827721270526930765647221295146t^{32} + 3978090268746857203398513070124964907876t^{31} - 321771994705978638606946479923228226088t^{30} - 951115905738267508963907810571210033612t^{29} - 686218955169027517086351551631430932718t^{28} - 394387375855193666670616489209246557365t^{27} - 155535014368207136243583523777379139485t^{26} - 41774676430256400435107442585756226302t^{25} - 16612999274710903967869409222598691892t^{24} - 11940439351973003248639369299651849236t^{23} - 6451966264044116303080773194484919884t^{22} - 2273340989964306755689646585529991858t^{21} - 544891490477141332415199890902188712t^{20} - 91495812063564108831024995988657578t^{19} - 10670200977665146816070252569697149t^{18} - 778481513417011227673518285623225t^{17} - 18011576395266208387601089401848t^{16} + 1373402032345498022323894353607t^{15} - 505721665642391341241373633967t^{14} - 202051502781606849487507707481t^{13} - 32005085942193288707408071988t^{12} - 2917826463587292148540824840t^{11} - 148500804233792223905310868t^{10} - 862557967878057055059184t^{9} + 540886106733533903228640t^{8} + 41484896435056792682540t^{7} + 876431974196382202996t^{6} - 46550933963163337412t^{5} - 3665069592131013584t^{4} - 59304005255929712t^{3} - 1148337087395200t^{2} - 3443423216256t + 84902114304 \right)D^{5} + \left( 5121004013026088779251830665882514916096t^{43} + 8946075420596729328880010321987937613056t^{42} - 15852088644465498556243761577838993025168t^{41} - 52439395416378740043657684777572416388096t^{40} - 60255293826568976199708206118889349184484t^{39} - 52318711930920351429139954689984742369560t^{38} - 1034988327007840920035982565318678081162t^{37} + 41420592338812587345932528902793620400776t^{36} - 11107510518321572474276058722774241484917t^{35} - 34243155330581209014169810777465654348362t^{34} + 11764358838500441959385203894686177757282t^{33} + 35323650746008323680094437432526213560404t^{32} + 23159789941677001470009590195127755277146t^{31} + 9790231717391064639695901701699253945606t^{30} + 3614799634007514378117086130685217123240t^{29} + 691130745538699414521311574283038053363t^{28} - 290729596859268922800427157157917063877t^{27} - 211845487567200613056683820684004067268t^{26} - 49065201575034202454407479454531785320t^{25} - 25729007851386063196077909290257255226t^{24} - 28068025563167410371105106148633335390t^{23} - 16625767764173775361266945713370971618t^{22} - 5858561005670780003753875488190914110t^{21} - 1359966913237002331163759160401578208t^{20} - 217365397046859117466786111755077471t^{19} - 23558255530949647847987843396993223t^{18} - 1399445298844823089686696177394780t^{17} + 51208982748198925857826894079613t^{16} + 24672573386196846417302048439757t^{15} + 3498019452053695057451605258179t^{14} + 343701387729556048242927870070t^{13} + 27668556526511293133985834740t^{12} + 1874295203018147212861610692t^{11} + 96565111120321077365835100t^{10} + 2068031003288369212372976t^{9} - 222407874168304632524432t^{8} - 20914527680780681348908t^{7} - 427211508074357116484t^{6} + 26197696545046147464t^{5} + 2040553444179357648t^{4} + 30739158042698656t^{3} + 556689842346880t^{2} + 1483924295936t - 36386620416 \right)D^{4} + 2 t \left( 5403406011062559313675875635556559067520t^{42} + 10996730232520216919721508715245249350912t^{41} - 14620835885055617243047711380373667857608t^{40} - 60263865282662954540621240306897512104592t^{39} - 82867383829552938960130012221143770723652t^{38} - 89615438957157928475970024695387922410456t^{37} - 38663590402470726109695196629369382338178t^{36} + 18296936034713122667648009144326904622616t^{35} - 31369659072341073306119718897633230982172t^{34} - 61675449499928127914717612848730583710410t^{33} - 12296750501961776412882602758112889025073t^{32} + 24938918781689413022227441258922997343880t^{31} + 23980372522319180866166384008474146997063t^{30} + 14117893891203735593084815911067916659918t^{29} + 6891686210712533012649984483186594175982t^{28} + 2231007655959207877580021858730058109458t^{27} + 239868507314036786833376124490940388807t^{26} - 56815015114514808851547640254364004459t^{25} + 2215828319904375218123371810969847608t^{24} - 3419262855552215294927790467592956055t^{23} - 17835244895414827605222041474343253635t^{22} - 12544477465483818410685419134530936734t^{21} - 4566349369491911544209659728949122864t^{20} - 1053184738476722804944364188174732767t^{19} - 164893056344320677999155880571981878t^{18} - 