Family 3-319-69-a

No geometric description is recorded for this family (yet).

Fl(1, 2, 6) × ℙ²P2 · 2052.6wBw7 (preferred model)

Defining data

Ambient: Fl(1, 2, 6) × ℙ²P2
Bundle: $E^{ω_{2} + ω_{7}} \oplus E^{ω_{5}} \oplus E^{ω_{1} + ω_{2}}$ E^(w2 + w7) + E^(w5) + E^(w1 + w2)
Bundle: $O_{1} (0, 1) ⊠ Q_{2} \oplus ⋀^{3} Q_{1, 1}^{\lor} \otimes U_{1, 2}^{\lor} \otimes U_{1, 3}^{\lor} \oplus O_{1} (1, 1)$ O_1(0,1) box Q_2 + wedge^3 Q_1,1^v ot U_1,2^v ot U_1,3^v + O_1(1,1)
ZL62 label: 2052.6wBw7

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,5;3) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1,4;1) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	69
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	319
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	5

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	319
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	178
$\mathrm{c}_2^2$	=	94
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	58
$\mathrm{c}_4$	=	13

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		0		5		0		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ - 5	0	x₀ - 5	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 52	0	0	x₁ - 31	83
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 69	0	0	0	0	69
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 64t + 189t^{2} + 64t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(153)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(215)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t + 1 \right) \left( 3035147t^{11} + 2805088t^{10} + 2052200t^{9} + 711905t^{8} + 206833t^{7} + 26007t^{6} + 6355t^{5} + 1395t^{4} + 268t^{3} + 36t^{2} - 5t - 1 \right) \left( 168057250187007845905544779806t^{30} + 1208009281506307841876589244500t^{29} + 5635661906145321952479140994504t^{28} + 12989097054669719844393840788374t^{27} + 13459629859532558133327587895041t^{26} + 7885206766291864737274749124728t^{25} + 3616926168637969581383295325091t^{24} + 2038299302788156077989649562383t^{23} + 1381741245648457012116955234445t^{22} + 871834797487302259806249141858t^{21} + 421765775467944371081575472266t^{20} + 147623611146711861104506894209t^{19} + 41374020773884704176276141211t^{18} + 10234962566730460512058327373t^{17} + 2148199603680052368460003058t^{16} + 351627672152187503887086678t^{15} + 45845967719953888038864620t^{14} + 5557683239039772974301088t^{13} + 620582807530887889043437t^{12} + 65583506693076995032448t^{11} + 6912943796643824993396t^{10} + 517283005536012161771t^{9} + 27445412790813274603t^{8} + 1024583879537804511t^{7} + 17074809895316417t^{6} + 1921727076191914t^{5} + 24958698011425t^{4} + 1139582226357t^{3} + 16178992280t^{2} - 45313584t + 188848 \right)D^{8} + \left( 18362824514400466889160354784578293352t^{42} + 165104787665610544919848635492737167800t^{41} + 888290428266177876873560110172611628916t^{40} + 2745816543180604933096577172818829293562t^{39} + 4914457611451800346170632779879889970838t^{38} + 5683587057496161149612621178460198621110t^{37} + 4731861844350924340303598451466687520256t^{36} + 3145212036460192705012455384494542033829t^{35} + 1878719074381706412545546706483458245733t^{34} + 1128143501871711700600264489731380843384t^{33} + 694433252395568355387518440769307566005t^{32} + 405166512665924488640220951359013186015t^{31} + 208053728222224699921971776070200296229t^{30} + 91040184218349253820340651657460403609t^{29} + 33834461792933039869522224609949518314t^{28} + 10810521568884250997383122347839215827t^{27} + 3010131855004800078786470475789817011t^{26} + 735083892470017448246457600288022861t^{25} + 156906207801548669673585989284905514t^{24} + 29121160123791088061477881009984408t^{23} + 4762799100930497953152463047794110t^{22} + 720572247076235704630072093515911t^{21} + 107467795830282329258940261252283t^{20} + 16605051056866643694551279859413t^{19} + 2837790821049490859606108455696t^{18} + 520712175385199197112779762727t^{17} + 87351618304420719819786284329t^{16} + 12108608993195726925880717737t^{15} + 1434289685444675883403282381t^{14} + 156411520407169947849808087t^{13} + 15733115267939666647271019t^{12} + 1537870808126410240345042t^{11} + 139050199679021876760252t^{10} + 9122543803289966327408t^{9} + 432138591020455826584t^{8} + 14085701136230102642t^{7} + 267637464102783046t^{6} + 21891925939362391t^{5} + 271959779582532t^{4} + 10444053256557t^{3} + 129195182464t^{2} - 317195088t + 1133088 \right)D^{7} + \left( 278502838468407081152265380899437449172t^{42} + 2475567488084836439398229221658408707980t^{41} + 13341954431692695994540181369134651952376t^{40} + 40533434106106745570300155380983616428286t^{39} + 69386774400120576129121423493548919800060t^{38} + 75460188905738704895009246913372000042452t^{37} + 58719494016720469292896553145966797161080t^{36} + 37175794670157015666758584441528499210247t^{35} + 22251709003749074302133977644995328228745t^{34} + 14010320332690618695716998710852975820246t^{33} + 8962994325203293814003440864910680784075t^{32} + 5225540419462759446986255705035123983607t^{31} + 2598925618296277237273369381868405771099t^{30} + 1085400816489050327501973037016774905973t^{29} + 383901029533061736517756343879502579320t^{28} + 117146170398167449355013539205413039685t^{27} + 31280411675579588702223488798269243841t^{26} + 7317488288805418340456974884368047391t^{25} + 1488510557480955755119964410584862958t^{24} + 261530559502243866487497239127526506t^{23} + 39509660489646847276648042227728884t^{22} + 5028001259105817726496238444837821t^{21} + 