Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-368-78-b

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ1P1 × Fl(1, 2, 6)
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2 (marked)node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6ω1ω2ω3ω4ω5ω6
Bundle
E^(w6) + E^(2w3) + E^(w1 + w3)
Bundle
wedge^3 Q_2,1^v ot U_2,2^v ot U_2,3^v + O_2(0,2) + O_1(1) box O_2(0,1)
ZL62 label
152.58h
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(2;2,5) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(1;0,4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 78
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 368
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 10

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 368
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 188
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x2 - 10 0 x0 - 10 x2
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 104 0 0 x1 104
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = x1 - x2 + 125 0 0 x1 - x2 + 47 0 78
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 73t + 220t^{2} + 73t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(81)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(124)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( t - 1 \right) \left( 2t - 1 \right) \left( 2t + 1 \right) \left( 3t + 1 \right) \left( 492992t^{8} + 100608t^{7} - 35408t^{6} - 19872t^{5} - 3932t^{4} - 304t^{3} + 33t^{2} + 10t + 1 \right) \left( 14201150215470701819017035776t^{28} + 32036282237145008505082085376t^{27} + 43907059629771073670785138688t^{26} + 32087757540175131799860674560t^{25} + 13268456615668781857901150208t^{24} + 1360367796997296342761144320t^{23} - 2142906826631476016295813120t^{22} - 1692469323363579488835985408t^{21} - 723548696474133533790894080t^{20} - 217211108948446517473906688t^{19} - 49752651127095523588830720t^{18} - 9375455592085467256937984t^{17} - 1570953947623959465426048t^{16} - 236503944710824586748672t^{15} - 27010680840836067382496t^{14} - 625406967433853330720t^{13} + 462753021969909479096t^{12} + 88490820958940971912t^{11} + 8738941176727086700t^{10} + 595203859673936476t^{9} + 24456963415758482t^{8} + 736395613409046t^{7} + 20873763921217t^{6} + 3256238282673t^{5} - 115838017806t^{4} - 6284384124t^{3} - 408124917t^{2} + 5916681t + 380880 \right)D^{8} + \left( 3024455089114943523861485688553734144t^{40} + 5846469026808666619844374356975157248t^{39} + 5557360039395060305279403881964503040t^{38} - 107096010269107895335976073089253376t^{37} - 4723089485640151677351659896693587968t^{36} - 4217433186802241341486060723763150848t^{35} - 1489758813571049844482276370788909056t^{34} + 268329544104006274744108041906421760t^{33} + 575708849022638906658209074297962496t^{32} + 298673176566371785365633223471136768t^{31} + 68878596890626329131327632869163008t^{30} - 6740102564632614362320310460481536t^{29} - 11748830127748461603986084681744384t^{28} - 5017916818779934877647583725879296t^{27} - 1376445848031480468850268575465472t^{26} - 285817021243815652781899306811392t^{25} - 48331306671266226192632538710016t^{24} - 5787858897939545321332866623488t^{23} + 290441231097885859605288782848t^{22} + 462446171412503278869990811136t^{21} + 156166108088429727106564365312t^{20} + 32249508814363021941722999296t^{19} + 4678015933736076718213634368t^{18} + 542605391209675658839436448t^{17} + 60466741527095309277468448t^{16} + 5979065641587069985378856t^{15} + 94307743642141764754376t^{14} - 122539576783116218039692t^{13} - 26897280060236554495296t^{12} - 3137049423713323507738t^{11} - 243431767208665036622t^{10} - 13296221017431758901t^{9} - 467576181751171672t^{8} - 12379050723749076t^{7} - 527884291955552t^{6} - 33893349841350t^{5} + 1683255474864t^{4} + 88331142558t^{3} + 3938330574t^{2} - 62391249t - 3047040 \right)D^{7} + \left( 45870902184909976778565866276398301184t^{40} + 94096150608783179663846973026101886976t^{39} + 105566170410116315577368591011179134976t^{38} + 30964785688335665945476465389874446336t^{37} - 42057982466615268413205626162614632448t^{36} - 51810078239690798283254604512700137472t^{35} - 25539444155187879509471207800812077056t^{34} - 2905899330185502181661742300617768960t^{33} + 4365127384797269926572527637077426176t^{32} + 3242412974211523013676594146084126720t^{31} + 1127192631294717692212205437481123840t^{30} + 171808180346318231160368130308702208t^{29} - 33125633670187957909980616372781056t^{28} - 29237564423974601225325075390922752t^{27} - 10340698313307286993478653921853440t^{26} - 2717233226416284746991687735328768t^{25} - 641723492947658287114751219228672t^{24} - 144553163256702913539217861132288t^{23} - 29051502859126988542120135627776t^{22} - 4886500617985452845911887514624t^{21} - 760624980529349820325009649152t^{20} - 137774518970841819640258720256t^{19} - 27546491489355060404347766016t^{18} - 4847409028520498335131260448t^{17} - 693268506559480298557965008t^{16} - 77523290494359432777372120t^{15} - 5065217603383240092281424t^{14} + 285674497233656788866332t^{13} + 120945060410706759401068t^{12} + 15151107815500862052922t^{11} + 1154510692712238670648t^{10} + 62347600099929554955t^{9} + 2233385856199166158t^{8} + 68074666372804724t^{7} + 2876080449883362t^{6} + 245642879135928t^{5} - 3732380922642t^{4} - 229526294166t^{3} - 14163821082t^{2} + 144898137t + 7998480 \right)D^{6} + \left( 381081341228482884006547196757770502144t^{40} + 819505117556718506478829860507271299072t^{39} + 1018067394721570264337805999931102593024t^{38} + 475625434825493650953893291317381824512t^{37} - 141316510960333602893005090873120129024t^{36} - 325089261041645289223753438941654548480t^{35} - 202554353646326726540633691480116953088t^{34} - 50444992822080955193430493705982181376t^{33} + 14885607755773122457462610975839485952t^{32} + 18828137622274228164879567997970677760t^{31} + 8518484034342376129081094634596728832t^{30} + 2269079903730819640901263341456195584t^{29} + 322043009003848028104618882794127360t^{28} - 11562689424972897628056723501481984t^{27} - 20343734954909864241536195764191232t^{26} - 7207480914628124891651660915949568t^{25} - 1984286864909959889436446521016320t^{24} - 450554210739729087264982658678784t^{23} - 65439072412223745996041243959296t^{22} - 97401214406706168793315991552t^{21} + 2460935147791205801983192229632t^{20} + 638102607401012894613332923648t^{19} + 101607373750393896636650881216t^{18} + 13343470786155611049240957088t^{17} + 1671237738252733766027634784t^{16} + 195263057538897980451271176t^{15} + 16619344461346737118940152t^{14} + 47022385355315031486716t^{13} - 226798370602916318447424t^{12} - 31730216017769065556542t^{11} - 2358314950559893497390t^{10} - 120845678315399861273t^{9} - 4095685337101967552t^{8} - 149500437810860076t^{7} - 6051449955792370t^{6} - 630611224493766t^{5} - 1664109333810t^{4} + 179740678092t^{3} + 20876259150t^{2} - 156958371t - 8379360 \right)D^{5} + \left( 1885999785987260199087958117287299383296t^{40} + 4210669561317710133081177782923900747776t^{39} + 5592902254290347171793503364813907034112t^{38} + 3212669136071389464573698877525218820096t^{37} + 127864223581843148449691871665991974912t^{36} - 1161102980121826585753366399910150144000t^{35} - 917420139921044561855785443179376934912t^{34} - 320015490899106500194063758938955841536t^{33} + 638176241420431049589949059779002368t^{32} + 59395853607127839491256840369825906688t^{31} + 34136971346891128445811459851185291264t^{30} + 11438340980143650154657318140948250624t^{29} + 2644762915270054646861972554725785600t^{28} + 458415087338663971505214739825950720t^{27} + 63716358070862322248791975074906112t^{26} + 5170185908896046292997284398956544t^{25} - 1461935669807685434396914627899392t^{24} - 888368613984777879226690845685760t^{23} - 209136224951535888459438947286528t^{22} - 20917753123900399596179913704960t^{21} + 735719161149080012629783446912t^{20} + 428158030830131690948928925440t^{19} + 48098665932452203818254138336t^{18} + 1566826500947422867504034816t^{17} - 423372220378106383952348456t^{16} - 95832799139953400262605040t^{15} - 8990506492431107636973596t^{14} + 314228227317204079875512t^{13} + 204498161559226248032242t^{12} + 24538907102088310970032t^{11} + 1545663023792238793843t^{10} + 73170505046699424620t^{9} + 2651455161089445160t^{8} + 149392244826684136t^{7} + 5042866668032222t^{6} + 448073285783370t^{5} + 4845584268378t^{4} + 2704905744t^{3} - 11782781577t^{2} + 64162962t + 3047040 \right)D^{4} + 2 t \left( 2826353280777914723048558375953464557568t^{39} + 6499150557788030360975051480698303021056t^{38} + 9035148460145078787778800179751828848640t^{37} + 5821560861279540728484016846338279866368t^{36} + 1153102343547036761521210544222176804864t^{35} - 1214912208767646504896034211400372977664t^{34} - 1265469604983445533740896309079193944064t^{33} - 556086291784392744428827051602839863296t^{32} - 86852041957233639707338658455675207680t^{31} + 43209272138063854345392991391605325824t^{30} + 36289905972075994667761214626077081600t^{29} + 14277734824900663092750322671335374848t^{28} + 3890336121821277069947380613300158464t^{27} + 856859899790022857360557094282067968t^{26} + 168374270806245321752748607078465536t^{25} + 27786864537206854021939232159236096t^{24} + 2319050865292126145938512210657280t^{23} - 430822383425535650053112643230720t^{22} - 158836168152553793818102371458560t^{21} - 11303252301225268591043779447552t^{20} + 3057393277785138066735873464960t^{19} + 909493710312661480551491975552t^{18} + 130407750200642822895723339136t^{17} + 13009009470524947614973476576t^{16} + 985267738182471054992407360t^{15} + 67886706925955572375411928t^{14} + 5241386511876338261496288t^{13} + 353511636141354520726696t^{12} + 9263044138453761869808t^{11} - 1037471094613174066328t^{10} - 117365447577778495278t^{9} - 5637834714482080101t^{8} - 212563566587138228t^{7} - 2737656567815838t^{6} - 467720075269665t^{5} - 43162840112916t^{4} - 946195200549t^{3} - 1198287873t^{2} + 108213336t - 99360 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 2480977312129261033420931496352231194624t^{38} + 5836882270097622160183898246238212980736t^{37} + 8374705657783934799105912920781856178176t^{36} + 5788315491499960160113652196180320321536t^{35} + 1648010223258237423681476056874737467392t^{34} - 725682415245770918542918953767289225216t^{33} - 1045807696599010374081725150294014164992t^{32} - 546103670417196323179360686263236558848t^{31} - 141125571537653975671474182053307613184t^{30} + 2389168250450043413503221839011250176t^{29} + 18801303116783992717369819846461358080t^{28} + 9083002939959415579998911936575832064t^{27} + 2772710739225326225516104767273369600t^{26} + 681859686791847989043005276629434368t^{25} + 149872455794849057804465935062237184t^{24} + 27828823818491172956244226167119872t^{23} + 3168806216804026170063983805714432t^{22} - 116554748781043105755731255650304t^{21} - 100582090233144348695380231350784t^{20} - 9450330063094167232515763408640t^{19} + 1423583812441177626743802317056t^{18} + 496272484082548749978714878144t^{17} + 73501798761681551256224945248t^{16} + 7221919705305797239388979136t^{15} + 511840685191673726990308880t^{14} + 31253693111577039565766088t^{13} + 1991894588136346804336756t^{12} + 117215726093137538960560t^{11} + 1665247377758909304000t^{10} - 630471625828572888878t^{9} - 65287067819824866125t^{8} - 3986838058969989509t^{7} - 149470598399697677t^{6} - 1777120293958377t^{5} - 344240305215264t^{4} - 21062012713539t^{3} - 320151561255t^{2} + 1554237558t + 28946880 \right)D^{2} + 16 t ^{2} \left( 575402580704118005414647652247347920896t^{38} + 1377114903993383569349330181835664130048t^{37} + 2019352985849884851654626522027677188096t^{36} + 1459292226080494859338514677004362579968t^{35} + 489584109769482830969476379106296725504t^{34} - 112446596414742309231835575446505783296t^{33} - 233695241171313299551287960645283086336t^{32} - 138300615967919067722405085754699546624t^{31} - 45017739554001487364411626290976391168t^{30} - 6264531963411934771407846940333178880t^{29} + 1727305657642158025037272136949760000t^{28} + 1335934718695578669005555524559405056t^{27} + 466924810936385987435497997158727680t^{26} + 126252951473428535011167493792800768t^{25} + 30198530774295210338523221590781952t^{24} + 6013207767085843861035628590286848t^{23} + 738127759659503524388196836142080t^{22} - 14606883401507920417255267717120t^{21} - 21607359014811561600314994203648t^{20} - 2705090958728477104554835550080t^{19} + 71780488884937082181046148416t^{18} + 63043610011800594135139106496t^{17} + 10307688319594896796242723728t^{16} + 1014157601455379185075847216t^{15} + 67368344073459352224791792t^{14} + 3315218272893694625926800t^{13} + 118239663294432303721056t^{12} + 5897307707696882974908t^{11} + 824030040788651232t^{10} - 87323993498842738470t^{9} - 10024195527204839029t^{8} - 757925616672130573t^{7} - 24437726914962059t^{6} - 280606000015473t^{5} - 61174226708940t^{4} - 2834429357193t^{3} - 28038491523t^{2} + 353707110t + 1523520 \right)D + 384 t ^{3} \left( 8821327343251918611262666591615057920t^{37} + 21367306545839158494256440391615119360t^{36} + 31786908296915170460308165657488261120t^{35} + 23621081864339518800337872444205301760t^{34} + 8635034155666628320549630795480825856t^{33} - 1152360339874474500428805230008729600t^{32} - 3510158124042803211310545239742087168t^{31} - 2260045570297146667106581817810878464t^{30} - 830874858148020122749094967121018880t^{29} - 174191656977564796981438111453544448t^{28} - 4321039495523013440589110194061312t^{27} + 11096245045463353319272079031050240t^{26} + 4866145597265843170523295420194816t^{25} + 1475292918092314495555780378419200t^{24} + 385606122910251407775680051252224t^{23} + 81689086179054179620511642281472t^{22} + 10302856545918061118259180856320t^{21} - 269017749806451849674751999232t^{20} - 339995217849093360373425070272t^{19} - 49975575425342572646910722208t^{18} - 1779521349538962506888526112t^{17} + 436015361532507330069352368t^{16} + 92257041729804254402651204t^{15} + 9425541402915203528166400t^{14} + 592018103369181630906688t^{13} + 18038432254242888039028t^{12} - 1013282984854350924889t^{11} - 68095915062313678031t^{10} - 1616338707131979317t^{9} - 780715130175618532t^{8} - 111094992415975698t^{7} - 9846507636337260t^{6} - 264601441345062t^{5} - 3428834619798t^{4} - 734644482003t^{3} - 27473060997t^{2} - 144766089t + 3989304 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ1P1 × Fl(1, 2, 6)

|λ| = 7.463406 λ ≈ 7.463406; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.657895 - 5.726343i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.657895 + 5.726343i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.801793 - 4.090276i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3.801793 + 4.090276i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.552769 - 1.593886i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -4.552769 + 1.593886i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -3; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2.561509; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 2; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$7.46340587$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$7.463406$11
$-1.657895 - 5.726343\mathrm{i}$11
$-1.657895 + 5.726343\mathrm{i}$11
$-3.801793 - 4.090276\mathrm{i}$11
$-3.801793 + 4.090276\mathrm{i}$11
$-4.552769 - 1.593886\mathrm{i}$11
$-4.552769 + 1.593886\mathrm{i}$11
$-3$11
$2.561509$11
$-2$11
$2$11
$1$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{8} + 10 \lambda^{7} + 33 \lambda^{6} - 304 \lambda^{5} - 3932 \lambda^{4} - 19872 \lambda^{3} - 35408 \lambda^{2} + 100608 \lambda + 492992\right)\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\left(\lambda + 2\right) \left(\lambda + 3\right) \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda - 2\right) \left(\lambda^{8} + 10 \lambda^{7} + 33 \lambda^{6} - 304 \lambda^{5} - 3932 \lambda^{4} - 19872 \lambda^{3} - 35408 \lambda^{2} + 100608 \lambda + 492992\right)\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 8 & 0 & 8 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 6 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & -12 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -2 & 0 & -4 & 2 & 0 & 0 & 12 & 6 & 8 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & -2 & 2 & 4 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 4 & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$