17321157934952728300653634493216491t^{17} - 934097951045847801147035428252046t^{16} + 53638122724516213901434734867306t^{15} + 17228954369164878923648919277370t^{14} + 1623874530125355816319771649096t^{13} + 42354374564883789014559756404t^{12} - 6366964120582904184483014208t^{11} - 799301253273822243087377448t^{10} - 43081371182788572716158386t^{9} - 1357936561187144403187984t^{8} - 41274092874566222343408t^{7} - 1561570424518181377232t^{6} - 19158145073166971592t^{5} + 1908842886916737744t^{4} + 38870426603126512t^{3} + 455421437095744t^{2} - 610362967552t - 5679517824 \right)D^{3} + 4 t \left( 3400595835669735501800961831958572473856t^{42} + 7698659833573482305031511495108660157760t^{41} - 8191706916304506546046753605777993002952t^{40} - 40529904623918312890309283764026979064304t^{39} - 62407772117913536680428195943421363885336t^{38} - 75749212107412039052537822068937654256304t^{37} - 46938645967266232726495095234469896699044t^{36} - 5574030767005183122374947481252765322604t^{35} - 34634569257836554396206306214819118209835t^{34} - 57889863511570351278768641923743017779026t^{33} - 26809807529019548120653084462783115643381t^{32} + 3559156849725248516920053488611641812136t^{31} + 10387345172584891333495241888966927478546t^{30} + 8094565348745713386183838191510590777744t^{29} + 4655754251740779993448488291703067571014t^{28} + 1731673016082357715643709846470308008407t^{27} + 298263380074555741398640929953338416074t^{26} + 11053067090465129320984426008662486787t^{25} + 20477180914959111562146270046076091133t^{24} + 9969597842439872889761993401717300666t^{23} - 4421243787888880615398730866455966270t^{22} - 5104218667113487432278237595230067762t^{21} - 2042559910782730638788075195482361876t^{20} - 483063329135394386926220227263661403t^{19} - 76003588253691339503191210380139149t^{18} - 7962822416218520710180280580878817t^{17} - 412548457616464461292170066743780t^{16} + 28059010083694228047775003798575t^{15} + 7635784412094549713261103786293t^{14} + 558687686352514658854562845129t^{13} - 10686678470333525233342092688t^{12} - 5573976608586135846245373936t^{11} - 515269221508842646843336604t^{10} - 26126762139318259897602328t^{9} - 923309657199390219039984t^{8} - 29649217239172733830684t^{7} - 694518521702567068828t^{6} + 4652748345900645124t^{5} + 782370410642079072t^{4} + 10957213971617568t^{3} + 88030345370304t^{2} - 54079155840t - 1516109184 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 388103484057937143487669270090468840320t^{40} + 948477993618292455328182742100536399680t^{39} - 849444504546898175302992507118260199632t^{38} - 4873512891334280276504147761657913922816t^{37} - 8085581890650767827786031539479700006648t^{36} - 10521124922379818455460967515379966521168t^{35} - 7626888572056274250361285634521383385108t^{34} - 2445920714304932967473503919865401037184t^{33} - 5644620106759771812538199905344531168620t^{32} - 8811133653586025322232506629338326051536t^{31} - 5334121716955274265922386242773089056438t^{30} - 1206310376416633959546275812560269132008t^{29} + 368816124534802983555830416872602903303t^{28} + 624023321994996397053542933803318500480t^{27} + 461814778624441963104235872067444269662t^{26} + 195490239560349322415379995864341043324t^{25} + 38463815408769969679581750456928609176t^{24} + 2920088677961975013411594790706983988t^{23} + 3505636884263891137881549450778611167t^{22} + 2272103950262297493612500278971315937t^{21} + 186980083120616232592479445168585231t^{20} - 306812254129772618883347459396629704t^{19} - 156047145868709286960659889245852484t^{18} - 39677084028901923844054046425657396t^{17} - 6485340901650793099979112534968922t^{16} - 706105370594963905434122003838901t^{15} - 39963217313484791911730036185872t^{14} + 1663739152997564383023067917488t^{13} + 479904763210250932081994958706t^{12} + 14960317879144740297927333038t^{11} - 4830703772890047841872787632t^{10} - 784214067150521554520777248t^{9} - 61274186973065376191337120t^{8} - 3047690031212023647532054t^{7} - 120151980837171062312608t^{6} - 3927696875890491005288t^{5} - 50797920903917474528t^{4} + 2143545339245329712t^{3} + 77840186550589248t^{2} + 761389407810048t + 1421845612416 \right)D + 2304 t ^{4} \left( 1149595628133700069572480065433853200t^{39} + 2969898168844908250790221130937983400t^{38} - 2332325824276625976457307924688223344t^{37} - 15035748601458204302797346073528079236t^{36} - 26232132451745660325959211401235912786t^{35} - 35692405141865061375808755339810361032t^{34} - 28175907178175137836778498862931347460t^{33} - 11831510518675351656995800823435038344t^{32} - 21227445875256475044110449935562376802t^{31} - 32098153177423510171341021702921288957t^{30} - 22143203183767439263359207104296682496t^{29} - 8349915922692985582403866078063789116t^{28} - 1600134333138299096026626531636299958t^{27} + 690486265752778109711456409610950228t^{26} + 1011509985839220466548157613914696329t^{25} + 513027888953180481009906954298730943t^{24} + 107689805860456772892757848523585844t^{23} + 7755895763125693959303557243477566t^{22} + 12052847922222380082464506587568421t^{21} + 9440413243570284373216089167958241t^{20} + 2311221093892760622562603159423802t^{19} - 220044693889638901938838123369701t^{18} - 277905312930080628089609535193632t^{17} - 82603499914302201985900715383842t^{16} - 14620013842394569390768454888928t^{15} - 1725910184785970041017729543250t^{14} - 117986250571682818023955484880t^{13} - 742339320559710358004370352t^{12} + 285826544414602252118475284t^{11} - 87569229854814469183919836t^{10} - 23904181145276070523721072t^{9} - 2748195999797982253547208t^{8} - 192786630639086138570048t^{7} - 9448316158718469013148t^{6} - 394962677596477508080t^{5} - 12853319970534811200t^{4} - 93968849309025792t^{3} + 9328839088553088t^{2} + 237829502477952t + 2086166237184 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × ℙ3P3 × Gr(2, 5)

|λ| = 12.3507 λ ≈ 12.3507; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.060985 - 1.906727i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.060985 + 1.906727i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.866926 - 4.870392i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.866926 + 4.870392i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 λ ≈ -2.955619 - 2.297394i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.955619 + 2.297394i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.4743295 - 0.2257786i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0.4743295 + 0.2257786i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 0; multiplicity 2; Jordan blocks 1, 1 2 2
Sector dimension
13
Spectral radius
$12.3506963$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$12.3507$11
$-6.060985 - 1.906727\mathrm{i}$11
$-6.060985 + 1.906727\mathrm{i}$11
$2.866926 - 4.870392\mathrm{i}$11
$2.866926 + 4.870392\mathrm{i}$11
$-4$21, 1
$-2.955619 - 2.297394\mathrm{i}$11
$-2.955619 + 2.297394\mathrm{i}$11
$0.4743295 - 0.2257786\mathrm{i}$11
$0.4743295 + 0.2257786\mathrm{i}$11
$0$21, 1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{2} \left(\lambda + 4\right)^{2} \left(\lambda^{9} - \lambda^{8} - 97 \lambda^{7} - 320 \lambda^{6} - 620 \lambda^{5} - 17154 \lambda^{4} - 86238 \lambda^{3} - 130409 \lambda^{2} + 183290 \lambda - 61589\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda \left(\lambda + 4\right) \left(\lambda^{9} - \lambda^{8} - 97 \lambda^{7} - 320 \lambda^{6} - 620 \lambda^{5} - 17154 \lambda^{4} - 86238 \lambda^{3} - 130409 \lambda^{2} + 183290 \lambda - 61589\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 6 & 8 & 6 & 6 & 6 & 18 & 6 & 40 & 24 & 24 & 60 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 6 & 4 & 0 & 10 & 6 & -3 & -3 & -9 & -16 \\ 1 & 0 & -1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 6 & 6 & 3 & 16 \\ 1 & 0 & 2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 4 & 2 & 15 & 9 & 9 & 16 \\ 0 & 1 & 1 & -\frac{5}{4} & -1 & 2 & -\frac{5}{4} & -\frac{3}{2} & -\frac{5}{4} & 2 & 2 & -\frac{3}{2} & -6 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 2 & -1 & 0 & 4 & 3 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 10 & 6 & 6 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{4} & 2 & 0 & \frac{3}{2} & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 3 & -\frac{1}{2} & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2}{5} & 2 & -\frac{3}{5} & \frac{24}{5} & \frac{9}{5} & -\frac{3}{5} & 1 & -\frac{6}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{11}{5} & -1 & \frac{6}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{7}{5} & \frac{6}{5} & -2 & \frac{12}{5} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{4}{5} & 2 & \frac{9}{5} & -\frac{12}{5} & -\frac{12}{5} & \frac{14}{5} & 2 & \frac{3}{5} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{9}{2} & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$