Family 3-321-69-a

← 3-324-70-a · 3-320-69-a →

Blow-up of a special member of family 2-352-75-b along a plane.

$\pi_1\colon X\to\mathrm{Gr}(2,6)\times\mathrm{Gr}(3,6)$ is birational onto its image; it contracts a plane with normal bundle $\mathcal O(-1)^{\oplus 2}$ to a point and is an isomorphism elsewhere.
$\pi_2\colon X\to\mathbb P^2\times\mathrm{Gr}(3,6)$ is birational onto its image; it contracts a second plane with normal bundle $\mathcal O(-1)^{\oplus 2}$ to a point and is an isomorphism elsewhere.
$\pi_3\colon X\to Z$ is the blow-up of a special member $Z$ of the family 2-352-75-b along a plane; the quadric surface fibration $Z\to\mathbb P^2$ has a fiber that is the union of this plane and of the image of the plane contracted by $\pi_2$, meeting along a line.

More details (pdf)

Varieties in this family can be blown down to

2-352-75-b (special member)

ℙ²P2 × Fl(2, 3, 6) · 2055.644w6 (preferred model)

Defining data

Ambient: ℙ²P2 × Fl(2, 3, 6)
Bundle: $(E^{ω_{5}})^{\oplus 2} \oplus E^{ω_{7}} \oplus E^{ω_{2} + ω_{3}}$ 2 copies of E^(w5) + E^(w7) + E^(w2 + w3)
Bundle: $O_{2} (0, 1)^{\oplus 2} \oplus ⋀^{2} Q_{2, 1}^{\lor} \otimes U_{2, 2}^{\lor} \otimes ⋀^{2} U_{2, 3}^{\lor} \oplus Q_{1} ⊠ U_{2, 3}^{\lor}$ 2 copies of O_2(0,1) + wedge^2 Q_2,1^v ot U_2,2^v ot wedge^2 U_2,3^v + Q_1 box U_2,3^v
ZL62 label: 2055.644w6

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;3,4) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;2,3) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	69
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	321
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	7

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	321
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	174
$\mathrm{c}_2^2$	=	100
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	58
$\mathrm{c}_4$	=	13

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		0		5		0		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ - 7	0	x₀ - 7	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 50	0	0	x₁ - 35	85
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 69	0	0	0	0	69
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 64t + 191t^{2} + 64t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	No match
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	No match

