Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-208-48-c

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6ω1ω2ω3ω4ω5ω6
Bundle
E^(w2 + w3) + E^(w1 + 2w3)
Bundle
O_2(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_3(2)
ZL62 label
1140.lx311
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;1;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 48
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 208
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -8

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 208
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 148
$\mathrm{c}_2^2$ = 104
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 44
$\mathrm{c}_4$ = 20
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 8 0 x0 + 8 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 37 0 0 x1 - 5 42
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 48 0 0 0 0 48
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 43t + 120t^{2} + 43t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(248)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(316)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( t + 1 \right) ^{2} \left( 625941t^{9} + 369081t^{8} - 154752t^{7} - 122116t^{6} - 8872t^{5} + 4903t^{4} + 988t^{3} + 58t^{2} - 4t - 1 \right) \left( 326438624169431045330942755800t^{30} + 2633086499550791579791381558584t^{29} + 9295533958306454153868828570426t^{28} + 19344381880578379258410186005304t^{27} + 26814743485656457412445419668932t^{26} + 26280965917887659952103059451146t^{25} + 18580882950528560332171288069240t^{24} + 9200682918032022437191374455177t^{23} + 2659670584362858120986276960497t^{22} - 168509310642947122407889035393t^{21} - 701570318999564038335216892861t^{20} - 463450884567521955711984480226t^{19} - 198637411466960541376250411032t^{18} - 64223326486341423636174593378t^{17} - 16548988899288317769411357464t^{16} - 3494353357061811145594148337t^{15} - 611150566288812318764478069t^{14} - 87681670963299529756871905t^{13} - 9934488765810246964760327t^{12} - 817514702735243983181054t^{11} - 39079372751506576278588t^{10} + 276241294250965702406t^{9} + 214663077527904599126t^{8} + 17991260943932310924t^{7} + 794778044405433560t^{6} + 25678580484404024t^{5} + 591072150902576t^{4} + 5379707986376t^{3} + 181771182056t^{2} + 2310812640t - 4659200 \right)D^{8} + \left( t + 1 \right) \left( 14711854957289124332075686044590961600t^{41} + 145130383450755048524474631024805834656t^{40} + 644438403180792148925188058097607349328t^{39} + 1722835260778876967703609455792335256808t^{38} + 3116156195332788149206708917344338240044t^{37} + 4039208481392655756041219698832783580792t^{36} + 3842264322984253260988840526981060530086t^{35} + 2653124097714934012453177419218539276386t^{34} + 1219834158786256040149298020020212497479t^{33} + 214716436097541411770276415699852090738t^{32} - 192877716264811714831772329375998112474t^{31} - 214918558526188978396374102299706102620t^{30} - 116937127822779509347106562147427672241t^{29} - 38814116987219900446565164890246736071t^{28} - 5182535890532123331151615376294592289t^{27} + 2635216749343245600438291102989392801t^{26} + 2231656788955665521817936941512753110t^{25} + 957953503901744462242608447583857003t^{24} + 297819804519052458191459248849936263t^{23} + 72843308551180578656502573937418887t^{22} + 14322331534779039655965765221544330t^{21} + 2214541547380817803567933656613611t^{20} + 241475048850964343176776553573711t^{19} + 9232191365473627688321931737591t^{18} - 3172065549124332578145853761521t^{17} - 954149788283663040566864618781t^{16} - 163840124910574307186866652027t^{15} - 21556199040405772932795252411t^{14} - 2347352911934383457539281943t^{13} - 208954291702706117901810364t^{12} - 13646138762675690008256226t^{11} - 442897153594874918872914t^{10} + 22107028309231534054942t^{9} + 4035758317633217200672t^{8} + 269047302233502767300t^{7} + 10395190019765772936t^{6} + 298464438967919272t^{5} + 6046191432127800t^{4} + 50230812497992t^{3} + 1455417971488t^{2} + 16203643680t - 27955200 \right)D^{7} + \left( 223129800185551719036481238342962917600t^{42} + 2369354809291620008144814103667646531312t^{41} + 11420131421885020148229091577713348346088t^{40} + 33424219105309338083052979481560129028364t^{39} + 66855821962179425608103101929237026684376t^{38} + 97172306574704569165487892080548357703448t^{37} + 105979583409570724301852994052712097601554t^{36} + 87557812356154396784506079367463450429212t^{35} + 53672257908377392216144282424459626862115t^{34} + 22127395278452906774304911776967880654075t^{33} + 3220127901094237733754758972221705313360t^{32} - 3468766816573489160838090923136008951126t^{31} - 3555699444864761625568372558542459959447t^{30} - 1915532211911437408530979030554293592788t^{29} - 690359564654090852200545171677415069168t^{28} - 155169916333256051959344068554709255308t^{27} - 5288134252369657058899726332811116563t^{26} + 13509649109582034832808979839774637575t^{25} + 7431899716428881827503161622747527714t^{24} + 2558058124871902465270996394337740218t^{23} + 676194328973171848211012602562760075t^{22} + 145623382344633796696982184909171055t^{21} + 26081801631129782362217561859523546t^{20} + 3916384329148561220697873147907126t^{19} + 501427946591550134314049054458418t^{18} + 58087616651190161408369243220658t^{17} + 6878533522704154787775152037388t^{16} + 905650836875808230383465634782t^{15} + 122138929507562094367148099254t^{14} + 14604676160118744256166977191t^{13} + 1392863926183792772102755682t^{12} + 95868337211816660815128064t^{11} + 3828792728808638037017812t^{10} - 21357647536811321219206t^{9} - 14665880397410430306396t^{8} - 1028737367444424111124t^{7} - 36947841987691057248t^{6} - 947141954665198928t^{5} - 17993927948459200t^{4} - 121900076931144t^{3} - 3829645887168t^{2} - 39409299680t + 60569600 \right)D^{6} + \left( 1853693724618429665841536441618461161600t^{42} + 19301356993713166591728845543775049091904t^{41} + 91026015618993315181568061286891085460864t^{40} + 260542219836464933382497862822553042376448t^{39} + 510121639231518816889641289978945080488388t^{38} + 727269876436148815117063147199586317742876t^{37} + 780469805836993842293320977973170458089986t^{36} + 637258784643970480584209538335329984490112t^{35} + 388638560959729184811362789707310936418255t^{34} + 161616813218985242323740681815064872968533t^{33} + 26054387124950414736078984212552291130230t^{32} - 23034953210290560819977903486766774089310t^{31} - 25273499070634439223897846296453693891647t^{30} - 14511879790570675847330934441928737906182t^{29} - 5881556551977254710987193767447530057880t^{28} - 1760534474745605922982730447552696874048t^{27} - 367818766327249043447581515465795376067t^{26} - 35339825582173835112291731890985662803t^{25} + 10093718672133938151810650662180193592t^{24} + 6580724464047993238764390196844054074t^{23} + 2135407948568708595047821135679786839t^{22} + 505998637229958557507078330131559373t^{21} + 93543434088851281807133565202553656t^{20} + 13416432615418878858524084923712454t^{19} + 1397320008178337281521915754685814t^{18} + 79729112207310727404576498678478t^{17} - 4388351383416542820842979042104t^{16} - 1886669638328520175359208860314t^{15} - 299279965027020621442556440102t^{14} - 33980440005874804456554254021t^{13} - 3022765598552094683604691120t^{12} - 202742703875012075358191484t^{11} - 8473970414205097873651808t^{10} - 33153207264602811368662t^{9} + 22677242554123424315040t^{8} + 1627070780260214479652t^{7} + 53266872206671387456t^{6} + 1177998776246213248t^{5} + 20806310757105232t^{4} + 114641350569752t^{3} + 4170589100368t^{2} + 39382733280t - 55910400 \right)D^{5} + \left( 9174067553782876448076863222639513804400t^{42} + 93955876311034025992374047462150107798392t^{41} + 434772624325984822853819208861178530207780t^{40} + 1219736324498161609385429183306460165418830t^{39} + 2340646009132448822820329917391021620991046t^{38} + 3272575454372135004463804122777308995752390t^{37} + 3446775981524776319319451583247699923589330t^{36} + 2762716271741681381820251802236167174603800t^{35} + 1650588483943708606223795686601475178729668t^{34} + 664106700647943726070355461802511993636129t^{33} + 88311859637261005630308541111332872437913t^{32} - 113623005705944309886130855635626233639958t^{31} - 117515918710752209549689029960713918509142t^{30} - 68079891893380343909938068178478295692579t^{29} - 28827196168350222511393849328983196470074t^{28} - 9503701906524467466525148677787208572336t^{27} - 2470279066385631995280471126160739586422t^{26} - 492597541385148127825523447922320957569t^{25} - 66036283155739278099801524735515336417t^{24} - 1406770834886898918637409932230706586t^{23} + 2334905748353077728851020577014977540t^{22} + 838452642716587498371391455528415843t^{21} + 184824129385468358307625533674183737t^{20} + 29685737822581605726997998094193218t^{19} + 3544767938800187569097373357421334t^{18} + 304453117367809287783258593723614t^{17} + 17106405333942025099651353727456t^{16} + 523059001666515463554486267460t^{15} + 29587548647655207288828718894t^{14} + 8661730410809360273245949244t^{13} + 1342570059365988308855429297t^{12} + 115465105727993142499422988t^{11} + 5439408884535077077099114t^{10} + 36035460788381225729456t^{9} - 14068535151610973465598t^{8} - 1001026102137114246976t^{7} - 28157870079923617008t^{6} - 462772908447229616t^{5} - 7167117326478616t^{4} - 35592846534288t^{3} - 1600428155352t^{2} - 13872626240t + 18636800 \right)D^{4} + 2 t \left( 13748228457586686688324728608670253615200t^{41} + 138888008721062289681990091214239465646832t^{40} + 632411425730078669021874036803572153445928t^{39} + 1743394030492372452819918573800807033333172t^{38} + 3285442880377849048617035001332080918767684t^{37} + 4509768412788638405253983032399854805822752t^{36} + 4660531326218487600729149155021398140662104t^{35} + 3658132430430913264035155698774397657042100t^{34} + 2126322580899386097343001656426038348544308t^{33} + 810321913251052230765233720118872379247449t^{32} + 66060663204912169719660756909672292494217t^{31} - 179528664725895359647737975192938021220294t^{30} - 170042493639520429631808398006650539619970t^{29} - 97029266724542869024767973355782502192041t^{28} - 41477246576146561553365818791400326855288t^{27} - 14127918604455018062009407323109273623912t^{26} - 3926097419487319998387574396612769268334t^{25} - 893913169653989467619430656953756079439t^{24} - 163618154751576225669151936173962858265t^{23} - 22356552512432635495796708482856079196t^{22} - 1631527341665180845595307849445938388t^{21} + 175397552831849347797289447675650795t^{20} + 86357951506672921948145613706574399t^{19} + 16564886251756190015453804145294846t^{18} + 1956551710513733499470226252182910t^{17} + 126239518470785541919255980236204t^{16} - 2156693283080647292194313229508t^{15} - 1571816221118266938005911787236t^{14} - 200979349711520779121049340916t^{13} - 15649434528977222153813474908t^{12} - 878457177490648774621566593t^{11} - 40127683994096910718707048t^{10} - 1605302026071643011316390t^{9} - 60814891183927658636900t^{8} - 2062617431885371142466t^{7} - 40879648293791143976t^{6} + 111794066651708552t^{5} + 9783409145505392t^{4} + 55090048112984t^{3} - 1460769803264t^{2} + 610874360t - 1478400 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 6034108176995904592368431730316884541800t^{40} + 60290294165194047124639578258441041365716t^{39} + 270903520878744483834520946244782811535494t^{38} + 735869110532884312978914421071750553553337t^{37} + 1365216736711726948787312067684096745077873t^{36} + 1843483043477328857824632626046926434706199t^{35} + 1871767034471529791753279994419863673431971t^{34} + 1439090214738455896004353590762538891674042t^{33} + 812259148343766896641562054601791607613185t^{32} + 290073163553783071985008092554323307151274t^{31} + 4650581542185892790229356998422322940969t^{30} - 82612909283310549698535410182431875614764t^{29} - 72423062666315385862622052697566419440943t^{28} - 40433505901059232567514938726944341920546t^{27} - 17208429354983399685472618849031335938201t^{26} - 5910538358641135733149854516517295882212t^{25} - 1680366193852801222998839665158706103791t^{24} - 399593697140001996063918356940954124158t^{23} - 79212113314440445599459839447254014073t^{22} - 12763479891139918993853011520653169660t^{21} - 1554032969991132651996518535089024943t^{20} - 110729034487871023946416155909142070t^{19} + 3973374023541709714124272795137623t^{18} + 2386387594635709585321534379408868t^{17} + 323037322616550990643904406761691t^{16} + 15306949079692721898104872812732t^{15} - 2149511516852555146056721026583t^{14} - 537617950892979465431632636471t^{13} - 60984588225332441308598099928t^{12} - 4560961480244486253673464575t^{11} - 252522324180375887713066764t^{10} - 11323792022169732958551516t^{9} - 432976235865593118850452t^{8} - 15065690056093009591140t^{7} - 442111492700052111220t^{6} - 7372797321501419832t^{5} + 24566001822058612t^{4} + 1141109090636608t^{3} - 1258062693664t^{2} - 248435010176t - 37273600 \right)D^{2} + 96 t ^{3} \left( 466488400937375984029566544997238407400t^{39} + 4621488883389676080138436247648547357156t^{38} + 20550012251423394582981214586620802640486t^{37} + 55164651160549123908213916432584892188537t^{36} + 101043286185931466992862427460000683699777t^{35} + 134582427760631549092274033386006413597489t^{34} + 134584253893466935816834237109679294992883t^{33} + 101572783999609290024470067157194968952753t^{32} + 55759516718985648312289756868250865461990t^{31} + 18610885866901802631569504919924136258415t^{30} - 1049363722133270639447383419543358157864t^{29} - 6589387694447506181492782392407913187743t^{28} - 5443875277375761899500124995829028826637t^{27} - 2976047056379527330243408191682196603357t^{26} - 1255350310758839247426373213928564258613t^{25} - 430679858709652988015105331370911040005t^{24} - 123224433015808223258523459537167643775t^{23} - 29756348600914454846787363294153082903t^{22} - 6066819844974858289404512839024194559t^{21} - 1028627194096962443145484941062076460t^{20} - 139293775602986378711122224835866380t^{19} - 13692169688078004643888974490502736t^{18} - 701347990588642258656505659421014t^{17} + 35461633108121738018185477804072t^{16} + 9228744289851973017574731027447t^{15} + 219994480018680938194239061860t^{14} - 149682432509135968723379526077t^{13} - 29823003716801173359849651686t^{12} - 3206388867621707106566963814t^{11} - 233510299875676042105658380t^{10} - 12679817786490433895827798t^{9} - 551840337818735752138788t^{8} - 20128644486910196383648t^{7} - 651266926447697525488t^{6} - 17517219105562050924t^{5} - 257290706750453896t^{4} + 783797239643448t^{3} + 30463750647096t^{2} - 372656502120t - 6294350400 \right)D + 11520 t ^{3} \left( 1430319231958664865618469476557454600t^{39} + 14084028307552212659323478036314710684t^{38} + 62152391422039506135769825009572015774t^{37} + 165392315670386915363301712049537375193t^{36} + 300053613800395163207174175298548564489t^{35} + 395489645525861886489833011687657694577t^{34} + 390830403286331196238422910457487027333t^{33} + 290608984206758386320697303890908297976t^{32} + 155870810698589553111684548483321872737t^{31} + 48914682700665572197552604738890655068t^{30} - 6185745757568856672255039973850103781t^{29} - 20578263332155566512683028607770636316t^{28} - 16304790315613723826481157431949015749t^{27} - 8763742408603012525550455782643436296t^{26} - 3663989060587477839303034986468929877t^{25} - 1251986719019728567564121837764924470t^{24} - 358309667184567367996375588876410447t^{23} - 86944043927874749774785119966908170t^{22} - 17912695899683249216419702831576913t^{21} - 3095634791098086641390340547115267t^{20} - 434911850408168792775412090337598t^{19} - 46581109397265129864550624406695t^{18} - 3263993613734204670887945144474t^{17} - 67786601382313940417990317218t^{16} + 10149014213806806490857828132t^{15} - 127458067407681255296405362t^{14} - 362910167815189858981855838t^{13} - 67018583046880101204058106t^{12} - 7039355597955517579755268t^{11} - 504045785565687582394038t^{10} - 26848145631062355488280t^{9} - 1127495041477293015760t^{8} - 38897416583582689080t^{7} - 1164516633810500504t^{6} - 30104437181210360t^{5} - 428769517500400t^{4} - 74432192888t^{3} + 34609641536t^{2} - 1070475840t - 6289920 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × ℙ1P1 × ℙ4P4

|λ| = 11.20882 λ ≈ 11.20882; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.577711 - 6.917233i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.577711 + 6.917233i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.958585 - 1.190465i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.958585 + 1.190465i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 4.197931; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.112229 - 0.02392234i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.112229 + 0.02392234i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.890296; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1; multiplicity 2; Jordan blocks 2 2
Sector dimension
12
Spectral radius
$11.2088247$
Diagonalizable at 1
No
Simple spectrum at 1
No
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$11.20882$11
$-3.577711 - 6.917233\mathrm{i}$11
$-3.577711 + 6.917233\mathrm{i}$11
$-4.958585 - 1.190465\mathrm{i}$11
$-4.958585 + 1.190465\mathrm{i}$11
$4.197931$11
$-2.112229 - 0.02392234\mathrm{i}$11
$-2.112229 + 0.02392234\mathrm{i}$11
$-2$11
$1.890296$11
$-1$22

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right)^{2} \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{9} + 4 \lambda^{8} - 58 \lambda^{7} - 988 \lambda^{6} - 4903 \lambda^{5} + 8872 \lambda^{4} + 122116 \lambda^{3} + 154752 \lambda^{2} - 369081 \lambda - 625941\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right)^{2} \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{9} + 4 \lambda^{8} - 58 \lambda^{7} - 988 \lambda^{6} - 4903 \lambda^{5} + 8872 \lambda^{4} + 122116 \lambda^{3} + 154752 \lambda^{2} - 369081 \lambda - 625941\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 12 & 6 & 18 & 16 & 24 & 16 & 10 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 6 & 6 & 12 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 12 & 12 & 12 & 8 \\ 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 12 & 6 & 16 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 6 & 6 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & -1 & -2 & -1 & -\frac{1}{2} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$