Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-304-66-d

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × ℙ3P3 × ℙ4P4
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7node 8: fundamental weight ω_8ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8
Bundle
E^(w3 + w5) + E^(w1 + w2)
Bundle
Q_2^v(1) box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1)
ZL62 label
13040.wEw0
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4;5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3;3) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 66
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 304
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 6

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 304
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 172
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 6 0 x0 - 6 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 49 0 0 x1 - 27 76
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 66 0 0 0 0 66
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 61t + 180t^{2} + 61t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(178)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 23t^{2} + 6t - 1 \right) \left( 61t^{4} + 78t^{3} + 35t^{2} + 6t + 1 \right) \left( 1397t^{6} - 720t^{5} - 20t^{4} - 46t^{3} + 8t^{2} + 8t + 1 \right) \left( 1657195831208902142539575263150t^{30} + 5856662084827516667797083543600t^{29} + 7132640844393024336790739207560t^{28} + 982582819687758145573071282448t^{27} - 6116249727903751746898648232605t^{26} - 8797460510511268306585481976536t^{25} - 7013049662828711750023550643199t^{24} - 3654974468392430673460033523923t^{23} - 1323788618745702777835905606080t^{22} - 381497181682593707462040500692t^{21} - 98755926942162935935737386163t^{20} - 17561112759074375587191231269t^{19} + 1000352050875836474302895680t^{18} + 1672013999119818193153959786t^{17} + 488602058581375282348295560t^{16} + 73176529479816383536429184t^{15} + 4569310918800030540769665t^{14} - 62247351674743191147770t^{13} + 61876491884928167163369t^{12} + 21973276007529800100153t^{11} + 2848888028627117349636t^{10} + 162387294451929562640t^{9} - 5478032040666580801t^{8} - 2074954537385962857t^{7} - 68093708067894824t^{6} + 294512768242304t^{5} + 51853928045900t^{4} + 3168732074596t^{3} + 17301319728t^{2} - 324094624t + 3920384 \right)D^{8} + \left( 116931200918650823493298247745478739400t^{42} + 524520842835282315331041376160155501200t^{41} + 900057134823000346141962903544077292880t^{40} + 531376132704825374907369099779784272352t^{39} - 466595714120367750149753164959165235320t^{38} - 1228827553842651605300205273632950549832t^{37} - 1256000590848217394308999987893687504762t^{36} - 768642879919838177544430637266004169935t^{35} - 260670342367443866679200095988228433312t^{34} - 2227796680207297073677904485801254700t^{33} + 50323690443643028542060681290573913038t^{32} + 32463176024956084758658596523299416915t^{31} + 13793799602423973856254461465021521420t^{30} + 4865106316226917013053333050738008180t^{29} + 1395089436717060544696150248079646388t^{28} + 253665823858134062277398326079148808t^{27} - 3845253134840534493696765924105060t^{26} - 18926361016827139432888740227666772t^{25} - 5613055294537757753941555625053536t^{24} - 508660567221627211880856756075842t^{23} + 131677722112749145715940493975340t^{22} + 43775372768922751894472176807156t^{21} + 2937408033383747091293108437336t^{20} - 512892152378973939367661619942t^{19} + 77146677564652688404367657484t^{18} + 95654812398940550673415518772t^{17} + 24887128478455221811356795444t^{16} + 3227668559420189754612344756t^{15} + 206993125438719423962751420t^{14} + 9362802436246199992231076t^{13} + 2411289910415039731725418t^{12} + 484005800584064779072793t^{11} + 49340297738029975525092t^{10} + 1939903354210545919768t^{9} - 188326330098907238406t^{8} - 29852060033727991701t^{7} - 788305049590647408t^{6} + 5120492178874432t^{5} + 594138005765592t^{4} + 28793380877956t^{3} + 136194157696t^{2} - 2268662368t + 23522304 \right)D^{7} + \left( 1773456547266204156315023424139760880900t^{42} + 7846399356170038815219960430647662114400t^{41} + 13184303899613230959682004222174813250160t^{40} + 7333733613852873096526761905154114500424t^{39} - 7396302869491524653684045720397104381030t^{38} - 18613286079906202247025801597239530255832t^{37} - 19391658466314307775090114812484077993960t^{36} - 12624312039206217771301518901754689273059t^{35} - 5223081593106119225886107675496243853548t^{34} - 1139852296627128787521522847322838800666t^{33} + 77227372321123501701345171743537275564t^{32} + 183692088931580142336475008060020370797t^{31} + 105895936286596003873013971775336098586t^{30} + 46486058521655333199449011027180918164t^{29} + 14954009072565246830762295094215827480t^{28} + 2751101959963354975842737765306669628t^{27} - 44233758244068598077815402322308302t^{26} - 181754652084791660377620545293462950t^{25} - 51297472480594939045724602876176902t^{24} - 6420311164207985290131721883223254t^{23} - 47943865050625987303954699502108t^{22} + 87876504322256887527077171876384t^{21} - 133337641960737909033935787122t^{20} - 6893720928844938258248945049332t^{19} - 2599945758470226916179482054574t^{18} - 610158929373332320254752122836t^{17} - 99774972232853235476420127672t^{16} - 10246940656229592879699195584t^{15} - 470621323074183060877153844t^{14} - 35849232099394365490434610t^{13} - 18507281725007024665886074t^{12} - 3289769478165531070483719t^{11} - 289708215260980086533200t^{10} - 11450297968382190023790t^{9} + 573897799618378365614t^{8} + 128356602532163952471t^{7} + 3570103073738661496t^{6} - 9255776548676576t^{5} - 1710853130275896t^{4} - 90501948386140t^{3} - 430378719360t^{2} + 5377708320t - 50964992 \right)D^{6} + \left( 14733331315750003760155579215930321164400t^{42} + 64427442951088042776571206659155140256800t^{41} + 106035464948261336264670169964330844619040t^{40} + 54799858444760083928672354898502402790040t^{39} - 65762692030659648185121746760243689664456t^{38} - 156841004692930325806574417328395113110704t^{37} - 164452427675625564601904479955106037335846t^{36} - 110474658173762009439563520004634977330757t^{35} - 49991971107641716528752781536223464153276t^{34} - 15135509863403110176449216641942714840168t^{33} - 2880723051449657581950615642128131408398t^{32} - 71749419539585060721456414129362580847t^{31} + 323644313742728733170653004190696499450t^{30} + 223978859629509383435221286857990022732t^{29} + 83074335825013559872679129797922140380t^{28} + 15225346390419255447120432559904997820t^{27} - 764576627297630248209263211813732894t^{26} - 1295176841029665414470684586302545392t^{25} - 399247845205992639173418487857221658t^{24} - 74403606579627833623182095223874166t^{23} - 10836083464388251377220924742421376t^{22} - 1778342371896738388252475682255500t^{21} - 350093073679880454144008448036830t^{20} - 51088239410364504421908394892274t^{19} - 830060456081829251038831415274t^{18} + 1572339110693586109258867912156t^{17} + 390190428045006515246526664668t^{16} + 47330581294581642814151816648t^{15} + 2217760149854861608067537718t^{14} - 115199809671914445332727472t^{13} + 2563241506476394460558344t^{12} + 4522862413605490288950131t^{11} + 555831657772591466064372t^{10} + 25744386050695238268460t^{9} - 550757214226429400004t^{8} - 223876683925706045679t^{7} - 6226859727539215368t^{6} + 10775475945870784t^{5} + 2277967356829872t^{4} + 120676900879660t^{3} + 560506185952t^{2} - 5119220896t + 47044608 \right)D^{5} + \left( 72916348039522009350029232323284783910850t^{42} + 315748938265692836313081422214456546584400t^{41} + 509630110443100435132906969658768289279640t^{40} + 242784697922326735281041846702317957901472t^{39} - 348989087672842853914487854094279880706715t^{38} - 790923503509344824129903601133166324751872t^{37} - 828110182695756302459916800964148296233527t^{36} - 563837738171860208257377752625387910684908t^{35} - 266137818932026374797075987100569336313756t^{34} - 91188403462962461257498234587344869805918t^{33} - 24440664885118865348866810848600304673189t^{32} - 4872821537820856921733602218970557038554t^{31} + 102624848468602980144687906608565328406t^{30} + 703576507639365294250758878008938975516t^{29} + 325363855537544915820975769218344849684t^{28} + 69086551260959178201308842531091556708t^{27} + 1356634556919974443068779229466942976t^{26} - 3523453114628109657067060275316246410t^{25} - 1079673903135745979122522681133694020t^{24} - 158429067639192175441234395411023456t^{23} - 11427563534218860622683047572330988t^{22} - 664526846525239408172161176516544t^{21} - 211042137713650804931166382271372t^{20} - 49793536100708653792164364277342t^{19} - 7762255929151894652377021711464t^{18} - 1352937933369670460343775405908t^{17} - 232243412356497897203530737192t^{16} - 30986744464139997783332809604t^{15} - 2830931354551129928509663373t^{14} - 215904502314765596784895774t^{13} - 38403824350172803696133413t^{12} - 4979768630827835553014172t^{11} - 400506339884173220367424t^{10} - 14962142234582734535298t^{9} + 428999221596190613417t^{8} + 150795636566273372832t^{7} + 4008597891934855408t^{6} - 6075898642276976t^{5} - 1192366272201468t^{4} - 58199670784288t^{3} - 275621099856t^{2} + 1716308544t - 15681536 \right)D^{4} + 2 t \left( 109272207258479194554487212518149881969300t^{41} + 469387437052602211737608081808859654691400t^{40} + 744445800266098814774043308501634850163560t^{39} + 326119791497305900497870010606766526588564t^{38} - 556519281193418872736141639228721201970320t^{37} - 1207035352908866382567515819251789768602484t^{36} - 1256849285529919350958281118797483495859392t^{35} - 858707843240922039883199109583630474910302t^{34} - 413062102226752580860296324358806346441986t^{33} - 149876137492271423288696688722628917748770t^{32} - 45213139064503942023236503066086646517040t^{31} - 11068946389204386277272946203911847393314t^{30} - 1026503025726874661535877233941579655451t^{29} + 770665563054015236330332559542502579680t^{28} + 443422724923486751955754431158343388284t^{27} + 108616508698553632747849033782248834180t^{26} + 8793352301650411480390161339835127073t^{25} - 2688068379338569382979369220575079038t^{24} - 994386095128479969690239581416531267t^{23} - 133343433792492308537396628348974584t^{22} - 5918636988915295097275479797403398t^{21} - 638405444773186676925406673315140t^{20} - 473268100476472985175931471094509t^{19} - 116929958413323663647212119936372t^{18} - 14453789241039678895258517678169t^{17} - 680665460753165277168943626952t^{16} + 95021359007567210063192795172t^{15} + 17202394710651804363263936608t^{14} + 452243011874423908859690103t^{13} - 118268186361942753834238418t^{12} - 11984835696156116234242249t^{11} - 92546619804725483162978t^{10} + 14998205144129176354260t^{9} + 461557635818821704566t^{8} + 53893786234353423813t^{7} + 2390908983757189530t^{6} + 7768081085129196t^{5} - 112473117499816t^{4} + 11467919402124t^{3} + 560654314328t^{2} + 627064784t + 567424 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 95919313731352151905016404282548129256150t^{40} + 409382415229603384072588586603626883858400t^{39} + 639591255883335817702064221943111773497560t^{38} + 258400634937158084118873949155658943248944t^{37} - 514152345478539064831895590381608404931305t^{36} - 1076099217236705011878493954413738652145012t^{35} - 1112747834227331222147904562677538378559169t^{34} - 759021896079144018280785801976221674339540t^{33} - 367746004558416415053651260701731020516230t^{32} - 137343066358588263387304452133449565722480t^{31} - 43805889617878429131289996284760670723905t^{30} - 11539874121084937369673613916285984508914t^{29} - 1440707996152938763086812662625396350955t^{28} + 565598026107786575909396547894774222196t^{27} + 381435162375964625946192692783529194974t^{26} + 103167076588712562398100560352963037560t^{25} + 12605361701137806680084495594692157921t^{24} - 725555360922022777484253758645658300t^{23} - 497861207401046820069228975235966895t^{22} - 56500094759136110447301459718964536t^{21} + 1046801731332533133145119742193244t^{20} - 196728374174209647069813359926456t^{19} - 384365728888235091077573355291915t^{18} - 93213515724039846997369831716362t^{17} - 10632532482451653617914085386083t^{16} - 292404485151258462626118592316t^{15} + 104116675736712536760913957622t^{14} + 14500763352681214234831732584t^{13} + 519801763956670772768071604t^{12} - 31905220424044989638648692t^{11} - 2474182417657340156100848t^{10} + 56487244659821624001076t^{9} + 2644817764628311618174t^{8} + 204743937648427702296t^{7} + 18158674853784704480t^{6} + 513391505482040160t^{5} - 2920800600051048t^{4} + 217401335546528t^{3} + 10171584257440t^{2} + 195306673280t + 62726144 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 7415386991591106389866663877859110056950t^{39} + 31492346776814881574802700093350712152900t^{38} + 48606650217174066876114586998766427186820t^{37} + 18264525166600795254184176595463190896190t^{36} - 41350642237985094083904789102074013887228t^{35} - 84209988534881088795007213857284102504952t^{34} - 86495216149292710992545185741776164468680t^{33} - 58787035113108553229496599563410536757714t^{32} - 28526612786814866967473752360324821370298t^{31} - 10816615025740360478011380724254807172094t^{30} - 3555894983293590418345106093149008857175t^{29} - 969321371091386489595977974306185581166t^{28} - 132702249015289612593939640046573553130t^{27} + 40375407896293579196859502257976308040t^{26} + 29832660311996852936717614542263870895t^{25} + 8559123594477947879538695388256344900t^{24} + 1252264887272054682649389108173607566t^{23} + 27652875592190441347937737880122282t^{22} - 20686122127499709513249612284809573t^{21} - 1838673060931833539692384242483298t^{20} + 262932562488469352619724741957417t^{19} - 14465651233056946675199594092250t^{18} - 28755304690286358783920084781623t^{17} - 6496086853326077566537167136494t^{16} - 658265455639945806741732247926t^{15} - 586933115227935547623499568t^{14} + 9244893840575705157379276065t^{13} + 1072637653485852077668375638t^{12} + 43564317197860210257834516t^{11} + 30698032612551890087058t^{10} + 21764913970797437752771t^{9} + 2769165713787531575496t^{8} - 142557794496030435395t^{7} + 7881624833066516752t^{6} + 811615589824594760t^{5} + 8336590322429752t^{4} - 192383648339724t^{3} + 16768486206816t^{2} + 581831161344t + 6134702976 \right)D + 288 t ^{3} \left( 454732448016975424696159852343528431000t^{39} + 1924373885598491715513771550551684387000t^{38} + 2943545057951617236237329272630940846600t^{37} + 1043510995078970342322435114537440856900t^{36} - 2607953778171747837555074953754585587470t^{35} - 5209204622739553542105653175732605621768t^{34} - 5321698987150349907209032700726167427202t^{33} - 3603708332757385808053046708514177657040t^{32} - 1747589703737533676681075200209016822306t^{31} - 668022809635028936419321211260297927748t^{30} - 223460457419454461391933254127295244282t^{29} - 62008854279192829658618000922861723490t^{28} - 8793399123612952646813902106095318593t^{27} + 2412942662716387814909738448472741864t^{26} + 1864698263863300778574948784757169254t^{25} + 552875063003942433312977493707946512t^{24} + 88384563723836852554714267770399422t^{23} + 4958278878749557057641557313641652t^{22} - 612337565850342316337379522632936t^{21} - 28727984325221046338578134467104t^{20} + 20033919009335506831084535452728t^{19} - 1166231400045412558010157786628t^{18} - 1712021554494636596957969482570t^{17} - 361878368141222987941347713094t^{16} - 32602404176497688117789208517t^{15} + 895775353088666571310512776t^{14} + 605702028702645384973727290t^{13} + 62932158264238078615622564t^{12} + 2708153147167638086711696t^{11} + 71409699050660320943604t^{10} + 5892779907279797548792t^{9} + 41495855211701607016t^{8} - 15820480896111980814t^{7} + 55308177481788160t^{6} + 32410541380078036t^{5} + 76305631170248t^{4} - 4723975483408t^{3} + 806228094080t^{2} + 24426752064t + 158775552 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × Fl(1, 2, 4)

|λ| = 8.656854 λ ≈ 8.656854; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.60578 - 1.915204i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.60578 + 1.915204i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.5 - 4.598076i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.5 + 4.598076i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.5236869 - 2.937517i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -0.5236869 + 2.937517i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.656854; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.381197; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.877736; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.5 - 0.5980762i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.5 + 0.5980762i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$8.65685425$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$8.656854$11
$-5.60578 - 1.915204\mathrm{i}$11
$-5.60578 + 1.915204\mathrm{i}$11
$-1.5 - 4.598076\mathrm{i}$11
$-1.5 + 4.598076\mathrm{i}$11
$-0.5236869 - 2.937517\mathrm{i}$11
$-0.5236869 + 2.937517\mathrm{i}$11
$-2.656854$11
$2.381197$11
$1.877736$11
$-1.5 - 0.5980762\mathrm{i}$11
$-1.5 + 0.5980762\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda^{2} - 6 \lambda - 23\right) \left(\lambda^{4} + 6 \lambda^{3} + 35 \lambda^{2} + 78 \lambda + 61\right) \left(\lambda^{6} + 8 \lambda^{5} + 8 \lambda^{4} - 46 \lambda^{3} - 20 \lambda^{2} - 720 \lambda + 1397\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda^{2} - 6 \lambda - 23\right) \left(\lambda^{4} + 6 \lambda^{3} + 35 \lambda^{2} + 78 \lambda + 61\right) \left(\lambda^{6} + 8 \lambda^{5} + 8 \lambda^{4} - 46 \lambda^{3} - 20 \lambda^{2} - 720 \lambda + 1397\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 3 & 3 & 4 & 4 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 & 3 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 5 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 1 & 0 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & -2 & 4 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$