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2250227t^{13} - 4556244t^{12} + 1342696t^{11} + 1519093t^{10} - 937091t^{9} - 45044t^{8} + 159683t^{7} - 37186t^{6} - 4259t^{5} + 2738t^{4} - 116t^{3} - 92t^{2} + t + 1 \right) \left( 90470013758598658817137989073968t^{36} - 447046257080701972164179990961120t^{35} + 1107448114508192900456540168170600t^{34} - 1363160080530772144908795426113344t^{33} + 714173057434705423703922811345086t^{32} + 110731592372613668398784491834592t^{31} - 390256456720511794977757831352238t^{30} + 219906861490663208769068784325928t^{29} + 33311016869777452763508300600517t^{28} - 151103606058701417364846364588386t^{27} + 133651377693268627141666077819688t^{26} - 77663316371851840207939778523252t^{25} + 37298960488975694131836389881583t^{24} - 16281508317552797428299075655652t^{23} + 6423682836406794865150406124279t^{22} - 2158078630647076996171167644078t^{21} + 578690592806380153324963317075t^{20} - 117484206228500988302688937313t^{19} + 16682203614261270203432651934t^{18} - 1048860817597811981495146882t^{17} - 273785597133827139637107106t^{16} + 104771525282745501535799296t^{15} - 14031860669370194705161745t^{14} + 127544573254429275194676t^{13} + 205857271906228736632282t^{12} - 28369237912621422580945t^{11} + 1270295673564096572165t^{10} + 22688558280426490677t^{9} - 2030115488478121539t^{8} + 378141397368496552t^{7} - 13334242385625608t^{6} + 563772472229826t^{5} - 82828333973746t^{4} - 1657806865028t^{3} - 61808213343t^{2} - 70369307t - 21530112 \right)D^{8} + \left( 7328810435398926632428030766638120466496t^{49} - 49586459364507637627841152991967290132640t^{48} + 160754142675071592066470359379977166732752t^{47} - 293627485554964852911963193713248665288800t^{46} + 293982212221294857491624385395931974532272t^{45} - 110768644857756007773097338419590684332752t^{44} - 85565540276249930305003592555307437337076t^{43} + 132180054050661312628273816373973207607372t^{42} - 55505125362194886036272467625284249441788t^{41} - 28742316255592424452962509004700949050214t^{40} + 57367327758437007661366479463146143837244t^{39} - 41615857491074062614916511692961451902330t^{38} + 17399565973856111380009861820204799670458t^{37} - 3723934541267037714672026384647240899102t^{36} - 340397245941443228260455233014019610854t^{35} + 732890090818299144130801363603027806254t^{34} - 484488395662829458358664191143471747904t^{33} + 255547735034397252177611167042203848495t^{32} - 101184744456052533947676820072035758708t^{31} + 22892148428872097647440732191708399198t^{30} + 1755008347146376878338105782263514703t^{29} - 3944947469556898184097147601359635083t^{28} + 1838046896733106988638090111662424156t^{27} - 531935329159926183574812434223319803t^{26} + 102102054743233154525243237348066070t^{25} - 8653737622634913050917493886780764t^{24} - 2234099964707602070654468963735860t^{23} + 1065012181932944147434414675589097t^{22} - 192369415196219402220913152611943t^{21} + 9089366898045647518844671266780t^{20} + 3610533848929552559282202822690t^{19} - 1011430487799846977245447237014t^{18} + 128610955533528362376801035150t^{17} - 1767651950812179406134132820t^{16} - 2567914414830568681321107972t^{15} + 425682703951554540647388050t^{14} - 17925711773993200332095614t^{13} - 3001861317135897292634599t^{12} + 488247413020664810795042t^{11} - 21534063728050140506444t^{10} - 251565571732588051453t^{9} + 22354143350509241075t^{8} - 4873177788872125676t^{7} + 171486427603037277t^{6} - 5342006324242924t^{5} + 855030884038692t^{4} + 15106218009062t^{3} + 506420697875t^{2} + 492585149t + 129180672 \right)D^{7} + \left( 111153624936883720591825133294011493741856t^{49} - 733231397137859016484900425289294324854336t^{48} + 2349131343786102237734679908810839315913360t^{47} - 4226439116238089729767637791816212152382576t^{46} + 4181041592314085145161947586549031358684468t^{45} - 1639469985482458633337282618655041217898816t^{44} - 1018393012987987270617684729383926664709180t^{43} + 1695747060455657707962727533658968689034936t^{42} - 743966420806961749922821761313700715671598t^{41} - 380981987326354617836166281924529171803098t^{40} + 823350126096936899494779327612725180742840t^{39} - 660687257296250918857978191644307818338860t^{38} + 340098294881781742962647002133547946267600t^{37} - 127215679109583878833950229780526607940782t^{36} + 36480952255312862089189699690400813597572t^{35} - 6346046916029315581374904741244572525628t^{34} - 1970073638484838736835539575900305444644t^{33} + 2863633102984960323279099995500076839997t^{32} - 1699713601138672963214197481985767895528t^{31} + 646948647089898779957840761483810269428t^{30} - 158346546555290869173041742513516942975t^{29} + 17587665035454362433973149154738815383t^{28} + 4246539868754818646163509740403805110t^{27} - 2968788249104863653819480729561493737t^{26} + 933987285075636129611324963512317204t^{25} - 186177112462549321546141645469785304t^{24} + 18956678755129304310793601053350888t^{23} + 1237176494889285229009267198433125t^{22} - 818552169241042406413504682969013t^{21} + 159247069447081760456951827360388t^{20} - 21537169802771873507781069861950t^{19} + 2452619575949741080409688388668t^{18} - 154855457577357698698863662196t^{17} - 40075222671413603181523414400t^{16} + 15015236873263745784752810750t^{15} - 1792273203189296945936913056t^{14} - 3300550079726974478515798t^{13} + 23154717983234153952803471t^{12} - 2701484215406853856017778t^{11} + 110692424883042680268642t^{10} + 1959328296299420711469t^{9} - 158491157880274035191t^{8} + 22829287143583962494t^{7} - 685944957048218897t^{6} + 18752016377507830t^{5} - 2911345540657076t^{4} - 49298043044482t^{3} - 1376753331081t^{2} - 2921948555t - 279891456 \right)D^{6} + \left( 923430114860264755685931876596403178778496t^{49} - 5960309903418403622355622879266859585581888t^{48} + 18875943208476520622910171227827541530880896t^{47} - 33351279466277610170995012526279912755799376t^{46} + 32256637034838113904191039106219386380634624t^{45} - 12348959479076822695072589272238508622858064t^{44} - 7711687381620852033103042725974821088414416t^{43} + 12776991673153890948595142552514774021335228t^{42} - 5657601758015555932840140020572169838742360t^{41} - 3020462902863971591489998053322271859131994t^{40} + 6712263279860795046278188642504041926891792t^{39} - 5716901675580305880130949415246373885040294t^{38} + 3291785399465931442726103728531447422497236t^{37} - 1498061489630563142152379185148884442751606t^{36} + 586947312422869173253620822829801807904892t^{35} - 195098987850773498662137666531332248626524t^{34} + 43734523873917204822666805366907264719594t^{33} + 2123549397586840604930714495994969210887t^{32} - 7893700747606959593990025509122745261462t^{31} + 4290411416961149978541923275316050154318t^{30} - 1438318878446863506086156743862421780699t^{29} + 333667800409387463246487544604267765545t^{28} - 49510128295722258151702128492017175998t^{27} + 1073505479429635031214823791677213575t^{26} + 1842676897023051240173394561294577934t^{25} - 530764633710326514741003916860334660t^{24} + 59858229296249159873825276794285286t^{23} + 787148367032588615993534351508753t^{22} - 297369709644436478278882700163125t^{21} - 304809216722051649772801076237876t^{20} + 105270860878415069163821801400610t^{19} - 15412213635861964123657691675486t^{18} + 789557132789467820032993275980t^{17} + 147761908790585616394817454672t^{16} - 42692061157858159426350182514t^{15} + 4448952279258347159810076332t^{14} + 54763561288031358996023796t^{13} - 62735407046047586398178835t^{12} + 6691011249605016159782144t^{11} - 255244067000946023847240t^{10} - 1866169204609720348783t^{9} + 209968450427489808859t^{8} - 39970660613902163554t^{7} + 830457358980090615t^{6} - 10851770553302624t^{5} + 4319364118272892t^{4} + 77564749037196t^{3} + 1598490945327t^{2} + 4734879563t + 258361344 \right)D^{5} + \left( 4570124040674180665871579518896087954232464t^{49} - 28960411969362200124030141328303869151460448t^{48} + 90728129827205294184766211769091947106639832t^{47} - 157264533315241480955758055498003782162317216t^{46} + 147823568508929318249736800886403250527127914t^{45} - 53064891611908254910480492606842683179065232t^{44} - 38360846154445423491788767993267122965387562t^{43} + 60095851416993435324173004467017174433323402t^{42} - 26364702533301997664531095524781485627669539t^{41} - 14751735469876700069358201637513660729902470t^{40} + 32952072674595311237090675012880847494584148t^{39} - 29076163137684449272641255824836791357688297t^{38} + 17869317038744246491784873457265749557628136t^{37} - 8957830911390359648688019752202578471793244t^{36} + 3954850462330655654617097598125008664873134t^{35} - 1535721800433698483566914399174787932518941t^{34} + 481485455046633273366422613473766291947521t^{33} - 96950590650636043125980665423097184634843t^{32} - 1773343171379140078816250979625435242366t^{31} + 10689185967935125103169875100207887177141t^{30} - 4913813205845210048898604952445215661002t^{29} + 1401005836595358882206708853778346328675t^{28} - 273823059591912822579444266260370379877t^{27} + 28972901023085922678942551533201886830t^{26} + 1901770329860468594198318381746384462t^{25} - 1127675544778573618793131438492314010t^{24} + 66222156902792758286334131332486925t^{23} + 40883537375772789807993299631028863t^{22} - 12019991788011705633165650241147351t^{21} + 1595729643520575079414025408505640t^{20} - 108091053424684492211607634563406t^{19} + 1817756602584067236895194104397t^{18} + 547352287519437652372669807618t^{17} - 216544054287634283469862717350t^{16} + 48493922503990959324893373782t^{15} - 4657134874755499089382834607t^{14} - 33700564663045554207650169t^{13} + 51273078750738271232417039t^{12} - 5452397383939554252209754t^{11} + 207050358588037256821497t^{10} + 1110889276645665335264t^{9} - 162598402466877064135t^{8} + 24330735797315314551t^{7} - 425874075503708652t^{6} - 9449780572733632t^{5} - 2444675589031882t^{4} - 48078891894943t^{3} - 652921120021t^{2} - 2214756962t - 86120448 \right)D^{4} + 2 t \left( 6848773351880296938003994751423323575940512t^{48} - 42743746569762903378813027499480695489817680t^{47} + 132615633931922721224176569207327926359855544t^{46} - 225620661603238646643553867954582625331510600t^{45} + 205609424750445890014810112632485717041045704t^{44} - 67317548959146605434167250880790775816824304t^{43} - 60231401952638198936589417901177714574046086t^{42} + 87752915658604873928324033029773332970552492t^{41} - 37696122181996562365060187513209597816055110t^{40} - 22238234291359832748889788811751320006660400t^{39} + 49166694656476635256298059441001032553988362t^{38} - 44246070824047142636752041387076561231173448t^{37} + 28268930033244798781877570574799041302328781t^{36} - 14951384181073776183562546787445463716294126t^{35} + 7009175555266505003018103916081407685464013t^{34} - 2916212997044042094605981661712991707367313t^{33} + 1020403062044651841901520143816205423761739t^{32} - 271821810114183992484687664184740411771343t^{31} + 43528870874413219351641726242609570459633t^{30} + 1880178634709438056387522928949864169198t^{29} - 3872164559704311362956889933729001800326t^{28} + 1437764215412807825585151859538833891221t^{27} - 321200489519598203221743252813438772291t^{26} + 36390230672811843728667168221770465294t^{25} + 3094647266283635396554247545440386258t^{24} - 1968115539259312889383753844681571792t^{23} + 297792069351220105676189642159001871t^{22} - 7018683696498644989235070742875333t^{21} - 3234903447611809492359703098001946t^{20} + 133217727412240291065129941464996t^{19} + 98117718154682621685134808942106t^{18} - 20482166802400015960281088316162t^{17} + 2039253629716933434725503846195t^{16} - 117224434019769725358496189450t^{15} - 2654269944379724636210408337t^{14} + 1404570770932094111062226125t^{13} - 91160761339315153273883035t^{12} + 1673223015541454645524109t^{11} - 310001291265780274668545t^{10} + 17913971055506104795510t^{9} - 94535993775740708378t^{8} + 30127822835229696297t^{7} - 2052242137250644569t^{6} - 65722528552827474t^{5} + 308229100124766t^{4} - 14632928553140t^{3} + 1899713852039t^{2} + 5539033835t + 570112 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 6011863915771269510617560460266398208224816t^{47} - 37062622274273520669214302203852279744647296t^{46} + 114037988407200139588386465283808387337853560t^{45} - 190748304879303364492237098036036626502603616t^{44} + 168619479299073479484449368943652727520291598t^{43} - 49458621525875485774051956915740830506505256t^{42} - 55837147742040262995959266003216310329286334t^{41} + 75937818497219302979487714111375380110378094t^{40} - 31749712970591251349145220562236921941474555t^{39} - 19841074686852608139094940095429514283324154t^{38} + 43022454344676780037889210214647758388040702t^{37} - 39097987138368604845179625801434390498368243t^{36} + 25571834169876345039019336029437854228068938t^{35} - 13960962221248302852477986880952877729870150t^{34} + 6771672662305495294473338270586097819091991t^{33} - 2923774749733883909359212670910313862763991t^{32} + 1077459749831969164533720362641290471408734t^{31} - 317061174766309161931163417442318754412586t^{30} + 67273515824720622134177576056400637461811t^{29} - 7382931413151165334488181165670579947122t^{28} - 1117355807874967865949900826395071295606t^{27} + 812546381127767046574223439085137500591t^{26} - 217274989568839124771807218290695161602t^{25} + 26533197407069661769577818357548191180t^{24} + 2545002934563186563438888849083043693t^{23} - 1652991005565725748962512170609967649t^{22} + 288548561630732330642342442679240956t^{21} - 20763808463505757222437039164140044t^{20} - 24667110664399623286578170237765t^{19} - 100411079328783189447136633518434t^{18} + 67608395575806393585862455958580t^{17} - 11326750064728117979331255289513t^{16} + 1072369183799172547077908791724t^{15} - 66856251576715464591255879272t^{14} - 2821247248865297433644010497t^{13} + 1153436639845926439489601871t^{12} - 80632835290267575832375796t^{11} + 2310837012842019003019244t^{10} - 192730339611857469838983t^{9} + 8994188476629026859762t^{8} + 15341817315791871216t^{7} + 19505976208088771421t^{6} - 1081215168585288004t^{5} - 17734348327550934t^{4} + 325783532067247t^{3} + 4907341620473t^{2} + 733082968140t + 516722688 \right)D^{2} + 24 t ^{3} \left( 929537456889763861212955235568601612500576t^{46} - 5676388169931587626551747318861394205246928t^{45} + 17348751158321253732220456382543564259284376t^{44} - 28605441491870213945829734380872066419492216t^{43} + 24606142714540938203805636525751400010176424t^{42} - 6422106838622851921285285597555199762196904t^{41} - 9055849452587489428493896482459157286917394t^{40} + 11637408584831165034412307428812621816780364t^{39} - 4732875298627891185638852950131599499913156t^{38} - 3127405885216927518422651516451712569267172t^{37} + 6633956092207685496702050955859340055377908t^{36} - 6053637589892573985420844852345865298159948t^{35} + 4016047402463195018839510111266490731752641t^{34} - 2235762010653250519003107169099930684923540t^{33} + 1107028243425690983131203663094499577093932t^{32} - 488492857073078859225505953825008013170711t^{31} + 185158490292124459800294065180647869925262t^{30} - 57116474683446333871563956426255438113120t^{29} + 13404210125250972990541662962926390542048t^{28} - 2069607204396294614229607089460776772249t^{27} + 58362064734940827711374060519251449338t^{26} + 81628838246237276971423720953366038683t^{25} - 27892636161914689027599959497428306442t^{24} + 3877473536581553374403254594516783558t^{23} + 273840191797080390749062855054012355t^{22} - 220005749087077445848504579045337891t^{21} + 40764395122200528143948417942664156t^{20} - 3411768655191033524351863852791562t^{19} + 91396449650445476276352148979662t^{18} - 16893565607565659377226074599182t^{17} + 7022311296333024944931757528682t^{16} - 1002915338278587883412926302494t^{15} + 86435323993432694942184612839t^{14} - 5913066639137772118044182908t^{13} - 317897267079567345098059762t^{12} + 124003548338487433070232865t^{11} - 8644461336389544727380036t^{10} + 291660033161116270067270t^{9} - 19988155824252433805622t^{8} + 790329403820673272515t^{7} + 8984628787121201232t^{6} + 1716801344905872443t^{5} - 77411823609802962t^{4} - 855732609964542t^{3} + 52557825690223t^{2} + 1163424022037t + 52409229588 \right)D + 288 t ^{3} \left( 28500929470995825792775675203592690703040t^{46} - 172865121382143679750468206238135366409520t^{45} + 525708777360120361152523973620664796957240t^{44} - 857375201306249360876689526008667693045640t^{43} + 721617449914179955690493011482313840802892t^{42} - 169040988013119822492277026639121555926504t^{41} - 287739985492689716519967679042112531077362t^{40} + 354740546266097592513585392725121224474104t^{39} - 140920602992377823751318035738471528234718t^{38} - 97518218708142604987730555346546684905020t^{37} + 202954510664380635265778090109559849745274t^{36} - 185444945369086753979459142729924059509946t^{35} + 124080980725412884467325764705729746365655t^{34} - 69910501599543344166678471370502806095274t^{33} + 35055030888175159099642308541083774589408t^{32} - 15671924487431533895339970851275712894563t^{31} + 6036326636969766705483538964724528320927t^{30} - 1908595789825237573310911450417086951190t^{29} + 469144608036664603498480587990665597691t^{28} - 81213838607195288361924867486528418814t^{27} + 6100508368282878287543105419293886665t^{26} + 1729210139457687069254449765143402372t^{25} - 773096711418709625531544633803723050t^{24} + 122981795802164854369147579550299184t^{23} + 3833108538408184868578596994284513t^{22} - 5512949397695228971371125188851897t^{21} + 1057755583417168309435919711601814t^{20} - 87148121732140111536771995460652t^{19} + 1635371775682039089126304302521t^{18} - 238756885284742357716467978796t^{17} + 130365578770713554031636198086t^{16} - 16485192818702078023306056319t^{15} + 1250685041220202016514589933t^{14} - 103945599403139630315846296t^{13} - 5790141182661071470326827t^{12} + 2368286401948745148281420t^{11} - 155560029872718197944319t^{10} + 6108705287332707761040t^{9} - 429706343635302716946t^{8} + 14603468763313309132t^{7} + 271057500416547831t^{6} + 28485253995239441t^{5} - 798779857847036t^{4} - 5207186340066t^{3} + 1566306421056t^{2} + 30900411000t + 799305408 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ²P2 × Fl(2, 3, 6)

Sector dimension: 13
Spectral radius: $8.34834017$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: Yes

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$8.34834$	1	1
$-6.535133 - 2.542138\mathrm{i}$	1	1
$-6.535133 + 2.542138\mathrm{i}$	1	1
$-5.22027$	1	1
$1.761547 - 2.703145\mathrm{i}$	1	1
$1.761547 + 2.703145\mathrm{i}$	1	1
$2.29004 - 1.269153\mathrm{i}$	1	1
$2.29004 + 1.269153\mathrm{i}$	1	1
$2.103642 - 0.5452419\mathrm{i}$	1	1
$2.103642 + 0.5452419\mathrm{i}$	1	1
$-2.041158 - 0.4442668\mathrm{i}$	1	1
$-2.041158 + 0.4442668\mathrm{i}$	1	1
$0.7140547$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{13} + \lambda^{12} - 92 \lambda^{11} - 116 \lambda^{10} + 2738 \lambda^{9} - 4259 \lambda^{8} - 37186 \lambda^{7} + 159683 \lambda^{6} - 45044 \lambda^{5} - 937091 \lambda^{4} + 1519093 \lambda^{3} + 1342696 \lambda^{2} - 4556244 \lambda + 2250227\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 6 & 4 & 3 & 3 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 10 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 0 & 2 & 4 & -3 & -6 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 4 & -2 & 0 & 3 & 6 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 2 & 2 & 0 & 4 & 4 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 4 & 6 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & 4 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & -2 & -4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -4 & 7 & -1 & 3 & 0 & 0 & 3 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta