Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-320-69-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × Fl(2, 4, 7)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5 (marked)node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7
Bundle
3 copies of E^(w7) + E^(2w2) + E^(w1 + w5)
Bundle
3 copies of wedge^2 Q_2,1^v ot wedge^2 U_2,2^v ot wedge^2 U_2,3^v + Sym^2 U_2,3^v + O_1(1) box O_2(0,1)
ZL62 label
1609.6668w3
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;4,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;3,4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 69
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 320
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 7

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 320
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 176
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 7 0 x0 - 7 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 51 0 0 x1 - 32 83
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 69 0 0 0 0 69
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 64t + 190t^{2} + 64t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(268)
Coates et al. (2020) P1 x MM(2,29)
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(341)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t - 1 \right) \left( 2t - 1 \right) \left( 2t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) \left( 244t^{4} + 228t^{3} + 2t^{2} - 9t - 1 \right) \left( 316t^{4} - 36t^{3} - 14t^{2} - 7t + 1 \right) \left( 110116915722469397141210784t^{30} - 78111419693899127594302272t^{29} - 635935405627296106508396912t^{28} - 1005839159363144259881035264t^{27} - 607046266221083146911628384t^{26} - 569081678319390958757850960t^{25} - 449334741774471075212026368t^{24} - 277687037994031417670754336t^{23} - 151013911345960446510105848t^{22} - 53934825438327447135804688t^{21} - 14555915519606063068315700t^{20} - 3506646006324582359923488t^{19} - 444660219885655910451506t^{18} - 58692024428467960736034t^{17} + 18587412477089309415682t^{16} + 5616869285628326431014t^{15} + 838951810024765607479t^{14} - 161874373643449276460t^{13} + 7256429697427389922t^{12} - 3047817320155914585t^{11} - 915543971385794256t^{10} + 3914374791514905t^{9} + 878736286745077t^{8} + 654560194567108t^{7} + 20239797549162t^{6} + 363640370080t^{5} - 8191568536t^{4} - 157175232t^{3} + 70197376t^{2} + 1527840t - 12800 \right)D^{8} + \left( 3667876417381801131579995837079552t^{42} - 2203872049922606736965059232305152t^{41} - 25816331524077621339261303129298944t^{40} - 37475744655954117605414616196547584t^{39} - 6849362392374367579942762714958336t^{38} + 10946382183032066981851614709357056t^{37} + 2973564997609248573016247723229184t^{36} + 4534622810179791657912059311307008t^{35} + 7958982874342172334926787665076864t^{34} + 6435252682259732083509050049608768t^{33} + 3474812881900440401395601940384288t^{32} + 725379822756106973029034866642432t^{31} - 370054346551056505542637489157184t^{30} - 307583814220627230797398108545520t^{29} - 116764790139572978492145642364320t^{28} - 29830620925296299130332677807392t^{27} - 3754195843715990666198409605216t^{26} + 711905514476894423709327207616t^{25} + 678280192089924267679732880968t^{24} + 247436942606655126557855538608t^{23} + 44386830927644247382918618320t^{22} - 402042711735441059563595086t^{21} - 1307078985949560046951717364t^{20} - 192817214806296658269726822t^{19} - 39181081418507575031915276t^{18} - 7051180283009350728843422t^{17} + 1145236195392877002338664t^{16} + 468676379055202078855717t^{15} + 12827055570936349250176t^{14} - 2946713366117219460107t^{13} + 130857611205184612458t^{12} - 101111049841444105483t^{11} - 13207441196508697080t^{10} + 97791388884713855t^{9} + 32193336286482854t^{8} + 8968893345548388t^{7} + 246228187738648t^{6} + 4194502619072t^{5} - 51163441776t^{4} - 311985280t^{3} + 561392768t^{2} + 10694880t - 76800 \right)D^{7} + \left( 55629458996957317162296603529039872t^{42} - 35559756305740660970662354494185472t^{41} - 390337253631583741504256312780813952t^{40} - 608720127184740313573813881937632512t^{39} - 226141832227438573796029657089262144t^{38} - 28327898260681591887753510195534080t^{37} - 79165806717817377493798045216053248t^{36} + 4914450792440279884687432789262528t^{35} + 72934699115293290151378938014150592t^{34} + 80843212673659985818658214068771136t^{33} + 57270597216550287169761256901870080t^{32} + 21116477588278188852937280125296704t^{31} + 2719649245108343004071289848121504t^{30} - 874559787570223501618060952013200t^{29} - 807685215529712193559746159242808t^{28} - 337598371236871403450726103723408t^{27} - 95137737094575860819603924450904t^{26} - 21804147399710431859991932059864t^{25} - 2067275489440233451477454938548t^{24} + 659212612082325010198213051524t^{23} + 200877613459325416279661514100t^{22} + 5266133150681195505995734166t^{21} + 1169019301907769428364597348t^{20} + 716664725096760592505860650t^{19} - 84374873660045009860854132t^{18} - 23453094309745373653156548t^{17} + 3396712388194889798983164t^{16} - 123270681859161250521279t^{15} - 47906233607519029053264t^{14} + 22555119310564658104001t^{13} - 833460465396818572362t^{12} + 364229000543684939161t^{11} + 81953632921556906724t^{10} - 975676287650275363t^{9} - 116133420829442878t^{8} - 40871670702525680t^{7} - 994797333294568t^{6} - 8406725425648t^{5} + 358570390784t^{4} + 7875788448t^{3} - 1512306304t^{2} - 25498720t + 166400 \right)D^{6} + \left( 462152428590106942579079475472023552t^{42} - 310285430668578364974352429734961152t^{41} - 3259416068521175261572037715756412032t^{40} - 5354382603304441275875905452937874176t^{39} - 2652106032305944465659112948877394368t^{38} - 1510112821904265073499949633781970688t^{37} - 1589907099396595916940759430026917120t^{36} - 633360826711732963410254488864119680t^{35} + 77736829886667761826271168183501568t^{34} + 405905203492972792055744210161116640t^{33} + 388895406662078299840178245085718240t^{32} + 177780973540215257309704112263569568t^{31} + 50489490336088331974122936131674304t^{30} + 9567266234157683651565119549479168t^{29} - 418695789970485088478091722091640t^{28} - 806905570643403194274846056236752t^{27} - 345816439633557711361315873464856t^{26} - 112921564694730375764607132909440t^{25} - 13720203266086260589174794237860t^{24} + 2165093858173772543200220465160t^{23} + 477235336017403286465801557680t^{22} - 105551874962108938523466882042t^{21} - 16983853299898970792038261216t^{20} - 2449897996206249890824551338t^{19} - 1548206728994930648654447822t^{18} - 114881779843327172839366630t^{17} + 33434092198532103166750128t^{16} + 4189420649404993998653895t^{15} + 455689766700706734489882t^{14} - 67711396690844419056837t^{13} - 3205124673729938334756t^{12} - 867280325194516746729t^{11} - 202417926233932544268t^{10} + 1602856380503279093t^{9} + 118984147127479308t^{8} + 74790784139996100t^{7} + 1600642507723100t^{6} - 440273809632t^{5} - 497086462000t^{4} - 16563640896t^{3} + 1699163904t^{2} + 24817440t - 153600 \right)D^{5} + \left( 2287226602605668155634425737405523968t^{42} - 1596562737758149082676644936784826368t^{41} - 16282465730341624401583180795508900736t^{40} - 27760365222653754874335195312784021760t^{39} - 16011861921155730728962296940629776704t^{38} - 12337163386941961834201342880715773696t^{37} - 11701525497121262106732296588920193408t^{36} - 6324495117066438794621270714591804224t^{35} - 2171584575652399636912541375508764320t^{34} + 552653209228882988525762276071718208t^{33} + 1250901300004820666474468429516561040t^{32} + 690673207641578233606613453983463680t^{31} + 255557846231842058945237353651413088t^{30} + 70214644772266017009074528407247712t^{29} + 10288975465064214248962232019215256t^{28} + 833553645726468231390139510146416t^{27} - 543463363533138973583682249368592t^{26} - 303363122058612093922469010688872t^{25} - 31019218770488604578125524150200t^{24} + 12940420863687389343240050633660t^{23} + 3455065465199180923973360348050t^{22} + 179267258436402412298681357352t^{21} + 84267164689191790735122587358t^{20} + 6007986139850895307005595184t^{19} - 4141214412477843379808436579t^{18} - 156854467715863752702583370t^{17} + 27852179200507922054433962t^{16} + 1992259539625314895513000t^{15} - 322994500228361939741881t^{14} - 27375278435856756974818t^{13} - 13322998137215344449415t^{12} + 212622969729797230204t^{11} + 161529526696262173120t^{10} - 572372405443457136t^{9} - 117828822413915297t^{8} - 60243071107723892t^{7} - 1302798225022494t^{6} + 10975879802480t^{5} + 443165611208t^{4} + 12549796704t^{3} - 681458048t^{2} - 8535040t + 51200 \right)D^{4} + 2 t \left( 3427630512043293157461506109750841344t^{41} - 2466987835381799947153284933395564544t^{40} - 24666499473018066469851921063287779008t^{39} - 43173112459940971821448345048546191488t^{38} - 27214735711888206148109123431891416352t^{37} - 23981261450476373757232530007177693824t^{36} - 22077899824265920031308402931868096256t^{35} - 13538617844869518079961087816172212608t^{34} - 6551451806248107173863632021654756928t^{33} - 1163580707981245784190418026266240016t^{32} + 850038346845364250919982207293555648t^{31} + 668821410311291717381324994976741904t^{30} + 310493306852700091424955658262845376t^{29} + 97972612049944198617740993460891192t^{28} + 19103209775058273799407362233249868t^{27} + 3642987137945013665594073359017176t^{26} - 244944494361594600817974999113316t^{25} - 333857848062843118470391070454712t^{24} - 51218584940478883530316920858178t^{23} + 10467915820015713698824512308468t^{22} + 2639813212611489420138766689936t^{21} + 22293936213362697180029264756t^{20} + 84597102132562344911887376490t^{19} - 5596104406156369816203242084t^{18} - 5531042490589582532997955387t^{17} - 249998295393420321937948422t^{16} + 25085524760991081676593372t^{15} + 5208586640344033670264146t^{14} + 381146804042286109938955t^{13} - 56533222980013510696112t^{12} - 5599129210791188715099t^{11} - 138772116917513089978t^{10} - 608584612610921934t^{9} + 635665649864214142t^{8} - 10137535988786905t^{7} - 1035226579491180t^{6} - 78642646832010t^{5} - 848149094560t^{4} - 5942128048t^{3} - 1931911072t^{2} - 3088192t - 960 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 1504389701134749572454011903677725696t^{40} - 1108714577695113186283228262679146496t^{39} - 10940626582069233537904520556568972416t^{38} - 19503827694929399612367258581395281216t^{37} - 12978688853917741690407327812020249072t^{36} - 12301387169317235666399134060796835104t^{35} - 11210810953783815079159940588917462928t^{34} - 7356968249899923064891362670848882736t^{33} - 4033846788344100773431585335387229600t^{32} - 1232058204635061729405978515227689176t^{31} - 14304526583838490057461874113548280t^{30} + 143297251346308175009010298020345544t^{29} + 97021583902571549578312697426859636t^{28} + 34125380299503484080400414297560772t^{27} + 7659976904152315204839158523311074t^{26} + 1818609358002585971880631922667268t^{25} - 33505151254359401848334496467306t^{24} - 125569366763917471054687068136564t^{23} - 25902900417118719588366624872005t^{22} + 2320733939716967476691651150772t^{21} + 561941849764747851917248138127t^{20} - 657937411519103910475550836t^{19} + 34284319942155278177821524454t^{18} - 3464140742291002255486782234t^{17} - 1883538716921624578595191874t^{16} - 77538989805283137634263486t^{15} + 8222694425796681593898235t^{14} + 2171144841145468368448488t^{13} + 188387250234059645223163t^{12} - 12141019628692606408832t^{11} - 1102069905908305453811t^{10} - 38737343860620724934t^{9} + 1449630399483866048t^{8} + 234853432237773446t^{7} + 4237202187205015t^{6} - 10260628369556t^{5} - 18867293017928t^{4} - 428200548712t^{3} - 4729904636t^{2} - 341834400t - 153600 \right)D^{2} + 48 t ^{3} \left( 232604496135629221761031402668128256t^{39} - 174494135092836352145981428917421056t^{38} - 1707034447352939272310395667301536736t^{37} - 3081730511443968234633216393337819008t^{36} - 2120742683088866594597543955240435584t^{35} - 2098422404884471043143613465862170848t^{34} - 1906130544609687713407408476647959600t^{33} - 1301936054606489683157220625750343056t^{32} - 759038805985478321794914745219315680t^{31} - 276150283219995923242260363289493168t^{30} - 49069264114731405275368695978765744t^{29} + 3327563491297388310604489379144800t^{28} + 9641321239019228415175427607777180t^{27} + 3883399176726632651228123260046000t^{26} + 995738045529061291070175485921888t^{25} + 275352329306439485682612244880096t^{24} - 1410066569407174446515796440372t^{23} - 17737254991949772010580390250492t^{22} - 4388435125453083527075234818542t^{21} + 156459761717071522779247229148t^{20} + 30340084822797445654392157254t^{19} + 1042909699938716167312132008t^{18} + 5045697737596362524652985460t^{17} - 533375467966801883388311650t^{16} - 232063338634601968995407357t^{15} - 8949226429046577903974788t^{14} + 1118389409005500743181972t^{13} + 314018811165372763773990t^{12} + 29543115391619038444554t^{11} - 795018855107929125828t^{10} - 106411358127296420836t^{9} - 4094306049421042260t^{8} + 255869023375788425t^{7} + 32450500169902416t^{6} + 973046947890678t^{5} + 8448462700208t^{4} - 1733986864400t^{3} - 51738906592t^{2} - 595541696t - 20778240 \right)D + 1728 t ^{3} \left( 2377327307562278511209256561070080t^{39} - 1805722073773100617902757910574080t^{38} - 17567905076926727087904331593232480t^{37} - 31979444043386208207056183876842240t^{36} - 22463347296150046344345255241785760t^{35} - 22806783479255652696471397827569760t^{34} - 20700298769143194892176097042565408t^{33} - 14481362553649623113410550361061776t^{32} - 8727929471434660924848228333466544t^{31} - 3441673853402409504443453323270800t^{30} - 842972607962145018535073841764616t^{29} - 105485584787088414175536842078264t^{28} + 57557961061798087810038344611564t^{27} + 28520574647076473539957663704296t^{26} + 8524570382418248394830178256564t^{25} + 2686354214706328289596653573536t^{24} + 7070555739516911238948939570t^{23} - 169222197546918736224841459624t^{22} - 46693822674930866972138677878t^{21} + 572729944749632688146486084t^{20} - 7759076166756682284450702t^{19} + 33916322225659591123357784t^{18} + 50813745854747057329221571t^{17} - 4920440386813414496806656t^{16} - 1984778502045456567535226t^{15} - 73654660869102326140458t^{14} + 10257239512253163976549t^{13} + 3002423875152460248000t^{12} + 291683927244996373492t^{11} - 2604003160269830906t^{10} - 916371344286271724t^{9} - 31167935068994432t^{8} + 2352217112944808t^{7} + 315519418143560t^{6} + 10387744826980t^{5} + 61109195440t^{4} - 11732265344t^{3} - 395067040t^{2} - 4709360t - 86400 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × Fl(2, 4, 7)

|λ| = 8.615804 λ ≈ 8.615804; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.24221 - 2.785323i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -6.24221 + 2.785323i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 4.615804; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.24221 - 2.785323i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2.24221 + 2.785323i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.868617; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.131383; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$8.61580377$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$8.615804$11
$-6.24221 - 2.785323\mathrm{i}$11
$-6.24221 + 2.785323\mathrm{i}$11
$4.615804$11
$-2.24221 - 2.785323\mathrm{i}$11
$-2.24221 + 2.785323\mathrm{i}$11
$-3$11
$2.868617$11
$-2$11
$2$11
$-1.131383$11
$1$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{4} + 9 \lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - 228 \lambda - 244\right) \left(\lambda^{4} - 7 \lambda^{3} - 14 \lambda^{2} - 36 \lambda + 316\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{4} + 9 \lambda^{3} - 2 \lambda^{2} - 228 \lambda - 244\right) \left(\lambda^{4} - 7 \lambda^{3} - 14 \lambda^{2} - 36 \lambda + 316\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 8 & 4 & 6 & 6 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 8 & 4 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 6 & 6 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & -6 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 3 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$