Family 3-272-60-b

No geometric description is recorded for this family (yet).

ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁴P4 · 12040.Aw7w0 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁴P4
Bundle: $E^{2 ω_{4}} \oplus E^{ω_{2} + ω_{4}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2}}$ E^(2w4) + E^(w2 + w4) + E^(w1 + w2)
Bundle: $O_{3} (2) \oplus O_{2} (1) ⊠ O_{3} (1) \oplus O_{1} (1) ⊠ O_{2} (1)$ O_3(2) + O_2(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label: 12040.Aw7w0

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;3;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;2;3) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	60
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	272
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	2

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	272
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	164
$\mathrm{c}_2^2$	=	98
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	56
$\mathrm{c}_4$	=	14

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		0		6		0		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ - 2	0	x₀ - 2	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 45	0	0	x₁ - 19	64
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 60	0	0	0	0	60
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 55t + 160t^{2} + 55t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(275)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(352)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) \left( 2t - 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 92624t^{8} - 16768t^{7} + 24192t^{6} + 2656t^{5} - 824t^{4} - 496t^{3} - 72t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 8823977947832682038745408480t^{29} + 138588485731720779828229414592t^{28} + 361912176978230737413233981728t^{27} + 460010445749198936868114417808t^{26} + 416977491041850637912128639528t^{25} + 305241981206559739430689009856t^{24} + 191762249425415775811821903800t^{23} + 95862803279709489160855459956t^{22} + 35335149182575501099512965980t^{21} + 7809043656078304585556760444t^{20} - 41174683550059596056868176t^{19} - 504050741419173019065080632t^{18} - 101633226143699996248097072t^{17} + 18859637666343296612168914t^{16} + 16536229155219490371299842t^{15} + 4083739057951789044711921t^{14} + 255254173860665768172679t^{13} - 24260279558907408817839t^{12} - 2011533689926725079304t^{11} + 729226716493570769218t^{10} + 26998822009447774990t^{9} + 3251668164192132598t^{8} - 461447190843813624t^{7} - 35153690980234724t^{6} - 23768787219392t^{5} - 1100880054992t^{4} + 1035346154656t^{3} - 4526941728t^{2} - 370344576t + 1462272 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) \left( 117692947215367825126572678967418880t^{40} + 1971968824768300983636029409509622784t^{39} + 6254590020667834980767809293862410752t^{38} + 9574371123506978079228779496282948096t^{37} + 9783745913074270524589295525613460480t^{36} + 7940479333932464460682278033089550080t^{35} + 5430816656971298865232623512892836992t^{34} + 3057852368417138271158697994080052352t^{33} + 1286683924055298743423048613469398528t^{32} + 338001611828408393658263790023877952t^{31} - 12011642900003514764079469677262048t^{30} - 66730689721597370605716239253877984t^{29} - 40171898967324856481153117276506560t^{28} - 16486737790045447521883312201261776t^{27} - 4458615002292926831739296222088744t^{26} - 515037182447065645553258893695048t^{25} + 51962932717399580707656123545888t^{24} + 12570103089323880989034601325584t^{23} - 10151692734878634251527420490212t^{22} - 7303595889692795732582400908004t^{21} - 1948812532758353707927771693064t^{20} - 173895370868023720493572466744t^{19} - 9814922076663341480635746148t^{18} - 9085976245801253338057609764t^{17} - 1591287478241368664074168608t^{16} + 352258640125672695982599480t^{15} + 109430388332751107106351127t^{14} + 6381286594010357439137663t^{13} - 582265061023743574798258t^{12} - 6243139186565996955716t^{11} + 9738784374890813205270t^{10} + 396875706155134195110t^{9} + 34821544652347804148t^{8} - 6687412807749517480t^{7} - 416102364851315856t^{6} - 118379792002464t^{5} - 9650376915264t^{4} + 9207360045216t^{3} - 33775977600t^{2} - 2607034752t + 8773632 \right)D^{7} + \left( 3570019398866157362172704595345039360t^{41} + 62297192950337341244160489091758043136t^{40} + 217899367418859740004315730863389179776t^{39} + 377435903832224706920988095117912108032t^{38} + 433383158636165657581943840344205323904t^{37} + 384588131299244994696445069590677540160t^{36} + 285159065029590593451536294006745703584t^{35} + 178138839026411118077092700416857931776t^{34} + 89433446708158391646696793382494702048t^{33} + 33547528003380270491903560243111554064t^{32} + 7877430667122863444265311675322816400t^{31} + 256846971308120512386009607465478720t^{30} - 549430769566412876746265658660584640t^{29} - 208865143341100525185895440061770464t^{28} - 26674592481814989957036675096598888t^{27} + 13563532496948491973321087617994720t^{26} + 9194604914667996107459367575919840t^{25} + 2489257759320078819381271356019900t^{24} + 155383566504457832004371880780136t^{23} - 207968366202701179940509611597064t^{22} - 109057927558014433506322524375780t^{21} - 23387783602195440064393685085872t^{20} - 1852409435024987394402107644364t^{19} + 17856673891021838772785363008t^{18} - 24384294174630585747307062312t^{17} - 15938307644845926369140354574t^{16} - 4303521324530591953397310020t^{15} - 667220517340150239344860713t^{14} - 30056802679437850668928083t^{13} + 3034015923505370421870410t^{12} - 9286733341254227947756t^{11} - 75077966538569456668566t^{10} - 2215437389564742747126t^{9} - 158856915137529963140t^{8} + 29721074671544537792t^{7} + 1807923824900585376t^{6} + 101808671283168t^{5} - 27386325767360t^{4} - 29931318734944t^{3} + 86472231552t^{2} + 6218862720t - 19009536 \right)D^{6} + \left( 29658622698272691931896315099789557760t^{41} + 522392151111898584568341124250440650752t^{40} + 1796032558117057129372874745473706626432t^{39} + 3071438345305911278474584758210094630400t^{38} + 3525187523309610407827579839784755994496t^{37} + 3147993314361945551713853130980129702912t^{36} + 2356888976067811934139444681693809082400t^{35} + 1483193373613844303671197411716161137536t^{34} + 746539484054519698898631327381958315808t^{33} + 278759090866844562718586865836280656768t^{32} + 64221341801626039811281937965596397712t^{31} + 2336020093886205253191261852721909920t^{30} - 3328010971520818382250072319114757248t^{29} - 649665670617854059159786905583456896t^{28} + 292420054659623557985570009845508760t^{27} + 233905096096441524298686280211268048t^{26} + 79184392812098448599170254051066976t^{25} + 16237323133737935483582380540590232t^{24} + 2159762094437441191749355385829404t^{23} - 120693100161392418267896474688160t^{22} - 209290126095541497906162618589852t^{21} - 55270966447734804325828347576576t^{20} - 6542171698518811914679165669972t^{19} - 403412977922793457571151661072t^{18} - 20375814628775075034636268440t^{17} + 20883246258660351287980687680t^{16} + 10726154503231018565529701576t^{15} + 1857603139889804375839869257t^{14} + 114272134329247157197655871t^{13} - 4182066722504658106864868t^{12} - 629470264657353790851080t^{11} + 142878097771613802364110t^{10} + 3429979182416028508150t^{9} + 437819104362489146832t^{8} - 49200911282008838416t^{7} - 3070427884004198088t^{6} + 502436045863488t^{5} + 144962278131168t^{4} + 39918426888096t^{3} - 87080061888t^{2} - 6109246080t + 17547264 \right)D^{5} + \left( 146782720668766239237023892785532579840t^{41} + 2605222766396473999809693516797913491456t^{40} + 8823310965752900269792118979875831630976t^{39} + 14904979341924253012962416858317326232576t^{38} + 17081039657913967217506122873097115680640t^{37} + 15323160187408216678359641995929636713664t^{36} + 11564800678929654781484945336270952271584t^{35} + 7311360759855833233710661256642271307776t^{34} + 3671116825538497904057210342214928048288t^{33} + 1346575742219497812505742363919508687216t^{32} + 287111944777731984369180023343659482960t^{31} - 5118977207022908951587978676847432352t^{30} - 21891968001521733051061682977393043808t^{29} - 3982464136039594333010160217496155904t^{28} + 1582199886159760680553984182974249960t^{27} + 1161136665018238841344745046144740840t^{26} + 324743525858628737897569989324635112t^{25} + 41444007413198496173915260461026404t^{24} + 1223571479664123407494024956962524t^{23} - 507182384424544430306337738929008t^{22} - 299965936237953620482833548762940t^{21} - 70075072389069290962415049875492t^{20} - 1863138997124401473136382438396t^{19} + 2248003283002340217145392904972t^{18} + 215159845046200677547581555918t^{17} - 38005897889172891640223650476t^{16} - 14225113978042221612334922225t^{15} - 2763446873803618323491464491t^{14} - 126525499056538879592249103t^{13} + 5353079905494100064862155t^{12} + 395379876996045770758142t^{11} - 114836170907024720498898t^{10} - 1305011814793208035842t^{9} - 317939998611076138454t^{8} + 33372615935823820652t^{7} + 1928279981870061756t^{6} - 1742307134725392t^{5} - 230834659857776t^{4} - 19023318251872t^{3} + 26150798304t^{2} + 2119310592t - 5849088 \right)D^{4} + 2 t \left( 219968118345522465161564336990105886720t^{40} + 3928427491679095655072940578670049555456t^{39} + 13135830119943631294555217756105696182336t^{38} + 21942940693189806776785354438870740226048t^{37} + 25091346580003379939440121676234522329152t^{36} + 22575634284064731826570147430518646797696t^{35} + 17145421609089237959880625547905663754672t^{34} + 10868373832075095812064484070924442205312t^{33} + 5431794487767742276218422750976906609136t^{32} + 1949900223987420976384148405647292104096t^{31} + 377936616072493821014662303352411244664t^{30} - 33890497729378342614314826526937695776t^{29} - 41374632862422964598160605237664721808t^{28} - 7456977044283497193784687653806183568t^{27} + 2538053490816449876315334615148902324t^{26} + 1907162199626822202229061303579802276t^{25} + 516954076800982910215458605069906756t^{24} + 59209027996937888683875603965535164t^{23} + 1921023566845537538170749956109622t^{22} + 762057900136736582259109340168494t^{21} + 231610713708133718647224916709008t^{20} + 8899823302085267155243902448140t^{19} - 2010414863420732603652937708574t^{18} + 424447633419510330199193453134t^{17} - 120413373416108582655260199642t^{16} - 32555171780365872136075229952t^{15} - 2333996118778878973025755847t^{14} + 114374450231130411643797853t^{13} + 98413665579591603724660695t^{12} + 5985225157633296505725503t^{11} + 164090727682918243993568t^{10} + 7048045646174634652824t^{9} - 209877387359357011138t^{8} - 17889681992256076890t^{7} + 983495028690680716t^{6} - 13195869524330964t^{5} - 642588193055184t^{4} - 5940730739376t^{3} + 366415070112t^{2} + 284649120t + 225792 \right)D^{3} + 24 t ^{2} \left( 32181392816824326331600164653581916160t^{39} + 577550017909277789557647177264491452416t^{38} + 1911062478042327802099857514082431337856t^{37} + 3161505307280750935828213970512350389952t^{36} + 3606241556121594238023666204825227142144t^{35} + 3250142941775857981906979624109581179488t^{34} + 2479728294003675264317068276956007018000t^{33} + 1573349140674971063141323127593955295152t^{32} + 781290864513457225045950093631706907264t^{31} + 273802316569453039910055642657605212056t^{30} + 47472129216014043383346730151287222076t^{29} - 8495742428287404488982688530793787040t^{28} - 7078311517915808382101767577760897720t^{27} - 1217233707062024554092163855027876752t^{26} + 423463446633119318462178131397272296t^{25} + 313964268007019237896096827755326828t^{24} + 84182185374371740490999172810326748t^{23} + 9381019523447589696688511134785590t^{22} + 272391425845730513969276369561323t^{21} + 148710062154238606741713583137385t^{20} + 54583464825063026256592832451328t^{19} + 3670396421151627309040198805944t^{18} - 594339176881634868307769906472t^{17} - 70539194440308853105840033614t^{16} - 21332078016357432448082213739t^{15} - 845497719860446398147000551t^{14} + 197761190802507160613773290t^{13} + 64133445765633005352063414t^{12} + 11529425643702133029017418t^{11} + 600497005833256134025364t^{10} + 19646458386727119574383t^{9} + 129720945872073289049t^{8} - 29498691409149246968t^{7} - 922739507450938616t^{6} + 25088941675889596t^{5} - 2389902751418020t^{4} - 13566452051744t^{3} + 219739179552t^{2} + 20829559296t + 5849088 \right)D^{2} + 144 t ^{3} \left( 4975796268383050828962322705233653760t^{38} + 89632521721590091484502671457911844352t^{37} + 294162565907492490017989325021236452832t^{36} + 482798230891326378985197184214524251840t^{35} + 549425979819561397943799966462437602016t^{34} + 495583741081190225548077624596342812480t^{33} + 379318554880939545242391831879313334424t^{32} + 240608912227054414983609057233463754096t^{31} + 118626467504895277203883454185711063720t^{30} + 40570888216922174331020172316803816208t^{29} + 6215754629149388297752861715445286576t^{28} - 1786194349956527402448217887005846784t^{27} - 1216718926984810452369863559989853480t^{26} - 196478664273954225865228460768709064t^{25} + 75504141001579266339257800848150990t^{24} + 54079716461737113374555487914427946t^{23} + 14359698718305966290627983431784130t^{22} + 1592087176097675621970587360346050t^{21} + 41504746542071884240430358659296t^{20} + 21492355380631223167452739194428t^{19} + 8499538009434122780936948655192t^{18} + 463646103192794595103167650182t^{17} - 130001927613311558023809230347t^{16} - 18486187877211484496282960951t^{15} - 2489985115579598884984335869t^{14} + 289333965349866684006098693t^{13} + 72380584804012679605486293t^{12} + 11425870645381295154828511t^{11} + 1306458914505983754366092t^{10} + 69698929856230306750660t^{9} + 1854246883122153456082t^{8} - 27107638837692012298t^{7} - 3968901814724209012t^{6} - 4065071422497276t^{5} - 1172780069000432t^{4} - 251200999542928t^{3} + 428633036896t^{2} + 58014291936t + 1180876032 \right)D + 1728 t ^{3} \left( 152564931575476810349260880142950400t^{38} + 2755532515500702535884686567029793280t^{37} + 8989854422368493237851752115714440480t^{36} + 14668059319967537372829039557399595200t^{35} + 16660486314133907246124287487772191520t^{34} + 15033036549649011847260396736830773760t^{33} + 11530353478868459912866525096000519336t^{32} + 7308445434776463576008193232106361648t^{31} + 3580044304603602009782607978332639928t^{30} + 1198684778947664980788304179828767616t^{29} + 162714291367522387111806682850436832t^{28} - 65987757618307432685754375374056496t^{27} - 39994638192642465393499394928424320t^{26} - 6099666469197380588850444436996584t^{25} + 2590644141246354085764023436460558t^{24} + 1796269560159582367777154452019462t^{23} + 472343809940590273738217413631142t^{22} + 52058324705889067611760926889490t^{21} + 1170738542339481226962472024252t^{20} + 561635420215590204480900491052t^{19} + 241710893633155945970949611914t^{18} + 9638455158342685243629633692t^{17} - 4560945863024848719857291932t^{16} - 619211091991932440842816552t^{15} - 48262785430752395307116303t^{14} + 16008152892619218872504301t^{13} + 2744466287481428988220535t^{12} + 336473628240698370127865t^{11} + 29635667097917598972386t^{10} + 1722761158216205100278t^{9} + 32284718255039317528t^{8} - 1084057782617902856t^{7} - 109730312111749296t^{6} + 1029451811821904t^{5} - 67343268897152t^{4} - 4617143349120t^{3} + 22967201280t^{2} + 1539718656t + 13160448 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × ℙ²P2 × ℙ⁴P4

Show multiplicities

Sector dimension: 12
Spectral radius: $9.46856568$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$9.468566$	1	1
$-6.651984 - 1.448989\mathrm{i}$	1	1
$-6.651984 + 1.448989\mathrm{i}$	1	1
$-2.242181 - 3.90712\mathrm{i}$	1	1
$-2.242181 + 3.90712\mathrm{i}$	1	1
$3.43466$	1	1
$-2$	2	1, 1
$2$	1	1
$0.4425526 - 1.682938\mathrm{i}$	1	1
$0.4425526 + 1.682938\mathrm{i}$	1	1
$-1$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{8} + 4 \lambda^{7} - 72 \lambda^{6} - 496 \lambda^{5} - 824 \lambda^{4} + 2656 \lambda^{3} + 24192 \lambda^{2} - 16768 \lambda + 92624\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda + 2\right) \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{8} + 4 \lambda^{7} - 72 \lambda^{6} - 496 \lambda^{5} - 824 \lambda^{4} + 2656 \lambda^{3} + 24192 \lambda^{2} - 16768 \lambda + 92624\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 2 & 4 & 0 & 0 & 6 & 6 & 8 & 8 & 8 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 6 & 6 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 4 & 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & -2 & -1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta