Family 3-346-74-a

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data

Ambient: Fl(1, 2, 3, 7)
Bundle: $E^{ω_{1}} \oplus E^{ω_{2}} \oplus (E^{ω_{6}})^{\oplus 2} \oplus E^{2 ω_{3}}$ E^(w1) + E^(w2) + 2 copies of E^(w6) + E^(2w3)
Bundle: $O (1, 0, 0) \oplus O (0, 1, 0) \oplus (⋀^{3} Q_{1}^{\lor} \otimes U_{2}^{\lor} \otimes U_{3}^{\lor} \otimes U_{4}^{\lor})^{\oplus 2} \oplus O (0, 0, 2)$ O(1,0,0) + O(0,1,0) + 2 copies of wedge^3 Q_1^v ot U_2^v ot U_3^v ot U_4^v + O(0,0,2)
ZL62 label: 606.55810

Line bundles on the ambient $Y$

$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2,2,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1,1,4) \end{aligned} \end{equation}$$

Numerical invariants

Fano index	=	1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$	=	74
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$	=	346
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$	=	8

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$

$\mathrm{c}_1^4$	=	346
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$	=	184
$\mathrm{c}_2^2$	=	94
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$	=	60
$\mathrm{c}_4$	=	12

Hodge diamond

				1
			0		0
		0		3		0
	0		0		0		0
0		0		4		0		0
	0		0		0		0
		0		3		0
			0		0
				1

Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology

$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1	1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x₀	0	x₀
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x₀ + x₁ - 8	0	x₀ - 8	x₁
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x₁ + 55	0	0	x₁ - 39	94
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 74	0	0	0	0	74
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0		0	0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0			0	0	0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0				0	0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0					0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$

$\displaystyle\frac{ 1 + 69t + 206t^{2} + 69t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$

$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

catalogue	matching entries
Kalashnikov (2019)	CKK(85)
Coates et al. (2020)	No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015)	CKP(128)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 2t - 1 \right) \left( 2t + 1 \right) ^{2} \left( 161488t^{8} - 62816t^{7} - 29424t^{6} - 11872t^{5} - 2216t^{4} - 232t^{3} + 8t^{2} + 4t + 1 \right) \left( 26991758816262155261485536t^{23} + 28053615146751457474669216t^{22} - 17754976353830257977068832t^{21} - 91708328876020491906991472t^{20} - 92675864227647314813506680t^{19} - 35404333937998390454758096t^{18} - 1647055577817665640991880t^{17} + 3313214388287688445065556t^{16} + 1089624760171841539760100t^{15} + 145413463296356111612964t^{14} + 9902969696014150414744t^{13} - 224475202737292322152t^{12} + 50590111098512596128t^{11} - 7453001231256319338t^{10} - 5150868263644815566t^{9} + 125740170111372015t^{8} + 49551934143591699t^{7} + 554698265342036t^{6} - 45102178272959t^{5} + 612566113216t^{4} - 55573468032t^{3} - 1170766016t^{2} + 1324224t - 66432 \right)D^{8} + \left( 2t + 1 \right) \left( 627673701271758181756815778209792t^{33} + 423437515923668451293743774403584t^{32} - 841741410412373939830756434181632t^{31} - 2287515464026391893365366307209216t^{30} - 1369152535075859712723111678301696t^{29} + 565755576202892533649170209864448t^{28} + 883821636393955724722712777732992t^{27} + 289163052949429827078224745723648t^{26} - 39000747451813340235389968508288t^{25} - 50264180680529350720400942146112t^{24} - 11677081560880686627260699268320t^{23} + 273738591321252989026145700032t^{22} + 782018192576258536714979802432t^{21} + 205804300257190588227929823344t^{20} + 24267292198550822246648148296t^{19} + 1402372449576765463716884320t^{18} + 256219715730745005475298048t^{17} + 123294663185924113055984432t^{16} + 26262113921494518674825596t^{15} + 2333670824946110086161984t^{14} + 111022660078654590723352t^{13} + 7387996283955684290168t^{12} + 2243998469901825324364t^{11} - 186709675628149961928t^{10} - 75784964339937133216t^{9} + 2569198400545638048t^{8} + 651925396319689847t^{7} + 6019462563451770t^{6} - 493538435098037t^{5} + 6057421399936t^{4} - 498070350848t^{3} - 9371150464t^{2} + 9933888t - 398592 \right)D^{7} + \left( 19039435605243331513290078605697024t^{34} + 22754768766110943599247290678226944t^{33} - 17145855595590161282220433328795776t^{32} - 83667004718742114159557583636087808t^{31} - 84512164890717442396991000237362560t^{30} - 16606927263417462589683468913601600t^{29} + 24238112878445574608138083175440608t^{28} + 17796648519733233183304184007866208t^{27} + 3492736990195231408219739944073920t^{26} - 1023185698330364086278004551768816t^{25} - 644846113366184147005860176824448t^{24} - 110077727982163356950464950966240t^{23} + 3057610074828713544890593879872t^{22} + 4502705845321943134113002390528t^{21} + 852037965154258075555280162632t^{20} + 90580081687059788902612903064t^{19} + 8396185425339520836181999640t^{18} - 1946844073662687856510393324t^{17} - 1342907474684479721390009148t^{16} - 294567015889538580080062084t^{15} - 30793716400216598261899808t^{14} - 837106308742960318046844t^{13} + 159202489665013611161160t^{12} + 6102832115144516883228t^{11} + 1488797816115604676592t^{10} + 389350565241242764630t^{9} - 11882755651227684822t^{8} - 2998518394573504029t^{7} - 30139463238815212t^{6} + 1768726280017171t^{5} - 23257489725400t^{4} + 1632784813776t^{3} + 26676147744t^{2} - 18284544t + 863616 \right)D^{6} + \left( 158173772720483061802717576108867584t^{34} + 191761411347477276060496760722583552t^{33} - 132761866792248468468970977268437632t^{32} - 714277856554630198076028638854474240t^{31} - 767212647713405101963874848292449920t^{30} - 227889556100283356745846480007450880t^{29} + 129097854941015340708335000447591776t^{28} + 119308342830518721430015210005286880t^{27} + 28029815640555432037748497421950592t^{26} - 4433562607759019981920704521988480t^{25} - 3728510269063366879424210868174960t^{24} - 785358808643726924955804040990832t^{23} - 60328835609680315511430512311920t^{22} + 3735087449160313888847083200592t^{21} + 568051878478253236375038564312t^{20} - 150579559509813904602931565768t^{19} - 23357506943789521435520282968t^{18} - 408820227352912063271883088t^{17} + 771183529611736539920009476t^{16} + 326749008834897498376985132t^{15} + 59668250892716713449574760t^{14} + 6531063148386523673041536t^{13} + 125303685967532033197424t^{12} - 7205666176850659430260t^{11} - 3048870197054614796072t^{10} - 852729757270203800916t^{9} + 14517473976699020036t^{8} + 5561443015278557649t^{7} + 59874012769680516t^{6} - 2742562551088883t^{5} + 39674115879120t^{4} - 2284996114784t^{3} - 31983119552t^{2} + 12843840t - 797184 \right)D^{5} + \left( 782813717769427745681042078057312256t^{34} + 960198385596901834194706026513876992t^{33} - 630680514213845217622688850746729344t^{32} - 3642646891802676603094680985158421504t^{31} - 4090966184236814126182524089017143424t^{30} - 1494664151283922874922380571797740480t^{29} + 364174886207177365232875985345989024t^{28} + 486506421251269147330649654134287264t^{27} + 132987734896924369905588187142317248t^{26} - 9774840842591107667477096461312400t^{25} - 13380522689883275715254800311797536t^{24} - 3215586218076282606792905350275360t^{23} - 349182801165111999695182832681792t^{22} - 3886301884622100357292322145856t^{21} + 2551722133249895950083955879736t^{20} + 459261518908831927669011005264t^{19} + 180292023872121005696721129144t^{18} + 6236630863167854391641768236t^{17} - 8641923871246687355588870288t^{16} - 1468463698645779854137643056t^{15} - 61851066491000900176003132t^{14} + 4706890136847322562069076t^{13} + 838087943090760730874424t^{12} + 30844376297818569657384t^{11} + 1409415217438330224990t^{10} + 576003996692045841890t^{9} - 9234116405535005569t^{8} - 3809604787948116100t^{7} - 45271917620104890t^{6} + 1456006072145862t^{5} - 22651066535512t^{4} + 1158033583440t^{3} + 14018425312t^{2} - 2752704t + 265728 \right)D^{4} + 2 t \left( 1173122147676916041703488689474101248t^{33} + 1452569178280685549233683228077931520t^{32} - 925880048698365071174240507668081600t^{31} - 5618448400658562038609856289734568448t^{30} - 6517153444235426598716802516112197056t^{29} - 2684201408983905183644850295430072832t^{28} + 236553373502594276400788243835461008t^{27} + 620774398895085214571820002293045520t^{26} + 195581841833318953930444368500103872t^{25} - 1137794055747004774363266992868512t^{24} - 14326183349573359018431616571481576t^{23} - 3810928373733212925962836975720728t^{22} - 444672630444965424443045875397800t^{21} - 3423463117691116298598404032792t^{20} + 3166703932238008177247058752900t^{19} + 337409335988586700212552373568t^{18} + 140991717882325700595919038476t^{17} - 5633083333870802311745356528t^{16} - 7925196029416760158978525798t^{15} - 612247553515630163350111868t^{14} + 55507452409947972708414180t^{13} + 8131984127566092620793244t^{12} + 178002946870661380804488t^{11} - 16177493226217484458572t^{10} - 607324900389737223472t^{9} + 18132774782831919290t^{8} - 602737873720242745t^{7} - 104781575942247050t^{6} - 2169300641926202t^{5} - 22138912789528t^{4} - 92562366448t^{3} - 5236696800t^{2} - 6131136t - 8832 \right)D^{3} + 8 t ^{2} \left( 514884224229341412929459076286482432t^{32} + 642285227663034370650855564854587392t^{31} - 403136889610642033109918739118898048t^{30} - 2529243703795256347272054954315461824t^{29} - 3002830277536792514737979907466826880t^{28} - 1331548950830224071841676953248255648t^{27} + 4468390052342435180568367423018640t^{26} + 241028672859504298233916224903396944t^{25} + 86213539724124621754953450111005840t^{24} + 4143678162106849574732802918705816t^{23} - 4384863655998776325711369873665732t^{22} - 1308749077320627586799136208378188t^{21} - 155114724639549019596529565457996t^{20} + 835848689832180441828438590908t^{19} + 1111666142536802656233859327508t^{18} + 98286763494831820040041732784t^{17} + 56226714578778986517845158044t^{16} - 1761622257666897304481994494t^{15} - 2462738891366836193180092989t^{14} - 116097949609665092138475826t^{13} + 22511605651672892094810330t^{12} + 1689469578041054036920386t^{11} - 25217280906097101257687t^{10} - 4635439181637229129244t^{9} - 43274898935359138273t^{8} + 5261990931275959278t^{7} - 231880053608833183t^{6} - 24798180473710910t^{5} - 427562194290928t^{4} - 3221705325408t^{3} - 61622316288t^{2} - 939158016t - 265728 \right)D^{2} + 16 t ^{3} \left( 238829843333903988158468403608825856t^{31} + 299610048340735730555923403175725568t^{30} - 186757086677336503741919979147986208t^{29} - 1197632255409764191638755159890358080t^{28} - 1445392176575365307639248488098662560t^{27} - 671505939785153272244835080680613504t^{26} - 30624638680138889291461610792653368t^{25} + 102576116738500771600094789204848136t^{24} + 40675958115122372214208071127401616t^{23} + 3569353629266510602390230316859680t^{22} - 1394800884590663992712138332404912t^{21} - 484205253769218128488563254375712t^{20} - 57783186056459224298030608410288t^{19} + 1002005175320724826634878403952t^{18} + 349114504016225952945853525970t^{17} + 29078537070840045550335484680t^{16} + 26159387740998132587905247590t^{15} - 296234034391394130583419312t^{14} - 819941666918203863707362818t^{13} - 20153072560151050246103816t^{12} + 8187345007284518370424724t^{11} + 312750733701567111817934t^{10} - 23706398440122117234669t^{9} - 1192302013765302411342t^{8} + 17968552327926159414t^{7} + 1423055442284481210t^{6} - 107563075731427123t^{5} - 6676254727124746t^{4} - 100757977433728t^{3} - 602544024704t^{2} - 22889998912t - 195509376 \right)D + 192 t ^{3} \left( 7322859848170512120496184079114240t^{31} + 9223229169702147932957867482437120t^{30} - 5734026781675758163158472936497120t^{29} - 37282778873562326057324319746900800t^{28} - 45492581549616153908544938853273696t^{27} - 21755128790642886832621082427507008t^{26} - 1613060222370218404041757478314120t^{25} + 2973720758214773941420494888461336t^{24} + 1270980681184002676979598142449680t^{23} + 145408195845903772307438311537584t^{22} - 29493606304690102725512973048976t^{21} - 12340958950889572715105227904704t^{20} - 1485909361326011590976689650096t^{19} + 38631313731627883208573643872t^{18} + 6351682072786082129900461594t^{17} + 631959844212781288033088460t^{16} + 835844409198689903477525970t^{15} + 4338336976230075476379628t^{14} - 18971851209557648062842414t^{13} - 141304240107182892204848t^{12} + 190965831262992395719560t^{11} + 2204046065297847076106t^{10} - 758380075887610342262t^{9} - 19251183042605368500t^{8} + 900624928767072065t^{7} + 28153102225623664t^{6} - 3088802087326204t^{5} - 131935159254164t^{4} - 1733226859656t^{3} - 10905131664t^{2} - 482465376t - 2690496 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ¹P1 × Fl(1, 2, 6)

Show multiplicities

Sector dimension: 11
Spectral radius: $7.81168862$
Diagonalizable at 1: Yes
Simple spectrum at 1: No

Eigenvalue approximations and Jordan block sizes

eigenvalue	multiplicity	Jordan blocks
$7.811689$	1	1
$-0.7830867 - 5.379882\mathrm{i}$	1	1
$-0.7830867 + 5.379882\mathrm{i}$	1	1
$-4.521563 - 2.43151\mathrm{i}$	1	1
$-4.521563 + 2.43151\mathrm{i}$	1	1
$-1.244163 - 4.369026\mathrm{i}$	1	1
$-1.244163 + 4.369026\mathrm{i}$	1	1
$-2$	2	1, 1
$2$	1	1
$1.285937$	1	1

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right)^{2} \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{8} + 4 \lambda^{7} + 8 \lambda^{6} - 232 \lambda^{5} - 2216 \lambda^{4} - 11872 \lambda^{3} - 29424 \lambda^{2} - 62816 \lambda + 161488\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{8} + 4 \lambda^{7} + 8 \lambda^{6} - 232 \lambda^{5} - 2216 \lambda^{4} - 11872 \lambda^{3} - 29424 \lambda^{2} - 62816 \lambda + 161488\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 6 & 6 & 8 & 8 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & -4 & 0 & 6 & 6 & 8 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 2 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$

Fano fourfolds of type A beta