Fano fourfolds of type A beta

zero loci on products of type A Grassmannians and flag varieties

Family 3-416-87-a

·

No geometric description is recorded for this family (yet).

Defining data
Ambient
ℙ2P2 × ℙ4P4 × ℙ5P5
node 1: fundamental weight ω_1 (marked)node 2: fundamental weight ω_2node 3: fundamental weight ω_3 (marked)node 4: fundamental weight ω_4node 5: fundamental weight ω_5node 6: fundamental weight ω_6node 7: fundamental weight ω_7 (marked)node 8: fundamental weight ω_8node 9: fundamental weight ω_9node 10: fundamental weight ω_10node 11: fundamental weight ω_11ω1ω2ω3ω4ω5ω6ω7ω8ω9ω10ω11
Bundle
E^(w6 + w7) + E^(w1 + w3) + E^(w2 + w3)
Bundle
Q_2 box O_3(1) + O_1(1) box O_2(1) + Q_1 box O_2(1)
ZL62 label
204050.wewAw1
Line bundles on the ambient $Y$
$$\begin{equation} \notag \begin{aligned} \omega_Y^\vee &\cong \mathcal{O}(3;5;6) \\ \det\mathcal{E} &\cong \mathcal{O}(2;4;4) \end{aligned} \end{equation}$$
Numerical invariants
Fano index = 1
$\mathrm{h}^0(X, \omega_X^\vee)$ = 87
$\operatorname{vol}(X) = \mathrm{c}_1^4$ = 416
$\chi(X, \mathrm{T}_X)$ = 13

$\omega_X^\vee \cong \mathcal{O}_X(1)$

Chern numbers of $\mathrm{T}_X$
$\mathrm{c}_1^4$ = 416
$\mathrm{c}_1^2\mathrm{c}_2$ = 200
$\mathrm{c}_2^2$ = 96
$\mathrm{c}_1\mathrm{c}_3$ = 60
$\mathrm{c}_4$ = 12
Hodge diamond
1
00
0 3 0
0 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 0
0 3 0
00
1
Polyvector parallelogram & Hochschild cohomology
$\mathrm{HH}^{ 0 }$ = 1 1
$\mathrm{HH}^{ 1 }$ = x0 0 x0
$\mathrm{HH}^{ 2 }$ = x0 + x1 - 13 0 x0 - 13 x1
$\mathrm{HH}^{ 3 }$ = x1 + 63 0 0 x1 - 62 125
$\mathrm{HH}^{ 4 }$ = 87 0 0 0 0 87
$\mathrm{HH}^{ 5 }$ = 0 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 6 }$ = 0 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 7 }$ = 0 0 0
$\mathrm{HH}^{ 8 }$ = 0 0

Hilbert series

$\operatorname{Hilb}_X(t)$ $=$
$\displaystyle\frac{ 1 + 82t + 250t^{2} + 82t^{3} + t^{4} }{(1-t)^{ 5 }}$
$=$

Regularized quantum period

Quantum period in the literature

cataloguematching entries
Kalashnikov (2019) CKK(55)
Coates et al. (2020) No match
Coates–Kasprzyk–Prince (2015) CKP(92)

Quantum differential equation

With $D=t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, the regularized period satisfies $L_X\widehat{\mathrm{G}}_X=0$.

$$\begin{equation} L_X=\left( 3207025t^{12} + 1369924t^{11} - 1339377t^{10} - 283297t^{9} + 195706t^{8} - 19814t^{7} - 23850t^{6} - 10084t^{5} - 2265t^{4} - 145t^{3} + 14t^{2} + 7t + 1 \right) \left( 11531600163057852898440947519955t^{30} + 24846940186449854833261994672772t^{29} + 30308873089509984910271684862730t^{28} + 22076895572902916786331018498653t^{27} + 11111594545744385207655597475863t^{26} + 5558763470790295445263968034506t^{25} + 3329585310072448826280959799923t^{24} + 1916634357359814401784560253172t^{23} + 860629555360237159199003320313t^{22} + 290561770426612714778330884248t^{21} + 67030349455797566792512863567t^{20} + 9466951561162264165134649915t^{19} + 1682691979839670125262575435t^{18} + 521168452021753529299534495t^{17} + 52390289155923229293107816t^{16} - 9525506295504269338881464t^{15} - 873620066401425386395903t^{14} + 244800886667653940565555t^{13} + 41522766237958799415302t^{12} + 4489910675751458236983t^{11} + 230317696202141469320t^{10} + 18365249041287981952t^{9} - 2032474707992118510t^{8} + 13454741450399831t^{7} - 2493678665609027t^{6} - 100100525864056t^{5} - 12106329826980t^{4} - 88344918806t^{3} + 11066014766t^{2} + 103248384t - 958464 \right)D^{8} + \left( 1331356680465501984898412869926612619500t^{42} + 3422258533656931772997070290931330064700t^{41} + 4378157090924802406274160270880817129828t^{40} + 3199123245709879551372153015126633870785t^{39} + 1261316776039379310622537574177432574180t^{38} + 340205324872751112462778365009531977767t^{37} + 246549276770511518334271849717639704065t^{36} + 203456885744236686716886471031381283262t^{35} + 79561690573969959966753073461779038730t^{34} + 1100847638941853244053935841488067000t^{33} - 14179379179777250218848980235404713438t^{32} - 7675492201911586921983997125660441210t^{31} - 1795164426180466841503177488334957099t^{30} - 63953217926817523225742112429122804t^{29} - 53689910496413113432883455998101156t^{28} - 73622234629657437394880354310580822t^{27} - 19351593476978551919607012532673269t^{26} - 1194018407014135850065398641301117t^{25} - 648138952371730654212611888698674t^{24} - 485937901724051509485711513041525t^{23} - 129864643734986504199726514186760t^{22} - 18380340131492418156012218658486t^{21} - 1873701385442764542371591894687t^{20} - 441233788212993042623295502874t^{19} - 151805789242551757503534211639t^{18} - 26717345184417019839431508489t^{17} - 1305168937692557339866895748t^{16} + 150013867699345773940647509t^{15} - 14851548173828055384380718t^{14} - 8573128396676957752546071t^{13} - 1068891358121686378458801t^{12} - 91859282611780540111156t^{11} - 4700331955573810867587t^{10} - 154239677034616115612t^{9} + 28292096242148564357t^{8} - 57059382358380915t^{7} + 32779682078110946t^{6} + 1416583196257008t^{5} + 123412633796422t^{4} + 649075176770t^{3} - 89331367792t^{2} - 722738688t + 5750784 \right)D^{7} + \left( 20192242987060113437625928527220291395750t^{42} + 51710474474363579805861098490309904806960t^{41} + 68579819663099458456408292692747783684498t^{40} + 53474852053279769232113587760052921938477t^{39} + 25123405986347317916889304931499761892908t^{38} + 9789412358015771500665577547924579049097t^{37} + 6216180984357028428924495221595527761853t^{36} + 4351097690227167458969346083653318911694t^{35} + 1948918942753374934913980748917085312428t^{34} + 392413028941738888592168418702069837740t^{33} - 93919377785931001313318744198869708460t^{32} - 98867443193411439818031511097318286738t^{31} - 27061820441612220797467618816332484239t^{30} + 616220754265322753324410036686399490t^{29} + 1229851171148240214211382464703932968t^{28} - 42478429509893460286851524646819202t^{27} + 19262921887844241624612383653150905t^{26} + 49594797302496284788283542035982797t^{25} + 11949807514117913749824621422504602t^{24} + 1481169933824642971863321593737583t^{23} + 637607317754403377707819225934878t^{22} + 219901454940297122721148019455988t^{21} + 36426167161527361296312635483185t^{20} + 3409648440964206743691051601794t^{19} + 459624960786922869676588213287t^{18} + 91446615746399584214155969133t^{17} + 105132900531032149623902352t^{16} - 2218395040218882356918475323t^{15} - 64687949848688382443966176t^{14} + 41834042819945967940283475t^{13} + 5699123697531872954696805t^{12} + 481333463669232049728458t^{11} + 23825946732334926425377t^{10} + 1309302650008733292176t^{9} - 137769047278265499653t^{8} + 565788543553292583t^{7} - 118500038242688362t^{6} - 4227073206108800t^{5} - 440977713276630t^{4} - 2955232768138t^{3} + 222258452880t^{2} + 1770750336t - 12460032 \right)D^{6} + \left( 167750941738653250097200021610753190057000t^{42} + 428245026871247880651097169846350770217080t^{41} + 581978867892706773692818734459519554950988t^{40} + 472134469297090921458903136792817291550187t^{39} + 244148706053014339492039161460196801020470t^{38} + 111127839512986892257904319076882362600637t^{37} + 69846202630097273165624129844717920488269t^{36} + 46609687305911252295172221832152980483584t^{35} + 22438320480911627855996688050435045878602t^{34} + 6519365334411768972352893996736731840796t^{33} + 413048459633649908711010097913090336928t^{32} - 575988446165456830766604697426949088402t^{31} - 224370998944118530389502307723184498411t^{30} - 14325458211156531323642127613741389412t^{29} + 3042017076420004291222968312492624312t^{28} - 2055627274908439334384085144658150954t^{27} - 534834240485242397008561087630067495t^{26} + 116848419326957465345221666579308099t^{25} + 20486452058701375887032134468126120t^{24} - 8276418467970147910799449465217917t^{23} - 2171850481831037692446155679209788t^{22} - 322451442395798844064561250679610t^{21} - 65359649631537865187995418588447t^{20} - 9844928411497598959045895423220t^{19} - 1494502609225254445660959407221t^{18} - 263587859079265107746743495173t^{17} - 4932877597865032660677026972t^{16} + 7600725183394120893650859769t^{15} + 502522689190008370499866260t^{14} - 75284449212900958682938723t^{13} - 11598404242444065490194283t^{12} - 1024275363261781188326974t^{11} - 42910352806026417236801t^{10} - 3380595954475099808302t^{9} + 308345408143373683723t^{8} + 96258247361671961t^{7} + 136991751274967128t^{6} + 3977921335803140t^{5} + 692976372748762t^{4} + 4527902115154t^{3} - 226102527836t^{2} - 1759346688t + 11501568 \right)D^{5} + \left( 830211836660279279416235292138403519309875t^{42} + 2113883844319500000574790116527090150556080t^{41} + 2920685131489253606617562341723568314511107t^{40} + 2427900125090860477660907437741682737651409t^{39} + 1327469655555889472726619302251406210581489t^{38} + 656804778161285057871355524853054015685298t^{37} + 417293979971471650471717054027140487389274t^{36} + 276027443826070746528467044355182735759465t^{35} + 139631052455318249226667497391638373454531t^{34} + 48018022606606063165119457097900160669622t^{33} + 8465974001209005563030770497815635922150t^{32} - 1093329046988656210382928358886197805368t^{31} - 833803777506892460531210961819107761876t^{30} - 74200217999362040187314633157100375268t^{29} + 3634577599399733204116677024627320224t^{28} - 12091433914135643083984295278096396867t^{27} - 3201114853604211221125642951822488507t^{26} + 410522266411072355157894647655228020t^{25} + 158994920487384177657104770075038783t^{24} + 938954560042874705478860830741379t^{23} - 747426223143968898046446363310756t^{22} + 333091280665778921599190132205004t^{21} + 57753813533092879574395593424805t^{20} + 6063650849259920799670312317337t^{19} + 1453265916930006917990770435749t^{18} + 449726324487000546635307403799t^{17} + 20344668956791426023277591371t^{16} - 6451928715649496941527112084t^{15} - 471881182960967725983052921t^{14} + 71765952314036412175988100t^{13} + 9163225192943776984358492t^{12} + 825944475576995084674266t^{11} + 31136107698023290475291t^{10} + 3495023491635654540733t^{9} - 220793884778649445820t^{8} - 1827754222166935387t^{7} - 65067931491539715t^{6} - 534172354718090t^{5} - 431427867023440t^{4} - 2595286352738t^{3} + 78070061794t^{2} + 614701440t - 3833856 \right)D^{4} + 2 t \left( 1244152817895011604887566826946419492922750t^{41} + 3161106245083333707534091101737867721273150t^{40} + 4416820203710975206666613096305825982441416t^{39} + 3726763837242675943456225598506861485126710t^{38} + 2106010032140791767663625751120441646604435t^{37} + 1094774742642355562208180204877944512098274t^{36} + 704890547178015937500892552643455696510493t^{35} + 467923943432058406487217513218412956364041t^{34} + 245073070951716840068503786716455963098190t^{33} + 92517482175215167284580535966244438465490t^{32} + 21550420619316757116552522366532579306403t^{31} + 1079282310336392276073140828813317877786t^{30} - 672025363000757388767669918990860745633t^{29} - 41180559045692881053631395985387973700t^{28} + 8176412975466787458690240415290848026t^{27} - 17556613735235604454644403156443481400t^{26} - 4863586238964547492771429264638223750t^{25} + 442862948063316611134426783822054837t^{24} + 210604452430197492515619897630339233t^{23} - 3125391522824142657922104621877783t^{22} - 6017169537233352265035707707202330t^{21} - 988044342758507790684741042663272t^{20} - 92369442789424082021942725483897t^{19} + 2295862338113636581943182789747t^{18} + 1992818499477370761230379375574t^{17} + 335685044244140574636531896331t^{16} + 18404723356394157144298439144t^{15} + 2007551111781599640323138473t^{14} + 112170791865822261021115453t^{13} + 2452203946302854252947853t^{12} - 516672088096809714697482t^{11} + 17190828349842685605297t^{10} + 2330269774445086784402t^{9} + 175704850622448883513t^{8} + 9033086554274372460t^{7} - 187544489398602639t^{6} - 14066171499424733t^{5} - 123841345480690t^{4} + 5639135433136t^{3} + 50589803286t^{2} + 71097366t + 47232 \right)D^{3} + 4 t ^{2} \left( 1092119281411853864334306401716744368512625t^{40} + 2770111650319990753795685026877849249985060t^{39} + 3899826928605292854960249532582573240342653t^{38} + 3320241547110572910589753080042538387892927t^{37} + 1913258029460949701080306415160550630133698t^{36} + 1025534279734220415008955060350459299551642t^{35} + 668135724151563982138430435849094380560811t^{34} + 446579541857639833983777676237958270466178t^{33} + 239689841964961728557901537090447433937239t^{32} + 95735599496579632590553866312252801408442t^{31} + 25383322940260217684031409170749840573392t^{30} + 3049133819331082745815108876143206982906t^{29} - 80554701363902259390862383730437001302t^{28} + 51920871635598678120109051631820443569t^{27} + 19193528110362119670397572470259054415t^{26} - 13245422168784935567766094362903166731t^{25} - 3991982145688129863856035891925895808t^{24} + 340607369331841805295201036801339556t^{23} + 179249893160912559981100186511700217t^{22} + 1111621556150061585038421265936799t^{21} - 5098818123006539027147459196077372t^{20} - 923618833621296920381796890165055t^{19} - 73482035996776597748538000411938t^{18} + 1196183819613358027565277400693t^{17} + 1329527015787726163148514215611t^{16} + 238335497063111772024376924123t^{15} + 10770930827726028033050397958t^{14} + 1062996952795637131320016331t^{13} + 42299318924822240600044322t^{12} - 1677407666567999515410857t^{11} - 287086492032305362233078t^{10} + 5842122213672840488537t^{9} + 787227473761003718089t^{8} + 106000523674866363942t^{7} + 3371299899571573122t^{6} - 129676389819599002t^{5} - 4928817364598650t^{4} + 2449847327708t^{3} + 2477889310688t^{2} + 17717231616t + 7667712 \right)D^{2} + 8 t ^{3} \left( 506581216917123505253846097007076101719750t^{39} + 1283249402122710090638616319300498574961690t^{38} + 1815675332926690100750948333327684270967084t^{37} + 1554061001003007998797530348496677743707276t^{36} + 905775761794150794572372344550383984375820t^{35} + 495010007312819733482712838964409675217776t^{34} + 325529727237530101720420625810975829317010t^{33} + 219077629245355702607807616829222926155690t^{32} + 119609344734840648064680358762170754359120t^{31} + 49499872026747805838566771990808094662474t^{30} + 14082321920575231284005581323025607966259t^{29} + 2185742625639398040644874497839060261912t^{28} + 161118778669375834799743420871140092625t^{27} + 62626752089960006346966920517378958533t^{26} + 14925404527712141178375616910395917945t^{25} - 5205462290864669946195356229757726506t^{24} - 1751414314547351318869396878689462273t^{23} + 143102490223270374466557913269064481t^{22} + 81656242339970876959969850802822269t^{21} + 2563370073059650852557547170460441t^{20} - 1930207531181370271621238667800902t^{19} - 380067583274499250447898390478659t^{18} - 28955817157640524987859923516224t^{17} - 429655459685078104786594916925t^{16} + 406048982460243623343279159180t^{15} + 92278783668402155388270909057t^{14} + 3511568680676070134392750601t^{13} + 282651534628220946080858486t^{12} + 4778383048928558979570986t^{11} - 1328561440155414562493652t^{10} - 74014776501796754068264t^{9} - 1471006237044342296948t^{8} + 232081858706359539608t^{7} + 36813813419423778764t^{6} + 616102793218673118t^{5} - 45114757460547364t^{4} - 779650701684844t^{3} + 11650917674568t^{2} + 604662260188t + 3174902016 \right)D + 96 t ^{3} \left( 15532494605430856490481483482477147227500t^{39} + 39309776982346386779437968641907847018350t^{38} + 55799079538252104568463427903155696674110t^{37} + 47905545143177492985889902150382640573290t^{36} + 28104067713697954523971208663794020742148t^{35} + 15545486995065735823284961430224115623734t^{34} + 10292252980253237205583355157520032222380t^{33} + 6964398230242099832351497800663158856720t^{32} + 3845825236706627346629935220712191542722t^{31} + 1627124180898533828238833954130622203966t^{30} + 481839473012511635548426791740116082223t^{29} + 83962743509030755502679671685631192090t^{28} + 9428337894440484027252853697486964309t^{27} + 2836632869996301274135283569858828423t^{26} + 605953151206843238344286735815049156t^{25} - 139298524104695622748904578343834448t^{24} - 52181586777546371261407538095995386t^{23} + 3990958373111189650941345391122432t^{22} + 2478799163784402681487117725748117t^{21} + 135157047839439208503412336081691t^{20} - 44690708889927100550106412431206t^{19} - 9852546742209846731195144695861t^{18} - 765779912738555719115936779683t^{17} - 40865649152836436950476111826t^{16} + 7705350726365168559175448028t^{15} + 2473932226879965982296743870t^{14} + 82463403330455488936691744t^{13} + 4921017824593161142442288t^{12} - 103131057215442362843456t^{11} - 45063418878246734295172t^{10} - 1366788538123179112462t^{9} - 132751502447162189376t^{8} + 7038477573624386732t^{7} + 905304216276215900t^{6} + 6201568073574360t^{5} - 1066886289970040t^{4} - 3214565597880t^{3} + 376185251328t^{2} + 10855122624t + 38817792 \right) \notag \end{equation}$$

Quantum spectrum

Ambient: ℙ2P2 × ℙ4P4 × ℙ5P5

|λ| = 6.898938 λ ≈ 6.898938; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.002357 - 5.262739i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.002357 + 5.262739i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.250298 - 0.7293864i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -5.250298 + 0.7293864i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.553623 - 4.540662i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.553623 + 4.540662i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.639948 - 1.562152i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.639948 + 1.562152i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ 1.760973; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.663626 - 0.05482659i; multiplicity 1; Jordan blocks 1 λ ≈ -1.663626 + 0.05482659i; multiplicity 1; Jordan blocks 1
Sector dimension
12
Spectral radius
$6.89893803$
Diagonalizable at 1
Yes
Simple spectrum at 1
Yes
Eigenvalue approximations and Jordan block sizes
eigenvaluemultiplicityJordan blocks
$6.898938$11
$-1.002357 - 5.262739\mathrm{i}$11
$-1.002357 + 5.262739\mathrm{i}$11
$-5.250298 - 0.7293864\mathrm{i}$11
$-5.250298 + 0.7293864\mathrm{i}$11
$-1.553623 - 4.540662\mathrm{i}$11
$-1.553623 + 4.540662\mathrm{i}$11
$1.639948 - 1.562152\mathrm{i}$11
$1.639948 + 1.562152\mathrm{i}$11
$1.760973$11
$-1.663626 - 0.05482659\mathrm{i}$11
$-1.663626 + 0.05482659\mathrm{i}$11

Characteristic polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 7 \lambda^{11} + 14 \lambda^{10} - 145 \lambda^{9} - 2265 \lambda^{8} - 10084 \lambda^{7} - 23850 \lambda^{6} - 19814 \lambda^{5} + 195706 \lambda^{4} - 283297 \lambda^{3} - 1339377 \lambda^{2} + 1369924 \lambda + 3207025\notag\end{equation}$$

Minimal polynomial

$$\begin{equation}\lambda^{12} + 7 \lambda^{11} + 14 \lambda^{10} - 145 \lambda^{9} - 2265 \lambda^{8} - 10084 \lambda^{7} - 23850 \lambda^{6} - 19814 \lambda^{5} + 195706 \lambda^{4} - 283297 \lambda^{3} - 1339377 \lambda^{2} + 1369924 \lambda + 3207025\notag\end{equation}$$

Quantum multiplication matrix

$$\begin{equation}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 3 & 8 & 0 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & -4 & 0 & -2 & 2 & 0 & 6 & 0 & 8 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 4 & 0 & 2 & 0 & 0 & -6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -8 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & -2 & 0 & -2 & 0 & 0 & 8 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 7 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & -6 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{7}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 0\end{pmatrix}\notag\end{equation}$$