498015322786678754844655738196243t^{20} + 24410614660221259959012225230325t^{19} - 4861494911783729100893491072608t^{18} - 2043473193636697762528641573753t^{17} - 442663656349131262390223123253t^{16} - 66374724371815224027132076923t^{15} - 7849564770031439734685371531t^{14} - 839090884231068162692584977t^{13} - 81021799165681134354629439t^{12} - 7430415000099495017741504t^{11} - 655239863513420877892074t^{10} - 41124586166474632155964t^{9} - 1845407997109735025720t^{8} - 57438173685175804000t^{7} - 659582041113658132t^{6} - 72810754935499385t^{5} - 725012870276400t^{4} - 30353597455517t^{3} - 346712777256t^{2} + 805712400t - 2455024 \right)D^{6} + \left( 2313715888814458828034204702856864962352t^{42} + 20367597702801188056548944981459279450640t^{41} + 109983404082660533561034895247243178892776t^{40} + 328913458614643316311813324062218836544946t^{39} + 540175565455064129005706089242338218988638t^{38} + 555380743251830033814997579521338831235054t^{37} + 407643886416004853723642913650298574591950t^{36} + 249810353556442114567994668037427204012011t^{35} + 152838483499725302900037558808654193269775t^{34} + 101225829168121792047265746642425133404360t^{33} + 66343135086279665448328304617914784028479t^{32} + 38154404231130097834275173320477369363791t^{31} + 18285893335504722153365731302338627291843t^{30} + 7301756030811975659051870792795747269757t^{29} + 2477124514284092056539297048217506274742t^{28} + 730401080242516420308632270177281733933t^{27} + 189431727232314001269342478297045953039t^{26} + 43015929771199830225188914864660396297t^{25} + 8472397032983526336010844922446516848t^{24} + 1451475595371970070279284111999286872t^{23} + 221779937592024963291602468102307502t^{22} + 31722061227687285486102684892201901t^{21} + 4514905328062758722356831668187849t^{20} + 655204819566284817328378482041705t^{19} + 95913908541683497594383907799434t^{18} + 13940918339560503904007316278465t^{17} + 1894966553582036174718744419047t^{16} + 220390707641701469860729756305t^{15} + 21163482068589558195323134303t^{14} + 1882173757032522324073196545t^{13} + 157915773784030293982345227t^{12} + 13206442813588536310713628t^{11} + 1198128777848286109782900t^{10} + 73727215857728837591762t^{9} + 3194813048200692588166t^{8} + 95068016068088569538t^{7} + 470437537599020350t^{6} + 94791165609350779t^{5} + 729169098078924t^{4} + 35635415824431t^{3} + 368814238720t^{2} - 836506464t + 2266176 \right)D^{5} + \left( 11450751320104891144298911237749947429418t^{42} + 99986438189540988367580274530824417521990t^{41} + 540971275055523651580761366280560128578884t^{40} + 1595296184204027206504795609498432061941602t^{39} + 2522917556426727224060650980519302959883395t^{38} + 2466721774700506079434184583502452825892733t^{37} + 1723841067746147735057599004490637612022601t^{36} + 1037546120562057286087015527059275975929438t^{35} + 656269912847430528089485440327126524676463t^{34} + 454261580943625847258135600693787834334054t^{33} + 301075461458067463906386887105055789685376t^{32} + 169653955587134091125514351849892373104465t^{31} + 78349108458597191208051445739310888069902t^{30} + 30060672467825242461037761675404941337447t^{29} + 9863382568811998350897624204307826403362t^{28} + 2833565489770425216349074687817437021255t^{27} + 717012996783869994742548495578302638131t^{26} + 158204262757965406797178642570608790670t^{25} + 30128172728174678184939072618151962929t^{24} + 4981891696607493360634118541570963519t^{23} + 732780595662259787682457949921398000t^{22} + 98206829932611083196831782146193401t^{21} + 12135374026101379987130554680740342t^{20} + 1362576884911397339919491920946799t^{19} + 128668755307639596067127530885806t^{18} + 7880259621571048656106615858788t^{17} - 152620247858034292224468053226t^{16} - 100565442575984706076422443454t^{15} - 12716518794997966585387256587t^{14} - 1153998337560581430862460979t^{13} - 84361964153851659020523612t^{12} - 6612020933972221403874050t^{11} - 695161661300813012240538t^{10} - 43275951712367988643366t^{9} - 1922788050692176855403t^{8} - 59007461546745631324t^{7} - 134082245026538830t^{6} - 44503319377695962t^{5} - 272640144373293t^{4} - 14748677061554t^{3} - 134316298560t^{2} + 303753600t - 755392 \right)D^{4} + 2 t \left( 17160059508707236307920351546188415137444t^{41} + 148845354785191296685698761235142837157100t^{40} + 806780161779089131068271316234362242208602t^{39} + 2350458855249761837470461653889462346624314t^{38} + 3595164990401831393468249668788580919201366t^{37} + 3363790698805021334312367269535750688046886t^{36} + 2258267481389463602687086335899582582733021t^{35} + 1350466152302220723282663102613748378854852t^{34} + 886254571392033638577839800305733251010114t^{33} + 634803505698223218577303538006532631314112t^{32} + 421731698171221379015622541758442721543300t^{31} + 232361133737654226237533129008649837256609t^{30} + 103712338732874219289775001259375469570324t^{29} + 38476272633661335919837480781926824514195t^{28} + 12308419571630355997237413264953416947316t^{27} + 3468963271148376520745313176510032723168t^{26} + 859536441269839281433026345037580386977t^{25} + 184645638395914640859358479945642380447t^{24} + 34173901142721938287246476010098697151t^{23} + 5531540290783315098127705248707040098t^{22} + 810111459515187930689252136586509104t^{21} + 110461264751647556567254361527673638t^{20} + 14232221555541374421242966720594324t^{19} + 1721484101342503687724212992107791t^{18} + 187174819016949801879146419950767t^{17} + 17375984424542414774065078657540t^{16} + 1285071806164135232519133044546t^{15} + 72533449337096683315277784483t^{14} + 3106166921278149073489156730t^{13} + 116264333786209668861890582t^{12} + 6115492038625441843802877t^{11} + 268086523487704450058573t^{10} + 12456921245292442125606t^{9} - 138833749575906724763t^{8} - 17399063116987387315t^{7} + 590042221998782596t^{6} - 7167559445584192t^{5} - 235637511135625t^{4} - 7736425510182t^{3} + 13633734516t^{2} + 15290984t + 27528 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 15063126964854449658438734365093932804942t^{40} + 129963092168485977285447994028155616314530t^{39} + 705548255739817238460581871460433556426936t^{38} + 2034808137778951455114910393989928812448366t^{37} + 3025090713792022610674390135887296194679865t^{36} + 2726726183374230897358771780226978974484075t^{35} + 1773032438055881318438933758840012037411875t^{34} + 1061763189587953111154445930511582958392153t^{33} + 721498523104065312916473624840321776504798t^{32} + 529700185005272438792474045185264223921939t^{31} + 351003413337507000305339502511984577131524t^{30} + 189265558179365991633144761383589710658073t^{29} + 82028139725336319950983026037037170004520t^{28} + 29623093021183189109379238331499477506867t^{27} + 9301108464839950259265651301180312427116t^{26} + 2583847996823945507551299150071880767810t^{25} + 628437119879727561155496079609242905978t^{24} + 131718830182013500603215219195954570463t^{23} + 23785313225448833735757736120447847520t^{22} + 3786310308415922790035084952771759988t^{21} + 551937417690911230614622421713518650t^{20} + 75552091219216302207570468152847833t^{19} + 9784389516313047323807698269521566t^{18} + 1184491985021246491063557492638273t^{17} + 127203917772651921313201210297723t^{16} + 11376711195232046428965445135155t^{15} + 779811300090837956776134235739t^{14} + 38130674304198227379219231022t^{13} + 1190396408856225698493617760t^{12} + 17285233491776036349343785t^{11} + 809602323444233651610255t^{10} + 20141909687978486193132t^{9} + 3196861944256850476563t^{8} - 53908860048720695583t^{7} + 7840727232518326829t^{6} + 592980618140079063t^{5} + 688214432415417t^{4} - 18038902939624t^{3} - 1585404594296t^{2} + 495583464t + 3021568 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 2329018242576459217108504998510680206812t^{39} + 20012535899769609256857885587114746724340t^{38} + 108784984828405533113874280845454720097706t^{37} + 311222817413437358291340446521436059499066t^{36} + 452165116250044044257023671123386654642958t^{35} + 395431073129656664520002125215980249861362t^{34} + 250893507056931748978219313509025684701681t^{33} + 151080839417325023270791494174788539018483t^{32} + 105743316432720580234543657191648988596607t^{31} + 78958497566431480300051049172169483829946t^{30} + 52081965947401724442751531924965272605152t^{29} + 27560888467450225701206881372609615288443t^{28} + 11662597938703278180017332631825394886365t^{27} + 4126187317042363028499277278120948480973t^{26} + 1278500391832876020167822149010833168850t^{25} + 351329524244551721630160456512641955640t^{24} + 84114465641980710679673853092338673619t^{23} + 17266966936966801964100663008991271280t^{22} + 3058404697089751821299596425860116511t^{21} + 481338608763494293800527455681968050t^{20} + 69990759688222697572697430297924632t^{19} + 9613429656287126170766404798054155t^{18} + 1251387071286624816977029258644319t^{17} + 151541612677038599505280760055419t^{16} + 16057355501028528512205094008010t^{15} + 1386737650886910306886051253026t^{14} + 89080131382001009795659560945t^{13} + 3852751742754099360187759653t^{12} + 78874421407546994638868112t^{11} - 2405681426395574127632494t^{10} - 129245670556871146247734t^{9} - 11605242618027900049334t^{8} - 191005369356387362592t^{7} - 8540681250320381620t^{6} + 1741720052890554154t^{5} + 63467049012303420t^{4} + 340176630599941t^{3} + 3638326578368t^{2} - 1579817008t - 110843568 \right)D + 144 t ^{3} \left( 142821968445336964693469426102275614960t^{39} + 1223647578640062487799936180134399681200t^{38} + 6657919618621348550635916447529817627980t^{37} + 18935998365056675826475071773891192265780t^{36} + 27045611312804482144376997120468978823152t^{35} + 23123072412804983932268217985109472754464t^{34} + 14413199945285341469203962495211257245008t^{33} + 8735675289314560433520649134741167659648t^{32} + 6253327556373053315433896286844330337166t^{31} + 4721185666524897856017890903063781067939t^{30} + 3099940533541327720005301685876391813062t^{29} + 1616576976801877382147523854368364497007t^{28} + 671893162137623890929136257772749133425t^{27} + 234246247773546828602802261565129021613t^{26} + 71931166750523050106746672154988107145t^{25} + 19610708964465236133711561213281741378t^{24} + 4637392776926376970076389901276158326t^{23} + 936742126565999024251349291544993950t^{22} + 163613568837433285573976477777770487t^{21} + 25560846268935631132046256584994143t^{20} + 3711194685210174676931502468524077t^{19} + 510929574340263877946684864882464t^{18} + 66768916447701551726545788774346t^{17} + 8073708827656309995208602250180t^{16} + 843134724859464958471788476344t^{15} + 70580107803361301292026222051t^{14} + 4308538305729910702676782914t^{13} + 169915833091028748449466985t^{12} + 2144557079692927413312207t^{11} - 231402426604949782251519t^{10} - 10832316652805118714777t^{9} - 905510800300140681944t^{8} - 24569774583556088186t^{7} - 394482005639853278t^{6} + 93788510373184747t^{5} + 2484087214072567t^{4} + 18083810040137t^{3} + 228661519076t^{2} + 2759028136t - 7648344 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: Fl(1, 2, 6) × ℙ²P2

Sector dimension: 12
Spectral radius: $8.37265267$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: Yes

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$8.372653$	1	1
$-6.215234 - 0.7589896\mathrm{i}$	1	1
$-6.215234 + 0.7589896\mathrm{i}$	1	1
$2.938762 - 3.493438\mathrm{i}$	1	1
$2.938762 + 3.493438\mathrm{i}$	1	1
$-1.299092 - 4.184733\mathrm{i}$	1	1
$-1.299092 + 4.184733\mathrm{i}$	1	1
$-1.173522 - 2.051414\mathrm{i}$	1	1
$-1.173522 + 2.051414\mathrm{i}$	1	1
$-0.9372397 - 1.805232\mathrm{i}$	1	1
$-0.9372397 + 1.805232\mathrm{i}$	1	1
$-1$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 1\right) \left(\lambda^{11} + 5 \lambda^{10} - 36 \lambda^{9} - 268 \lambda^{8} - 1395 \lambda^{7} - 6355 \lambda^{6} - 26007 \lambda^{5} - 206833 \lambda^{4} - 711905 \lambda^{3} - 2052200 \lambda^{2} - 2805088 \lambda - 3035147\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 4 & 4 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & 8 & 8 & 8 & 10 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & -2 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -\frac{1}{2} & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & -2 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 2 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & -\frac{1}{2} & 1 & -1 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 & \frac{3}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta