Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-224-51-f

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
Fl(1, 2, 6) × ℙ3P3
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6 (marked)node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(w1 + w6) + E^(w2 + w7) + E^(w5)
Bundle
O_1(1,0) box O_2(1) + O_1(0,1) box Q_2^v(1) + wedge^3 Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v
ZL62 label
3052.7w9w2
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,5;4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1,4;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 51
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 224
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = -3

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 224
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 152
$\mathrm{c}_2^2$ = 100
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 52
$\mathrm{c}_4$ = 16
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 8 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 + 3 0 x0 + 3 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 39 0 0 x1 - 6 45
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 51 0 0 0 0 51
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 46t + 130t^{2} + 46t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(242)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t + 1 \right) \left( 1877825t^{11} + 2930160t^{10} + 1293487t^{9} - 220536t^{8} - 432783t^{7} - 211521t^{6} - 59516t^{5} - 9554t^{4} - 850t^{3} + 15t^{2} + 9t + 1 \right) \left( 3903689232455489064351202484040t^{30} + 23051523628462485141827650589528t^{29} + 55046652428355368506608354795548t^{28} + 76878021689810929729517160735984t^{27} + 73239002363177520414680654531234t^{26} + 51483828845353526393453065095589t^{25} + 27499670596100656028198617211378t^{24} + 10808978077610386415567747928498t^{23} + 2614328345643029907210135663939t^{22} - 12546172554083881942391744895t^{21} - 312997965317173876806659977262t^{20} - 130600829478061829448408286965t^{19} - 20852444061149580335496829294t^{18} + 3565374185832874938862005880t^{17} + 2988379241976359170847490003t^{16} + 910938456459328067313345444t^{15} + 184628853856277320820070686t^{14} + 28338598090338157100080075t^{13} + 3359618106909829254352368t^{12} + 281330374782812922935819t^{11} + 12765759645222670344045t^{10} - 37637243783444540928t^{9} - 29583296882811910276t^{8} - 631705946160573677t^{7} + 54915991738895127t^{6} + 7974742526971912t^{5} + 557320620491436t^{4} + 16866359095182t^{3} + 210553590014t^{2} + 1039615280t - 1878016 \right)D^{8} + \left( 527792056771372470163101369930653736000t^{42} + 4109437223934078308723403662028602002400t^{41} + 13902515727019579832417550027518348660600t^{40} + 28130392806068456243655993482794416522720t^{39} + 38852536450658063913860499144015170755992t^{38} + 39241407588178070319872767611071321651854t^{37} + 29996360513555309816343799183424128947359t^{36} + 17381837154601357492611543826000380148990t^{35} + 7196026819813239237156686185318612781839t^{34} + 1544485783358725475998655907246088627870t^{33} - 460438801812833515347263548816432880026t^{32} - 634833594128910540674223188167043528875t^{31} - 324242734543471119825806020146264999182t^{30} - 90033052147296699572540368146471752482t^{29} - 3413259282477277414633351252482862574t^{28} + 9384202434057324302439643339214454594t^{27} + 4737586615904774778754379374169752502t^{26} + 1152706150232370042230106826013936882t^{25} + 56972283365513549198519487750155971t^{24} - 74743503349038206729668137971740305t^{23} - 36720151495355949568476910833456711t^{22} - 10607890895384981698236348544814068t^{21} - 2285354164449516783601172594155735t^{20} - 397348107375710596730625789827564t^{19} - 58193304198203741275665979786546t^{18} - 7390840837846978091971000898401t^{17} - 838396643980619572301611010113t^{16} - 89324591174093319250721951219t^{15} - 9516711662560193236595925082t^{14} - 1005132870709609908688985431t^{13} - 92602478294673412016096605t^{12} - 6167478842109464375881823t^{11} - 220588260844284359761954t^{10} + 718747927681623723183t^{9} + 299395341237720936537t^{8} - 2026453370149067417t^{7} - 1225067797508619084t^{6} - 112496398331025422t^{5} - 6110999877541966t^{4} - 156239394638306t^{3} - 1696236335360t^{2} - 7277306960t + 11268096 \right)D^{7} + \left( 8004846194365815797473704110614914996000t^{42} + 61111527439871733954324046859521643049200t^{41} + 201437516654099311659790711531777112460680t^{40} + 397520311692536400128686607888707297587024t^{39} + 538375638434353949253081087769413507816976t^{38} + 538306207060833717022454843497620534117150t^{37} + 413446093135721839427044026200955479891337t^{36} + 246780414575727834550161789674001586062614t^{35} + 111291999329628827211203184446102881348869t^{34} + 33299359402437211119896973174042554061218t^{33} + 2329637901560147333125593999997667221868t^{32} - 3921878746666911531413322457861266412335t^{31} - 2426510450123627946474026591792682855750t^{30} - 649282129823100834829715918083238908538t^{29} + 17417257114051762626698390661650217080t^{28} + 90359228450064204682810214088212913590t^{27} + 39829751169513648636353406983787223058t^{26} + 8903742012647668497195814482673653510t^{25} + 445494997052369570632653326974011425t^{24} - 467316932688704290137388406844623729t^{23} - 215969950270343580810495839505433191t^{22} - 58632107710775389972361210766793612t^{21} - 11869026135370994733367393344234949t^{20} - 1885465005225348474729221759166376t^{19} - 228222311444807949106550556566872t^{18} - 17808524894352346531898523177259t^{17} - 47921155770264484419354337135t^{16} + 242952326737165896307740793809t^{15} + 45241267576798820419643269814t^{14} + 5380822185987199744104801195t^{13} + 480503012521478743015346199t^{12} + 30280766881546009427916949t^{11} + 927160822527196704572546t^{10} - 26532052182782329981103t^{9} - 3433772112020460254607t^{8} - 105292147842269032663t^{7} - 33138985288958204t^{6} + 231415978985119702t^{5} + 16351107580743026t^{4} + 430924309509402t^{3} + 4402354189264t^{2} + 17785960464t - 24414208 \right)D^{6} + \left( 66501799153192931240550772611262370736000t^{42} + 499233686880641119053622256102036409588800t^{41} + 1608112367761905727807955057977089292590200t^{40} + 3102097088907830024598677361100814585601096t^{39} + 4121211422028132397711483129066230471914040t^{38} + 4064812263429467033751879167436914706625258t^{37} + 3101215936109573706478325086090767087588101t^{36} + 1853730132337668922035032911107283114374730t^{35} + 846918781234119400045392183421025635139017t^{34} + 265154432410955778483990394490765670068236t^{33} + 29927773192829620476706156423983797613530t^{32} - 22143570803085421976369587325050134499849t^{31} - 15309882399938984846851906789475274761162t^{30} - 4357417816663679284807057688497082583688t^{29} - 86559805399896775664756976003973928924t^{28} + 468704725187022080254265982420878024826t^{27} + 219953757823797396242429349773467199264t^{26} + 54621255781601481589341144835844721566t^{25} + 6667779652892387103908183266182779989t^{24} - 623849101450722211979296644623059293t^{23} - 542616106047435636404761216349006829t^{22} - 157481890098396104707247352600265588t^{21} - 31271194574729145966458587263286051t^{20} - 4662666002303538845987319552711716t^{19} - 518027826446008915352742735529114t^{18} - 40940302169071774910708388210229t^{17} - 2424458088362286292215620597827t^{16} - 231402755178799202192964692387t^{15} - 45782017649698538559600571072t^{14} - 7489058493552431986871654281t^{13} - 846299972585954930388465997t^{12} - 63605616006242634221400839t^{11} - 2625842666363841852265630t^{10} - 5179786336364859943245t^{9} + 4464259261644074153511t^{8} + 172285196524064418331t^{7} + 2624997938646144978t^{6} - 179863110429395798t^{5} - 18002735027149330t^{4} - 490482248564426t^{3} - 4682091766460t^{2} - 17814528944t + 22536192 \right)D^{5} + \left( 329122330068348349519207295932590158874000t^{42} + 2436057428175470173341848143183029150875000t^{41} + 7691456323878317247816708561435822648270680t^{40} + 14540596743589279327838032723028326417658268t^{39} + 18974869204302232167394640599425773748520588t^{38} + 18445429348647606129683062845608882061170562t^{37} + 13914901806948093248033149894206250705495986t^{36} + 8236547710490839997490462468211724167033256t^{35} + 3717187068190471480080273956266636401820356t^{34} + 1134469644876089237199725350309658379005819t^{33} + 107853154946111537119215826648142388785954t^{32} - 108282940800874242728198805684554483788677t^{31} - 71187252237953676663953674552825482687870t^{30} - 20700902508005306976531399760819221852707t^{29} - 1143861296629932909159694069982412980833t^{28} + 1755672446156776712269830617720264902007t^{27} + 910066811751342916748731469046014595464t^{26} + 257714891841636106019892601899687011247t^{25} + 47487396358109518316210514408285383021t^{24} + 4986385094108476095762073293188438176t^{23} - 163244653680358205848076396239108632t^{22} - 209058025311801516060192040193337301t^{21} - 54026285261017191735909855156584080t^{20} - 8821880881147400354540701897221073t^{19} - 945823965176537791307346909664477t^{18} - 50539893688926479890748454134425t^{17} + 2738322630068490923860390311020t^{16} + 903320699600116817452540664385t^{15} + 107673468909644158724961762716t^{14} + 9193054839216038804764183263t^{13} + 664560144776241649827004944t^{12} + 36633847848879280656709285t^{11} + 662104223736269249406713t^{10} - 89127793551762418243436t^{9} - 7692527676672618974703t^{8} - 268839984106235768317t^{7} - 5914237424714341139t^{6} - 19303320152516192t^{5} + 6375081345362810t^{4} + 194080707584142t^{3} + 1750328940994t^{2} + 6285618816t - 7512064 \right)D^{4} + 2 t \left( 493221677052847573367418230200195916292000t^{41} + 3608326544078236831432938155746135537322800t^{40} + 11200937477682831402122429486064361288121800t^{39} + 20809554046540781831883361287696200769057180t^{38} + 26726138087010530562719999766354521604990264t^{37} + 25622501028301788569500582583508758021680268t^{36} + 19087753494019576486257089097195429472330666t^{35} + 11140604868909959898859391210946864676197224t^{34} + 4915985038079665863428463990918014210543084t^{33} + 1419077450900218832501401055259750380885975t^{32} + 72947102554698792357034561761265091606032t^{31} - 178797294296596484895956737651859338739954t^{30} - 106701510659811649705076540487944576478982t^{29} - 30545676243869152938389426797741096476083t^{28} - 2060297523222770088295429609492800470173t^{27} + 2310199741599818603497817444336727217122t^{26} + 1262342250067221045410440030933754791645t^{25} + 382321929550687183427458010054227882810t^{24} + 81266995946713621508683813515724216586t^{23} + 12611340974811217204226757070278015315t^{22} + 1307563125894265478389538057293518222t^{21} + 37468337813170496432179407156828724t^{20} - 17116471570692448053213734362096397t^{19} - 3829461676524102693766471396733266t^{18} - 376386658203400840787365356450002t^{17} - 6651710982482363394248605100573t^{16} + 3072591347518383393718225373626t^{15} + 436070275621607230246361591819t^{14} + 31609449133570170016626746365t^{13} + 1499952263812334480961642466t^{12} + 33593144185028241163146955t^{11} - 4130637272298695065777249t^{10} - 648353789718390496239998t^{9} - 42143311392347370637647t^{8} - 1398027960660154741704t^{7} - 20880466818114440725t^{6} - 46950303680113575t^{5} + 4020463021616486t^{4} + 81336400506376t^{3} + 488549245262t^{2} - 381679090t + 649760 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 432950756347650011566292959872837096606000t^{40} + 3137849854858799996471325273131365333756200t^{39} + 9605494669181579192560132118738937831649880t^{38} + 17588027080164456879295741245067802981477524t^{37} + 22283630781272129027448263065846520451568316t^{36} + 21101500287455721464159080276221409144786550t^{35} + 15531358297117324859822939617401986237499496t^{34} + 8930724830089819396002871095272284513691783t^{33} + 3840023762176993455905962472970616134328164t^{32} + 1032750196934041188269290396231509324252137t^{31} - 7909223806913036243543878746777172450214t^{30} - 172503997708740308302863759686224998575831t^{29} - 94440996122000003592829298976487240824055t^{28} - 26192276393021810357411740810838550457196t^{27} - 1723744814644139753874874322224259047392t^{26} + 1952361723473360403076688577548709125552t^{25} + 1073288916381173780907185886516354518723t^{24} + 333313379845786066515654531269260159814t^{23} + 74744741950002167431253520033058213131t^{22} + 12882762442488580463140845508640763156t^{21} + 1696065859855778999604813607751523102t^{20} + 154716164638826952883813996861473845t^{19} + 6206955902585439892028733924517167t^{18} - 519989534112734941199676751737108t^{17} - 71016861448681420206820741300131t^{16} + 3884873031257180416168576083073t^{15} + 1580937764915936043027516208944t^{14} + 174028251638223134786512762655t^{13} + 11825400351925032603223511882t^{12} + 623016454754800149671720457t^{11} + 14782905542609378155604088t^{10} - 2251976200255227538907377t^{9} - 302524684261264019904507t^{8} - 16167520076040606953104t^{7} - 396789645506809644928t^{6} - 1865177268138306522t^{5} + 100942106933652678t^{4} + 2396238285537892t^{3} + 30704442292824t^{2} + 200974825600t + 30048256 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 66941625867169074965686690419537915516000t^{39} + 481672940319276529009403336477668493902800t^{38} + 1458408849590408227108845801093861019205400t^{37} + 2639718890608698891626429580148825984841956t^{36} + 3307905176402737595363095176444812189216560t^{35} + 3100482939917312731684160055366531282441928t^{34} + 2258259100846796006158205531188762213091050t^{33} + 1280838292717557180861128479113329960288163t^{32} + 537035652693028077506454499560825740357978t^{31} + 133889037526127374442718133766224784135999t^{30} - 10080635632797813671638662504543106676544t^{29} - 28603787642578315770516174857600187825180t^{28} - 14666758547824222545146667963994614548291t^{27} - 3931720750798668738072989233869227791653t^{26} - 230403755983476507462761385680488613446t^{25} + 301991695073506869572655078550038605976t^{24} + 163330683429970382878701179120818263470t^{23} + 50953150630695453255018339824421899313t^{22} + 11643931614619049781082322295744884685t^{21} + 2081729839418902332016876097465995516t^{20} + 293285777314287402007445077793289344t^{19} + 31183320276799371893220761407116022t^{18} + 2234630210695496089629007680293334t^{17} + 81665694923294131642234278715376t^{16} + 1228365398597937562948992504127t^{15} + 573214906371457707287453234239t^{14} + 118401335951859920060577899214t^{13} + 11929835195114712441774400277t^{12} + 915719295809078350348477837t^{11} + 61649720540992917701263726t^{10} + 1712604335898470649000824t^{9} - 218884351012357674005098t^{8} - 26649308668337626941374t^{7} - 1172786252518679135774t^{6} - 18219272834108449916t^{5} + 269427537031980056t^{4} + 14479462677981272t^{3} + 210784728851476t^{2} + 1630735194104t + 9543421440 \right)D + 288 t ^{3} \left( 2052524665222004050634283105285875640000t^{39} + 14692575083698308155762777761113490932000t^{38} + 44133413411793617697991249467578190995000t^{37} + 79206661047347771759834024483485340289140t^{36} + 98448289359668568785562907971588802842840t^{35} + 91561481941266886856150517093762928169916t^{34} + 66146757469855576650763921213700324571710t^{33} + 37103305406500981557145992449738492894663t^{32} + 15230009632253343387037376490841620459994t^{31} + 3539816087767071345378709918813470434881t^{30} - 503588937831201625664445241508046646498t^{29} - 918663986720812915156147854445512278481t^{28} - 450072182865213525069999595399295801821t^{27} - 117218092811419958475634085045953342652t^{26} - 5928354522771675415417251026777648210t^{25} + 9363111107719898510246821676927185836t^{24} + 4961505946633546250080321003077321803t^{23} + 1543313661549124733464985740752175038t^{22} + 354639031210794071801767402634186471t^{21} + 64262154436825373725045287384592714t^{20} + 9276995697021161157689721233045294t^{19} + 1034478306810492179365010979903317t^{18} + 82970484799694089635324386918509t^{17} + 4254613737392934737927744075334t^{16} + 131827558212272042362750305881t^{15} + 8509971520456501716039836531t^{14} + 1294172938415337029977786486t^{13} + 147943798758194299187560307t^{12} + 16587730967523565897273698t^{11} + 1446418627549185705617417t^{10} + 44222672637449304925600t^{9} - 4449019043898563310781t^{8} - 497547836016705266891t^{7} - 17706667766021410338t^{6} - 77853517104941588t^{5} + 11185656141946122t^{4} + 345516311917630t^{3} + 4225386234400t^{2} + 21969287928t + 88736256 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 6) × ℙ3P3

|λ| = 10.7668 λ ≈ 10.7668; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.134652 - 5.530121i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.134652 + 5.530121i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.578821 - 4.813378i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.578821 + 4.813378i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.316636 - 3.087848i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.316636 + 3.087848i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.85838; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.798986 - 0.194515i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.798986 + 0.194515i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.749769; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$10.7667985$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$10.7668$11
$-3.134652 - 5.530121\mathrm{i}$11
$-3.134652 + 5.530121\mathrm{i}$11
$-3.578821 - 4.813378\mathrm{i}$11
$-3.578821 + 4.813378\mathrm{i}$11
$-1.316636 - 3.087848\mathrm{i}$11
$-1.316636 + 3.087848\mathrm{i}$11
$-2$11
$-1.85838$11
$-1.798986 - 0.194515\mathrm{i}$11
$-1.798986 + 0.194515\mathrm{i}$11
$1.749769$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{11} + 9 \lambda^{10} + 15 \lambda^{9} - 850 \lambda^{8} - 9554 \lambda^{7} - 59516 \lambda^{6} - 211521 \lambda^{5} - 432783 \lambda^{4} - 220536 \lambda^{3} + 1293487 \lambda^{2} + 2930160 \lambda + 1877825\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda^{11} + 9 \lambda^{10} + 15 \lambda^{9} - 850 \lambda^{8} - 9554 \lambda^{7} - 59516 \lambda^{6} - 211521 \lambda^{5} - 432783 \lambda^{4} - 220536 \lambda^{3} + 1293487 \lambda^{2} + 2930160 \lambda + 1877825\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 2 & 2 & 15 & 15 & 15 & 12 & 24 & 32 & 16 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 4 & 4 & 9 & 12 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & 4 & 2 & -2 & -4 & 3 & 9 & 9 & 8 \\ 1 & 1 & 0 & -1 & 2 & 6 & 2 & 4 & 9 & 12 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 & -2 & -2 & 2 & 6 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 & 1 & 0 & 2 & 1 & -1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -\frac{6}{5} & -\frac{28}{5} & -\frac{22}{5} & -\frac{26}{5} & -\frac{11}{5} & -\frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & \frac{7}{5} & \frac{16}{5} & \frac{14}{5} & \frac{12}{5} & \frac{12}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 1 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 11 & 6 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$